2024年山东省济南市槐荫区、莱芜区、南山区九年级中考一模联考数学模拟试题（原卷版+解析版）

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答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置． 考试结束后，将试卷、答题卡一并交回． 本考试不允许使用计算器．
第Ⅰ卷 （选择题 共40分）
注意事项：
第1卷为选择题，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 答案写在试卷上无效．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共 40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 的相反数是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此进行求解即可．
【详解】解：的相反数是2，
故选：A．
2. 如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据左视图的意义和画法可以得出答案．
【详解】解：∵该几何体为放倒的三棱柱，
∴根据左视图的画法，从左往右看，看到的是一个直角在左边的直角三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解答本题的关键．从正面、上面和左面三个不同的方向看一个物体，并描绘出所看到的三个图形，即几何体的三视图．
3. 2023年10月26日神舟十七号载人飞船发射取得圆满成功，我国载人航天工程发射任务实现30战30捷，航天员在中国空间站俯瞰地球的高度约为400000米，将400000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键．确定本题中的，，从而可得答案．
【详解】解：，
故选A
4. 如图， 直线， 若， 则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，先由对顶角线段得到，再由两直线平行，同旁内角互补即可得到．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
5. 下列校徽的图案是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别；
根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形”，逐项判断即可．
【详解】解：A.不是轴对称图形，不符合题意；
B.不是轴对称图形，不符合题意；
C.不是轴对称图形，不符合题意；
D.是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、整式的除法，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．根据合并同类项法则、幂的乘方法则、单项式除以单项式法则分别判断即可．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：B．
7. 济南市体质健康测试的技能测试要求学生从篮球、足球、排球、游泳四个项目中自选一项．两名同学选择相同项目的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．画树状图得出所有等可能的结果数以及两名同学选择相同项目的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：将篮球、足球、排球、游泳四个项目分别记为，，，，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中两名同学选择相同项目的结果有4种，
两名同学选择相同项目的概率为．
故选：D
8. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，，若点在函数的图象上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了余角性质，相似三角形的判定和性质，过点作轴于点，证明，得到，得到，，进而求出点的坐标为，即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：过点作轴于点，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为，
∴，
故选：．
9. 用尺规作一个角等于已知角． 已知． ． 求作：， 使 ．
作法如下：
（1）作射线；
（2）以①为圆心，任意长为半径画弧， 交于点 P、交 于点 Q；
（3）以点 E为圆心， 以②为半径画弧交 于点 D；
（4）以点 D为圆心，以③为半径画弧交前面的弧于点 F；
（5）过点F作④， 即为所求作的角．
以上作图步骤中，序号代表的内容错误的是（ ）
A. ①表示点OB. ②表示C. ③表示D. ④表示射线
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查作图—基本作图，熟练掌握作一个角等于已知角的方法是解答本题的关键．根据作一个角等于已知角的作图步骤可得答案．
【详解】解：作法：（1）作射线；
（2）以为圆心，任意长为半径画弧，交于点、交于点；
（3）以点为圆心，以为半径画弧交于点；
（4）以点为圆心，以为半径画弧交前面的弧于点；
（5）过点作，即为所求作的角．
内容错误的是“③”．
故选：C
10. 在平面直角坐标系中， 对点和点给出如下定义：若 ，则称点 是点的伴随点．如：点的伴随点是的伴随点是若点在二次函数． 的图象上，则当时，其伴随点的纵坐标的值不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象上的点的坐标特征，依据题意，读懂定义，然后进行分类讨论，结合二次函数的图象与性质进行判断可以得解，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
【详解】解：由题意， ①当时，
又结合函数的图象，
∴当时，
如图，有最小值为．
，
②当
当时， ，时，时，，
，
综上，或，
故选：B．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
注意事项：
所有答案必须用0.5 毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔） 写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等．
不按以上要求作答，答案无效．
二、填空题（本大题共6个小题． 每小题4分，共24分． 把答案填在答题卡的横线上．）
11. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【详解】解：=；
故答案为
12. 如图，的对角线，相交于点，、过点，且点，在边上，点，在边上，向内部投掷飞镖，飞镖恰好落在阴影区域的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查概率公式、中心对称的性质，正确记忆相关知识是解题关键．所求概率等于阴影部分面积与平行四边形面积之比．
【详解】解：由题意可知：和关于点中心对称，
，
，
飞镖恰好落在阴影区域的概率．
故答案为：
13. 已知是方程 的一个解，则另一个解为 __________
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解、解一元二次方程，将代入方程中求得m值，进而解方程即可．
【详解】解：∵是方程 的一个解，
∴，则，
∴方程为，即，
解得，，
故答案为：3．
14. 如图，甲、乙两人以相同的路线前往距离单位的培训中心参加学习． 图中分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程（千米） 随时间（分）变化的函数图象，乙出发后______分钟追上甲．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象求出甲、乙的速度，设乙出发后钟追上甲，再根据路程相等即可求解，读懂函数图象是解题的关键．
【详解】解：由图象可得，甲的速度为，
乙的速度为，
设乙出发后钟追上甲，则，
解得，
故答案为：．
15. 如图的曲边三角形可按下述方法作出：作等边三角形．以三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是曲边三角形．若等边三角形的边长为 2，则这个曲边三角形的面积是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形面积的计算及等边三角形的性质．此题的关键是明确曲边三角形的面积就=三角形的面积+三个弓形的面积，然后再根据所给的等边三角形的边长求出三角形的面积和弓形的面积，从而求值．
【详解】解：∵等边三角形的边长为 2，
∴，
∴
∴这个曲边三角形的面积为：，
故答案为：．
16. 在边长为4的正方形中，E是边上一动点(不与端点重合)，将沿翻折，点A落在点H处，直线交于点F，连接，，分别与AC交于点P、Q，连接，．则以下结论中正确的有________ (写出所有正确结论的序号)．
①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若连接，则的最小值为．
【答案】①②④⑤
【解析】
【分析】①正确．由正方形的性质可证明，可得结论；②正确．证明，推出，推出，由，可得结论；③错误．可以证明；④正确．利用相似三角形的性质证明，可得结论；⑤正确．求出，，根据，可得结论．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
在和中
∴，
∴，故①正确；
∵沿翻折，点A落在点H处，直线交于点F，
∴，则，，
∵，
∴，则，
∵，
∴，
∵，，
∴，则，，
∴，
∵，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
∴，则为等腰直角三角形，故④正确；
∵，
∴，
∵，
∴P，E，D，F四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故②正确，
将绕点B顺时针旋转得到，连接，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，故③错误，
连接，，
∵，，
∴，
∴的最小值为，故⑤正确．
故答案为：①②④⑤．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会添加常用辅助线吗，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先计算二次根式，特殊的三角函数值，零指数幂，绝对值，再进行加减运算即可得到答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题是实数的混合运算，考查了二次根式，特殊的三角函数值，零指数幂，绝对值，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
18. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：
得，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为．
19. 已知：如图，在菱形中，E，F是对角线上两点，连接．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由四边形菱形得到，则，即可证明，则，即可得到结论．
【详解】证明：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
20. 敦煌首航100兆瓦熔盐塔式光热电站是“中国智慧”和“中国建设”的体现． 它的原理简单说就是利用镜面反射太阳光线，通过一个特殊的装置将太阳光转化成电能．随着太阳角度的变化，每个定日镜都不停自动调整角度，保持最佳的反射角度． 图2是反射示意图，由反射原理，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角．已知定口镜的长为12米，点为中点，定日镜绕点旋转，当入射光线与镜面的夹角为度时，反射光线恰好照在吸热塔顶端处． 此时镜面与支撑柱的夹角为60度，点B 到地面的距离是5米，支撑柱到吸热塔底端的距离是500米．
（ ）
（1）求支撑柱的高度；
（2）求吸热塔的高度．
【答案】（1）支撑柱的高度为米；
（2）吸热塔高度为米．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是依题意作出辅助线．
（1）如图过过点作，根据特殊角的三角函数，推出四边形 是矩形，根据进而作答即可；
（2）如图过点作于点， ，进而推出角的度数，推出四边形是矩形，在中，根据三角函数作答，再根据计算即可．
【小问1详解】
解：如图，过点作于点，
∵点是中点，米，
米，
在中，，
∵，
米，
，
∴，
∴四边形是矩形，
∴米，
∴米，
答：支撑柱的高度为8米．
【小问2详解】
解：如图过点作于点，
根据题意， 米，
∵，
，
，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴米，米，
在中，，
∵，
∴米，
∴米，
答：吸热塔的高度为263米．
21. 中央电视台“典籍里的中国”栏目激发了同学们阅读传统文化书籍的热情． 某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查． 整理调查结果之后，根据调查结果绘制了不完整的图表． 如下所示：
（1）统计表中的 ， ；
（2）请补全条形统计图；
（3）求所有被调查学生课外阅读平均本数；
（4）若该校八年级共有 600名学生．请你分析该校八年级学生课外阅读2本及以上的人数．
【答案】（1）50；
（2）见解析 （3）1.4本
（4）264人
【解析】
【分析】本题考查的是条形统计图和加权平均数，熟练计算平均数和百分比是解题的关键．
（1）（人，因此，，
（2）人，即可补全条形统计图；
（3）所有被调查学生课外阅读的平均本数为：，计算即可；
（4）该校八年级学生课外阅读2本及以上的人数：，计算即可．
【小问1详解】
（人，
，
，
故答案为：50；；
【小问2详解】
人，条形统计图如图所示：
【小问3详解】
（本，
答：所有被调查学生课外阅读的平均本数为1.4本．
【小问4详解】
（人，
答：该校八年级学生课外阅读2本及以上的有264人．
22. 如图，是的外接圆，是的直径，与交于点E，P是延长线上一点，，．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的直径．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】（1）连接，首先由直径得到，然后根据等边对等角和角度的等量代换得到，进而求解即可；
（2）首先证明出，得到，然后代数求出，进而求解即可．
【小问1详解】
证明：连接，

∵是的直径，
∴
即
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
即
∴
∵是的半径
∴是的切线；
【小问2详解】
∵，
∴
∴
∴
∴的直径是6．
【点睛】此题考查了直径所对的圆周角是直角，切线的判定，相似三角形的性质和判定，等边对等角等知识，解题的关键是熟练掌握直径所对的圆周角是直角．
23. 春节期间，多地用无人机表演代替烟花燃放，绿色环保，科技感十足． 某校为满足学生学习无人机操作的需求，开设了无人机操作校本课程． 现需购买A、B两种型号的无人机． 已知A型无人机单价比B 型无人机单价多 100元，用1800元购买的A型无人机数量与1500元购买的B型无人机数量相同．
（1）求A型、B型两种无人机的单价分别是多少元？
（2）学校准备购买A型和B型无人机共100台，购买B型无人机不超过A型无人机的2倍．商家给出购买A型无人机打九折优惠，问购买A型无人机多少台时花费最少？ 最少花费是多少元？
【答案】（1）A型无人机的单价是600元．B型无人机的单价是500元
（2）购买A型无人机34台、B型无人机66台时花费最少．最少花费是51360元
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用：
（1）设B型无人机单价是x元，根据题意，列出方程，即可求解；
（2）设购买A型无入机a台，花费W元，根据题意，先求出a的取值范围，再列出W关于a的函数关系式，然后根据一次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：设B型无人机的单价是x元，
根据题意得：
解得：，
经检验：是分式方程的解，
（元）
答：A型无人机的单价是600元．B型无人机的单价是500元；
【小问2详解】
解：设购买A型无人机a台，花费W元，
根据题意得：
解得：，
∵a为整数，
∴a的最小值为34，
，
∵
∴W随a的增大而增大，
当a取最小整数34时，W最有小值，最小值为，
答：购买A型无人机34台、B型无人机66台时花费最少．最少花费是51360元．
24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）点P在x轴上，求的最大值．
【答案】（1），
（2）或
（3）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法的应用，一次函数与反比例函数的综合，轴对称的性质；
（1）把点B坐标分别代入反比例函数和一次函数的表达式求出k，b的值即可；
（2）求出点A坐标，找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围即可；
（3）作点B 关于x轴的对称点，作直线交x轴于点P，证明的最大值为，求出坐标，然后计算即可．
【小问1详解】
解：∵点在反比例函数和一次函数的图象上，
，，
解得：，，
∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为；
【小问2详解】
把代入得：，
∴，
∴，
由函数图象得，不等式的解集为：或 ；
【小问3详解】
如图，作点B 关于x轴的对称点，作直线交x轴于点P，
由对称性可知，
∴，
在x轴上任意取一点N，若点N是x轴上异于点P的点，则，
∵，
∴的最大值为，
∵，
∴
∴的最大值．
25. 如图1，中， 点 D、E分别为的中点．
（1）如图2，将线段分别绕点A 顺时针旋转相同角度得到， ，分别连接，则；
（2）如图3，将绕点D顺时针旋转得到，分别连接 点 M、N分别为线段上的点， 且满足，分别连接．请判断的形状，并说明理由；
（3）如图4，连接，点O为上一点，满足，将绕点O 顺时针旋转α度 得到 ，连接，求旋转过程中线段的最大值．
【答案】（1）
（2）等腰直角三角形，见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）先利用勾股定理得到，由旋转的性质得到，证明，即可得到，
（2）连接，由旋转的性质得到，则都是等边三角形，可得，证明，得到，即可证明是等腰直角三角形；
（3）连接，先求出，再求出，得到，证明求出由旋转的性质可得，根据，可得当时，，即此时最大．
【小问1详解】
解：∵中， ，
∴，
由旋转的性质可，
∵D、E分别是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：是等腰直角三角形，理由如下：
如图所示，连接，
绕D点顺时针旋转得到，
∴都是等边三角形
∵是等腰直角三角形，点D 是斜边中点．
∴，
又∵，
∴，
，
∴，即
∴是等腰直角三角形；
【小问3详解】
解：如图所示，连接，
为等腰直角三角形，
∴
∵E是中点，
∴，
，
∵，
，
，
由旋转的性质可得，
在中，，
∴当时，，即此时最大．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，旋转的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．
26. 如图，二次函数 . 的图象与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点 C，顶点为D，其对称轴与线段交于点 E，与x轴交于点 F． 连接．

（1）若 ， 求B 点和C 点坐标；
（2）若 求m的值；
（3）若在第一象限内二次函数 的图象上，始终存在一点P，使得 请结合函数的图象，直接写出m的范围．
【答案】（1），
（2）1 （3）
【解析】
【分析】（1）令，解方程可得，两点坐标，令，可得点的坐标；
（2）由题意得，，，进而可得，推出，连接，由，可得，推出，利用解直角三角形可得，，构建方程，求出即可；
（3）设交轴于点，证明，推出，可得结论．
【小问1详解】
当 时，，
令，得，
解得：，，
点在点左侧，
，
令，得，
；
【小问2详解】
当时，，
解得：，，
点在点的左侧，且，
，，
当时，，
，
，
，
，
如图1中，连接，

，
，，
，，，
、关于对称轴直线对称，
，
，
，，
，
即，
，
，
，
，
，
，
解得：或，
经检验，是方程的根，
，
；
【小问3详解】
如图2，设交轴于点，

当点在第一象限时，点总是在点的左侧，此时，即．
，
，
，
解得：，
又，
同法可得，
，
．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．本数（本
人数
占比
0
1
18
2
14
3
8
合计