2023届北京新高考复习 专题3 统计与概率解答题30题专项提分计划解析版

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1．（2022·北京·101中学校考三模）作为北京副中心，通州区的建设不仅成为京津冀协同发展战略的关键节点，也肩负着医治北京市“大城市病”的历史重任，因此，通州区的发展备受瞩目．2017年12月25日发布的《北京市通州区统计年鉴（2017）》显示：2016年通州区全区完成全社会固定资产投资939.9亿元，比上年增长，下面给出的是通州区2011~2016年全社会固定资产投资及增长率，如图一．又根据通州区统计局2018年1月25日发布：2017年通州区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元，比上年增长．
(1)在图二中画出2017年通州区全区完成全社会固定资产投资（柱状图），标出增长率并补全折线图；
(2)通过计算2011~2017这7年的平均增长率约为，现从2011~2017这7年中随机选取2个年份，记X为“选取的2个年份中，增长率高于的年份的个数”，求X的分布列及数学期望；
(3)设2011~2017这7年全社会固定资产投资总额的中位数为，平均数为，比较和与的大小（只需写出结论）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据“2017年通州区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元，比上年增长”补全折线图
（2）根据题意写出的取值并计算对应的概率，写出分布列即可
（3）根据题意分别计算，直接写出答案即可
(1)
(2)
依题意，的可能取值为
； ；
的分布列为：
的数学期望
(3)
2．（2022·北京·北京八十中校考模拟预测）为调查某公司五类机器的销售情况，该公司随机收集了一个月销售的有关数据，公司规定同一类机器销售价格相同，经分类整理得到下表：
利润率是指：一台机器销售价格减去出厂价格得到的利润与该机器销售价格的比值.
(1)从该公司本月卖出的机器中随机选一台，设该台机器的利润为X万元，求X的分布列和数学期望；
(2)从该公司本月卖出的机器中随机选取2台，设这2台机器的利润和恰好为13万元的概率；
(3)假设每类机器利润率不变，销售一台第一类机器获利万元，销售一台第二类机器获利万元，…，销售一台第五类机器获利万元，依据上表统计数据，随机销售一台机器获利的期望为，设，试判断与的大小.（结论不要求证明）
【答案】(1)分布列见解析，；
(2)
(3)
【分析】（1）依题意得到销售单价、销售量、单台机器利润的表格，即可得到的可能取值为、、、，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；
（2）根据古典概型的概率公式计算可得；
（3）求出，再与（1）中的比较即可判断；
(1)
解：依题意可得
则的可能取值为、、、，
所以，，，，
所以的分布列为
所以
(2)
解：依题意从该公司本月卖出的机器中随机选取2台有种选法，
其中满足2台机器的利润和恰好为13万元的有种取法，
故满足2台机器的利润和恰好为13万元的概率
(3)
解：由（1）可得，，
所以；
3．（2022·北京·清华附中校考模拟预测）单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分.最终取每站三次滑行成绩的最高分作为该站比赛成绩.现有运动员甲、乙二人在2021赛季单板滑雪U型池世界杯分站比赛成绩如下表：
(1)从上表5站中随机选取一站，求在该站甲运动员的比赛成绩高于乙运动员的比赛成绩的概率；
(2)设甲乙成绩相互独立，从甲的5站比赛成绩和乙的5站比赛成绩中分别随机选取一个，求两人的比赛成绩中至少有一人高于88分的概率；
(3)甲5站的比赛成绩的平均值为，甲乙5站比赛成绩的总平均值记为，比较与的大小（直接写出结果）.
【答案】(1)；
(2)；
(3)<.
【分析】（1）由题意确定甲乙各站对应成绩，进而判断甲成绩比乙高的站数，即可得概率.
（2）首先确定抽到甲、乙低于88分的概率，再利用对立事件的概率公式及独立事件的乘法求概率.
（3）根据数据求出甲的平均成绩、甲乙两人的总平均成绩，即可判断它们的大小.
(1)
由表格数据知：各站甲乙对应成绩如下，
其中第2、4站甲成绩比乙高，故随机选取一站，甲运动员成绩高于乙运动员的概率.
(2)
由（1）知：甲成绩低于88分有3站,，乙成绩低于88分有1站，
所以抽到甲低于88分的概率为，抽到乙低于88分的概率为，
抽到甲乙都低于88分的概率为，则两人至少有一人高于88分的概率为.
(3)
由（1），，
，
所以.
4．（2022·北京海淀·校考模拟预测）为实现乡村的全面振兴，某地区依托乡村特色优势资源，鼓励当地农民种植中药材，批发销售．根据前期分析多年数据发现，某品种中药材在该地区各年的平均每亩种植成本为5000元，此品种中药材在该地区各年的平均每亩产量与此品种中药材的国内市场批发价格均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
该地区此品种中药材各年的平均每亩产量情况
（注：各年的平均每亩纯收入=各年的平均每亩产量×批发价格-各年的平均每亩种植成本）
(1)以频率估计概率，试估计该地区某农民2022年种植此品种中药材获得最高纯收入的概率；
(2)设该地区某农民2022年种植此品种中药材的平均每亩纯收入为X元，以频率估计概率，求X的分布列和数学期望；
(3)已知该地区某农民有一块土地共10亩，该块土地现种植其他农作物，年纯收入最高可达到45000元，根据以上数据，该农民下一年是否应该选择在这块土地种植此品种中药材？说明理由．
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，期望为5925元；
(3)应该，理由见解析.
【分析】（1）应用独立事件乘法公式求概率；
（2）根据已知公式求出X的所有可能值并确定对应的概率，即可得分布列，进而求期望；
（3）比较中药材的每亩期望年纯收入与其他农作物每亩年纯收入大小，即可给出选择.
【详解】（1）要使此品种中药材获得最高纯收入，则每亩产量和批发价格均要最高，
所以其概率为.
（2）由题意，每亩产量×批发价格-平均每亩种植成本，
每亩产量400千克，批发价格20元/千克：元；
每亩产量400千克，批发价格25元/千克：元；
每亩产量500千克，批发价格20元/千克：元；
每亩产量500千克，批发价格25元/千克：元；
所以X的可能值为，且，
，，
则X的分布列如下：
所以元.
（3）由（2）知：种植中药材的每亩期望年纯收入为5925元，
而种植其他农作物每亩年纯收入为4500元，
所以应该选择种植此品种中药材.
5．（2022·北京延庆·统考模拟预测）2022年北京冬奥会的成功举办，带动中国3亿多人参与冰雪运动，这是对国际奥林匹克运动发展的巨大贡献．2020《中国滑雪产业白皮书》显示，2020-2021排名前十的省份的滑雪人次（单位：万人次）数据如下表：
(1)从滑雪人次排名前10名的省份中随机抽取1个省份，求该省2020-2021滑雪人次大于2018-2019滑雪人次的概率；
(2)从滑雪人次排名前5名的省份中随机选取3个省份，记这3个省份中2020-2021的滑雪人次超过150万人次的省份数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)记表格中2020-2021， 2019-2020两组数据的方差分别为与，试判断和的大小．结论不要求证明
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，;
(3).
【分析】（1）根据古典概型计算公式进行求解即可；
（2）根据古典概型计算公式，结合数学期望公式进行求解即可；
（3）根据方差的性质进行判断即可.
（1）
由表格可知，滑雪人次排名前十的省份中2020-2021滑雪人次大于2018-2019滑雪人次的频率为．
设事件从滑雪人次排名前十的省份中随机抽取1个省份，该省2020-2021滑雪人次大于2018-2019滑雪人次．
所以；
（2）
由题意可知，X的可能取值是．
，，，
所以X的分布列为
所以X的数学期望为=；
（3）
通过表格可以发现2020-2021，2019-2020两组数据中，2020-2021这一组数据比较分散不集中，
所以．
6．（2022·北京丰台·统考二模）某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动，活动规则如下：在一不透明纸箱中有8张相同的卡片，其中4张卡片上印有“幸”字，另外4张卡片上印有“运”字．消费者从该纸箱中不放回地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片上都印有同一个字，则获得一张10元代金券；若抽到的4张卡片中恰有3张卡片上印有同一个字，则获得一张5元代金券；若抽到的4张卡片是其他情况，则不获得任何奖励．
(1)求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字的概率；
(2)记随机变量X为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求X的分布列和数学期望；
(3)该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付3元．若你是消费者，是否愿意再次参加该项抽奖活动？请说明理由．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)不愿意，理由见解析
【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得；
（2）依题意的可能取值为、、，求出所对应的概率，列出分布列，即可求出数学期望；
（3）记随机变量为消费者在一次抽奖活动中的收益，则，根据期望的性质求出，即可判断；
(1)
解：记“某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字”为事件，
则，所以某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字的概率为；
(2)
解：依题意随机变量的所有可能取值为、、；
则，
，
，
所以的分布列为：
所以
(3)
解：记随机变量为消费者在一次抽奖活动中的收益，则，
所以，
所以我不愿意再次参加该项抽奖活动；
7．（2022·北京·校考三模）某单位有A，B两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位员工每个工作日午餐和晚餐都在单位就餐，近100个工作日选择餐厅就餐情况统计如下：
假设甲、乙员工选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
(1)分别估计一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率；
(2)记X为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望；
(3)试判断甲、乙员工在晚餐选择B餐厅就餐的条件下，哪位员工更有可能午餐选择A餐厅就餐，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)分布列见解析，1.9
(3)在已知晚餐选择B餐厅就餐的条件下，甲员工更有可能在午餐时选择A餐厅就餐，理由见解析
【分析】（1）利用古典概型的概率公式计算可得；
（2）依题意的所有可能取值为1，2，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式求出所对应的概率，列出分布列求出数学期望即可．
（3）根据古典概型的概率公式求出所对应的条件概率，即可判断；
【详解】（1）解：设事件“一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐”，事件“一天中乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐”．
由于100个工作日中甲员工午餐、晚餐都选择A餐厅就餐的天数为30，乙员工午餐、晚餐都选择B餐厅就餐的天数为40，
所以，；
（2）解：甲员工午餐、晚餐都选择餐厅就餐的概率为，甲员工午餐、晚餐都选择餐厅就餐的概率为；
乙员工午餐、晚餐都选择餐厅就餐的概率为，乙员工午餐、晚餐都选择餐厅就餐的概率为．
依题意的所有可能取值为1，2．
所以，．
所以的分布列为
所以．
（3）解：设“甲员工晚餐选择B餐厅就餐”，“乙员工晚餐选择B餐厅就餐”，“甲员工在午餐时选择A餐厅就餐”，“乙员工在午餐时选择A餐厅就餐”，则，．
因为，
所以在已知晚餐选择B餐厅就餐的条件下，甲员工更有可能在午餐时选择A餐厅就餐．
8．（2022·北京门头沟·统考一模）第届冬季奥林匹克运动会于年月日在北京、张家口盛大开幕．为保障本届冬奥会顺利运行，共招募约万人参与赛会志愿服务．赛会共设对外联络服务、竞赛运行服务、媒体运行与转播服务、场馆运行服务、市场开发服务、人力资源服务、技术运行服务、文化展示服务、赛会综合服务、安保服务、交通服务、其他共类志愿服务．
(1)甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务．已知甲被分配到对外联络服务，求乙被分配到场馆运行服务的概率是多少？
(2)已知来自某中学的每名志愿者被分配到文化展示服务类的概率是，设来自该中学的名志愿者被分配到文化展示服务类的人数为，求的分布列与期望；
(3)万名志愿者中，岁人群占比达到，为了解志愿者对某一活动方案是否支持，通过分层抽样获得如下数据：
假设所有志愿者对活动方案是否支持相互独立．将志愿者支持方案的概率估计值记为，去掉其它人群志愿者，支持方案的概率估计值记为，试比较与的大小．（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】（1）根据古典概型的计算公式直接计算；
（2）分别计算概率并列出分布列，并求期望；
（3）根据古典概型计算公式分别计算与，并比较大小.
【详解】（1）由已知共类志愿服务，甲被分配到对外联络服务，且甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，
故乙可被分配的志愿服务共，
所以乙被分配到场馆运行服务的概率为；
（2）由已知可得随机变量的可能取值为，，，
故，
，
，
分布列如下：
期望；
（3）由已知得志愿者支持方案的概率估计值记为，
去掉其它人群志愿者，支持方案的概率估计值记为，
故.
9．（2022·北京·人大附中校考三模）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
每周课外阅读时间小于小时的学生我们称之为“阅读小白”，大于等于小时且小于小时的学生称之为“阅读新手”，阅读时间大于等于小时的学生称之为“阅读达人”.
(1)从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的阅读时间大于等于小时，问这名学生是“阅读达人”概率；
(2)从该校学生中选取人，用样本的频率估计概率，记这人中“阅读新手和阅读小白”的人数和为，求的分布列和数学期望；
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组.（只需写出结论）
【答案】(1)
(2)分布列答案见解析，
(3)第组
【分析】（1）计算粗阅读时间大于等于小时的学生人数和“阅读达人”的学生人数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）分析可知，利用二项分布可得出的分布列，利用二项分布的期望公式可求得的值；
（3）根据频率分布直方图计算出平均数，可得出结论.
（1）
解：从样本中随机选取一名学生，其中阅读时间大于等于小时的学生人数为，
“阅读达人”的学生人数为，故所求概率为.
（2）
解：从该校学生中任选一人，该学生是“阅读小白”或“阅读新人”的概率为，
所以，，则，，
，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
.
（3）
解：样本中的名学生该周课外阅读时间的平均数为
.
因此，样本中的名学生该周课外阅读时间的平均数在第组.
10．（2022·北京·北京市第十二中学校考三模）某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车机器类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
销售总额（万元）
100
50
200
200
120
销售量（台）
5
2
10
5
8
利润率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
机器类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
销售单价（万元）
20
25
20
40
15
销售量（台）
5
2
10
5
8
单台机器利润（万元）
8
5
3
10
3
分站
运动员甲的三次滑行成绩
运动员乙的三次滑行成绩
第1次
第2次
第3次
第1次
第2次
第3次
第1站
80.20
86.20
84.03
80.11
88.40
0
第2站
92.80
82.13
86.31
79.32
81.22
88.60
第3站
79.10
0
87.50
89.10
75.36
87.10
第4站
84.02
89.50
86.71
75.13
88.20
81.01
第5站
80.02
79.36
86.00
85.40
87.04
87.70
甲
乙
第1站
86.20
88.40
第2站
92.80
88.60
第3站
87.50
89.10
第4站
89.50
88.20
第5站
86.00
87.70
各年的平均每亩产量
频率
0.25
0.75
3000
5000
7500
0.1
0.45
0.45
排名
省份
2020-2021
2019-2020
2018-2019
1
河北
221
136
235
2
吉林
202
123
207
3
北京
188
112
186
4
黑龙江
149
101
195
5
新疆
133
76
116
6
四川
99
52
69
7
河南
98
58
95
8
浙江
94
62
108
9
陕西
79
47
76
10
山西
78
39
100
X
1
2
3
P
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
甲员工
30天
20天
40天
10天
乙员工
20天
25天
15天
40天
1
2
0.1
0.9
岁人群
其它人群
支持
不支持
支持
不支持
方案
人
人
人
人
组号
分组
频数
1
6
2
8
3
17
4
22
5
25
6
12
7
6
8
2
9
2
合计
100