中职数学高教版（2021·十四五）基础模块 上册4.6 正弦函数的图像和性质评优课练习题习题课件ppt

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4.6 正弦函数的图像和性质
春天万物复苏、百花盛开，年复一年，周而复始．像这样重复出现的现象称为周期现象，数学中也存在这种现象．正弦函数就是一种周期函数，是刻画“周而复始”现象的数学模型．
4.6.1 正弦函数的图像
做一个沙漏单摆实验：如图所示，一个沙漏挂在架子上，沙漏下方放一块纸板，纸板中间画一条直线作为坐标系的横轴．把沙漏沿垂直于该直线方向拉离平衡位置，放手使之摆动，同时匀速拉动纸板．这样可在纸板上得到一条曲线．这是一条什么曲线呢？
这个实验得到的曲线是一条波浪起伏、周而复始的曲线．从前面的学习我们知道，随着角的变化，三角函数值也具有这种周而复始的变化规律．我们可以用正弦函数来刻画这条曲线．
根据单位圆的圆周运动特点，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置，这说明自变量每增加或者减少2π， 正弦函数值将重复出现．这一现象可以用公式 sin(x+2kπ) = sinx，k∈Z来表示．
一般地，对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内任意一个值时，都有 f(x+T) ＝f(x)， 则称函数y＝f(x)为周期函数．非零常数T为y＝f(x)的一个周期．
4.6.1 正弦函数的图像
因此正弦函数y = sinx，x∈R是一个周期函数，2π，4π，6π，…及-2π，-4π，-6π，…都是它的周期，即常数2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它的周期．
如果周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个最小的正数T0 ，那么这个最小的正数 T0就称为y＝f(x)的最小正周期．
本书中所涉及的周期，如果不特别说明，都是指函数的最小正周期．
显然，2π为正弦函数的最小正周期 ．
（1）列表．
把区间[0，2π]分成12等份，分别求出y=sinx在各分点及区间端点的正弦函数值．
根据表中x，y的数值在平面直角坐标系内描点(x， y) ，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到正弦函数y＝sinx 在 [0，2π]上的图像．
（2）描点作图．
观察函数y=sinx 在 [0，2π]上的图像发现，在确定图像的形状时，起关键作用的点有以下五个，描出这五个点后，正弦函数的图像就基本确定了．
因此，在精确度要求不高时，常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，就得到[0，2π]上正弦函数的图像简图了，这种作图方法称为五点法．
因为正弦函数的周期是2π，所以只要将函数y＝sinx在 [0，2π]上的图像沿x轴向左或向右平移2kπ(k∈Z)，就可得到正弦函数y＝sinx，x∈R的图像．
正弦函数的图像也称为正弦曲线，它是一条“波浪起伏”“周而复始”的连续光滑曲线．
例1 利用五点法作出函数y＝1+sinx在 [0，2π]上的图像．
例1 利用五点法作出函数y＝1+sinx在 [0，2π]上的图像．
根据表中x，y的数值在平面直角坐标系中描点(x，y)，再用光滑曲线顺次连接各点，就得到函数y=1+sinx在 [0，2π]上的图像．
4.6.2 正弦函数的性质
利用研究函数的经验，可否从正弦函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性等方面来研究正弦函数的性质呢？
（1）定义域． 正弦函数的定义域是实数集R ．
如图所示，正弦曲线分布在两条直线y=-1和y=1之间，即对任意的x，都有|sinx|≤1成立．因此，正弦函数的值域是[1，1] ．
正弦函数是周期为2π的周期函数．
由图像关于原点O对称和诱导公式sin(−x)=−sinx可知，正弦函数是奇函数．
解 （2） 因为-1≤sinx≤1，所以2≥-2sinx≥-2，即-2≤-2sinx≤2 ．所以-1≤1-2sinx≤3 ．
解 根据正弦函数的图像和性质可知：
观察正弦函数y=sinx在[0，2π] 上图像．
2kπ≤x≤π+2kπ(k∈Z)， 故函数的定义域为{x|2kπ≤x≤π+2kπ，k∈Z} ．
发现，在[0，2π]内，符合题意的x 满足0≤x≤π．由函数的周期性得：
对含三角函数的函数式求定义域时，除了考虑使函数式有意义之外，还要注意三角函数的周期性．
3．函数y=a+2sinx的最小值是5，求a的值．