2023届北京新高考复习 专题4 导数解答题30题专项提分计划解析版

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1．（2022·北京·北京工业大学附属中学校考三模）已知函数
(1)讨论函数在区间内的单调性；
(2)若函数在区间 内无零点，求的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）对进行求导，然后根据的取值范围分类讨论的单调性
（2）通过（1）确定函数的单调性，然后根据零点存在性定理列出关于的不等式解出的范围即可
(1)
，

（Ⅰ）当，即时，
，在单调递减
（Ⅱ）当，即时，
，在单调递增
（Ⅲ）当，即时，当时， ，单调递增；
当时，，单调递减
综上所述，（Ⅰ）当时，在单调递减
（Ⅱ）当时，在单调递增
（Ⅲ）当时，在单调递增，在单调递减
(2)
由（1）知：当时，
即 ，在无零点
当时，
即，在无零点
当时，在单调递增，在单调递减
，
只需 即可
即 ，

综上所述，
2．（2022·北京·北京市第九中学校考模拟预测）已知．
(1)当时，判断函数零点的个数；
(2)求证：.
【答案】(1)1；
(2)证明见解析.
【分析】（1）把代入，求导得函数的单调性，再由作答.
（2）构造函数，利用导数借助单调性证明作答.
（1）
当时，，，当且仅当时取“=”，
所以在R上单调递增，而，即0是的唯一零点，
所以函数零点的个数是1.
（2）
，令，则，因，则，
因此，函数在上单调递增，，，
所以当时，成立.
3．（2022·北京·北京四中校考三模）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，讨论的零点个数.
【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为
(2)答案见解析
【分析】（1）求得导数，结合上，导数的符号，即可求解函数的单调区间；
（2）求得，分、，两种情况讨论，求得函数的单调性，结合零点的存在定理，得到结论.
(1)
解：当时，函数，
可得.
当在区间上变化时，，f（x）的变化如下表：
所以的单调增区间为；的单调减区间为.
(2)
解：由题意，函数，
可得
当时，在上恒成立，
所以时，，所以在上单调递增.
又因为，所以f（x）在上有0个零点.
当时，令，可得.
由可知存在唯一的使得，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
因为，，，
①当，即时，在上有0个零点.
②当，即时，在上有1个零点.
综上可得，当时，有2个零点；当时，有0个零点.
4．（2022·北京大兴·北京市大兴区兴华中学校考三模）设函数，．
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求a的取值范围；
(3)求证：当时，．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可.
（2）首先将问题转化为恒成立，设，再利用导数求出其最大值即可得到答案.
（3）首先将问题转化为，，设，利用导数求出，即可得到答案.
(1)
，，即切线.
，，则切线方程为：.
(2)
，恒成立等价于，恒成立.
设，，
，，为增函数，
，，为减函数，
所以，即.
(3)
，等价于，.
设，，，
设，，，
所以在为增函数，即，
所以，
即在为增函数，即，
即证：.
5．（2022·北京·北京八十中校考模拟预测）已知函数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若对任意，都有成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3)
【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程.
（2）讨论、，利用导数的符号研究单调性.
（3）利用导数研究在上恒成立，注意讨论a的范围即可.
（1）
由题设，且，则，
所以，，故在处的切线方程为.
（2）
由且，
当时，即在定义域上递减；
当时，在上，递减，在上，递增，
综上，时递减；时在上递减，上递增.
（3）
由（2），时递减且值域为，显然存在；
时，的极小值为，
当，即时，在上递减，上递增，只需，可得；
当，即时，在上递增，则恒成立，满足题设；
综上，a的取值范围为.
6．（2022·北京·景山学校校考模拟预测）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)极小值是，无极大值.
(2)
【分析】（1）由题设可得，根据的符号研究的单调性，进而确定极值.
（2）对任意的恒成立，转化为：对任意的恒成立，令，通过求导求的单调性进而求得的最大值，即可求出实数a的取值范围.
【详解】（1）当时，，的定义域为，
，则.
令，则，令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增.
当时，取得极小值且为，无极大值.
（2）对任意的恒成立，
则对任意的恒成立，
令，，所以，
则在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，则，则.
实数a的取值范围为：.
7．（2022·北京·人大附中校考三模）设函数.
(1)若曲线在点处的切线与轴平行，求；
(2)若在处取得极大值，求的取值范围.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）求出导函数，利用即可求得；
（2）求出导函数，对a进行分类讨论：若时，不合题意，舍去；在时， 时和时,分别判断单调性，得到在x=2处取得极大值，符合题意.
(1)
定义域为R， .
由题设知,即(1-a)e=0,解得：a=1此时f(1)=3e≠0.
所以a的值为1
(2)
由(1)得.
若时,则当时,;当时, ，所以在上单减，在上单增，所以在x=2处取得极小值，不合题意，舍去；
若时,则恒成立，所以在R上单增，所以在x=2处不能取得极值，不合题意，舍去；
若时,则当时,;当时, ，所以在上单增，在上单减，所以在x=2处取得极大值，符合题意；
若时,则当时,;当时, ，所以在上单增，在上单减，所以在x=2处取得极大值，符合题意；
若时,则当时,;当时, ，所以在上单减，在上单增，所以在x=2处取得极大值，符合题意.
综上所述：.即实数a的范围为 .
8．（2022·北京东城·统考三模）已知函数，曲线在点处的切线方程为.
(1)求，的值；
(2)设函数，若有两个实数根（），将表示为的函数，并求的最小值.
【答案】(1)
(2)，最小值为
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）由题知，进而得，再构造函数，结合导数求函数的最小值即可.
(1)
解：（1）因为，所以.
又因为，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
所以
(2)
解：
由有两个实数根分别为，所以.
由有.
令，则.
当时，，所以在区间上单调递减，
当时，，所以在区间上单调递增.
对任意有.
即当时，的最小值为.
9．（2022·北京·北师大二附中校考三模）已知函数，其中，为的导函数.
(1)当，求在点处的切线方程；
(2)设函数，且恒成立.
①求的取值范围；
②设函数的零点为，的极小值点为，求证：.
【答案】(1)
(2)①;②详见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解.
（2）①先对函数求导，得到，推出，求导，得到，解对应不等式，得到单调性，求出其最小值，再根据恒成立，即可得出结果；
②先设，求导得.
设，对其求导，判定单调性，从而得到函数单调性，得到是函数的极小值点，得到，再由①得时，，推出所以，得到，得到函数在区间上单调递增，再由题意，即可得出结论成立.
【详解】（1）时，,,,，所以函数在处的切线方程，即.
（2）①由题设知，，
，，
由，得，所以函数在区间上是增函数；
由，得，所以函数在区间上是减函数.
故在处取得最小值，且.
由于恒成立，所以，得，
所以的取值范围为；
②设，则.
设，
则，
故函数在区间上单调递增，由（1）知，，
所以，，
故存在，使得，
所以，当时，，，函数单调递减；
当时，，，函数单调递增.
所以是函数的极小值点.因此，即.
由①可知，当时，，即，整理得，
所以.
因此，即.
所以函数在区间上单调递增.
由于，即，
即，
所以.
又函数在区间上单调递增，所以.
10．（2022·北京·北京市第五中学校考三模）已知函数．
(1)若是函数的极值点，求的值；
(2)若，试问是否存在零点．若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）利用极值点处的导数为，即可求解（2）将同解变形为，再构造函数，研究其零点个数
【详解】（1），定义域是，
，
∵是函数的极值点，∴，解得，
经检验符合题意；
（2）证明：令，即，
令，
则，
令，则，
令，解得，而，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当趋向于0时，趋向于，即，
，，
故存在使得，即，
故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故，
故，即无零点；
11．（2022·北京房山·统考二模）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求函数在上的最小值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义，求切线方程；
（2）首先求函数的导数，化简为，再讨论和两种情况讨论函数的单调性，再求函数的最值.
【详解】（1）当时，
所以.
所以曲线在处的切线方程为：.
（2）.
①当时，.
所以时，.
所以在上是增函数.所以.
②当时，令，解得（舍）
1°当，即时，时，.
所以在上是增函数.所以.
2°当，即时，
所以.
3°当，即时，时，.
所以在上是减函数.所以.
综上，当时，；
当时，.
当时，.
12．（2022·北京延庆·统考模拟预测）已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的极值和单调区间；
(3)若在上不是单调函数，且在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）求出导函数，计算出切线斜率，然后由点斜式得切线方程；
（2）求出导函数，分类讨论确定的正负，确定函数单调性、极值．
（3）由函数不单调，结合（2）得出函数在的最值，由最大值满足的不等关系可得的范围．
(1)
当时，函数，．
所以，．
所以曲线在点处的切线方程．
(2)
函数定义域．
求导得.
①当时，因为，所以．
故的单调递减区间是，此时无极值.
②当时，变化时，变化如下表：
所以的单调递减区间是，单调递增区间是．
此时函数的极小值是，无极大值．
(3)
因为在不是单调函数，由第（2）可知此时，
且，
又因为在上恒成立，只需
即可，所以，
解得的取值范围是
13．（2022·北京西城·统考二模）已知函数.
(1)若，求的值；
(2)当时，
①求证：有唯一的极值点；
②记的零点为，是否存在使得？说明理由.
【答案】(1)
(2)①证明见解析，②不存在，详细见解析.
【分析】（1）求得导函数，由，代入计算即可.
(2) ①求得设, 由函数性质可知在上单调递减.进而由，可得有有唯一解，进而利用导数可判断有唯一的极值点.
②由题意，可得假设存在a，使，进而可知由在单调递减，，则，求得，与已知矛盾，则假设错误.
（1）
因为，所以
因为，所以
（2）
①的定义域是，
令，则.
设,因为在上单调递减，
所以在上单调递减.
因为，所以在上有唯一的零点，|
所以有有唯一解，不妨设为.
与的情况如下,
所以有唯一的极值点.
②由题意，，则
若存在a，使，则，所以
因为在单调递减，，
则需，即，与已知矛盾.
所以，不存在,使得.
14．（2022·北京·校考三模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，曲线在轴的上方，求实数a的取值范围．
【答案】(1) ；
(2).
【分析】（1）利用导数的几何意义即得；
（2）由题可知，当时适合题意，当时，分类讨论，利用导数求函数的最值即得.
（1）
当时，，
∴，
∴，
∴曲线在点处的切线方程为 ；
（2）
∵函数，
当时，由有，故曲线在轴的上方，
当时，，
由可得或（舍去），
∴当时，单调递减，当时，单调递增，
当即时，所以在上单调递增，
则，即曲线在轴的上方，
当即时，在上单调递减，在上单调递增，
则，
由时，曲线在轴的上方，
∴，解得，
所以；
综上，实数a的取值范围为.
15．（2022·北京通州·统考一模）已知函数，．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数的最小值是2，求a的值；
(3)设t为常数，求函数的单调区间．
【答案】(1)
(2)
(3)减区间为，，无增区间
【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；
（2）求出导函数后，分类讨论，利用导数的符号得到函数的单调性，根据单调性求出最小值，结合已知的最小值可求出结果；
（3）求导后，利用（2）中的结论，得到当且时，，从而可得结果.
(1)
当时，，．
，，即切线斜率．
所以切线方程为．
(2)
函数的定义域为，
．
令，得．
当时，．所以在单调递增，无最小值．
当时，令，得；令，得．
所以在单调递减，在单调递增，
所以最小值为．
所以，即．
(3)
函数的定义域为，
．
由（2）知，当时，若，则．
所以，
所以的减区间为，，无增区间．
16．（2023·北京顺义·统考一模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间．
【答案】(1)
(2)答案见解析
x
0
0
+
0
-
f（x）
极小值1
极大值
-1
x
-
0
+
减函数
极小值
增函数
极小值
1
极小值
+
0
-
增
极大值
减