2023届北京新高考复习 专题6 数列解答题30题专项提分计划解析版

这是一份2023届北京新高考复习 专题6 数列解答题30题专项提分计划解析版，共19页。试卷主要包含了已知数列满足，已知数列，给出两个性质，已知数列为无穷递增数列，且，数列满足，设正整数数列满足等内容，欢迎下载使用。


1．（2022·北京海淀·101中学统考模拟预测）在等差数列中，，其前n项和为，各项均为正数的等比数列中，，且满足，．
（1）求数列与的通项公式；
（2）若数列的前n项和为，证明：．
【答案】（1），；（2）证明见解析 .
【分析】（1）设数列的公差为d，的公比为q，可得，解得q，d即可；
（2）由（1）得．可得，即可证明．
【详解】解：（1）设数列的公差为d，的公比为q，
因为，，，所以，
解答，（负值舍去），
故，；
（2）证明：由（1）得，
所以．
所以数列的前n项和为，
所以．
2．（2022·北京延庆·统考模拟预测）已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，最小值记为，令 ，并将数列称为的“生成数列”．
(1)若，求数列的前项和；
(2)设数列的“生成数列”为，求证：；
(3)若是等比数列，证明：存在正整数，当时， 是等比数列．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）利用差比法判断数列的单调性，结合等比数列的定义和前项和公式进行求解即可；
（2）根据数列的单调性，结合生成数列的定义运用累加法进行证明即可；
（3）结合（2）的结论，根据等比数列的定义分类讨论进行证明即可.
（1）
因为，所以．
所以，
所以， ，
所以，
因为，
所以数列是等比数列，
所以数列的前项和为：；
（2）
由题意可知，，
所以，
所以．所以 ，
所以，
由“生成数列”的定义可得，
所以．
累加可得.
（3）
由题意知．由（Ⅱ）可知．
① 当时，得，即，
所以，
所以.
即为公比等于1的等比数列，
②当时，令，则.
当时，显然．
若，则，与矛盾,
所以，即.
取，当时，
，显然是等比数列,
综上，存在正整数，使得时，是等比数列.
【点睛】关键点睛：根据数列的单调性是解题的关键.
3．（2022·北京·北大附中校考三模）已知数列满足：，且
(1)直接写出的值；
(2)请判断是奇数还是偶数，并说明理由；
(3)是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)是奇数，理由见解析；
(3)不存在，理由见解析.
【分析】（1）直接递推即得解；
（2）先证引理1：的奇偶性与相同，即得解；
（3）先证引理2：当为奇数时，除以3余数为1；当为偶数时，除以3余数为2，再利用反证法得解.
(1)
解：由题得.
(2)
解：是奇数.
理由如下：先证引理1：的奇偶性与相同.
假设不满足引理1的最小正整数，即的奇偶性与不同，
由（1）知（也可以写这里是为了保证后面用到的为正整数）.
①若为奇数，则有为偶数，为奇数，进而有为奇数，矛盾；
②若为偶数，则有为奇数，为偶数，进而有为偶数，矛盾.
所以假设不成立，引理1正确.
进而有为奇数加偶数，结果为奇数.
(3)
解：不存在，理由如下.
先证引理2：当为奇数时，除以3余数为1；当为偶数时，除以3余数为2.
假设不满足引理2的最小正整数，由（1）知.
①若为奇数，则由（2）有为偶数且除以3余数为为奇数且除以3余数为
1，进而有除以3的余数为1，矛盾；
②若为偶数，则由（2）有为奇数且除以3余数为为偶数且除以3余数为
2，进而有除以3的余数为2，矛盾.
所以假设不成立，引理2正确.
假设存在，使得，由（2）知，为偶数，进而有除以3的余数为2，
而2022除以3的余数为1，矛盾.
进而有不存在，使得.
4．（2022·北京丰台·统考二模）已知数列的前n项和为，在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为．若对任意，不等式恒成立，求m的最小值．
条件①：且；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）选条件①：由等比数列通项公式直接可得；选条件②：利用与的关系可得；选条件③：先由与的关系先得递推公式，然后由等比数列通项公式直接可得.
（2）由等比数列求和公式求和后可得.
(1)
选条件①：因为，且，即
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列
所以.
选条件②：当时，
当时，
因为当时，上式也成立，
所以.
选条件③：因为，得
当时，，得
当时，
整理得
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列
所以.
(2)
由（1）知，，记
因为，
所以是以1为首项，为公比的等比数列
所以
所以m的最小值为2.
5．（2022·北京昌平·统考二模）已知数列，给出两个性质：
①对于任意的，存在，当时，都有成立；
②对于任意的，存在，当时，都有成立．
(1)已知数列满足性质①，且，，试写出的值；
(2)已知数列的通项公式为，证明：数列满足性质①；
(3)若数列满足性质①②，且当时，同时满足性质①②的存在且唯一.证明：数列是等差数列．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由性质①，可求出且，所以，同理可求得的值；
（2）由，验证性质①，即可证明；
（3）数列满足性质①②，带入验证，即可得：当时，，即可证明满足条件的数列是等差数列.
（1）
因为数列满足性质①，且，所以，所以，又因为，即，所以，同理可得：.
（2）
因为数列的通项公式为，
所以，对于任意的，令，则，
.
又，则，即.
又，所以，
即对于任意的.
所以，对于任意的，令，则当时，都有成立，
所以，数列满足性质①.
（3）
由题意，数列满足性质①②，且当时，同时满足性质①②的存在,
即对于任意的，存在，当时，都有成立，
所以，当时，，
即.
对于任意的,有，
对于任意的,有,
，
又当时，同时满足性质①②的存在且唯一,
所以，当时，,
所以，满足条件的数列是等差数列.
【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：
1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
6．（2022·北京·人大附中校考模拟预测）已知数列为无穷递增数列，且．定义：
数列：表示满足的所有i中最大的一个．
数列：表示满足的所有i中最小的一个（，2，3…）
(1)若数列是斐波那契数列，即，，（，2，3，…），请直接写出，的值；
(2)若数列是公比为整数的等比数列，且满足且，求公比q，并求出此时，的值；
(3)若数列是公差为d的等差数列，求所有可能的d，使得，都是等差数列．
【答案】(1),
(2),,
(3)
【分析】（1）根据数列,的定义以及是斐波那契数列,即可求解.
（2）数列是公比为整数的等比数列,可对公比进行检验,根据,的定义以及的特征,可检验出公比的值.
（3）根据数列,的公差是正整数,以及数列,的定义,可列出不等式,求解公差的范围,进而得解.
（1）
数列是斐波那契数列,则的项分别是
当时,则;当时,则,当时,则;当时,则
以此类推,可知当时,表示满足的所有i中最大的一个,所以,表示满足的所有i中最小的一个,所以
（2）
因为数列是公比为整数的等比数列,故公比
当时,的项为,表示满足的所有i中最大的一个,所以,同理;表示满足的所有i中最小的一个,所以,同理,符合题意.
当时,的项为,表示满足的所有i中最大的一个
，不符合,当时,的项增长的更快速,此时,故不符合题意.综上,,,
（3）
由数列是公差为d的等差数列,且单调递增,所以,又因为,
设数列,的公差分别为,则
则,
当时,满足,
由于是任意正整数,故可知
同理可知当时,满足,
由于是任意正整数,故可知,综上可知,又因为,所以可以是任意一个正整数.故
7．（2022·北京通州·潞河中学校考三模）数列满足：或.对任意，都存在，使得，其中且两两不相等.
(1)若，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；
①；②；③
(2)记.若，证明：；
(3)若，求的最小值.
【答案】(1)②③.
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）分别把所给的三个数列代入题目条件中进行验证，即可求解；
（2）当时，设数列中出现的频次为，由题意，假设，则与已知矛盾，从而，同理可证，假设，与已知矛盾，得到，由此证得；
（3）设出现频数依次为，可得，则，取，得到数列为：，由此能求出的最小值.
(1)
解：由题意知，数列必满足或，
对任意，都存在，使得且两两不相等，
对于①中，，不满足，故①不符合；
对于②中，当时，存在，
同理当时，存在；当时，存在，故②符合；
同理对③也满足，故满足题目条件的序列号为：②③.
(2)
证明：当时，设数列中出现的频次为，
由题意知，，
①假设时，（对任意），与已知矛盾，故，
同理可证：，
②假设，则存在唯一的，使得，
那么，对于对任意，使得两两不相等），
与已知矛盾，所以，
综上可得，，，所以.
(3)
解：设出现频数依次为，
由（2）的证明可得，则，
取，
得到数列为：，
下面证明满足题目要求，对，不妨令，
①如果或，由于，所以符合条件；
②如果或，由于，所以也成立；
③如果，则可选取，同样的，如果，
则可选取，使得，且两两不相等；
④如果，则可选取，
注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立，
综上，对任意，总存在，使得，其中且两两不相等，因此满足题目要求，所以的最小值为.
8．（2022·北京丰台·统考二模）设，，…，，，是个互不相同的闭区间，若存在实数使得，则称这个闭区间为聚合区间，为该聚合区间的聚合点．
(1)已知，为聚合区间，求t的值；
(2)已知，，…，，为聚合区间．
（ⅰ）设，是该聚合区间的两个不同的聚合点．求证：存在k，，使得；
（ⅱ）若对任意p，q（且p，），都有，互不包含．求证：存在不同的i，，使得．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意可得当且仅当时成立即可得；
（2）（ⅰ）设，根据区间端点的大小关系证明所有区间都包含即可；
（ⅱ）先分析可得个互不相同的集合的区间端点的大小关系，再设，再根据区间端点的最小距离为 ，累加即可证明
（1）由可得，又，为聚合区间，由定义可得，故当且仅当时成立，故
（2）（ⅰ）由，是该聚合区间的两个不同的聚合点，不妨设，因为，故，又，故，不妨设中的最大值为，中最小值为，则，即，故存在区间（ⅱ）若存在 则或，与已知条件矛盾不妨设 ，则否则，若，则，与已知条件矛盾取，设当时，，又，所以，所以，即，所以，此时取，则，当时，同理可取，使得，综上，存在不同的i，，使得
【点睛】本题主要考查了新定义的集合类证明，可根据题意先画数轴分析题目中区间的关系，再凑出所需证明的不等式即可,属于难题
9．（2022·北京·101中学校考三模）设正整数数列满足．
(1)若，请写出所有可能的取值；
(2)记集合，证明：若集合存在一个元素是3的倍数，则的所有元素都是3的倍数；
(3)若为周期数列，求所有可能的取值.
【答案】(1)，，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据递推公式求出、即可求出，再分类讨论，分别计算可得；
（2）首先证明如果存在为3的倍数，根据递推公式得到都是3的倍数，再证都是3的倍数，即可得证；
（3）依题意数列一定有最小值，设为，再或，即可得到当数列中出现或时数列为周期数列，即可得解；
（1）
解：因为正整数数列满足，
当时，，所以，，所以，则或，即或，
当时，或，所以或；
当时，，所以；
所以的可能取值为、、；
（2）
证明：如果存在正整数，满足是的倍数，则对，都是的倍数；
如果存在为3的倍数，根据，可知也是3的倍数，
以此类推，都是3的倍数；
另一方面，当时，由于，当为3的倍数时，可知也是3的倍数，以此类推，都是3的倍数；
综上所述，若集合存在一个元素是3的倍数，则的所有元素都是3的倍数；
（3）
证明：
首先注意到是正整数数列，则数列一定有最小值，设为，下证或；
当为偶数时，设，则，与是最小值矛盾；
所以是奇数；不妨设，则是偶数，，
假设，则，与是最小值矛盾；
综上，只能是小于的正奇数，即或；
当数列中出现1时，后面的项为4，2，1，4，2，1，4，2，1…循环；
当数列中出现3时，后面的项为6，3，6，3…循环；
所以数列为周期数列时，只能为1，2，3，4，6中某一个数；
经检验，当时，数列确实是周期数列；
10．（2022·北京房山·统考一模）若无穷数列{}满足如下两个条件，则称{}为无界数列：
①（n=1，2，）
②对任意的正数，都存在正整数N，使得.
(1)若，（n=1，2，），判断数列{}，{}是否是无界数列；
(2)若，是否存在正整数k，使得对于一切，都有成立？若存在，求出k的范围；若不存在说明理由；
(3)若数列{}是单调递增的无界数列，求证：存在正整数m，使得.
【答案】(1){}是无界数列；{}不是无界数列.
(2)存在，
(3)证明见解析
【分析】（1）对任意的正整数，取为大于的一个偶数，有，符合无界数列的定义；取，显然，不符合无界数列的定义.
（2）讨论，，都不成立，当时，将变形为：，从而求得k的范围.
（3）观察要证的不等式结构与（2）相似，故应用（2）变形后，再由{}是单调递增的无界正数列证明.
【详解】（1）{}是无界数列，理由如下：
对任意的正整数，取为大于的一个偶数，有，所以{}是无界数列.
{}不是无界数列，理由如下：
取，显然，不存在正整数，满足，所以{}不是无界数列.
（2）存在满足题意的正整数k，且.
当时，，不成立.
当时，，不成立
当时，，不成立
当时，将变形为：
.
即取，对于一切，有成立.
（3）因为数列{}是单调递增的无界数列，所以，
所以
.
即
因为{}是无界数列，取，由定义知存在正整数，使所以.
由定义可知{}是无穷数列，考察数列，，…，显然这仍是一个单调递增的无界数列，同上理由可知存在正整数，使得
.
故存在正整数，使得
.
故存在正整数，使得成立
11．（2022·北京·北京市第一六一中学校考模拟预测）素数又称质数，是指在大于的自然数中，除了和它本身以外不再有其他因数的自然数．早在多年前，欧几里德就在《几何原本》中证明了素数是无限的．在这之后，数学家们不断地探索素数的规律与性质，并取得了显著成果．中国数学家陈景润证明了“”，即“表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”，成为了哥德巴赫猜想研究上的里程碑，在国际数学界引起了轰动．如何筛选出素数、判断一个数是否为素数，是古老的、基本的，但至今仍受到人们重视的问题．最早的素数筛选法由古希腊的数学家提出．年，一名印度数学家发明了一种素数筛选法，他构造了一个数表
，具体构造的方法如下：中位于第行第列的数记为，首项为且公差为的等差数列的第项恰好为，其中；．请同学们阅读以上材料，回答下列问题.
(1)求；
(2)证明：；
(3)证明：
①若在中，则不是素数；
②若不在中，则是素数．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）先求出和，根据等差数列即可求解；
（2）先求和，再求出，，代入等差数列公式求解即可；
（3）先假设在中，得到，所以不是素数；
再假设不在中，利用反证法，为合数，令，，，
得到，可知在中，假设不成立即可求解.
【详解】（1）根据题意：，，.
（2），公差，
，
，公差，，
故．
（3）①若在中，由（2）可知，存在，使得．
，所以不是素数．
②若不在中，反证法：假设为合数．
不妨令，这里，皆为大于的奇数（这是因为为奇数）．
令，（其中为正整数），
则．
由（2）得中数的通项公式，可知在中，
这与已知矛盾，所以假设不成立，从而为素数．
12．（2022·北京朝阳·校考模拟预测）已知实数数列满足：.
(1)若，，求，的值；
(2)试判断：的项是否可以全是正数，或者全是负数？请说明理由；
(3)若数列中的各项均不为0，记前2022项中值为负数的项个数为m，求m所有可能的取值.
【答案】(1)，
(2)的项不可能全是正数，也不可能全是负数；
(3)
【分析】（1）根据递推公式计算可得；
（2）假设数列的项都是正数，则，，与假设矛盾；假设数列的项都是负数，则，与假设矛盾，由此能证明的项不可能全是正数，也不可能全是负数；
（3）存在最小的正整数满足，（），数列是周期为的数列，由此能求出结果。
(1)
解：因为，，，所以，
所以，
所以，解得，
所以；
(2)
证明：假设数列的项都是正数，即，，，
所以，，与假设矛盾，
故数列的项不可能全是正数，
假设数列的项都是负数，则，而，与假设矛盾，
故数列的项不可能全是负数，
所以的项不可能全是正数，也不可能全是负数；
(3)
解：由（2）可知数列中项既有负数也有正数，
且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数．
因此存在最小的正整数满足，．
设，，
则，，，，，，，，，
故有，即数列是周期为9的数列，
由上可知，，， 这9项中，，为负数，，这两项中一个为正数，另一个为负数，其余项都是正数，
因为，
所以当时，即或；
记，，，这项中负数项的个数，
当，3，4 时，若，则，故为负数，
此时，；
若，则，故为负数．
此时，，
综上可知的取值集合为．
13．（2022·北京·景山学校校考模拟预测）数列满足：或对任意i，j，都存在s，t，使得，其中且两两不相等.
(1)若时，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列序号；①；②；③；
(2)记，若证明：；
(3)若，求n的最小值.
【答案】(1)②③
(2)证明见详解
(3)1008
【分析】（1）由题干的四个限定条件对数列序号逐一判断即可；
（2）由反证法证明即可；
（3）由（2）得出一个，证明满足题意，即可得到的最小值，
(1)
由题可知，数列必满足：或1，对任意i，j，都存在s，t，使得，且两两不相等，
对①，，不满足，故①不符合；
对②，当时，存在，同理当时，存在，当时，存在，故②符合；
同理对③也满足，故满足题目条件的序列号为：②③；
(2)
证明：当时，设数列中1，2，3出现的频次为，由题意知，，假设时，，（对任意），与已知矛盾，故，同理可证，
假设，数列可表示为：，显然，故，经验证时，显然符合，所以，，，数列的最短数列可表示为：，故；
(3)
由（2）知，数列首尾应该满足，假设中间各出现一次，此时，显然满足或1，
对或时显然满足（）；
对，或时显然满足（）；
对，时，则可选取，满足；同理若，，则可选取，满足；
如果，则可取，这种情况下每个数最多被选取一次，因此也成立，故对任意i，j，都存在s，t，使得，其中且两两不相等，故的最小值为1008
14．（2022·北京·北京四中校考三模）有限数列：，，…，．（）同时满足下列两个条件：
①对于任意的，（），；
②对于任意的，，（），，，，三个数中至少有一个数是数列中的项．
(1)若，且，，，，求的值；
(2)证明：，，不可能是数列中的项；
(3)求的最大值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用①推出的范围．利用②求解的值即可；
（2）利用反证法：假设，，是数列中的项，利用已知条件②①，推出得到矛盾结果．
（3）的最大值为，一、令：，则符合①②，二、设：，，…，（）符合①②，（i）中至多有三项，其绝对值大于．
利用反证法证明假设中至少有四项，其绝对值大于1，不正确；（ii）中至多有三项，其绝对值大于且小于．利用反证法推出矛盾结论、（iii）中至多有两项绝对值等于．（iv）中至多有一项等于．推出的最大值为．
(1)
由①得：，
由②得：当，，时，，，中至少有一个是数列，，，中的项，但，，故，解得：，
经检验，当时，符合题意，
(2)
假设，，是数列中的项，由②可知：，，中至少有一个是数列中的项，则有限数列的最后一项，且，
由①，，
对于数，，由②可知：，