数学基础模块上册(2021)4.6.1 正弦函数的图像课文内容课件ppt

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4.6.1 正弦函数的图像
简谐运动是最基本也是最简单的机械振动． 单摆是常见的简谐振动之一，以时间为横轴，摆球离开平衡位置的位移为纵轴，作出摆球偏离平衡位置的位移随时间变化的关系图，你发现什么规律了么？
由三角函数的单位圆定义可知：在第一象限内, sinx随 x 的增大而增大; 在第二象限内, sinx随 x 的增大而减小; 在第三象限内, sinx随 x 的增大而减小; 在第四象限内, sinx随 x 的增大而增大.
根据单位圆的圆周运动特点, 单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置, 这说明自变量每增加或者减少2π, 正弦函数值将重复出现. 这一现象可以用公式 sin(x+2kπ) = sinx，k∈Z来表示.
一般地，对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内任意一个值时，都有 f(x+T) ＝f(x)， 则称函数y＝f(x)为周期函数．非零常数T为y＝f(x)的一个周期．
因此正弦函数y = sinx，x∈R是一个周期函数，2π，4π，6π，…及-2π，-4π，-6π，…都是它的周期，即常数2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期．如果周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个最小的正数 T0，那么这个最小的正数 T0就称为y＝f(x)的最小正周期． 显然，2π为正弦函数的最小正周期.
(1)列表．
把区间[0,2π]分成12等份, 分别求出y=sinx在各分点及区间端点的正弦函数值.
根据表中x，y的数值在平面直角坐标系内描点(x, y) ，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到正弦函数y＝sinx 在 [0,2π]上的图像.
(2) 描点作图．
观察函数y＝sinx 在 [0,2π]上的图像发现，在确定图像的形状时，起关键作用的点有以下五个，描出这五个点后，正弦函数的图像就基本确定了.
因此，在精确度要求不高时，常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，就得到[0,2π]上正弦函数的图像简图了，这种作图方法称为五点法．
因为正弦函数的周期是2π，所以正弦函数值每隔2π重复出现一次．于是，我们只要将函数y＝sinx在 [0,2π]上的图像沿x轴向左或向右平移2kπ(k∈Z)，就可得到正弦函数y＝sinx，x∈R的图像.正弦函数的图像也称为正弦曲线，它是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．
例1 利用五点法作出函数y＝1+sinx在 [0,2π]上的图像．
根据表中x, y的数值在平面直角坐标系内描点(x,y), 再用平滑曲线顺次连接各点, 就得到函数y＝1+sinx在 [0,2π]上的图像.
4.6.2 正弦函数的性质
利用研究函数的经验，可否从正弦函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性等方面来研究正弦函数的性质呢？
(1)定义域. 正弦函数的定义域是实数集R.
正弦函数是周期为2π的周期函数．
由图像关于原点对称和诱导公式sin(−x)=−sinx可知，正弦函数是奇函数．
例1 求下列函数的最大值和最小值，并写出取得最大值、最小值时自变量x的集合.
解 (1) 由正弦函数的性质知，-1≤sinx≤1，所以
(2)由正弦函数的性质知，－1≤sinx≤1，所以-2≤-2sinx≤2，-1≤1-2sinx≤3，即-1≤y≤3．故函数的最大值为3，最小值为-1．
解 根据正弦函数的图像和性质可知：
例4 求函数 的定义域.
观察正弦函数y=sinx在[0,2π] 上图像. 发现，在[0,2π]内, 符合题意的x 满足0≤x≤π．由函数的周期性得：
在[0,2π]内, 符合题意的 x 满足0≤x≤π．由函数的周期性得： 2kπ≤x≤π+2kπ(k∈Z)，故函数的定义域为{x|2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z}．
对含三角函数的函数式求定义域时，除了考虑函数式有意义之外，还要注意三角函数的周期性．
1. 下列等式是否成立？为什么？
2. 求下列函数的值域.
3.求下列函数的最大值和最小值，并写出取得最大值、最小值时自变量x的集合．
4．函数y=a+2sinx的最小值是5，求a的值．
4.6 正弦函数的图像和性质
1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；2.查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回顾;3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.