2024年山东省济南市平阴县九年级中考一模数学模拟试题（原卷版+解析版）

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第Ⅰ卷 选择题（40分）
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答．
【详解】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，
故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从上面看得到的图形是俯视图是解答本题的关键．
2. 党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五、将数据1040000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3. 如图，的直角顶点A在直线a上，斜边在直线b上，若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行线的性质及直角三角形两内角互余即可得解；
【详解】，
,
又
故选择：C
【点睛】本题主要考查利用平行线的性质求三角形中角的度数，利用平行线的性质得到是解题的关键．
4. 如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据数轴及有理数的加法可进行求解．
【详解】解：由数轴可知点A表示的数是，所以比大3的数是；
故选D．
【点睛】本题主要考查数轴及有理数的加法，熟练掌握数轴上有理数的表示及有理数的加法是解题的关键．
5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义依次对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
6. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂的乘方法、同底数幂的除法法则、同底数幂的乘法以及合并同类项逐项判断即可．
【详解】解：A．，故A选项计算正确，符合题意；
B．，故B选项计算错误，不合题意；
C．，故C选项计算错误，不合题意；
D．与不是同类项，所以不能合并，故D选项计算错误，不合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算以及整式的加减运算等知识点，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘．
7. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数系数与增减性的关系是解题关键．由可知，反比例函数图象经过一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，据此即可得到答案．
【详解】解：，
反比例函数图象经过一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，
点，，，
点、在第三象限，点在第一象限，
，，，
，
，
，
故选：D
8. 4月23日是世界读书日，学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校七年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：
则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（ ）
A. 8，9B. 10，9C. 7，12D. 9，9
【答案】D
【解析】
【分析】利用中位数，众数的定义即可解决问题．中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字（或者两个数字的平均值）叫做这组数据的中位数．众数：在一组数据中出现次数最多的数．
【详解】解：中位数为第15个和第16个的平均数为：，众数为9．
故选：D．
【点睛】本题考查了中位数和众数，解题的关键是掌握平均数、中位数和众数的概念．
9. 如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形两底角相等与，得到，根据角平分线定义得到，根据线段垂直平分线性质得到，得到，推出，得到，推出，①正确；根据等角对等边得到，，根据三角形外角性质得到，得到，推出，②正确；根据，得到，推出，③错误；根据时， ，得到,推出，④正确．
【详解】∵中，，，
∴，
由作图知，平分，垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，①正确；
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，②正确；
设，，
则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，③错误；
当时，，
∵，
∴,
∴，④正确
∴正确的有①②④，共3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义和线段垂直平分线的性质．
10. 已知二次函数（a为常数，且），下列结论：
①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是( )
A. ①②B. ②③C. ②D. ③④
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐一分析即可．
【详解】解：∵抛物线对称轴为，，
∴二次函数图象必经过第一、二象限，
又∵，
∵，
∴，
当时，抛物线与x轴无交点，二次函数图象只经过第一、二象限，
当时，抛物线与x轴有两个交点，二次函数图象经过第一、二、四象限，
故①错误；②正确；
∵抛物线对称轴为，，
∴抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，故③正确；
∴当时，y随x的增大而增大，故④错误，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与各项系数符号之间的关系是解题的关键．
第Ⅱ卷 非选择题（共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
11. 因式分解：______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查因式分解，直接利用完全平方公式法因式分解即可．
【详解】解：原式；
故答案为：．
12. 一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则_________．
【答案】9
【解析】
【分析】根据概率公式列分式方程，解方程即可．
【详解】解：从中任意摸出一个球是红球的概率为，
，
去分母，得，
解得，
经检验是所列分式方程的根，
，
故答案为：9．
【点睛】本题考查已知概率求数量、解分式方程，解题的关键是掌握概率公式．
13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，得到，列出不等式进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴；
故答案为：．
14. 若直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值为________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据平移的规律求出平移后的解析式，再将点代入即可求得的值．
【详解】解：直线向上平移3个单位长度，
平移后的直线解析式为：．
平移后经过，
．
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是一次函数的平移，解题的关键在于掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
15. 《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，N是的中点．．“会圆术”给出的弧长l的近似值计算公式：．当，时，利用“会圆术”给出的公式计算的弧长l的值为________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形，弧长的计算，二次根式的混合运算等知识，求出弧长l的近似值计算公式所需线段是解题关键．连接，证明是等边三角形，进而得到，，由余弦函数求出，再证明、、三点共线，得出，最后利用弧长l的近似值计算公式求解即可．
【详解】解：如图，连接，
，,
是等边三角形，
，
N是的中点，
，，
，
，
、、三点共线，
，
，
，
故答案为：
16. 如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为________．

【答案】
【解析】
【分析】连接，过点作于点，设，则，则，根据已知条件，分别表示出，证明，得出，在中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，

∵正方形的边长为1，四边形与四边形的面积比为3∶5，
∴，
设，则，则
∴
即
∴
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∵，
∴，
又,
∴，
∴
在中，
即
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】3
【解析】
【分析】根据负整数指数幂和零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，进行计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂和零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，准确计算．
18. 解不等式组并写出它的所有整数解．
【答案】，整数解为0，1，2
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，找出整数解即可．
【详解】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得：，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
则不等式组的解集为：
．
整数解为0，1，2
19. 如图，点E、F、G分别在▱ABCD的边AB、BC和AD上，且BA＝BF，AE＝AG，连接FE．求证：FE＝FG．

【答案】见解析
【解析】
【分析】由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠DAF=∠BAF，由“SAS”可证△AEF≌△AGF，可得FE=FG．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF=∠BFA，
∵BA=BF，
∴∠BAF=∠BFA，
∴∠DAF=∠BAF，
在△AEF和△AGF中，
∴△AEF≌△AGF(SAS)
∴FE=FG．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．
20. 如图1，某人的一器官后面处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下：
请你根据上表中的测量数据，计算新生物处到皮肤的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，）
【答案】新生物处到皮肤的距离约为
【解析】
【分析】过点作，垂足为，在，用 与的正切值表示出，在中，用和的正切值表示出，由，联立求解即可．
【详解】解：过点作，垂足．
由题意得，，，
在中，．
中，．

∵，
∴，
∴．
答：新生物处到皮肤的距离约为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，通过三角函数求解线段是求解本题的关键．
21. 在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中，某中学以兴趣小组为载体，加强社团建设，艺术活动学生参与面达，通过调查统计，八年级二班参加学校社团的情况（每位同学只能参加其中一项）：A．剪纸社团，B．泥塑社团，C．陶笛社团，D．书法社团，E．合唱社团，并绘制了如下两幅不完整的统计图．

（1）该班共有学生_________人，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，___________，___________，参加剪纸社团对应的扇形圆心角为_______度；
（3）小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团几位同学都非常优秀，老师将从书法社团的学生中选取2人参加学校组织的书法大赛，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率．
【答案】（1），详见图示；
（2），，；
（3）；
【解析】
【分析】（1）利用C类人数除以所占百分比可得调查的学生人数；用总人数减去其它四项的人数可得到D的人数，然后补图即可；
（2）根据总数与各项人数比值可求出m，n的值，A项目的人数与总人数比值乘即可得出圆心角的度数；
（3）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出恰好选中小鹏和小兵的结果数，然后利用概率公式求解．
【小问1详解】
本次调查的学生总数：（人），
D、书法社团的人数为：(人)，如图所示

故答案为：50；
【小问2详解】
由图知，，
∴，参加剪纸的圆心角度数为
故答案为：20，10，
【小问3详解】
用表示社团的五个人，其中A，B分别代表小鹏和小兵树状图如下：

共20种等可能情况，有2种情恰好是小鹏和小兵参加比赛，
故恰好选中小鹏和小兵的概率为．
【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法与画树状图法求概率，解题的关键是掌握列表法与画树状图法求概率的方法：先利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式求事件A或B的概率．
22. 如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．

（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若的半径为3，求的长．
【答案】（1）直线与相切，理由见解析
（2）6
【解析】
【分析】（1）连接，根据圆周角定理，得到，进而得到，即可得出与相切；
（2）解直角三角形，求出的长，进而求出的长，再解直角三角形，求出的长即可．
【小问1详解】
解：直线与相切，理由如下：
连接，则：，

∵，即：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为半径，
∴直线与相切；
【小问2详解】
解：∵，的半径为3，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设：，
则：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形．熟练掌握切线的判定方法，正弦的定义，是解题的关键．
23. 某超市销售A、B两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱A种盐皮蛋和6箱B种盐皮蛋共需390元；若购买5箱A种盐皮蛋和8箱B种盐皮蛋共需310元．
（1）A种盐皮蛋、B种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？
（2）若某公司购买A、B两种盐皮蛋共30箱，且A种的数量至少比B种的数量多5箱，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
【答案】（1）A种盐皮蛋每箱价格是30元，B种盐皮蛋每箱价格是20元
（2）购买A种盐皮蛋18箱，B种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，以及根据一次函数增减性求最值．正确列出方程组和一次函数的关系式是解题的关键．
（1）设A种盐皮蛋每箱价格是x元，B种盐皮蛋每箱价格是y元，根据题意建立方程组，解方程组即可得解；
（2）设购买A种盐皮蛋m箱，则购买B种盐皮蛋箱，购买A种盐皮蛋和B种盐皮蛋共花费w元，根据题意列不等式，求出m的取值范围，再根据题意列出w与m之间的函数关系式，根据一次函数的增减性即可求出w的最小值．
【小问1详解】
解：设A种盐皮蛋每箱价格是x元，B种盐皮蛋每箱价格是y元，
由题意得：，
解得 ．
答：A种盐皮蛋每箱价格是30元，B种盐皮蛋每箱价格是20元．
【小问2详解】
解：设购买A种盐皮蛋m箱，则购买B种盐皮蛋箱，购买A种盐皮蛋和B种盐皮蛋共花费w元，
由题意得：，
解得，
，
即：，
，
随m的增大而增大．
当时，w取得最小值780，
．
答：购买A种盐皮蛋18箱，B种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元．
24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作的垂线l．
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标；
（3）P是直线l上一点，连接，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，请直接写出m的值．
【答案】（1）点A的坐标为；
（2）点C的坐标为或
（3）
【解析】
【分析】（1）利用直线解析式可的点C的坐标，将点代入可得a的值，再将点代入反比例函数解析式可得k的值，从而得解；
（2）设直线l于y轴交于点M，由点B的坐标和直线l是的垂线先求出点M的坐标，再用待定系数法求直线l的解析式，C点坐标为，根据(分别代表点B与点C的横坐标)可得点C的横坐标，从而得解；
（3） 位似图形的对应点与位似中心三点共线可知点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，直线l与双曲线的解析式联立方程组得到，由得到，继而得到直线与直线的解析式中的一次项系数相等，设直线的解析式是：，将代入求得的解析式是：，再将直线与双曲线的解析式联立求得，再用待定系数法求出的解析式是，利用直线的解析式与直线l的解析式联立求得点P的坐标为，再用两点间的距离公式得到，从而求得．
【小问1详解】
解：令，则
点A的坐标为，
将点代入得：
解得：

将点代入得
解得：
反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
解：设直线l于y轴交于点M，直线与x轴交于点N
令解得：
，
，
又，
，
又直线l是AB的垂线即，，
，

设直线l得解析式是：，
将点，点代入得：
解得：
直线l的解析式是：，
设点C的坐标是
解得：或6，
当时，；
当时，，
点C的坐标为或．
【小问3详解】
解：∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，
∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，
∴点E是直线l与双曲线的另一个交点，
将直线l与双曲线的解析式联立得：
解得：或
∴
画出图形如下：

又∵
∴
∴
∴直线与直线的解析式中的一次项系数相等，
设直线的解析式是：
将点代入得：
解得：
∴直线的解析式是：
∵点D也在双曲线上，
∴点D是直线与双曲线另一个交点，
将直线与双曲线的解析式联立得：
解得：或
∴
设直线的解析式是：
将点，代入得：
解得：
∴直线的解析式是：，
又将直线的解析式与直线l的解析式联立得：
解得：
∴点P的坐标为
∴
∴．
【点睛】本题考查直线与坐标轴的交点，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，反比例函数综合几何问题，三角形的面积公式，位似的性质等知识，综合性大，利用联立方程组求交点和掌握位似的性质是解题的关键．
25. 已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值；
（3）如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）或或或
【解析】
【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据周长等于，以及为定长，得到当的值最小时，的周长最小，根据抛物线的对称性，得到关于对称轴对称，则：，得到当三点共线时，，进而求出点坐标，即可得解；
（3）求出点坐标为，进而得到，得到，分点在点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线与轴相交于点，，
∴，解得：，
∴；
【小问2详解】
∵，当时，，
∴，抛物线的对称轴为直线
∵的周长等于，为定长，
∴当的值最小时，的周长最小，
∵关于对称轴对称，
∴，当三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴，，
∴；
【小问3详解】
解：存在，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
①当点在点上方时：
过点作，交抛物线与点，则：，此时点纵坐标为2，
设点横坐标为，
则：，
解得：，
∴或；
②当点在点下方时：设与轴交于点，
则：，
设，
则：，，
∴，解得：，
∴，
设的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
联立，解得：或，
∴或；
综上：或或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性强，难度较大，属于中考压轴题．
26. 综合与实践．
（1）提出问题．如图1，在和中，，且，，连接，连接交的延长线于点O．的度数是________；_______．
（2）类比探究．如图2，在和中，，且，，连接、并延长交于点O．求的度数及的值
（3）问题解决．如图3，在等边中，于点D，点E在线段上（不与A重合），以为边在的左侧构造等边，将绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度．如图4，M为的中点，N为的中点．请说明为等腰三角形．
【答案】（1）；；
（2），
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）证明，得到，，即可得到答案；
（2）根据等腰直角三角形的性质，推出，，易证，进而得到，，即可得到答案；
（3）连接、，延长交于点P，交于点O根据等边三角形三线合一的性质，可证、分别是在、的中位线，得到，，再证明，得到，进而得出，即证明结论．
【小问1详解】
解：，
，
，
又，，，
，
，，
，，
故答案为：；；
【小问2详解】
解： ，，，
，，，
，，
，
，，
，；
【小问3详解】
解：连接、，延长交于点P，交于点O．
在等边中，
于点D，
为的中点，
又为的中点，N为的中点，
、分别是在、的中位线，
，．
，
．
在和中，
，
．
．
．
为等腰三角形．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，等边三角形的性质，掌握全等三角形和相似三角形的性质是解题关键．
人数
6
7
10
7
课外书数量（本）
6
7
9
12
课题
检测新生物到皮肤的距离
工具
医疗仪器等
示意图

说明
如图2，新生物在处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离处的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为．
测量数据
，，