四川省什邡中学2022-2023学年高一数学下学期第一次月考试题（Word版附解析）

什邡中学高2022级平实班第二学期第一次月考

数  学  试  卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用交集的定义可求.

【详解】由题设有，

故选：B .

2. 命题“”的否定是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由特称命题的否定是全称命题即可得出答案.

【详解】命题“”的否定是:.

故选：C.

3. （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据诱导公式求得余弦值.

【详解】由诱导公式知，

故选：D

4. 如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有（    ）

A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个

【答案】D

【解析】

【分析】根据共线向量的定义与正六边形的性质直接得出.

【详解】图中与共线的向量有：

，共9个，

故选：D.

5. 在边长为的正三角形中，的值为

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】以、为邻边作菱形，则，计算出菱形的对角线的长度即可得出答案.

【详解】以、为邻边作菱形，则，

由图形可知，的长度等于等边的边上的高的倍，

即，因此，，故选：D.

  【点睛】本题考查差向量模的计算，解题的关键就是作出图形，找出差向量，分析图形的形状，进而求出线段长度，考查数形结合思想的应用，属于中等题.

6. 角的终边经过点，那么（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得和的值，可得的值．

【详解】解：角终边上一点，，，

则，

故选：．

7. 设，，，则，，的大小关系是

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据指数函数，对数函数的性质，及余弦函数的性质解答.

【详解】解：，，，

综上可得

故选：

【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质，属于基础题.

8. 已知函数，若函数f(x)恰有2个零点，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据的图象进行分析，由的零点个数确定的取值范围.

【详解】画出函数的图象如下图所示，

依题意有个零点，

所以实数的取值范围是.

故选：B

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列函数中，最小正周期为的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用三角函数的周期公式即可得到结果.

【详解】对于A，最小正周期为；

对于B，，最小正周期为；

对于C，，最小正周期为；

对于D，，最小正周期为，

故选 ：ABC

10. 若幂函数的图像经过点，则（    ）

A.  B.

C. 函数的定义域为 D. 函数的值域为

【答案】BD

【解析】

【分析】根据幂函数解析式求出,得出解析式,再分别求出定义域值域判断即可.

【详解】因为是幂函数,所以,解得,故B正确;

所以,又因的图像经过点,所以,所以,解得,故A错误;

因为,则其定义域,值域均为,故C错误,D正确.

故选:BD.

11. 若正实数m、n，满足，则以下选项正确的有（    ）

A. mn的最大值为 B. 的最小值为

C. 的最小值为4 D. 的最小值为2

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据基本不等式求得正确答案.

【详解】A选项，，当且仅当时等号成立，所以A选项正确；

B选项，，当且仅当时等号成立，所以B选项正确；

C选项，，，当且仅当时等号成立，所以C选项正确；

D选项，

,

但，，

与已知为正数，且矛盾，所以等号不成立，D选项错误.

故选：ABC

12. 已知，若存在，使得，则下列结论正确的有（    ）

A. 实数的取值范围为 B. 的最大值为

C.  D. 取值范围为

【答案】ACD

【解析】

【分析】作出函数的图象，利用和的图象有4个交点解出的范围判断A，根据是方程的两根判断B，根据是方程的两个根结合对数的运算性质判断C，利用及对勾函数的单调性判断D.

【详解】根据题意作出的图象如下：

由图象可知当时函数的图象与有4个交点，

即存在，使得，

且，，，，选项A正确；

因为是方程，即两根，

所以根据韦达定理得，结合可得不存在最大值，B错误；

因为是方程的两个根，且，，

所以，即，

所以，解得，C正确；

由是方程的两根可得，

因为，，所以，

令，,由对勾函数的性质可得在上单调递减，

所以，即，

所以，D正确；

故选：ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 函数的定义域是______.

【答案】

【解析】

【分析】根据分母不为零，对数真数大于零得到不等式组，解得即可.

【详解】因为，所以，解得或，

所以函数的定义域为.

故答案为：

14. 已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________．

【答案】

【解析】

【分析】利用集合法，将是的必要不充分条件转化为两集合间真包含关系，列出关于的不等式组，解不等式组即可得到答案．

【详解】因为，，且是的必要不充分条件，

所以是的真子集，且不是空集.

所以且等号不同时成立，解得，

所以实数的取值范围是，

故答案为:.

【点睛】解决根据充分条件和必要条件条件求参数取值范围的问题：一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的包含、相等关系，列出关于参数的不等式(组)求解.

15. 设与是两个不共线向量，，，.若A，B，D三点共线，则的值为________．

【答案】

【解析】

【分析】根据三点共线，转化为向量，计算向量后，再转化为向量相等，即可求解的值.

【详解】因为A，B，D三点共线，所以必存在一个实数λ，使得.又，，，所以 ，化简为，所以，又与不共线，所以 解得.

故答案为：

16. “大胆猜想，小心求证”是科学研究发现重要思路.意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测“固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是抛物线”，直到17世纪，瑞典数学家雅各布.伯努利提出该曲线为“悬链线”而非抛物线并向数学界征求答案.其中双曲余弦函数coshx就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，对应的双曲正弦函数.设函数，若实数满足不等式，则m的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，从而求得的取值范围.

【详解】依题意，的定义域是，

，所以是奇函数，

，

所以在上递增，

所以，由得，

则，

解得或，

所以的取值范围是.

故答案为：

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17 计算：

（1）；

（2）.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据分数指数幂的运算法则及根式的性质计算可得；

（2）根据对数的运算法则计算可得.

【小问1详解】

解：

.

【小问2详解】

解：

.

18. 已知为第三象限角，且．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据正弦求出余弦，再求出正切值；

（2）先利用诱导公式化简目标式，再代入求解.

【小问1详解】

因为为第三象限角，且，所以；.

【小问2详解】

由（1）得，所以.

19. 已知关于x的不等式的解集为或．

（1）求a，b的值；

（2）若，解关于的不等式．

【答案】（1）   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）根据不等式的解集和方程的根的关系，列方程组求a，b的值；

（2）代入a，b的值，然后分与的大小关系讨论来解不等式.

【小问1详解】

关于x的不等式的解集为或

即方程的根为，

，

解得；

【小问2详解】

由（1）得关于的不等式，

即，

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.

20. 已知函数．

（1）求函数图象的相邻两条对称轴的距离；

（2）求函数在区间上的最大值与最小值，以及此时的取值．

【答案】（1）；（2）时，取得最大值为3；当时，取得最小值为．

【解析】

【分析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式可把函数化简为．

（1）求出函数的半周期得答案；

（2）由的范围求出的范围，利用正弦函数的性质可求原函数的最值及使原函数取得最值时的值．

【详解】．

（1）函数图象的相邻两条对称轴的距离为；

（2），

∴当，即时，取得最大值为3；

当，即时，取得最小值为．

【点睛】本题考查型函数的图象与性质、倍角公式与两角和的正弦的应用，是基础题．

21. 已知函数的部分图像如图所示.

（1）求的解析式；

（2）将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得函数图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，求的单调递增区间；

（3）当时，求函数的最值.

【答案】（1）（2）（3）函数的最小值为，最大值为2

【解析】

【分析】（1）结合三角函数的图像求参数的值即可得解；

（2）由三角函数图像的平移变换，求其平移后的解析式，再结合三角函数单调区间的求法即可；

（3）先结合（1）求出函数 关于的函数关系，再结合三角函数的值域的求法即可得解.

【详解】解：（1）由题图得，

因为，∴.

由，得，

所以，解得.

又因为，∴当时，.

又由，得.

故.

（2）将的图像上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的图像，再将图像右平移个单位长度得到的图像.

由，得，

∴的单调递增区间为.

（3）

.

∵，

∴，

∴函数的最小值为，最大值为2.

【点睛】本题考查了由三角函数的图像求参数的值、三角函数图像的平移变换、三角函数单调区间的求法及三角函数的值域的求法，属综合性较强的题型.

22. 已知函数.

（1）判断并证明的奇偶性；

（2）若关于x的方程在内有实根，求实数k的取值范围；

（3）已知函数，若对，，使得成立，求实数m的最小值.

【答案】（1）奇函数，证明见解析   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）利用奇函数的定义，计算函数的单调性，证明，可得答案；

（2）利用对数运算的性质，化简方程，将问题转化为二次方程在定区间上有根问题，利用二次函数的性质，以及对数函数的性质，建立不等式组，可得答案；

（3）利用函数解析式，明确函数的单调性，求得最值，由题意，建立不等式，可得答案.

【小问1详解】

奇函数，理由如下：

由函数，令，整理可得，解得或，则函数的定义域为，

由，则函数为奇函数.

【小问2详解】

由方程在内有实数根，则在内恒成立，

由函数在上单调递增，则，解得，

将函数代入方程，整理可得，

，，，，

化简可得，则问题等价于方程在上有实数根，

令，，解得或，由，则，

令，其对称轴为，显然，

当，时，，则，解得或，故；

当，时，，则，解得，故；

综上可得，.

【小问3详解】

由函数，函数，在其定义域内单调递减，

则在上单调递减，即，

由函数，易知函数在上单调递减，函数在其定义域上单调递减，

则在上单调递增，即，