2024年山东省济南市平阴县九年级中考一模数学模拟试题(原卷版+解析版)
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第Ⅰ卷 选择题(40分)
一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分)
1. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体,它的俯视图是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答.
【详解】解:从上面看下边是一个矩形,矩形的上边是一个圆,
故选:D.
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图,掌握从上面看得到的图形是俯视图是解答本题的关键.
2. 党的二十大报告指出,我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系,教育普及水平实现历史性跨越,基本养老保险覆盖十亿四千万人,基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五、将数据1040000000用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式,其中,为整数.确定的值时,要看把原数变成时,小数点移动了多少位,的绝对值与小数点移动的位数相同.
【详解】解:,
故选:C.
【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为的形式,其中,为整数,表示时关键要正确确定的值以及的值.
3. 如图,的直角顶点A在直线a上,斜边在直线b上,若,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行线的性质及直角三角形两内角互余即可得解;
【详解】,
,
又
故选择:C
【点睛】本题主要考查利用平行线的性质求三角形中角的度数,利用平行线的性质得到是解题的关键.
4. 如图,比数轴上点A表示的数大3的数是( )
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据数轴及有理数的加法可进行求解.
【详解】解:由数轴可知点A表示的数是,所以比大3的数是;
故选D.
【点睛】本题主要考查数轴及有理数的加法,熟练掌握数轴上有理数的表示及有理数的加法是解题的关键.
5. 下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.中心对称图形的定义:把一个图形绕某一点旋转,如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形;轴对称图形的定义:如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台,这样的图形叫做轴对称图形.根据定义依次对各个选项进行判断即可.
【详解】解:A、该图形既是轴对称图形,又是中心对称图形,故此选项符合题意;
B、该图形是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项不符合题意;
C、该图形是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
D、该图形是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不符合题意.
故选:A.
6. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂的乘方法、同底数幂的除法法则、同底数幂的乘法以及合并同类项逐项判断即可.
【详解】解:A.,故A选项计算正确,符合题意;
B.,故B选项计算错误,不合题意;
C.,故C选项计算错误,不合题意;
D.与不是同类项,所以不能合并,故D选项计算错误,不合题意.
故选:A.
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算以及整式的加减运算等知识点,同底数幂相乘,底数不变,指数相加;同底数幂相除,底数不变,指数相减;幂的乘方,底数不变,指数相乘.
7. 已知点,,都在反比例函数的图象上,则,,的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质,掌握反比例函数系数与增减性的关系是解题关键.由可知,反比例函数图象经过一、三象限,且在每个象限内随的增大而减小,据此即可得到答案.
【详解】解:,
反比例函数图象经过一、三象限,且在每个象限内随的增大而减小,
点,,,
点、在第三象限,点在第一象限,
,,,
,
,
,
故选:D
8. 4月23日是世界读书日,学校举行“快乐阅读,健康成长”读书活动.小明随机调查了本校七年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量,数据如下表所示:
则阅读课外书数量的中位数和众数分别是( )
A. 8,9B. 10,9C. 7,12D. 9,9
【答案】D
【解析】
【分析】利用中位数,众数的定义即可解决问题.中位数:把一组数据按从小到大的顺序排列,在中间的一个数字(或者两个数字的平均值)叫做这组数据的中位数.众数:在一组数据中出现次数最多的数.
【详解】解:中位数为第15个和第16个的平均数为:,众数为9.
故选:D.
【点睛】本题考查了中位数和众数,解题的关键是掌握平均数、中位数和众数的概念.
9. 如图,是等腰三角形,.以点B为圆心,任意长为半径作弧,交AB于点F,交BC于点G,分别以点F和点G为圆心,大于的长为半径作弧,两弧相交于点H,作射线BH交AC于点D;分别以点B和点D为圆心,大于的长为半径作弧,两孤相交于M、N两点,作直线MN交AB于点E,连接DE.下列四个结论:①;②;③;④当时,.其中正确结论的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形两底角相等与,得到,根据角平分线定义得到,根据线段垂直平分线性质得到,得到,推出,得到,推出,①正确;根据等角对等边得到,,根据三角形外角性质得到,得到,推出,②正确;根据,得到,推出,③错误;根据时, ,得到,推出,④正确.
【详解】∵中,,,
∴,
由作图知,平分,垂直平分,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∴,①正确;
,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,②正确;
设,,
则,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
即,③错误;
当时,,
∵,
∴,
∴,④正确
∴正确的有①②④,共3个.
故选:C.
【点睛】本题主要考查了等腰三角形,相似三角形,解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形判定和性质,相似三角形的判定和性质,角平分线的定义和线段垂直平分线的性质.
10. 已知二次函数(a为常数,且),下列结论:
①函数图像一定经过第一、二、四象限;②函数图像一定不经过第三象限;③当时,y随x的增大而减小;④当时,y随x的增大而增大.其中所有正确结论的序号是( )
A. ①②B. ②③C. ②D. ③④
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐一分析即可.
【详解】解:∵抛物线对称轴为,,
∴二次函数图象必经过第一、二象限,
又∵,
∵,
∴,
当时,抛物线与x轴无交点,二次函数图象只经过第一、二象限,
当时,抛物线与x轴有两个交点,二次函数图象经过第一、二、四象限,
故①错误;②正确;
∵抛物线对称轴为,,
∴抛物线开口向上,
∴当时,y随x的增大而减小,故③正确;
∴当时,y随x的增大而增大,故④错误,
故选:B.
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质,熟练掌握二次函数图象与各项系数符号之间的关系是解题的关键.
第Ⅱ卷 非选择题(共110分)
二、填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
11. 因式分解:______.
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查因式分解,直接利用完全平方公式法因式分解即可.
【详解】解:原式;
故答案为:.
12. 一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球(仅有颜色不同).若从中任意摸出一个球是红球的概率为,则_________.
【答案】9
【解析】
【分析】根据概率公式列分式方程,解方程即可.
【详解】解:从中任意摸出一个球是红球的概率为,
,
去分母,得,
解得,
经检验是所列分式方程的根,
,
故答案为:9.
【点睛】本题考查已知概率求数量、解分式方程,解题的关键是掌握概率公式.
13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则k的取值范围是________.
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查根的判别式,根据方程有两个不相等的实数根,得到,列出不等式进行求解即可.
【详解】解:∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,
∴,
∴;
故答案为:.
14. 若直线向上平移3个单位长度后经过点,则的值为________.
【答案】5
【解析】
【分析】根据平移的规律求出平移后的解析式,再将点代入即可求得的值.
【详解】解:直线向上平移3个单位长度,
平移后的直线解析式为:.
平移后经过,
.
故答案为:5.
【点睛】本题考查的是一次函数的平移,解题的关键在于掌握平移的规律:左加右减,上加下减.
15. 《梦溪笔谈》是我国古代科技著作,其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图,是以点O为圆心、OA为半径的圆弧,N是的中点..“会圆术”给出的弧长l的近似值计算公式:.当,时,利用“会圆术”给出的公式计算的弧长l的值为________.
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质,解直角三角形,弧长的计算,二次根式的混合运算等知识,求出弧长l的近似值计算公式所需线段是解题关键.连接,证明是等边三角形,进而得到,,由余弦函数求出,再证明、、三点共线,得出,最后利用弧长l的近似值计算公式求解即可.
【详解】解:如图,连接,
,,
是等边三角形,
,
N是的中点,
,,
,
,
、、三点共线,
,
,
,
故答案为:
16. 如图,已知正方形的边长为1,点E、F分别在边上,将正方形沿着翻折,点B恰好落在边上的点处,如果四边形与四边形的面积比为3∶5,那么线段的长为________.
【答案】
【解析】
【分析】连接,过点作于点,设,则,则,根据已知条件,分别表示出,证明,得出,在中,,勾股定理建立方程,解方程即可求解.
【详解】解:如图所示,连接,过点作于点,
∵正方形的边长为1,四边形与四边形的面积比为3∶5,
∴,
设,则,则
∴
即
∴
∴,
∴,
∵折叠,
∴,
∴,
∵,
∴,
又,
∴,
∴
在中,
即
解得:,
故答案为:.
【点睛】本题考查了正方形的性质,折叠的性质,勾股定理,全等三角形的性质与判定,熟练掌握以上知识是解题的关键.
三、解答题(本大题共10个小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 计算:.
【答案】3
【解析】
【分析】根据负整数指数幂和零指数幂运算法则,特殊角的三角函数值,进行计算即可.
【详解】解:
.
【点睛】本题主要考查了实数混合运算,解题的关键是熟练掌握负整数指数幂和零指数幂运算法则,特殊角的三角函数值,准确计算.
18. 解不等式组并写出它的所有整数解.
【答案】,整数解为0,1,2
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.
先求出每个不等式的解集,再求出不等式组的解集,找出整数解即可.
【详解】解:
解不等式①,得,
解不等式②,得:,
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:
则不等式组的解集为:
.
整数解为0,1,2
19. 如图,点E、F、G分别在▱ABCD的边AB、BC和AD上,且BA=BF,AE=AG,连接FE.求证:FE=FG.
【答案】见解析
【解析】
【分析】由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠DAF=∠BAF,由“SAS”可证△AEF≌△AGF,可得FE=FG.
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠DAF=∠BFA,
∵BA=BF,
∴∠BAF=∠BFA,
∴∠DAF=∠BAF,
在△AEF和△AGF中,
∴△AEF≌△AGF(SAS)
∴FE=FG.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,平行四边形的性质,掌握全等三角形的判定是解题的关键.
20. 如图1,某人的一器官后面处长了一个新生物,现需检测到皮肤的距离(图1).为避免伤害器官,可利用一种新型检测技术,检测射线可避开器官从侧面测量.某医疗小组制定方案,通过医疗仪器的测量获得相关数据,并利用数据计算出新生物到皮肤的距离.方案如下:
请你根据上表中的测量数据,计算新生物处到皮肤的距离.(结果精确到)(参考数据:,,,,,)
【答案】新生物处到皮肤的距离约为
【解析】
【分析】过点作,垂足为,在,用 与的正切值表示出,在中,用和的正切值表示出,由,联立求解即可.
【详解】解:过点作,垂足.
由题意得,,,
在中,.
中,.
∵,
∴,
∴.
答:新生物处到皮肤的距离约为.
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用,构造直角三角形,通过三角函数求解线段是求解本题的关键.
21. 在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中,某中学以兴趣小组为载体,加强社团建设,艺术活动学生参与面达,通过调查统计,八年级二班参加学校社团的情况(每位同学只能参加其中一项):A.剪纸社团,B.泥塑社团,C.陶笛社团,D.书法社团,E.合唱社团,并绘制了如下两幅不完整的统计图.
(1)该班共有学生_________人,并把条形统计图补充完整;
(2)扇形统计图中,___________,___________,参加剪纸社团对应的扇形圆心角为_______度;
(3)小鹏和小兵参加了书法社团,由于参加书法社团几位同学都非常优秀,老师将从书法社团的学生中选取2人参加学校组织的书法大赛,请用“列表法”或“画树状图法”,求出恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率.
【答案】(1),详见图示;
(2),,;
(3);
【解析】
【分析】(1)利用C类人数除以所占百分比可得调查的学生人数;用总人数减去其它四项的人数可得到D的人数,然后补图即可;
(2)根据总数与各项人数比值可求出m,n的值,A项目的人数与总人数比值乘即可得出圆心角的度数;
(3)画树状图展示所有20种等可能的结果数,再找出恰好选中小鹏和小兵的结果数,然后利用概率公式求解.
【小问1详解】
本次调查的学生总数:(人),
D、书法社团的人数为:(人),如图所示
故答案为:50;
【小问2详解】
由图知,,
∴,参加剪纸的圆心角度数为
故答案为:20,10,
【小问3详解】
用表示社团的五个人,其中A,B分别代表小鹏和小兵树状图如下:
共20种等可能情况,有2种情恰好是小鹏和小兵参加比赛,
故恰好选中小鹏和小兵的概率为.
【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合运用,列表法与画树状图法求概率,解题的关键是掌握列表法与画树状图法求概率的方法:先利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式求事件A或B的概率.
22. 如图,在中,,点D是上一点,且,点O在上,以点O为圆心的圆经过C、D两点.
(1)试判断直线与的位置关系,并说明理由;
(2)若的半径为3,求的长.
【答案】(1)直线与相切,理由见解析
(2)6
【解析】
【分析】(1)连接,根据圆周角定理,得到,进而得到,即可得出与相切;
(2)解直角三角形,求出的长,进而求出的长,再解直角三角形,求出的长即可.
【小问1详解】
解:直线与相切,理由如下:
连接,则:,
∵,即:,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵为半径,
∴直线与相切;
【小问2详解】
解:∵,的半径为3,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
设:,
则:,
∴,
∴.
【点睛】本题考查切线的判定,解直角三角形.熟练掌握切线的判定方法,正弦的定义,是解题的关键.
23. 某超市销售A、B两种品牌的盐皮蛋,若购买9箱A种盐皮蛋和6箱B种盐皮蛋共需390元;若购买5箱A种盐皮蛋和8箱B种盐皮蛋共需310元.
(1)A种盐皮蛋、B种盐皮蛋每箱价格分别是多少元?
(2)若某公司购买A、B两种盐皮蛋共30箱,且A种的数量至少比B种的数量多5箱,怎样购买才能使总费用最少?并求出最少费用.
【答案】(1)A种盐皮蛋每箱价格是30元,B种盐皮蛋每箱价格是20元
(2)购买A种盐皮蛋18箱,B种盐皮蛋12箱才能使总费用最少,最少费用为780元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用,以及根据一次函数增减性求最值.正确列出方程组和一次函数的关系式是解题的关键.
(1)设A种盐皮蛋每箱价格是x元,B种盐皮蛋每箱价格是y元,根据题意建立方程组,解方程组即可得解;
(2)设购买A种盐皮蛋m箱,则购买B种盐皮蛋箱,购买A种盐皮蛋和B种盐皮蛋共花费w元,根据题意列不等式,求出m的取值范围,再根据题意列出w与m之间的函数关系式,根据一次函数的增减性即可求出w的最小值.
【小问1详解】
解:设A种盐皮蛋每箱价格是x元,B种盐皮蛋每箱价格是y元,
由题意得:,
解得 .
答:A种盐皮蛋每箱价格是30元,B种盐皮蛋每箱价格是20元.
【小问2详解】
解:设购买A种盐皮蛋m箱,则购买B种盐皮蛋箱,购买A种盐皮蛋和B种盐皮蛋共花费w元,
由题意得:,
解得,
,
即:,
,
随m的增大而增大.
当时,w取得最小值780,
.
答:购买A种盐皮蛋18箱,B种盐皮蛋12箱才能使总费用最少,最少费用为780元.
24. 如图,在平面直角坐标系中,直线与y轴交于点A,与反比例函数的图象的一个交点为,过点B作的垂线l.
(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式;
(2)若点C在直线l上,且的面积为5,求点C的坐标;
(3)P是直线l上一点,连接,以P为位似中心画,使它与位似,相似比为m.若点D,E恰好都落在反比例函数图象上,请直接写出m的值.
【答案】(1)点A的坐标为;
(2)点C的坐标为或
(3)
【解析】
【分析】(1)利用直线解析式可的点C的坐标,将点代入可得a的值,再将点代入反比例函数解析式可得k的值,从而得解;
(2)设直线l于y轴交于点M,由点B的坐标和直线l是的垂线先求出点M的坐标,再用待定系数法求直线l的解析式,C点坐标为,根据(分别代表点B与点C的横坐标)可得点C的横坐标,从而得解;
(3) 位似图形的对应点与位似中心三点共线可知点B的对应点也在直线l上,不妨设为点E,则点A的对应点是点D,直线l与双曲线的解析式联立方程组得到,由得到,继而得到直线与直线的解析式中的一次项系数相等,设直线的解析式是:,将代入求得的解析式是:,再将直线与双曲线的解析式联立求得,再用待定系数法求出的解析式是,利用直线的解析式与直线l的解析式联立求得点P的坐标为,再用两点间的距离公式得到,从而求得.
【小问1详解】
解:令,则
点A的坐标为,
将点代入得:
解得:
将点代入得
解得:
反比例函数的表达式为;
【小问2详解】
解:设直线l于y轴交于点M,直线与x轴交于点N
令解得:
,
,
又,
,
又直线l是AB的垂线即,,
,
设直线l得解析式是:,
将点,点代入得:
解得:
直线l的解析式是:,
设点C的坐标是
解得:或6,
当时,;
当时,,
点C的坐标为或.
【小问3详解】
解:∵位似图形的对应点与位似中心三点共线,
∴点B的对应点也在直线l上,不妨设为点E,则点A的对应点是点D,
∴点E是直线l与双曲线的另一个交点,
将直线l与双曲线的解析式联立得:
解得:或
∴
画出图形如下:
又∵
∴
∴
∴直线与直线的解析式中的一次项系数相等,
设直线的解析式是:
将点代入得:
解得:
∴直线的解析式是:
∵点D也在双曲线上,
∴点D是直线与双曲线另一个交点,
将直线与双曲线的解析式联立得:
解得:或
∴
设直线的解析式是:
将点,代入得:
解得:
∴直线的解析式是:,
又将直线的解析式与直线l的解析式联立得:
解得:
∴点P的坐标为
∴
∴.
【点睛】本题考查直线与坐标轴的交点,求反比例函数解析式,反比例函数的图象与性质,反比例函数综合几何问题,三角形的面积公式,位似的性质等知识,综合性大,利用联立方程组求交点和掌握位似的性质是解题的关键.
25. 已知抛物线与轴相交于点,,与轴相交于点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图1,点是抛物线的对称轴上的一个动点,当的周长最小时,求的值;
(3)如图2,取线段的中点,在抛物线上是否存在点,使?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
【解析】
【分析】(1)待定系数法求函数解析式即可;
(2)根据周长等于,以及为定长,得到当的值最小时,的周长最小,根据抛物线的对称性,得到关于对称轴对称,则:,得到当三点共线时,,进而求出点坐标,即可得解;
(3)求出点坐标为,进而得到,得到,分点在点上方和下方,两种情况进行讨论求解即可.
【小问1详解】
解:∵抛物线与轴相交于点,,
∴,解得:,
∴;
【小问2详解】
∵,当时,,
∴,抛物线的对称轴为直线
∵的周长等于,为定长,
∴当的值最小时,的周长最小,
∵关于对称轴对称,
∴,当三点共线时,的值最小,为的长,此时点为直线与对称轴的交点,
设直线的解析式为:,
则:,解得:,
∴,
当时,,
∴,
∵,
∴,,
∴;
【小问3详解】
解:存在,
∵为的中点,
∴,
∴,
∵,
∴,
在中,,
∵,
∴,
①当点在点上方时:
过点作,交抛物线与点,则:,此时点纵坐标为2,
设点横坐标为,
则:,
解得:,
∴或;
②当点在点下方时:设与轴交于点,
则:,
设,
则:,,
∴,解得:,
∴,
设的解析式为:,
则:,解得:,
∴,
联立,解得:或,
∴或;
综上:或或或.
【点睛】本题考查二次函数的综合应用,正确的求出二次函数解析式,利用数形结合,分类讨论的思想进行求解,是解题的关键.本题的综合性强,难度较大,属于中考压轴题.
26. 综合与实践.
(1)提出问题.如图1,在和中,,且,,连接,连接交的延长线于点O.的度数是________;_______.
(2)类比探究.如图2,在和中,,且,,连接、并延长交于点O.求的度数及的值
(3)问题解决.如图3,在等边中,于点D,点E在线段上(不与A重合),以为边在的左侧构造等边,将绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度.如图4,M为的中点,N为的中点.请说明为等腰三角形.
【答案】(1);;
(2),
(3)见解析
【解析】
【分析】(1)证明,得到,,即可得到答案;
(2)根据等腰直角三角形的性质,推出,,易证,进而得到,,即可得到答案;
(3)连接、,延长交于点P,交于点O根据等边三角形三线合一的性质,可证、分别是在、的中位线,得到,,再证明,得到,进而得出,即证明结论.
【小问1详解】
解:,
,
,
又,,,
,
,,
,,
故答案为:;;
【小问2详解】
解: ,,,
,,,
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,
,,
,;
【小问3详解】
解:连接、,延长交于点P,交于点O.
在等边中,
于点D,
为的中点,
又为的中点,N为的中点,
、分别是在、的中位线,
,.
,
.
在和中,
,
.
.
.
为等腰三角形.
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,三角形中位线定理,等边三角形的性质,掌握全等三角形和相似三角形的性质是解题关键.
人数
6
7
10
7
课外书数量(本)
6
7
9
12
课题
检测新生物到皮肤的距离
工具
医疗仪器等
示意图
说明
如图2,新生物在处,先在皮肤上选择最大限度地避开器官的处照射新生物,检测射线与皮肤的夹角为;再在皮肤上选择距离处的处照射新生物,检测射线与皮肤的夹角为.
测量数据
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