河南省汝南县2024年中考一模数学模拟试题(含解析)

这是一份河南省汝南县2024年中考一模数学模拟试题(含解析)，共30页。试卷主要包含了填空题．，解答题．等内容，欢迎下载使用。

一、选择题．（每小题3分，共30分）下列各小题有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 2024年的一场暴雪让人们开始关注天气预报，下列天气图案中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如果，那么下列比例式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 中国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同两块叫做“堑堵”．如图是“堑堵”的立体图形，它的左视图为（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，双曲线与直线相交于A、两点，点坐标为，则A点坐标为（ ）
A. B. C. D.
5. 关于一元二次方程（为常数）的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 不能确定根的情况
6. 如图，点A、C、B在⊙O上，已知∠AOB=∠ACB=，则值为（ ）
A. 135°B. 100°C. 110°D. 120°
7. 甲、乙、丙、丁四名同学围坐在一起商讨问题．如图是丙的座位，另外三人随机坐到①、②、③的任一个座位上．则甲和丁相邻的概率是（ ）

A. B. C. D.
8. 如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡的长度为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D在BA的延长线上，CD与⊙O交于另一点E，DE=OB=2，∠D=20°，则弧BC的长度为（ ）
A. πB. πC. πD. π
10. 如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题．（每小题3分，共15分）
11. 请写出一个一元二次方程，使其一个根为，________．
12. 已知点与在函数的图象上，则、的大小关系为_____________．
13. 如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为__________．

14. 如图，已知扇形中，，以为直径作半圆，过点作的平行线，分别交半圆，弧于点，若扇形的半径为4，则图中阴影部分的面积是______________________．
15. 如图，等腰三角形中，，该三角形的两条高与交于点，连接，点为射线上一个动点，连接，若，当与相似时，的长为______．
三、解答题．（本大题共8个小题，共75分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
17. 改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（）16，宽（）9的矩形场地上修建三条同样宽的小路，其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112，则小路的宽应为多少？
18. 某“综合与实践”小组开展测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量报告如下．
请根据以上测量结果及该小组的思路，求学校旗杆的高度．
19. 如图，直线分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点，轴，垂足为，为的中点．，．
（1）求出反比例函数的关系表达式；
（2）若是该反比例函数图象上一点，且．请直接写出的取值范围．
20. 暴雨过后，校园的两棵风景柏树同时侧倾在一起，如图，较低的正好抵着高树的中点．救援的小明等想知道高树比低树高多少（即的值），就通过测量得到了以下数据并进行计算：

（1）米，，取，他们设米，则用含的代数式表示______米，______米．由此列方程求解得______．
（2）应用（1）数据，求高树比低树高多少米（取1.4）．
21. 如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端处弹跳到人梯顶端椅子处，其身体(看成一点)的路线是抛物线的一部分．

（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高米，在一次表演中，人梯到起跳点的水平距离是米，问这次表演是否成功？请说明理由．
22. 阅读与思考
九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：
（1）请将上述证明过程补充完整．
根据：____________；@：____________．
（2）小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是弦，P是上一点，，，，求的半径．
23. 【问题呈现】
和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．

（1）如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________；
（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
拓展应用】
（3）当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长．
2023--2024学年度下期第一次质检测试题
九年级数学
一、选择题．（每小题3分，共30分）下列各小题有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 2024年的一场暴雪让人们开始关注天气预报，下列天气图案中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．
【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：A．
2. 如果，那么下列比例式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，利用比例的性质对各选项进行判断．
【详解】解：∵，
∴，故选项A错误；
，故选项B错误，选项D正确；
不存在，故选项C错误；．
故选：D．
3. 中国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做“堑堵”．如图是“堑堵”的立体图形，它的左视图为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三视图，左视图是从左面看得到的图形，由此解答即可，考查了空间想象能力．
【详解】解：由题意得：它的左视图为一个三角形，如图：
，
故选：C．
4. 如图，双曲线与直线相交于A、两点，点坐标为，则A点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【详解】解：点A与关于原点对称，
点的坐标为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，解题的关键是熟练掌握横纵坐标分别互为相反数．
5. 关于一元二次方程（为常数）的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 不能确定根的情况
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的判别式，得出，再根据平方的非负性，得出，即可得出答案．
【详解】解：∵一元二次方程（为常数）的判别式为：，
又∵，
∴，
∴，
∴一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根．
故选：A
【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式，解本题的关键在熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的个数的关系．一元二次方程根的判别式与根的个数的关系：当时，方程有两个不等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
6. 如图，点A、C、B在⊙O上，已知∠AOB=∠ACB=，则的值为（ ）
A. 135°B. 100°C. 110°D. 120°
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆周角定理得出优弧所对的圆心角为2，利用周角为360度求解即可
【详解】解：∵∠ACB=
∴优弧所对的圆心角为2
∴2+=360°
∴=120°．
故选D．
【点睛】题目主要考查圆周角定理，结合图形，熟练运用圆周角定理是解题关键．
7. 甲、乙、丙、丁四名同学围坐在一起商讨问题．如图是丙的座位，另外三人随机坐到①、②、③的任一个座位上．则甲和丁相邻的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据题意画出树状图，然后根据概率公式进行计算即可．
【详解】根据题意画出树状图，如图所示：

∵共有6种等可能的情况数，甲和丁相邻的有4种，
∴甲和丁相邻的概率为，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了画树状图求概率，解题的关键是根据题意画出树状图，熟练掌握概率计算公式．
8. 如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用坡度的定义得出的长，再利用勾股定理得出的长．
【详解】∵，，
∴，
解得：，
则．
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形和勾股定理的实际应用．由坡度的定义得出AC的长是解答本题的关键．
9. 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D在BA的延长线上，CD与⊙O交于另一点E，DE=OB=2，∠D=20°，则弧BC的长度为（ ）
A. πB. πC. πD. π
【答案】A
【解析】
【分析】连接OE、OC，如图，根据等腰三角形的性质得到∠D=∠EOD=20°，根据外角的性质得到∠CEO=∠D+∠EOD=40°，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠CEO=40°，根据外角的性质得到∠BOC=∠C+∠D=60°，根据求弧长的公式得到结论.
【详解】解：连接OE、OC，如图，
∵DE=OB=OE，
∴∠D=∠EOD=20°，
∴∠CEO=∠D+∠EOD=40°，
∵OE=OC，
∴∠C=∠CEO=40°，
∴∠BOC=∠C+∠D=60°，
∴的长度==π，
故选A.
【点睛】本题考查了弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），还考查了圆的认识及等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角性质是关键．
10. 如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】可过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．
【详解】过点A向BC作AH⊥BC于点H，
所以根据相似比可知：，即EF=2（6-x）
所以y=×2（6-x）x=-x2+6x．（0＜x＜6）
该函数图象是抛物线的一部分，
故选D．
【点睛】此题考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的读图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．
二、填空题．（每小题3分，共15分）
11. 请写出一个一元二次方程，使其一个根为，________．
【答案】
【解析】
【分析】有一个根是的一元二次方程有无数个，只要含有因式的一元二次方程都有一个根是．
【详解】解：形如的一元二次方程都有一个根是，
当时，可以写出一个一元二次方程：．
故答案为：．（答案不唯一）
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根，有一个根是-1的一元二次方程有无数个，写出一个方程就行．
12. 已知点与在函数的图象上，则、的大小关系为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据函数解析式得出抛物线的对称轴以及开口方向，然后根据两点据对称轴的距离判断大小即可．
【详解】解：根据解析式可知抛物线对称轴为，开口方向向下，
∴两点离对称轴越远函数值越小，
∵，
∴，
故答案为：．
13. 如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为__________．

【答案】
【解析】
【分析】证明，，，再利用正切函数的定义求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴，，
由作图知平分，，
∴是等边三角形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，尺规作图—作角平分线，等边三角形的判定和性质，正切函数的定义，求得是解题的关键．
14. 如图，已知扇形中，，以为直径作半圆，过点作的平行线，分别交半圆，弧于点，若扇形的半径为4，则图中阴影部分的面积是______________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形面积的计算．连接，图中，根据已知条件易求出，，再由扇形面积、三角形面积公式进行解答即可．
【详解】解：如图，连接，
，
根据题意可得：
，，
，
，
在中，，，，
，
，
，
故答案为：．
15. 如图，等腰三角形中，，该三角形的两条高与交于点，连接，点为射线上一个动点，连接，若，当与相似时，的长为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质；分两种情况讨论，①时，；②时，，分别根据相似三角形的性质，构造方程，解方程，即可求解．
【详解】解：∵，该三角形两条高与交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，设，
在中，，
解得：，即，
又，
如图所示，
①当时，；
∴，
∴，
解得：；
②当时，，
∴，
∴，
解得：，
综上所述，或，
故答案为：或．
三、解答题．（本大题共8个小题，共75分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平方根、负整数指数幂、绝对值的运算规则，即可求解，
（2）根据分式除法的运算法则，即可求解，
本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．
【小问1详解】
解：
，
【小问2详解】
解：
．
17. 改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（）16，宽（）9的矩形场地上修建三条同样宽的小路，其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112，则小路的宽应为多少？
【答案】小路的宽应为1．
【解析】
【分析】设小路宽应为x米，那么草坪的总长度和总宽度应该为（16-2x），（9-x）；那么根据题意得出方程，解方程即可．
【详解】解：设小路的宽应为x米，
根据题意得：，
解得：，．
∵，
∴不符合题意，舍去，
∴．
答：小路的宽应为1米．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．
18. 某“综合与实践”小组开展测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量报告如下．
请根据以上测量结果及该小组的思路，求学校旗杆的高度．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质、矩形的性质，可证得，得到，即可求得答案．
【详解】如图，过点作于点，交于点．
根据题意，可得四边形与四边形是矩形．
，，，
，，．
，
．
根据题题意，得，
．
又，
．
，即．
．
．
答：旗杆的高度为．
19. 如图，直线分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点，轴，垂足为，为的中点．，．
（1）求出反比例函数的关系表达式；
（2）若是该反比例函数图象上一点，且．请直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据轴，为的中点，得，根据勾股定理，等腰三角形的性质，求出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数，即可；
（2）根据是该反比例函数图象上一点，得，根据，即可求出．
【小问1详解】
∵轴，为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点的坐标为：，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为．
【小问2详解】
∵是该反比例函数图象上一点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质，直角三角形的性质，勾股定理和等腰三角形的性质．
20. 暴雨过后，校园的两棵风景柏树同时侧倾在一起，如图，较低的正好抵着高树的中点．救援的小明等想知道高树比低树高多少（即的值），就通过测量得到了以下数据并进行计算：

（1）米，，取，他们设米，则用含的代数式表示______米，______米．由此列方程求解得______．
（2）应用（1）的数据，求高树比低树高多少米（取1.4）．
【答案】（1）
（2）高树比低树高米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用；
（1）由正切关系求得，由列出方程即可求解；
（2）由勾股定理求得，可求得，即可求得结果．
【小问1详解】
解：由题意知，，
∴（米），米，
∵，
∴，
解得：；
故答案为：；
小问2详解】
解：由（1）知，米，米，
在中，由勾股定理得：米，（米）
∴米，
∴（米）
即高树比低树高米．
21. 如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端处弹跳到人梯顶端椅子处，其身体(看成一点)的路线是抛物线的一部分．

（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高米，在一次表演中，人梯到起跳点的水平距离是米，问这次表演是否成功？请说明理由．
【答案】（1）米
（2）成功，见解析
【解析】
【分析】（1）根据二次函数性质，利用公式求得定点坐标，即可求解；
（2）令，求得函数值，与比较，即可求解．
【小问1详解】
解：，
∵，，，
∴，，
∴顶点，
答：演员弹跳离地面的最大高度为米．
【小问2详解】
解：当时，代入，
，
，
这次表演成功了．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22. 阅读与思考
九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：
（1）请将上述证明过程补充完整．
根据：____________；@：____________．
（2）小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是弦，P是上一点，，，，求的半径．
【答案】（1）有两个角对应相等的两个三角形相似；；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质求解即可；
（2）延长交圆O于点D，延长交圆O于点F，设圆O的半径为rcm，则，，根据（1）中结论代入求解即可．
【小问1详解】
连接．
∵，．
∴，（有两个角对应相等的两个三角形相似）
∴，
∴，
∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
故答案为：有两个角对应相等的两个三角形相似；；
【小问2详解】
延长交圆O于点D，延长交圆O于点F，
设圆O的半径为rcm，则，，
根据（1）中结论得，即为，
解得：或（不符合题意，舍去），
的半径为．
【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，圆的相交弦定理等，理解题意，熟练掌握运用圆的相交弦定理是解题关键．
23. 【问题呈现】
和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．

（1）如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________；
（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
（3）当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长．
【答案】（1）
（2）成立；理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据，得出，，证明，得出，根据，求出，即可证明结论；
（2）证明，得出，根据，求出，即可证明结论；
（3）分两种情况，当点E在线段上时，当点D在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
故答案为：．
【小问2详解】
解：成立；理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：当点E在线段上时，连接，如图所示：

设，则，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此时；
当点D在线段上时，连接，如图所示：

设，则，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此时；
综上分析可知，或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．
课题
测量旗杆的高度
成员
组长：××× 组员：×××，×××，×××
测量工具
皮尺，标杆
测量示意图
说明：在水平地面上直立一根标杆，观测者沿着直线后退到点，使眼睛、标杆的顶端、旗杆的顶端在同一直线上．
测量数据
观测者与标杆的距离
观测者与旗杆的距离
标杆的长
观测者的眼睛离地面的距离
问题解决
如图，过点作于点，交于点．
圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．
已知：如图1，的两弦相交于点P．
求证：．
证明：
如图1，连接．
∵，．
∴，（根据）
∴@，
∴，
∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
课题
测量旗杆的高度
成员
组长：××× 组员：×××，×××，×××
测量工具
皮尺，标杆
测量示意图
说明：在水平地面上直立一根标杆，观测者沿着直线后退到点，使眼睛、标杆的顶端、旗杆的顶端在同一直线上．
测量数据
观测者与标杆的距离
观测者与旗杆的距离
标杆的长
观测者的眼睛离地面的距离
问题解决
如图，过点作于点，交于点．
圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．
已知：如图1，的两弦相交于点P．
求证：．
证明：
如图1，连接．
∵，．
∴，（根据）
∴@，
∴，
∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．