2024年山东省济南市南山区九年级中考数学模拟试题（原卷版+解析版）

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1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用绝对值的定义求解即可．
【详解】解：的绝对值是．
故选.
【点睛】本题主要考查了绝对值，解题的关键是熟记绝对值的定义．
2. 如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体组成，它的主视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先从正面看几何体得到的平面图形是几个正方形的组合图形；然后再分别得到的图形的列数和每列小正方形的个数，由此可得出答案.
【详解】解：根据主视图可知有上下两行，上面一行有1个正方形且在最后边，下面一行有3个正方形，
故选B.
【点睛】本题主要考查的是简单组合体的三视图，熟练掌握几何体三视图的画法是解题的关键.
3. 如图，已知直线l1l2，直线l与l1，l2分别相交于点A，B，把一块含30°角的直角三角尺按如图位置摆放，若∠1＝130°，则∠ABD的度数为（ ）
A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°
【答案】B
【解析】
【分析】利用平行线的性质求出∠CBA即可解决问题．
详解】解：如图，
∵l1l2，
∴∠2+∠CBA＝180°，
∵∠2＝∠1＝130°，
∴∠CBA＝180°－∠2＝50°，
∵∠DBC＝30°，
∴∠ABD＝∠CBA－∠DBC ＝50°﹣30°＝20°，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，对顶角相等等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4. 2021年9月17日，神舟十二号载人飞船返回舱在东风着落场安全降落，代表着此次载人飞行任务圆满结束．神舟十二号飞船的飞行速度每小时约为28440000米，将数据28440000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的形式是： ，其中＜10，为整数．所以，取决于原数小数点的移动位数与移动方向，是小数点的移动位数，往左移动，为正整数，往右移动，为负整数．本题小数点往左移动到2的后面，所以
【详解】解：28440000
故选C
【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握积的乘方，幂的乘方，单项式的除法，完全平方公式的运用是解题的关键．根据合并同类项，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，单项式除以单项式的法则，进行计算逐一判断即可解答．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
6. 已知关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式组的无解问题，先分别解出，再结合无解，即可作答．
【详解】解：∵
∴
∵关于的不等式组无解，
∴，
故选：D．
7. 小冰和小雪自愿参加学校组织的课后托管服务活动，随机选择自主阅读、体育活动、科普活动三项中的某一项，那么小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】画出树状图，共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果有l种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：设自主阅读、体育活动、科普活动分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果有1种，
小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为，
故选：．
【点睛】本题考查了用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验，画出树状图表示所有等可能的情况是解题的关键．
8. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，如果将先沿轴翻折，再向下平移个单位长度，得到，那么点的对应点的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由图得出的坐标，根据沿轴翻折求出点对应点为，再向下平移个单位长度，即横坐标不变，纵坐标减即可求出最后的坐标．
【详解】解：由图可知的坐标为，将沿轴翻折后点对应点为，再向下平移个单位长度，点的对应点的坐标为，即．
故选：．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、坐标与图形的变化——对称和平移，解题本题的关键是掌握点的坐标的变化规律．
9. 如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点O，与x轴，y轴交于点A，B两点，点B坐标为，与交于点C，，则图中阴影部分面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，根据可知是直径，再由圆周角定理求出，由锐角三角函数的定义得出及的长，根据即可得出结论．
【详解】解：连接，
∵，
∴是直径，
根据同弧对的圆周角相等得，
∵，
∴，
∴，即圆的半径为2，
∴
．
故选C．
【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
10. 已知二次函数（为常数，），点是该函数图象上一点，当时，，则的取值范围是（ ）
A. 或B.
C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与轴的交点坐标，再分两种情况：或，根据二次函数的性质求得的不同取值范围便可．
详解】解：∵二次函数，
∴对称轴为，抛物线与轴的交点为，
∵点是该函数图象上一点，当时，，
∴①当时，对称轴，
此时，当时，，即，
解得；
②当时，对称轴，
当时，随增大而减小，
则当时，恒成立；
综上，的取值范围是：或．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是分情况讨论．
二、填空题
11. 分解因式：4－x2＝_______．
【答案】
【解析】
【详解】解：直接应用平方差公式即可：．
故答案为：．
12. 在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的个红球，个黑球，要使从中随机摸取个球是黑球的概率为，则要往袋中添加黑球 __________个
【答案】3
【解析】
【分析】由概率=所求情况数与总情况数之比，根据随机摸出一个球是黑球的概率等于可得方程，继而求得答案．
【详解】要往袋中添加黑球m个，根据题意得：
，
解得，m=3，
经检验，m=3是原方程的根．
故答案为：3.
【点睛】此题考查了概率公式和分式方程的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13. 如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是___________．
【答案】##540度
【解析】
【分析】直接根据多边形内角和公式计算即可．
【详解】这个五边形的内角和是，
故答案为．
【点睛】本题考查多边形的内角和定理，熟练掌握多边形内角和定理是解答本题的关键．n变形的内角和为：．
14. 代数式与代数式的值相等，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到的值．
【详解】根据题意得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
经检验是分式方程的解．
故答案为：．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用转化思想，检验是解答本题的关键．
15. 某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始，经过______分钟时，当两仓库快递件数相同．
【答案】20
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用．利用待定系数法分别求出甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式，在求出两直线的交点即可得到答案．
【详解】解：设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为，
根据图象得，，
解得：，
∴，
设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为，
根据图象得，，
解得：，
∴，
联立，
解得：，
经过20分钟时，当两仓库快递件数相同，
故答案为：20．
16. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=4，E是AD的中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片，使B点落在E点，折痕为N；第二次折叠纸片，使N点与E点重合，点C在C'处，折痕为FH.则tan∠EHF=______ ·
【答案】
【解析】
【分析】利用折叠的性质，将所求的∠EHF转化为求∠EBN，即可求解．
【详解】解：如下图，连接 BE ，过点 E 作 EG⊥BC 于点 G ，
在矩形纸片 ABCD 中， AB =4 ，AD =，点 E 是 AD 的中点，
∴AE = BG = AD = BC =， EG = AB =4，
由折叠性质可得：
HF⊥EN ， BE⊥MN ，∠MEN = ∠ABC =90°，∠EHF = ∠NHF ，∠BMN = ∠EMN ，
∴HF ME ，
∴∠NHF = ∠EMN ，
∴∠EHF = ∠BMN ，
∵∠EBN =90°- ∠ABE = ∠BMN ，
∴∠EHF = ∠EBN ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形折叠的性质，矩形的性质，角度的转化，三角函数等知识点，解题的关键在于推出∠EHF=∠EBN ．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】解：原式
18. 解不等式组并写出所有整数解
【答案】，整数解为3，4
【解析】
【分析】分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，写出整数解即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
整数解为3，4．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键．
19. 如图，在中，E，F分别在上，交于点O，若，求证：点O为的中点．

【答案】见解析
【解析】
【分析】连接，证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质即可求解．
详解】证明：连接．

∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴且．
∴四边形是平行四边形．
∴点O为的中点．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，熟知平行四边形的性质是解答此题的关键．
20. 为迎接新学期的到来，老师对全校2000名学生的寒假学习情况进行了调查，采取随机抽样的方式抽取本校部分学生进行测试（满分100分），并将测试成绩分为A，B，C，D，E五级进行整理，以下是部分数据和不完整的统计图表．
成绩为的人的成绩：81，89，82，83，81，82，85，82，86，80．
请根据上述信息解答下列问题；
（1）______，______；
（2）等级成绩的众数为______；
（3）请补全条形统计图；
（4）根据调查结果，估计该校学生成绩为C等级及以上的人数．
【答案】（1）10，20
（2）82 （3）见解析 （4）1520
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、利用样本估计总体等知识点，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．
（1）根据成绩为的人的成绩的人数即可求出，首先根据E组的人数和在扇形图中的度数求出总人数，然后根据B组的人数求出所占的百分比；
（2）根据众数的概念求解即可；
（3）用总人数减去其他四组的人数即可求出b的值，进而补全条形统计图即可；
（4）根据样本估计总体方法求解即可．
【小问1详解】
∵成绩为的人的成绩：81，89，82，83，81，82，85，82，86，80，共10人，
∴频数
（人）
∴；
【小问2详解】
∵成绩为的人的成绩：81，89，82，83，81，82，85，82，86，80，
82出现的次数最多，
∴等级成绩的众数为82；
【小问3详解】
补全统计图如下：
【小问4详解】
（人）
∴估计该校学生成绩为C等级及以上的人数为1520人．
21. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，，，
（1）求屋顶到横梁的距离；
（2）求房屋的高．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了仰角的定义及其解直角三角形的应用，解题时首先正确理解仰角的定义，然后构造直角三角形利用三角函数和已知条件列方程解决问题．
（1）根据可得，再根据，即可求解；
（2）过点作于点，设，则，，再根据，列出方程求解即可．
【小问1详解】
解： ，
，
该房屋的侧面示意图是一个轴对称图形，
，，
，
答：屋顶到横梁的距离为．
【小问2详解】
解：过点作于点，
设，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，，
解得：，
，
答：房屋的高为．
22. 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹简，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线方向泻至水渠，水渠所在直线与水面平行；设筒车为，与直线交于P，Q两点，与直线交于B，C两点，恰有，连接．
（1）求证：为的切线；
（2）筒车的半径为，．当水面上升，A，O，Q三点恰好共线时，求筒车在水面下的最大深度（精确到，参考值：）．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接 并延长交 于，根据为的直径可以得到 ，继而得到 ，根据可证，可以得到，利用等量代换即可证明为的切线；
（2）根据，解出 ，根据 为的直径得到 ，进而得出，，又根据 得出，故可得到 ，过作交于，交PQ于E，于是在等腰中，根据锐角三角函数求出长，进而求出最大深度．
【小问1详解】
证明：连接 并延长交 于，连接BM，
为的直径，
，
，
，
，
又∵∠D=∠D，
，
，
又，
，
，
为的切线；
【小问2详解】
解：如图所示，
，，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
过作交于，交PQ于E，
为等腰直角三角形，
，
，
．
【点睛】本题主要考查圆的切线的判断，等腰三角形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，掌握公式定理并且灵活应用是解题的关键．
23. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．
（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，要求购进甲种粽子不少于乙种粽子的3倍，若设购买甲种粽子个，总费用为元，请为该超市设计出最省钱的购买方案并求最低费用．
【答案】（1）甲种粽子的单价为8元/个，乙种粽子的单价为4元/个
（2）购进甲种粽子150个，乙种粽子50个最省钱，最低费用为1400元．
【解析】
【分析】（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，由题意：购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子个，总费用为w元，可得w与m的函数关系式，再根据，利用一次函数的性质解答即可．
【小问1详解】
解：设乙种粽子的单价为元/个，则甲种粽子的单价为元/个，
由题意得：
解得：，
经检验是原方程的解且符合题意，，
答：甲种粽子的单价为8元/个，乙种粽子的单价为4元/个，
【小问2详解】
解：设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子个，
依题意，得，
∵，
∴，
在中，随的增大而增大，
所以时，费用最小为1400元，
即购进甲种粽子150个，乙种粽子50个最省钱，最低费用为1400元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据题意列一次函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
24. 一次函数与轴交于点，与轴交于点，直线与反比例函数交于点．
（1）求出，的值；
（2）为线段上的点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点恰巧在反比例函数上，求出点坐标；
（3）在（2）的条件下，若点是轴上的一个动点，点是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点，，使得四边形为菱形，若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）3；6 （2）
（3）或
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，反比例函数与几何图形的综合应用，菱形的判定和性质：
（1）把点代入一次函数解析式，求出的值，再把点代入反比例函数解析式求出的值即可；
（2）求出点的坐标为，点的坐标为，而为线段上的点，设，得到，代入反比例函数解析式即可求解；
（3）设点，，根据菱形的性质，分2种情况讨论求解即可．
【小问1详解】
把点坐标代入一次函数解析式可得：，
，
点在反比例函数图象上，
；
【小问2详解】
当时，，解得，
当时，，
一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，
点的坐标为，点的坐标为，
为线段上的点，
∴设，则，
则有，
解得，或舍去
；
∴；
【小问3详解】
设点，，
由（2）可知：点，点，
∴，
由题意知，为菱形的边，
则点向右平移个单位向上平移个单位得到点，
则点向右平移个单位向上平移个单位得到点，
由平移规则和得：
或，
解得：或，
即点的坐标为：或或或．
25. 已知中，，，点是线段延长线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转度，得到线段，连接、．
（1）如图1，当时，线段与数量关系是 ； ；
（2）如图2，当时，求出线段与的数量关系以及的度数；
（3）如图3，当，， 时，求的长．
【答案】（1），
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）可证明，从而得出，，从而点、、、共圆，进一步得出结果；
（2）可推出，，从而，从而得出，，所以，点、、、共圆，；
（3）作于，同理（2）可得：，点、、、共圆，，从而，，故，，可推出，从而、、共线，在中，求得，，，解，求得，进一步得出结果．
【小问1详解】
解：，，，
∴，为等边三角形，
，，，
，
，，
点、、、共圆，
．
【小问2详解】
，，
，
，
同理可得：，，
，，
，
，
，，
，点、、、共圆，
；
【小问3详解】
如图：
作于，作于，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
同理（2）可得：，点、、、共圆，，
，，
，，
，
，
、、共线，
在中，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”等模型．
26. 抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，直线，点在抛物线上，设点的横坐标为．

（1）求抛物线的表达式和，的值；
（2）如图1，过点作轴的垂线与直线交于点，过点作，垂足为点，若，求的值；
（3）如图2，若点在直线下方的抛物线上，过点作，垂足为，求的最大值．
【答案】（1），，
（2）的值为
（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）根据，可知，再求出，，，，建立方程求出的值即可；
（3）过点作的平行线，过点作交于点，过点作轴交于点，则四边形是矩形，先求出直线的解析式为，得到，再由直角三角形的三角形函数值分别求出，，，可得，当时，有最大值．
【小问1详解】
解：将点代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为，
将点代入，
得，
解得（舍或，
，
将点代入，
，
解得；
【小问2详解】
解：点的横坐标为，
，
由（1）直线的解析式为，
，
，
，
，，，，
，
，
，
解得或，
当时，此时不构成直角三角形，
综上所述：的值为；
【小问3详解】
解：过点作的平行线，过点作交于点，过点作轴交于点，
，
四边形是矩形，
，，
，
直线的解析式为，
，
，
，，
，
，，
，
，
，，
，
当时，有最大值．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，三角形相似的性质，直角三角形的性质，矩形的性质，熟练掌握相关性质内容是解题的关键．成绩等级
分数段
频数
A
8
B
C
D
7
E
5