四川省什邡中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题

这是一份四川省什邡中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题，共10页。试卷主要包含了已知函数，则函数的导函数为，设函数在处存在导数为2，则，若函数，则函数的单调递减区间为，已知空间中三点A等内容，欢迎下载使用。

单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知等差数列的前n项和为，且，，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．已知函数，则函数的导函数为（ ）
A．B．C．D．
3．高二某班4名同学分别从3处不同风景点中选择一处进行旅游观光，则共有多少种选择方案（ ）
A．种B．种C．种D．种
4．设函数在处存在导数为2，则（ ）
A．B．1C．2D．3
5．若函数，则函数的单调递减区间为（ ）
A．， B． C．D．
6．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知抛物线的焦点为F，，过点M作直线的垂线，垂足为Q，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．5C．D．
8．已知函数，若对，都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．数列，，，…为等比数列
10．已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（—1，3，1），则（ ）
A．是共线向量
B．与向量方向相同的单位向量坐标是
C．夹角的余弦值是
D．上的投影向量的模为
11．已知双曲线，点、是的左、右顶点，则（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．过作与有且仅有一个公共点的直线，这样的直线恰有条
D．过的右焦点的直线与交于、，则可以使得的直线恰有条
12．已知定义在上的函数，其导函数分别为，若，，，，则（ ）
A．是奇函数 B．是周期函数
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．若函数的导函数为，且满足，则 ．
14. 已知M（m，n）为圆C：上任意一点，则的最小值为 .
15．设椭圆的左右焦点为，，过点的直线与该椭圆交于，两点，若线段的中垂线过点，则 ．
16．定义在上的偶函数满足，且当时，，则曲线在点处的切线方程为 .
四、解答题：共70分
17．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的极值.
18．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，
且，.
(1)求角B及边b的大小；
(2)求的值．
19．已知数列满足．记．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前n项和．
20．如图，在三棱柱中，底面侧面，，，．
(1)证明：平面；
(2)若，求平面与平面所成的角的余弦值．
21．已知椭圆（）的离心率为，且过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)分别过椭圆的左、右焦点、作两条互相垂直的直线和，与交于，与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点．
①求证：；
②求证：为定值．
22．已知函数．
（1）若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围；
（2）设是函数的两个极值点，证明：
什邡中学高2022级平实班第四学期第一次月考
数 学 答 案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14． 15． 16．．
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.【详解】（1）的定义域为，
，所以， 又因为，所以切点为，
所以曲线在处的切线方程为
（2），当时，，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，取得极小值，且极小值为，无极大值.
18.【详解】（1）依题意，，
由正弦定理得，由于锐角三角形中，
所以，而是锐角，所以.
由余弦定理得.
（2）由余弦定理得，而是锐角，
所以，所以.
.
19．【详解】（1）由，
可得，
因为，所以表示以1为首项，2为公比的等比数列；
（2）由（1）得，，可得，
记，
则，
，
两式相减，可得，
即， 所以.
20.【详解】（1）在三棱柱中，由，得四边形是菱形，
则，
由平面平面，平面平面，平面，
得平面，而平面，则，又，
因此，而平面,
所以平面.
（2）在平面内过点作于，由平面平面，
平面平面，得平面，而平面，则，
在平面内过作于，连接，又平面，
于是平面，而平面，则，从而是二面角的平面角，
由，得，
由，得，，
则，显然，
，
，
所以平面与平面所成的角的余弦值是.
21．【详解】（1）椭圆的的离心率为，所以，故，
又，故，
椭圆过点，故有，即，解得，
因此椭圆的标准方程为；
（2）①当直线和中有一条没有斜率时，另一条的斜率为零，此时点是或者是，
由，，此时，即成立，
当直线存在斜率且不为零时，设为，所以直线的斜率为，
因为，坐标原点是线段的中点，
所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆（不包括两焦点），
综上所述：点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，因此，
则，故恒成立；
②当直线和中有一条没有斜率时，由于椭圆的对称性，不妨设直线不存在，
因此直线的斜率为零，，
把时，，所以，
显然，所以；
当直线存在斜率且不为零时，设为，所以直线的斜率为，
直线的方程为：，设，
于是有，
由在椭圆内部，故恒成立，，
，同理可得：，
于是，
综上所述：，恒为定值.
22．【解析】（1），
函数存在单调递减区间，在上有解，
，设，则，
∴只需或， 解得或，
故实数b的取值范围为；
（2）证明：由题意可知，，
有两个极值点，
是的两个根，则，
， ∴要证，即证，
即证，即证，即证，
令，则证明， ，
则，在上单调递增，
则，即，
所以原不等式成立．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
D
A
C
B
A
B
题号
9
10
11
12
答案
ABC
BD
BCD
BCD