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2023届北京新高考复习 专题2 立体几何解答题30题专项提分计划原卷版
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这是一份2023届北京新高考复习 专题2 立体几何解答题30题专项提分计划原卷版，共12页。
1．（2022·北京·北京工业大学附属中学校考三模）如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，已知，．
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值；
(3)求到平面的距离．
2．（2022·北京西城·北师大实验中学校考模拟预测）如图，在三棱锥中，平面ABQ，，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．
(1)求证：；
(2)求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值；
(3)求点A到平面PCD的距离．
3．（2022·北京·北京四中校考三模）已知如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，，，，E为PB中点，BC//平面PAD.
(1)求证：四边形ABCD是直角梯形；
(2)求直线AE与平面PCD所成角的正弦值.
4．（2022·北京大兴·北京市大兴区兴华中学校考三模）如图，在直三棱柱中，D，E分别是棱AB，的中点，，．
(1)求证：平面；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得各条件相融．并求直线与平面所成的角的正弦值．
条件①：；条件②：；条件③：到平面的距离为1．
5．（2022·北京·北京市第九中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAB为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，M为PD的中点．
(1)求证：PB平面ACM；
(2)求直线BM与平面PAD所成角的正弦值；
(3)求二面角的余弦值．
6．（2022·北京·景山学校校考模拟预测）如图，正三棱柱中，E，F分别是棱，上的点，平面平面，M是AB的中点．
(1)证明：平面BEF；
(2)若，求平面BEF与平面ABC夹角的大小．
7．（2022·北京·北京市第五中学校考三模）如图，在三棱柱 中，平面 平面 ，是矩形，已知 ，动点 在棱 上，点 在棱 上，且 .
(1)求证： ;
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值;
(3)在满足（2）的条件下，求点到平面的距离.
8．（2022·北京·北大附中校考三模）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为的正方形，为中点，且.
(1)求证：平面；
(2)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.
9．（2022·北京·北京市第十二中学校考三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，平面平面.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求点到平面的距离.
10．（2022·北京·北京八十中校考模拟预测）如图，在长方体中，AD=1，，H，F分别是棱，的中点.
(1)判断直线HF与平面的位置关系，并证明你的结论；
(2)求直线HF与平面ABCD所成角的正弦值；
(3)在线段HF上是否存在一点Q，使得点Q到平面的距离是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
11．（2022·北京·人大附中校考三模）如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形，平面平面.
(1)求二面角的余弦值；
(2)证明：在线段上存在点，使得.并求
12．（2022·北京东城·统考三模）如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小；
(3)线段上是否存在点，使得？若存在，求出点到平面的距离；若不存在，说明理由.
13．（2022·北京通州·潞河中学校考三模）如图，三棱柱中，侧面底面，分别为棱的中点.
(1)求证：；
(2)求三棱柱的体积；
(3)在直线上是否存在一点，使得平面.若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
14．（2022·北京·人大附中校考模拟预测）如图，三棱柱中，面面，．过的平面交线段于点（不与端点重合），交线段于点．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值．
15．（2022·北京海淀·101中学校考模拟预测）如图，在正方体中，为棱上的动点（不与重合）.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
16．（2022·北京·北师大二附中校考三模）如图四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，为的中点.
(1)求证：直线平面
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
(3)设是的中点，判断点是否在平面内，并证明结论.
17．（2022·北京·北京二中校考模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，，．
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若，求PB与AC所成角的余弦值；
(3)当平面PBC与平面PCD垂直时，求PA的长．
18．（2022·北京·北京市第一六一中学校考模拟预测）如图，矩形和梯形，， 平面平面，且，过的平面交平面于．
(1)求证：与相交；
(2)当为中点时，求点到平面的距离：
(3)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．
19．（2022·北京海淀·校考模拟预测）如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，，E，F分别是的中点．
(1)求证：∥平面；
(2)设H在棱上，且，N为的中点，求证：平面；并求直线与平面所成角的正弦值．
20．（2022·北京房山·统考二模）如图，在四棱锥中，底面.在底面中，，，，.
(1)求证：平面；
(2)若平面与平面的夹角等于，求点B到平面的距离.
21．（2022·北京·北京市八一中学校考一模）如图，在四棱锥中，平面平面.是等腰三角形，且；在梯形中，，，，，.
(1)求证：面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)请问棱上是否存在点Q到面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
22．（2022·北京海淀·统考一模）如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，.
(1)求证：；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.
23．（2022·北京海淀·101中学统考模拟预测）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.①；②；③点P在平面ABCD的射影在直线AD上.
如图，平面五边形PABCD中，△PAD是边长为2的等边三角形，，，，将△PAD沿AD翻折成四棱锥P-ABCD，E是棱PD上的动点（端点除外），F､M分别是AB､CE的中点，且___________.
(1)求证：；
(2)当EF与平面PAD所成角最大时，求平面ACE与平面PAD所成的锐二面角的余弦值.
24．（2022·北京朝阳·统考一模）如图1，在四边形中，，，，，，分别是，上的点，，，，.将沿折起到的位置，得到五棱锥，如图2.
(1)求证：平面；
(2)若平面平面，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）对线段上任意一点，求证：直线与平面相交.
25．（2022·北京石景山·统考一模）如图1，在平面四边形中，，，，．将沿翻折到的位置，使得平面平面，如图2所示．
(1)设平面与平面的交线为，求证：；
(2)在线段上是否存在一点（点不与端点重合），使得二面角的余弦值为，请说明理由．
26．（2022·北京朝阳·校考模拟预测）如图，在正三棱柱中，D为棱上的点，E，F，G分别为，，的中点，.
(1)求证：；
(2)若平面，试确定D点的位置，并求二面角的余弦值.
27．（2022·北京丰台·统考一模）如图，在直角梯形中，，，．以直线为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，且．
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
28．（2022·北京·清华附中校考模拟预测）如图，四边形ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD．，点F在棱PA上.
(1)求证：；
(2)若BF与平面PCE所成角的正弦值为，求AF的长.
29．（2023·北京顺义·统考一模）如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，，，E是的中点．
(1)求证：直线∥平面；
(2)已知，点M在棱上，且二面角的大小为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的值．
条件①：平面平面；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
30．（2022·北京西城·统考二模）如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E.
(1)求证：；
(2)若，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB与平面所成角的正弦值.条件①：平面平面；条件②：；条件③：.
1．（2022·北京·北京工业大学附属中学校考三模）如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，已知，．
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值；
(3)求到平面的距离．
2．（2022·北京西城·北师大实验中学校考模拟预测）如图，在三棱锥中，平面ABQ，，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．
(1)求证：；
(2)求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值；
(3)求点A到平面PCD的距离．
3．（2022·北京·北京四中校考三模）已知如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，，，，E为PB中点，BC//平面PAD.
(1)求证：四边形ABCD是直角梯形；
(2)求直线AE与平面PCD所成角的正弦值.
4．（2022·北京大兴·北京市大兴区兴华中学校考三模）如图，在直三棱柱中，D，E分别是棱AB，的中点，，．
(1)求证：平面；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得各条件相融．并求直线与平面所成的角的正弦值．
条件①：；条件②：；条件③：到平面的距离为1．
5．（2022·北京·北京市第九中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAB为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，M为PD的中点．
(1)求证：PB平面ACM；
(2)求直线BM与平面PAD所成角的正弦值；
(3)求二面角的余弦值．
6．（2022·北京·景山学校校考模拟预测）如图，正三棱柱中，E，F分别是棱，上的点，平面平面，M是AB的中点．
(1)证明：平面BEF；
(2)若，求平面BEF与平面ABC夹角的大小．
7．（2022·北京·北京市第五中学校考三模）如图，在三棱柱 中，平面 平面 ，是矩形，已知 ，动点 在棱 上，点 在棱 上，且 .
(1)求证： ;
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值;
(3)在满足（2）的条件下，求点到平面的距离.
8．（2022·北京·北大附中校考三模）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为的正方形，为中点，且.
(1)求证：平面；
(2)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.
9．（2022·北京·北京市第十二中学校考三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，平面平面.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求点到平面的距离.
10．（2022·北京·北京八十中校考模拟预测）如图，在长方体中，AD=1，，H，F分别是棱，的中点.
(1)判断直线HF与平面的位置关系，并证明你的结论；
(2)求直线HF与平面ABCD所成角的正弦值；
(3)在线段HF上是否存在一点Q，使得点Q到平面的距离是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
11．（2022·北京·人大附中校考三模）如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形，平面平面.
(1)求二面角的余弦值；
(2)证明：在线段上存在点，使得.并求
12．（2022·北京东城·统考三模）如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小；
(3)线段上是否存在点，使得？若存在，求出点到平面的距离；若不存在，说明理由.
13．（2022·北京通州·潞河中学校考三模）如图，三棱柱中，侧面底面，分别为棱的中点.
(1)求证：；
(2)求三棱柱的体积；
(3)在直线上是否存在一点，使得平面.若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
14．（2022·北京·人大附中校考模拟预测）如图，三棱柱中，面面，．过的平面交线段于点（不与端点重合），交线段于点．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值．
15．（2022·北京海淀·101中学校考模拟预测）如图，在正方体中，为棱上的动点（不与重合）.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
16．（2022·北京·北师大二附中校考三模）如图四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，为的中点.
(1)求证：直线平面
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
(3)设是的中点，判断点是否在平面内，并证明结论.
17．（2022·北京·北京二中校考模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，，．
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若，求PB与AC所成角的余弦值；
(3)当平面PBC与平面PCD垂直时，求PA的长．
18．（2022·北京·北京市第一六一中学校考模拟预测）如图，矩形和梯形，， 平面平面，且，过的平面交平面于．
(1)求证：与相交；
(2)当为中点时，求点到平面的距离：
(3)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．
19．（2022·北京海淀·校考模拟预测）如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，，E，F分别是的中点．
(1)求证：∥平面；
(2)设H在棱上，且，N为的中点，求证：平面；并求直线与平面所成角的正弦值．
20．（2022·北京房山·统考二模）如图，在四棱锥中，底面.在底面中，，，，.
(1)求证：平面；
(2)若平面与平面的夹角等于，求点B到平面的距离.
21．（2022·北京·北京市八一中学校考一模）如图，在四棱锥中，平面平面.是等腰三角形，且；在梯形中，，，，，.
(1)求证：面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)请问棱上是否存在点Q到面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
22．（2022·北京海淀·统考一模）如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，.
(1)求证：；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.
23．（2022·北京海淀·101中学统考模拟预测）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.①；②；③点P在平面ABCD的射影在直线AD上.
如图，平面五边形PABCD中，△PAD是边长为2的等边三角形，，，，将△PAD沿AD翻折成四棱锥P-ABCD，E是棱PD上的动点（端点除外），F､M分别是AB､CE的中点，且___________.
(1)求证：；
(2)当EF与平面PAD所成角最大时，求平面ACE与平面PAD所成的锐二面角的余弦值.
24．（2022·北京朝阳·统考一模）如图1，在四边形中，，，，，，分别是，上的点，，，，.将沿折起到的位置，得到五棱锥，如图2.
(1)求证：平面；
(2)若平面平面，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）对线段上任意一点，求证：直线与平面相交.
25．（2022·北京石景山·统考一模）如图1，在平面四边形中，，，，．将沿翻折到的位置，使得平面平面，如图2所示．
(1)设平面与平面的交线为，求证：；
(2)在线段上是否存在一点（点不与端点重合），使得二面角的余弦值为，请说明理由．
26．（2022·北京朝阳·校考模拟预测）如图，在正三棱柱中，D为棱上的点，E，F，G分别为，，的中点，.
(1)求证：；
(2)若平面，试确定D点的位置，并求二面角的余弦值.
27．（2022·北京丰台·统考一模）如图，在直角梯形中，，，．以直线为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，且．
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
28．（2022·北京·清华附中校考模拟预测）如图，四边形ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD．，点F在棱PA上.
(1)求证：；
(2)若BF与平面PCE所成角的正弦值为，求AF的长.
29．（2023·北京顺义·统考一模）如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，，，E是的中点．
(1)求证：直线∥平面；
(2)已知，点M在棱上，且二面角的大小为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的值．
条件①：平面平面；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
30．（2022·北京西城·统考二模）如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E.
(1)求证：；
(2)若，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB与平面所成角的正弦值.条件①：平面平面；条件②：；条件③：.
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