2024年陕西省西安市碑林区铁一中学中考三模数学试题

这是一份2024年陕西省西安市碑林区铁一中学中考三模数学试题，共57页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 的倒数为（ ）
A. B. 3C. D.
2. 如图放置的几何体中，其主视图为长方形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，，直线分别交于点，平分，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位长度后，恰好经过点，则的值为（ ）
A. 2B. 3C. D.
6. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D在小正方形的顶点处，与相交于点O，则的长等于（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，是的直径，点在上，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知抛物线y=x2-2mx-4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（ ）
A. （1，-5）B. （3，-13）C. （2，-8）D. （4，-20）
二、填空题
9. 在实数中，无理数有______个．
10. 分解因式：______．
11. 如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是________ 个．

12. 如图，已知正方形的面积为4，它的两个顶点是反比例函数的图象上两点．若点的坐标是，则的值为______．
13. 如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，连接，若为的中点，则的最小值为______．
三、解答题（解答应写出过程）
14. 计算：
15. 解不等式：＞x﹣1．
16. 解方程：．
17. 如图，在中，，，请用尺规作图法在边上求作一点D，使得将分为两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
18. 如图，点在上，与交于点，且．求证：．
19. 我国古代名著《增删算法统宗》中有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴的玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”请用列方程的方法求出这个问题中的牧童人数．
20. 长安（今西安）在李白的一生中有着重要的地位，诗仙寓居终南，寻访骊山，在此期间，留下了不少壮丽诗篇，如《望终南山寄紫阁隐者》《侍从游宿温泉宫作》《阳春哥》《杜陵绝句》等．小红一家准备劳动节期间亲临诗仙笔下的长安盛景，到终南山世界地质公园（记为A）、华清宫景区（记为B）、汉长安城未央宫遗址（记为C）、杜陵遗址公园（记为D）游玩．
（1）若劳动节当天小红一家从A，B，C，D四处景点随机任选一处去游玩，则选中B的概率为______．
（2）若劳动节当天小红一家从A，B，C，D四处景区随机选择两处去游玩，请用列表或画树状图的方法，求同时选中A和D的概率．
21. “风电”是未来全球最重要的清洁能源之一，在我们的身边也经常能见到“风电”的身影，某数学兴趣小组测量一架风力发电机塔杆高度的活动报告如下：请利用表中提供的信息，求风力发电机的塔杆高度．（参考数据：，）
22. 如图，深圆柱形容器，底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，3分钟后水面上升的速度是之前速度的．如图为容器顶部离水面的距离随时间（分钟）的变化图像．
（1）3分钟后水面上升的速度为______；
（2）求直线的解析式；
（3）求该容器注满水所用的时间．
23. 近年来，诈骗分子较为猖狂，诈骗手段不断更新，为有效提高学生防诈反诈能力，学校开展了“防诈反诈”进座，讲座后进行了“防诈反诈”知识竞赛，并随机抽取名学生的竞赛成绩进行了整理：将成绩划分为四个等级，并绘制出不完整的统计图．其中B等级成绩数据（单位：分）：80，86，80，82，84，86，86，89，81，85，根据以上信息，回答下列问题．
（1）抽取的总人数______，并补全条形统计图；
（2）在所抽取的m名学生的竞赛成绩中，中位数是______分，B等级的众数是______分；
（3）若该中学共有2000名学生，且全部参加这次竞赛，请估计学生的竞赛成绩不低于80分的总人数．
24. 如图，为的直径，点是上一点，点是外一点，，连接交于点．
（1）求证：是的切线．
（2）若，求的长度．
25. 已知抛物线为常数，与轴交于点、点两点，与轴交于点，对称轴为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）是抛物线上点且在第二象限，过作于点，求的最大值．
26. （1）如图1，已知线段，平面内有一动点，且，则的最小值为______．
（2）如图2，中，，点为的中点，点为内一动点，，连接，过点作，且，连接，求的长．
（3）某工厂计划加工如图3所示的零件，要求分米，，在上有一点，连接，请你帮工人师傅计算是否存在最小值，若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．

2024年铁一中三模数学试卷
一、选择题（每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 倒数为（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可.
【详解】解∵，
∴的倒数为．
故选C．
【点睛】本题考查倒数，理解倒数的定义是解答的关键．
2. 如图放置的几何体中，其主视图为长方形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形是长方形的即可．
【详解】解：A、主视图为三角形，故本选项错误；
B、主视图为三角形，故本选项错误；
C、主视图为长方形，故本选项正确；
D、主视图为圆，故本选项错误．
故选：C．
3. 如图，，直线分别交于点，平分，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质，由角平分线的定义得出，再由平行线的性质得出．
【详解】解：平分，，
，
，，
，
故选：C．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据单项式乘法法则、完全平方公式、幂的运算法则、合并同类项法则分别计算即可．
【详解】解：A. ，原计算错误，不符合题意；
B. ，原计算错误，不符合题意；
C. ，原计算错误，不符合题意；
D. ，原计算正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的运算，解题关键是掌握整式运算的相关法则，准确进行计算．
5. 在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位长度后，恰好经过点，则的值为（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数图象平移的问题，待定系数法求一次函数解析式，先根据平移方式得到平移后的直线解析式为，再代入进行求解即可．
【详解】解：将一次函数的图象向左平移3个单位长度后的解析式为，
∵平移后的直线经过点，
∴，
∴，
故选：D．
6. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D在小正方形的顶点处，与相交于点O，则的长等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，先连接，，并标注，再说明∽，可得，，进而得出∽，可知，然后根据勾股定理，求出，可得答案．
【详解】连接，，并标注字母如图所示．
根据题意可知，，，，
∵，，
∴∽，
∴，，
∴，
∴，
∴∽，
∴，
∴．
根据勾股定理，得，
∴．
故选：A．
7. 如图，是的直径，点在上，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角、弧及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角及圆内接四边形的性质是解题的关键；连接，由题意易得，，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵是直径，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选C．
8. 已知抛物线y=x2-2mx-4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（ ）
A. （1，-5）B. （3，-13）C. （2，-8）D. （4，-20）
【答案】C
【解析】
【详解】解：，
∴点M（m，﹣m2﹣4），
∴点M′（﹣m，m2+4），
∴m2+2m2﹣4=m2+4．
解得m=±2．
∵m＞0，
∴m=2，
∴M（2，﹣8）．
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的性质．
二、填空题
9. 在实数中，无理数有______个．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查无理数及二次根式的性质，熟练掌握无理数的概念及二次根式的性质是解题的关键；因此此题可根据“无限不循环小数即为无理数”进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴在实数是无理数的有，共2个；
故答案为2．
10. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
11. 如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是________ 个．

【答案】10
【解析】
【分析】先求出正五边形的外角为，则，进而得出，即可求解．
【详解】解：根据题意可得：
∵正五边形的一个外角，
∴，
∴，
∴共需要正五边形的个数（个），
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，正多边形的外角，解题的关键是掌握正多边形的外角的求法．
12. 如图，已知正方形的面积为4，它的两个顶点是反比例函数的图象上两点．若点的坐标是，则的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数性质的应用，正方形的性质；由几何意义得，进而得，证明出，再由正方形的面积为，求出即可．
【详解】解：如图，延长、交轴于点、，延长、交轴于点、，

由的几何意义得，，
∴，
∵，
∴，
∵点D的坐标是，
∴，，
∴，
∵正方形的面积为4，
∴，而，
∴．
故答案为：2．
13. 如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，连接，若为的中点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质及应用，平行四边形的判定和性质，延长交于，过作直线，推出是到的距离等于的直线上的动点，再利用将军饮马模型构造图形，利用勾股定理即可求出的最小值，求出的运动路线是直线是解题的关键．
【详解】解：延长交于， 过作直线， 如图：
和是等边三角形，
，
∴四边形是平行四边形，
∵为中点，
∴为中点，
∵线段上运动，
∴在直线上运动，
由知，等边三角形的高为
∴到直线的距离，到直线的距离都为
作关于直线的对称点连接
当运动到与直线的交点，即 ，共线时，最小，此时，最小值，
，
故答案为：
三、解答题（解答应写出过程）
14. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算顺序和运算法则．先将绝对值、二次根式、负整数幂化简，再进行计算即可．
【详解】解：
．
15. 解不等式：＞x﹣1．
【答案】x＜4
【解析】
【分析】按照去分母，移项，合并同类项，系数化成1的步骤求解即可．
【详解】解：＞x﹣1，
1+2x＞3x﹣3，
2x﹣3x＞﹣3﹣1，
﹣x＞﹣4，
x＜4．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．
16. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了解分式方程，去分母把方程化为整式方程，解方程后，再检验后即可得到答案．
【详解】解：
方程两边都乘，得.
去括号，得，
解得
检验、当时，，
所以原方程的解为.
17. 如图，在中，，，请用尺规作图法在边上求作一点D，使得将分为两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质，可知D点为边中点，因此作边的垂直平分线即可．
【详解】解：点D如下图所示：
作法如下：（1）分别以点B，点C为圆心，大于长为半径作弧，交于点M，点N；
（2）连接，与交于点D；
（3）连接．
理由如下：
由作图方法可知垂直平分，
点D为边中点，
中，，
，
，，
和是等腰三角形．
【点睛】本题考查线段的垂直平分线的作法、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的定义等，解题的关键是掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半．
18. 如图，点在上，与交于点，且．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查三角形全等的判定、等腰三角形的判定与性质等知识，先由得到，再由两个三角形全等的判定定理即可得证，熟记三角形全等的判定定理是解决问题的关键．
【详解】证明：，
，
，，
，
在和中，
．
19. 我国古代名著《增删算法统宗》中有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴的玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”请用列方程的方法求出这个问题中的牧童人数．
【答案】牧童人数为人
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用—古代问题：设竹有x竿，根据每人6竿，多14竿，可知有人，根据每人8竿，恰好用完可知有人，再根据人数固定即可列出方程．
【详解】解：依题意，设竹有x竿，
解得
则（人）
∴牧童人数为人．
20. 长安（今西安）在李白的一生中有着重要的地位，诗仙寓居终南，寻访骊山，在此期间，留下了不少壮丽诗篇，如《望终南山寄紫阁隐者》《侍从游宿温泉宫作》《阳春哥》《杜陵绝句》等．小红一家准备劳动节期间亲临诗仙笔下的长安盛景，到终南山世界地质公园（记为A）、华清宫景区（记为B）、汉长安城未央宫遗址（记为C）、杜陵遗址公园（记为D）游玩．
（1）若劳动节当天小红一家从A，B，C，D四处景点随机任选一处去游玩，则选中B的概率为______．
（2）若劳动节当天小红一家从A，B，C，D四处景区随机选择两处去游玩，请用列表或画树状图的方法，求同时选中A和D的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了用树状图求概率，熟练掌握求概率的方法和会画树状图是解题的关键．
（1）找出所有可能的结果和所求概率的结果数即可得出答案；
（2）由题意画出树状图，根据树状图数出所有可能的结果和所求概率的结果数即可得出答案．
【小问1详解】
解：从，，，四处景区随机选择一处去游玩总共有4种等可能结果，
选中B的有1种结果，所以选中B的概率为；
【小问2详解】
根据题意，画树状图如下：
由树状图可知总共有12种等可能结果，其中同时选中和的有种结果，
所以同时选中A和D的概率为．
21. “风电”是未来全球最重要的清洁能源之一，在我们的身边也经常能见到“风电”的身影，某数学兴趣小组测量一架风力发电机塔杆高度的活动报告如下：请利用表中提供的信息，求风力发电机的塔杆高度．（参考数据：，）
【答案】31
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的作出辅助线；延长交于点F，延长交于G，设米，由含的直角三角形的性质可得米，由三角函数分别求出米，米，利用列方程，解出方程，进而可求答案．
【详解】解：延长交于点F，延长交于G，
由题意得：，米，，
设米，
在中，米，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
米，
，
解得：，
米，
米，
答：风力发电机的塔杆的高度约为31米．
22. 如图，深的圆柱形容器，底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，3分钟后水面上升的速度是之前速度的．如图为容器顶部离水面的距离随时间（分钟）的变化图像．
（1）3分钟后水面上升的速度为______；
（2）求直线的解析式；
（3）求该容器注满水所用的时间．
【答案】（1）
（2）
（3）21
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数应用，理解函数图像的含义、利用待定系数法求函数解析式成为解题的关键．
（1）先运用待定系数法求得直线的解析式，进而求得段水面上升的速度，然后根据3分钟后水面上升的速度是之前速度的即可解答；
（2）根据3分钟后水面上升的速度，运用待定系数法求出BC所在直线对应的函数解析式即可.
（3）当时解方程求出对应的t即可．
【小问1详解】
解：设直线的解析式为，
由题意可得：，解得：，
所以直线的解析式为，即前3分钟水面上升的速度为，
∴3分钟后水面上升的速度
【小问2详解】
解：直线的解析式为，则有：，解得：，
所以直线的解析式为
【小问3详解】
解：当该容器注满水时，，即，解得，
答：该容器注满水所用的时间为21分钟．
23. 近年来，诈骗分子较为猖狂，诈骗手段不断更新，为有效提高学生防诈反诈能力，学校开展了“防诈反诈”进座，讲座后进行了“防诈反诈”知识竞赛，并随机抽取名学生的竞赛成绩进行了整理：将成绩划分为四个等级，并绘制出不完整的统计图．其中B等级成绩数据（单位：分）：80，86，80，82，84，86，86，89，81，85，根据以上信息，回答下列问题．
（1）抽取的总人数______，并补全条形统计图；
（2）在所抽取的m名学生的竞赛成绩中，中位数是______分，B等级的众数是______分；
（3）若该中学共有2000名学生，且全部参加这次竞赛，请估计学生的竞赛成绩不低于80分的总人数．
【答案】（1）50，图见解析
（2），86
（3）1200
【解析】
【分析】本题考查了从统计图提取信息，中位数的定义，样本估计总体等知识，掌握相关定义，准确提取信息并进行准确计算是解题的关键．
（1）由图得等级B有人，占，可求m，从而可求C等级的人数，即可求解；
（2）把数据按从小到大排列后，中间两个数是，可求中位数，由图可得A和B等级的人数，从而可求；
（3）由图可得等级A和B等级的人数，可求所占百分比，乘以总人数，从而可进行估算．
【小问1详解】
解：，
C等级人数；（名），
补全条形统计图如图所示：
故答案为：50；
【小问2详解】
解：把B 等级数据按从小到大排列为80，80，81，82，84，85，86， 86，86，89，
中间两个数是、，
∴中位数是 ；
在这组数据里分的最多，
∴众数为，
故答案为∶，；
【小问3详解】
解：（名），
答：估计学生的测试成绩不低于 80分的总人数为名．
24. 如图，为的直径，点是上一点，点是外一点，，连接交于点．
（1）求证：是的切线．
（2）若，求的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由直径对直角得，由等腰三角形的性质推出，即可求得，由此得到结论；
（2）过O作于F，由垂径定理可得，由中位线的性质可得，在，由勾股定理求解即可；
【小问1详解】
证明：连接，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
【小问2详解】
过O作于F，
在中，，
，
，，
，
，
，
，
，
在中， ．
【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，切线的判定，三角形的中位线，勾股定理，垂径定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线，综合运用以上知识是解题的关键．
25. 已知抛物线为常数，与轴交于点、点两点，与轴交于点，对称轴为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）是抛物线上的点且在第二象限，过作于点，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）过点M作轴，交于点E，先求出一次函数的解析式，用解直角三角形的方法求出，表示出，设，，分别表示出，最后得到，求出最后结果即可．
【小问1详解】
解：点，对称轴为，
，，，
解得：，，
抛物线的表达式为：；
【小问2详解】
如图，过点M作轴，交于点E，
设的解析式为，
，，
的解析式为，
，，
，
，
，，
，
，，
，
设，，
，
，
，，，
，
，
，
当时， 的最大值为．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，含的直角三角形三边关系，解直角三角形的应用，二次函数的最大值等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
26. （1）如图1，已知线段，平面内有一动点，且，则的最小值为______．
（2）如图2，中，，点为的中点，点为内一动点，，连接，过点作，且，连接，求的长．
（3）某工厂计划加工如图3所示的零件，要求分米，，在上有一点，连接，请你帮工人师傅计算是否存在最小值，若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）3 （2） （3）存在，
【解析】
【分析】（1）C在以A为圆心，为半径的圆上运动，根据点圆最值求解即可；
（2）连接，由等腰直角三角形的性质和三角函数可得 ，进而可证，再由相似的性质求解即可；
（3）作的外接圆，圆心为E，连接，过B作交的垂直平分线于D，交以D为圆心，为半径的圆于F，连接，，，由圆周角定理，等边三角形的性质和判定，可证，进而可得，则在上运动，根据点圆最值求解即可；
【详解】解：（1）以A为圆心，为半径，交于，则，

当C与重合时，的值最小，，
故答案为：3；
（2）连接，

，点为的中点，
在 中，，
，
在中，，
，
，
，
，
；
（3）作的外接圆，圆心为E，连接，过B作交的垂直平分线于D，交以D为圆心，为半径的圆于F，连接，， ，

，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在上运动，
当P在上时，最小，
在中，，
．
故的最小值为．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，隐圆问题，解直角三角形，等边三角形的性质和判定，圆周角定理等，根据题意作圆，找到动点的轨迹是解题的关键；
2024年铁一中三模数学试卷
一、选择题（每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 倒数为（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可.
【详解】解∵，
∴的倒数为．
故选C．
【点睛】本题考查倒数，理解倒数的定义是解答的关键．
2. 如图放置的几何体中，其主视图为长方形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形是长方形的即可．
【详解】解：A、主视图为三角形，故本选项错误；
B、主视图为三角形，故本选项错误；
C、主视图为长方形，故本选项正确；
D、主视图为圆，故本选项错误．
故选：C．
3. 如图，，直线分别交于点，平分，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质，由角平分线的定义得出，再由平行线的性质得出．
【详解】解：平分，，
，
，，
，
故选：C．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据单项式乘法法则、完全平方公式、幂的运算法则、合并同类项法则分别计算即可．
【详解】解：A. ，原计算错误，不符合题意；
B. ，原计算错误，不符合题意；
C. ，原计算错误，不符合题意；
D. ，原计算正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的运算，解题关键是掌握整式运算的相关法则，准确进行计算．
5. 在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位长度后，恰好经过点，则的值为（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数图象平移的问题，待定系数法求一次函数解析式，先根据平移方式得到平移后的直线解析式为，再代入进行求解即可．
【详解】解：将一次函数的图象向左平移3个单位长度后的解析式为，
∵平移后的直线经过点，
∴，
∴，
故选：D．
6. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D在小正方形的顶点处，与相交于点O，则的长等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，先连接，，并标注，再说明∽，可得，，进而得出∽，可知，然后根据勾股定理，求出，可得答案．
【详解】连接，，并标注字母如图所示．
根据题意可知，，，，
∵，，
∴∽，
∴，，
∴，
∴，
∴∽，
∴，
∴．
根据勾股定理，得，
∴．
故选：A．
7. 如图，是的直径，点在上，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角、弧及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角及圆内接四边形的性质是解题的关键；连接，由题意易得，，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵是直径，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选C．
8. 已知抛物线y=x2-2mx-4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（ ）
A. （1，-5）B. （3，-13）C. （2，-8）D. （4，-20）
【答案】C
【解析】
【详解】解：，
∴点M（m，﹣m2﹣4），
∴点M′（﹣m，m2+4），
∴m2+2m2﹣4=m2+4．
解得m=±2．
∵m＞0，
∴m=2，
∴M（2，﹣8）．
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的性质．
二、填空题
9. 在实数中，无理数有______个．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查无理数及二次根式的性质，熟练掌握无理数的概念及二次根式的性质是解题的关键；因此此题可根据“无限不循环小数即为无理数”进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴在实数是无理数的有，共2个；
故答案为2．
10. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
11. 如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是________ 个．

【答案】10
【解析】
【分析】先求出正五边形的外角为，则，进而得出，即可求解．
【详解】解：根据题意可得：
∵正五边形的一个外角，
∴，
∴，
∴共需要正五边形的个数（个），
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，正多边形的外角，解题的关键是掌握正多边形的外角的求法．
12. 如图，已知正方形的面积为4，它的两个顶点是反比例函数的图象上两点．若点的坐标是，则的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数性质的应用，正方形的性质；由几何意义得，进而得，证明出，再由正方形的面积为，求出即可．
【详解】解：如图，延长、交轴于点、，延长、交轴于点、，

由的几何意义得，，
∴，
∵，
∴，
∵点D的坐标是，
∴，，
∴，
∵正方形的面积为4，
∴，而，
∴．
故答案为：2．
13. 如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，连接，若为的中点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质及应用，平行四边形的判定和性质，延长交于，过作直线，推出是到的距离等于的直线上的动点，再利用将军饮马模型构造图形，利用勾股定理即可求出的最小值，求出的运动路线是直线是解题的关键．
【详解】解：延长交于， 过作直线， 如图：
和是等边三角形，
，
∴四边形是平行四边形，
∵为中点，
∴为中点，
∵线段上运动，
∴在直线上运动，
由知，等边三角形的高为
∴到直线的距离，到直线的距离都为
作关于直线的对称点连接
当运动到与直线的交点，即 ，共线时，最小，此时，最小值，
，
故答案为：
三、解答题（解答应写出过程）
14. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算顺序和运算法则．先将绝对值、二次根式、负整数幂化简，再进行计算即可．
【详解】解：
．
15. 解不等式：＞x﹣1．
【答案】x＜4
【解析】
【分析】按照去分母，移项，合并同类项，系数化成1的步骤求解即可．
【详解】解：＞x﹣1，
1+2x＞3x﹣3，
2x﹣3x＞﹣3﹣1，
﹣x＞﹣4，
x＜4．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．
16. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了解分式方程，去分母把方程化为整式方程，解方程后，再检验后即可得到答案．
【详解】解：
方程两边都乘，得.
去括号，得，
解得
检验、当时，，
所以原方程的解为.
17. 如图，在中，，，请用尺规作图法在边上求作一点D，使得将分为两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质，可知D点为边中点，因此作边的垂直平分线即可．
【详解】解：点D如下图所示：
作法如下：（1）分别以点B，点C为圆心，大于长为半径作弧，交于点M，点N；
（2）连接，与交于点D；
（3）连接．
理由如下：
由作图方法可知垂直平分，
点D为边中点，
中，，
，
，，
和是等腰三角形．
【点睛】本题考查线段的垂直平分线的作法、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的定义等，解题的关键是掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半．
18. 如图，点在上，与交于点，且．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查三角形全等的判定、等腰三角形的判定与性质等知识，先由得到，再由两个三角形全等的判定定理即可得证，熟记三角形全等的判定定理是解决问题的关键．
【详解】证明：，
，
，，
，
在和中，
．
19. 我国古代名著《增删算法统宗》中有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴的玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”请用列方程的方法求出这个问题中的牧童人数．
【答案】牧童人数为人
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用—古代问题：设竹有x竿，根据每人6竿，多14竿，可知有人，根据每人8竿，恰好用完可知有人，再根据人数固定即可列出方程．
【详解】解：依题意，设竹有x竿，
解得
则（人）
∴牧童人数为人．
20. 长安（今西安）在李白的一生中有着重要的地位，诗仙寓居终南，寻访骊山，在此期间，留下了不少壮丽诗篇，如《望终南山寄紫阁隐者》《侍从游宿温泉宫作》《阳春哥》《杜陵绝句》等．小红一家准备劳动节期间亲临诗仙笔下的长安盛景，到终南山世界地质公园（记为A）、华清宫景区（记为B）、汉长安城未央宫遗址（记为C）、杜陵遗址公园（记为D）游玩．
（1）若劳动节当天小红一家从A，B，C，D四处景点随机任选一处去游玩，则选中B的概率为______．
（2）若劳动节当天小红一家从A，B，C，D四处景区随机选择两处去游玩，请用列表或画树状图的方法，求同时选中A和D的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了用树状图求概率，熟练掌握求概率的方法和会画树状图是解题的关键．
（1）找出所有可能的结果和所求概率的结果数即可得出答案；
（2）由题意画出树状图，根据树状图数出所有可能的结果和所求概率的结果数即可得出答案．
【小问1详解】
解：从，，，四处景区随机选择一处去游玩总共有4种等可能结果，
选中B的有1种结果，所以选中B的概率为；
【小问2详解】
根据题意，画树状图如下：
由树状图可知总共有12种等可能结果，其中同时选中和的有种结果，
所以同时选中A和D的概率为．
21. “风电”是未来全球最重要的清洁能源之一，在我们的身边也经常能见到“风电”的身影，某数学兴趣小组测量一架风力发电机塔杆高度的活动报告如下：请利用表中提供的信息，求风力发电机的塔杆高度．（参考数据：，）
【答案】31
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的作出辅助线；延长交于点F，延长交于G，设米，由含的直角三角形的性质可得米，由三角函数分别求出米，米，利用列方程，解出方程，进而可求答案．
【详解】解：延长交于点F，延长交于G，
由题意得：，米，，
设米，
在中，米，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
米，
，
解得：，
米，
米，
答：风力发电机的塔杆的高度约为31米．
22. 如图，深的圆柱形容器，底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，3分钟后水面上升的速度是之前速度的．如图为容器顶部离水面的距离随时间（分钟）的变化图像．
（1）3分钟后水面上升的速度为______；
（2）求直线的解析式；
（3）求该容器注满水所用的时间．
【答案】（1）
（2）
（3）21
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数应用，理解函数图像的含义、利用待定系数法求函数解析式成为解题的关键．
（1）先运用待定系数法求得直线的解析式，进而求得段水面上升的速度，然后根据3分钟后水面上升的速度是之前速度的即可解答；
（2）根据3分钟后水面上升的速度，运用待定系数法求出BC所在直线对应的函数解析式即可.
（3）当时解方程求出对应的t即可．
【小问1详解】
解：设直线的解析式为，
由题意可得：，解得：，
所以直线的解析式为，即前3分钟水面上升的速度为，
∴3分钟后水面上升的速度
【小问2详解】
解：直线的解析式为，则有：，解得：，
所以直线的解析式为
【小问3详解】
解：当该容器注满水时，，即，解得，
答：该容器注满水所用的时间为21分钟．
23. 近年来，诈骗分子较为猖狂，诈骗手段不断更新，为有效提高学生防诈反诈能力，学校开展了“防诈反诈”进座，讲座后进行了“防诈反诈”知识竞赛，并随机抽取名学生的竞赛成绩进行了整理：将成绩划分为四个等级，并绘制出不完整的统计图．其中B等级成绩数据（单位：分）：80，86，80，82，84，86，86，89，81，85，根据以上信息，回答下列问题．
（1）抽取的总人数______，并补全条形统计图；
（2）在所抽取的m名学生的竞赛成绩中，中位数是______分，B等级的众数是______分；
（3）若该中学共有2000名学生，且全部参加这次竞赛，请估计学生的竞赛成绩不低于80分的总人数．
【答案】（1）50，图见解析
（2），86
（3）1200
【解析】
【分析】本题考查了从统计图提取信息，中位数的定义，样本估计总体等知识，掌握相关定义，准确提取信息并进行准确计算是解题的关键．
（1）由图得等级B有人，占，可求m，从而可求C等级的人数，即可求解；
（2）把数据按从小到大排列后，中间两个数是，可求中位数，由图可得A和B等级的人数，从而可求；
（3）由图可得等级A和B等级的人数，可求所占百分比，乘以总人数，从而可进行估算．
【小问1详解】
解：，
C等级人数；（名），
补全条形统计图如图所示：
故答案为：50；
【小问2详解】
解：把B 等级数据按从小到大排列为80，80，81，82，84，85，86， 86，86，89，
中间两个数是、，
∴中位数是 ；
在这组数据里分的最多，
∴众数为，
故答案为∶，；
【小问3详解】
解：（名），
答：估计学生的测试成绩不低于 80分的总人数为名．
24. 如图，为的直径，点是上一点，点是外一点，，连接交于点．
（1）求证：是的切线．
（2）若，求的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由直径对直角得，由等腰三角形的性质推出，即可求得，由此得到结论；
（2）过O作于F，由垂径定理可得，由中位线的性质可得，在，由勾股定理求解即可；
【小问1详解】
证明：连接，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
【小问2详解】
过O作于F，
在中，，
，
，，
，
，
，
，
，
在中， ．
【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，切线的判定，三角形的中位线，勾股定理，垂径定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线，综合运用以上知识是解题的关键．
25. 已知抛物线为常数，与轴交于点、点两点，与轴交于点，对称轴为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）是抛物线上的点且在第二象限，过作于点，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）过点M作轴，交于点E，先求出一次函数的解析式，用解直角三角形的方法求出，表示出，设，，分别表示出，最后得到，求出最后结果即可．
【小问1详解】
解：点，对称轴为，
，，，
解得：，，
抛物线的表达式为：；
【小问2详解】
如图，过点M作轴，交于点E，
设的解析式为，
，，
的解析式为，
，，
，
，
，，
，
，，
，
设，，
，
，
，，，
，
，
，
当时， 的最大值为．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，含的直角三角形三边关系，解直角三角形的应用，二次函数的最大值等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
26. （1）如图1，已知线段，平面内有一动点，且，则的最小值为______．
（2）如图2，中，，点为的中点，点为内一动点，，连接，过点作，且，连接，求的长．
（3）某工厂计划加工如图3所示的零件，要求分米，，在上有一点，连接，请你帮工人师傅计算是否存在最小值，若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）3 （2） （3）存在，
【解析】
【分析】（1）C在以A为圆心，为半径的圆上运动，根据点圆最值求解即可；
（2）连接，由等腰直角三角形的性质和三角函数可得 ，进而可证，再由相似的性质求解即可；
（3）作的外接圆，圆心为E，连接，过B作交的垂直平分线于D，交以D为圆心，为半径的圆于F，连接，，，由圆周角定理，等边三角形的性质和判定，可证，进而可得，则在上运动，根据点圆最值求解即可；
【详解】解：（1）以A为圆心，为半径，交于，则，

当C与重合时，的值最小，，
故答案为：3；
（2）连接，

，点为的中点，
在 中，，
，
在中，，
，
，
，
，
；
（3）作的外接圆，圆心为E，连接，过B作交的垂直平分线于D，交以D为圆心，为半径的圆于F，连接，， ，

，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在上运动，
当P在上时，最小，
在中，，
．
故的最小值为．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，隐圆问题，解直角三角形，等边三角形的性质和判定，圆周角定理等，根据题意作圆，找到动点的轨迹是解题的关键；
活动目的
测量风力发电机塔杆高度
测量工具
无人机、皮尺等
测量示意图
说明：塔杆安装在斜坡上且垂直于地面，用皮尺测量出的长度，利用无人机分别在点、点（点在点的正上方）测量山塔杆顶端的仰角和俯角
测量数据
斜坡坡角
长度
18米
的长度
53米
点A处测量的仰角
点B处测量的俯角
活动目的
测量风力发电机的塔杆高度
测量工具
无人机、皮尺等
测量示意图
说明：塔杆安装在斜坡上且垂直于地面，用皮尺测量出的长度，利用无人机分别在点、点（点在点的正上方）测量山塔杆顶端的仰角和俯角
测量数据
斜坡的坡角
的长度
18米
的长度
53米
点A处测量的仰角
点B处测量的俯角
活动目的
测量风力发电机的塔杆高度
测量工具
无人机、皮尺等
测量示意图
说明：塔杆安装在斜坡上且垂直于地面，用皮尺测量出的长度，利用无人机分别在点、点（点在点的正上方）测量山塔杆顶端的仰角和俯角
测量数据
斜坡的坡角
的长度
18米
的长度
53米
点A处测量的仰角
点B处测量的俯角