2024年河南省驻马店市汝南县中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年河南省驻马店市汝南县中考数学一模试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2024年的一场暴雪让人们开始关注天气预报，下列天气图案中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如果2a=5b，那么下列比例式中正确的是( )
A. ab=25B. a5=2bC. a5=b2D. a2=b5
3.中国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵.”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做“堑堵”.如图是“堑堵”的立体图形，它的左视图为( )
A. B. C. D.
4.如图，双曲线y=kx与直线y=mx相交于A、B两点，B点坐标为(−2,−3)，则A点坐标为( )
A. (−2,−3)
B. (2,3)
C. (−2,3)
D. (2,−3)
5.关于一元二次方程x2+kx−9=0(k为常数)的根的情况，下列说法正确的是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 不能确定根的情况
6.如图，点A、C、B在⊙O上，已知∠AOB=∠ACB=α.则α的值为( )
A. 135°
B. 120°
C. 110°
D. 100°
7.甲、乙、丙、丁四名同学围坐在一起商讨问题.如图是丙的座位，另外三人随机坐到①、②、③的任一个座位上.则甲和丁相邻的概率是( )
A. 13
B. 49
C. 59
D. 23
8.如图，某地修建的一座建筑物的截面图的高BC=5m，坡面AB的坡度为1： 3，则AB的长度为( )
A. 10mB. 10 3mC. 5mD. 5 3m
9.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D在BA的延长线上，CD与⊙O交于另一点E，DE=OB=2，∠D=20°，则BC的长度为( )
A. 23π
B. 13π
C. 43π
D. 49π
10.如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF/​/BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x.则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.请你写出一个一元二次方程______，使它的解是x=−3．
12.已知点(2,y1)与(3,y2)在函数y=−(x−1)2+1的图象上，则y1、y2的大小关系为______．
13.如图，在▱ABCD中，∠D=60°.以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE.分别以点A，E为圆心，以大于12AE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD于点F，则OFOE的值为______．
14.如图，已知扇形ACB中，∠ACB=90°，以BC为直径作半圆O，过点O作AC的平行线，分别交半圆O，弧AB于点D、E，若扇形ACB的半径为4，则图中阴影部分的面积是______．
15.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC=5，该三角形的两条高BD与AE交于点F，连接CF，点P为射线AE上一个动点，连接BP，若AD=3，当△ABP与△BFC相似时，AP的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算：
(1) 9+2−2−|−3|；
(2)x+2x2÷(1+2x)．
17.(本小题9分)
改善小区环境，争创文明家园.如图所示，某社区决定在一块长(AD)16m，宽(AB)9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草.要使草坪部分的总面积为112m2，则小路的宽应为多少？
18.(本小题9分)
某“综合与实践”小组开展测量本校旗杆高度的实践活动.他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量报告如下．
请根据以上测量结果及该小组的思路.求学校旗杆AB的高度．
19.(本小题9分)
如图，直线l分别与x轴，y轴交于A，D两点，与反比例函数y=kx(x>0)的图象在第一象限内交于点B，BC⊥x轴，垂足为C，D为AB的中点.AC=6，CD=5．
(1)求出反比例函数的关系表达式；
(2)若P(m,n)是该反比例函数图象上一点，且m>3.请直接写出n的取值范围．
20.(本小题9分)
暴雨过后，校园的两棵风景柏树同时侧倾在一起，如图，较低的CD正好抵着高树AB的中点D.救援的小明等想知道高树比低树高多少(即AB−CD的值)，就通过测量得到了以下数据并进行计算：
(1)BC=10.5米，∠B≈53°，∠C≈45°，取tan53°≈43，他们设DE=4x米，则用含x的代数式表示BE= ______米，EC= ______米.由此列方程求解得x= ______．
(2)应用(1)的数据，求高树比低树高多少米( 2取1.4)．
21.(本小题9分)
如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y=−0.5x2+3x+1的一部分．
(1)求演员弹跳离地面的最大高度；
(2)已知人梯高BC=5米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．
22.(本小题10分)
阅读与思考
九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理(圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等)，下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：
(1)请将上述证明过程补充完整．
根据：______；@：______．
(2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm，求⊙O的半径．
23.(本小题10分)
【问题呈现】
△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，CB=mCA，CE=mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系．
【问题探究】
(1)如图1，当m=1时，直接写出AD，BE的位置关系：______．
(2)如图2，当m≠1时，(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
(3)当m= 3，AB=4 7，DE=4时，将△CDE绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，求BE的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、该图是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、该图不是中心对称图形，不符合题意；
C、该图不是中心对称图形，不符合题意；
D、该图不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
根据中心对称的定义逐项分析即可．
本题考查了中心对称图形，解答本题的关键是掌握它们的定义：如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
2.【答案】C
【解析】解：∵2a=5b，
∴ab=52，a5=b2．
故选：C．
利用比例的性质对各选项进行判断．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等)是解决问题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：这个“堑堵”的左视图如下：
．
故选：C．
找到从几何体的左面看所得到的图形即可．
本题考查了简单几何体的三视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
4.【答案】B
【解析】解：∵点A与B关于原点对称，
∴A点的坐标为(2,3)．
故选：B．
反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握．
5.【答案】A
【解析】解：∵a=1，b=k，c=−9，
∴Δ=b2−4ac=k2+36>0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
计算出方程的根的判别式，只要得到根的判别式的符号，即可作出判断．
此题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根．
6.【答案】B
【解析】解：∵∠ACB=α
∴优弧所对的圆心角为2α
∴2α+α=360°
∴α=120°．
故选：B．
先运用“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，再运用周角360°即可解．
本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7.【答案】D
【解析】解：画树状图如下：
由树状图知，共有6种等可能结果，其中甲和丁相邻的有4种结果，
所以甲和丁相邻的概率为46=23，
故选：D．
画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题主要考查列表法与树状图求概率，解题的关键是根据题意画树状图罗列出所有等可能结果．
8.【答案】A
【解析】解：∵坡面AB的坡度为BCAC=5AC=1： 3，
∴AC=5 3m，
∴AB= AC2+BC2=10m．
故选：A．
由坡面AB的坡度为BCAC=5AC=1： 3，可得AC=5 3m，再根据勾股定理可得AB= AC2+BC2=10m．
本题考查解直角三角形的应用−坡度坡角问题，理解坡度的定义是解答本题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：连接OE、OC，如图，
∵DE=OB=OE，
∴∠D=∠EOD=20°，
∴∠CEO=∠D+∠EOD=40°，
∵OE=OC，
∴∠C=∠CEO=40°，
∴∠BOC=∠C+∠D=60°，
∴BC的长度=60⋅π×22360=23π，
故选：A．
连接OE、OC，如图，根据等腰三角形的性质得到∠D=∠EOD=20°，根据外角的性质得到∠CEO=∠D+∠EOD=40°，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠CEO=40°，根据外角的性质得到∠BOC=∠C+∠D=60°，根据求弧长的公式得到结论．
本题考查了弧长公式：l=n⋅π⋅R180(弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R)，还考查了圆的认识及等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角性质是关键．
10.【答案】D
【解析】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似比可知：EF12=6−x6，
即EF=2(6−x)
所以y=12×2(6−x)x=−x2+6x.(0该函数图象是抛物线的一部分，
故选：D．
可过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．
此题考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的读图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．
11.【答案】x2−x−12=0．
【解析】解：x2−x−12=0．
故答案为：x2−x−12=0．
根据方程解的定义，构造方程即可解决问题．
该题主要考查了一元二次方程的解及其应用问题；灵活运用解的定义来分析、判断是解题的关键．
12.【答案】y1>y2
【解析】解：∵y=−(x−1)2+1，
∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线x=1，
∵3>2>1，
∴y1>y2．
故答案为：y1>y2．
先根据函数解析式确定出开口向下，对称轴为直线x=1，再根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出对称轴解析式是解题的关键．
13.【答案】 3
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠D=∠ABC=60°，
∴∠BAD=180°−60°=120°，
∵BA=BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE=60°，
∵BF平分∠ABE，
∴AO=OE，BO⊥AE，
∵∠OAF=∠BAD−∠BAE=120°−60°=60°，
∴tan∠OAF=OFOA= 3，
∴OFOE= 3，
故答案为： 3．
证明△ABE是等边三角形，推出BO⊥AE，AE=OE，可得结论．
本题考查作图−基本作图，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14.【答案】53π−2 3
【解析】解：如图，连接CE．
∵AC=BC=4，以BC为直径作半圆，圆心为点O，以点C为圆心，BC为半径作弧AB，
∴OB=OC=OD=2，BC=CE=4．
又∵OE/​/AC，
∴∠ACB=∠BOE=∠COE=90°，
在Rt△OEC中，OC=2，CE=4，
∴∠CEO=30°，∠ECB=60°，OE=2 3，
∴S阴影=S扇形BCE−S扇形BOD−S△OCE=60π×42360−90π⋅22360−12×2×2 3=53π−2 3，
故答案为：53π−2 3．
连接CE.图中S阴影=S扇形BCE−S扇形BOD−S△OCE.根据已知条件易求得OB=OC=OD=2，BC=CE=4.∠ECB=60°，OE=4 3，所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可．
本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是把不规则图形的面积分割成规则图形的面积进行计算．
15.【答案】5 54或4 5
【解析】解：∵AB=AC=5，该三角形的两条高BD与AE交于点F，
∴∠ADB=∠BEF=90°，∠BAE=∠CAE，BE=CE，
∴∠FBE=∠FCE，
∵∠AFD=∠BFE，
∴∠FBC=∠DAF=∠BAF，
∴∠BAF=∠FCB=∠FBC，
当∠PAB=∠PBA时，△APB∽△BFC，
∴APBF=ABBC，
∵BD= AB2−AD2= 52−32=4，
设BF=CF=x，
在Rt△CDF中，x2=(4−x)2+22，
∴x=52，
∵BC= BD2+CD2= 42+22=2 5，
∴AP52=52 5，
∴AP=5 54．
当∠AP′B=∠BAE时，△ABP′∽△BFC，
∴AP′BC=ABBF，
∴AP′2 5=552，
∴AP′=4 5．
综上所述，AP的长为5 54或4 5．
故答案为：5 54或4 5．
分两种情形：当∠PAB=∠PBA时，△APB∽△BFC，当∠AP′B=∠BAE时，△ABP′∽△BFC，分别构建方程求解即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的射线思考问题．
16.【答案】解：(1) 9+2−2−|−3|
=3+14−3
=14；
(2)x+2x2÷(1+2x)
=x+2x2÷x+2x
=x+2x2⋅xx+2
=1x．
【解析】(1)先算开方，负整数指数幂，绝对值，再算加减即可；
(2)先算括号里的运算，再把除法转为乘法，最后约分即可．
本题主要考查分式的混合运算，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
17.【答案】解：设小路的宽应为x m，
根据题意得：(16−2x)(9−x)=112，
解得：x1=1，x2=16．
∵16>9，
∴x=16不符合题意，舍去，
∴x=1．
答：小路的宽应为1m．
【解析】设小路的宽应为x m，那么草坪的总长度和总宽度应该为(16−2x)m，(9−x)m；那么根据题意得出方程，解方程即可．
本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．
18.【答案】解：由题意得：CD=FG=BH=1.6m，CG=DF=1m，CH=BD=18m，∠CGE=∠CHA=90°，
∵EF=2.4m，
∴EG=EF−FG=2.4−1.6=0.8(m)，
∵∠ECG=∠ACH，
∴△ECG∽△ACH，
∴CGCH=EGAH，
∴118=0.8AH，
∴AH=14.4，
∴AB=AH+BH=14.4+1.6=16(m)，
∴学校旗杆AB的高度16m．
【解析】根据题意可得：CD=FG=BH=1.6m，CG=DF=1m，CH=BD=18m，∠CGE=∠CHA=90°，从而可得EG=0.8m，然后证明A字模型相似△ECG∽△ACH，从而利用相似三角形的性质求出AH的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．
19.【答案】解：(1)∵BC⊥x轴，D为AB的中点，
∴AB=10，
∵AC=6，
∴BC= AB2−AC2=8，
∵OD⊥OC，
∴OC=12AC=3，
∴点B的坐标为：(3,8)，
∴8=k3，
∴k=24，
∴反比例函数的表达式为y=24x(x>0)．
(2)∵P(m,n)是该反比例函数图象上一点，
∴nm=24，
∵m>3，
∴24n>3，
∴n<8，
∵n>0，
∴0【解析】(1)根据BC⊥x轴，D为AB的中点，得AB=10，根据勾股定理，等腰三角形的性质，求出点B的坐标，再把点B的坐标代入反比例函数y=kx(x>0)，即可；
(2)根据P(m,n)是该反比例函数图象上一点，得nm=24，根据m>3，即可求出n．
本题考查反比例函数与几何的综合，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质，直角三角形的性质，勾股定理和等腰三角形的性质．
20.【答案】3x 4x 1.5
【解析】解：(1)∵∠C≈45°，
∴∠CDE=45°，即CE=DE=4x 米，
∵tan53°≈43，∠B≈53°，
∴BE=3x 米，
∵BC=10.5米，
∴BC=BE+CE，即3x+4x=10.5，
解得：x=1.5，
故答案为：3x，4x，1.5；
(2)由(1)得，BE=3x=3×1.5=4.5(米)，CE=4x=4×1.5=6(米)，DE=4x=4×1.5=6(米)，
由勾股定理得，BD= DE2+BE2=7.5(米)，CD= DE2+CE2=6 2≈8.4(米)，
∵点D是AB的中点，
∴AB=2BD=15(米)，
AB−CD=15−8.4=6.6(米)，
答：高树比低树高6.6米．
(1)因为∠C≈45°，所以∠CDE=45°，即CE=DE，又因tan53°≈43，∠B≈53°，可得BE=DEtan∠B，已知BC=BE+CE=10.5米，可解得x的值；
(2)根据(1)可得BE、CE、DE，由勾股定理可得BD、CD，因为点D是AB的中点，所以AB=2BD，可求得AB−CD的值，即高树比低树高多少米．
本题考查了解直角三角形的应用，关键是掌握正切定理、勾股定理．
21.【答案】解：(1)y=−0.5x2+3x+1，
∵a=−12，b=3，c=1，
∴−b2a=−32×(−12)=3，4ac−b24a=4×(−12)×1−324×(−12)=−2−9−2=−11−2=5.5，
∴顶点(3,5.5)，
答：演员弹跳离地面的最大高度为5.5米．
(2)当x=4时，代入y=−12x2+3x+1，
y=−12×42+3×4+1
=−12×16+12+1
=−8+12+1
=5，
∵5=5，
∴这次表演成功了．
【解析】(1)根据二次函数的性质，利用公式求得顶点坐标，即可求解；
(2)令x=4，求得函数值，与5比较，即可求解．
本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22.【答案】有两个角对应相等的两个三角形相似 CPBP
【解析】解：(1)连接AC，BD．
∵∠C=∠B，∠A=∠D．
∴△APC∽△DPB，(有两个角对应相等的两个三角形相似)
∴APDP=CPBP，
∴AP⋅BP=CP⋅DP，
∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
故答案为：有两个角对应相等的两个三角形相似；CPBP；
(2)延长OP交圆O于点D，延长PO交圆O于点F，
设圆O的半径为rcm，则PF=(5+r)cm，PD=(r−5)cm，
根据(1)中结论得AP⋅BP=DP⋅FP，即为4×(10−4)=(r+5)(r−5)，
解得：r=7或r=−7(不符合题意，舍去)，⊙O的半径为7cm．
(1)根据相似三角形的判定和性质求解即可；
(2)延长OP交圆O于点D，延长PO交圆O于点F，设圆O的半径为rcm，则PF=(5+r)cm，PD=(r−5)cm，根据(1)中结论代入求解即可．
题目主要考查相似三角形的判定和性质，圆的相交弦定理等，理解题意，熟练掌握运用圆的相交弦定理是解题关键．
23.【答案】解：(1)AD⊥BE
(2)(1)中的结论成立，理由如下：
如图2，延长BE交AC于点H，交AD于N，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
又∵DCCE=ACBC=1m，
∴△DCA∽△ECB，
∴∠DAC=∠CBE，
∵∠CAB+∠ABE+∠CBE=90°，
∴∠CAB+∠ABE+∠DAC=90°，
∴∠ANB=90°，
∴AD⊥BE，
(3)如图3，当点E在线段AD上时，连接BE，
∵△DCA∽△ECB，
∴BEAD=BCAC=m= 3，
∴BE= 3AD= 3(4+AE)，
∵AD⊥BE，
∴AB2=AE2+BE2，
∴112=AE2+3(4+AE)2，
∴AE=2或AE=−8(舍去)，
∴BE=6 3，
当点D在线段AE上时，连接BE，
∵△DCA∽△ECB，
∴BEAD=BCAC=m= 3，
∴BE= 3AD= 3(AE−4)，
∵AD⊥BE，
∴AB2=AE2+BE2，
∴112=AE2+3(AE−4)2，
∴AE=8或AE=−2(舍去)，
∴BE=4 3，
综上所述：BE=6 3或4 3．
【解析】解：(1)如图1，延长BE交AC于点H，交AD于N，
当m=1时，DC=CE，CB=CA，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
DC=CE∠ACD=∠BCECA=CB,
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠DAC=∠CBE，
∵∠CAB+∠ABE+∠CBE=90°，
∴∠CAB+∠ABE+∠DAC=90°，
∴∠ANB=90°，
∴AD⊥BE，
故答案为：AD⊥BE；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得∠DAC=∠CBE，由余角的性质可证AD⊥BE；
(2)通过证明△DCA∽△ECB，可得∠DAC=∠CBE，由余角的性质可证AD⊥BE；
(3)分两种情况讨论，由相似三角形的性质可得BE= 3AD，由勾股定理可求解．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．课题
测量旗杆的高度
成员
组长：×××
组员：×××，×××，×××
测量工具
皮尺，标杆
测量示意图
说明：在水平地面上直立一根标杆EF，观测者沿着直线BF后退到点D，使眼睛C、标杆的顶端E、旗杆的顶端A在同一直线上．
测量数据
观测者与标杆的距离DF
观测者与旗杆的距离DB
标杆EF的长
观测者的眼睛离地面的距离CD
1m
18m
2.4m
1.6m
问题解决
如图，过点C作CH⊥AB于点H，交EF于点G.…
圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．
已知：如图1，⊙O的两弦AB，CD相交于点P．
求证：AP⋅BP=CP⋅DP．
证明：
如图1，连接AC，BD．
∵∠C=∠B，∠A=∠D．
∴△APC∽△DPB，(根据)
∴APDP=@，
∴AP⋅BP=CP⋅DP，
∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．