四川省什邡中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题
展开这是一份四川省什邡中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题,共10页。试卷主要包含了已知函数,则函数的导函数为,设函数在处存在导数为2,则,若函数,则函数的单调递减区间为,已知空间中三点A等内容,欢迎下载使用。
单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
1.已知等差数列的前n项和为,且,,则( )
A.3B.4C.5D.6
2.已知函数,则函数的导函数为( )
A.B.C.D.
3.高二某班4名同学分别从3处不同风景点中选择一处进行旅游观光,则共有多少种选择方案( )
A.种B.种C.种D.种
4.设函数在处存在导数为2,则( )
A.B.1C.2D.3
5.若函数,则函数的单调递减区间为( )
A., B. C.D.
6.已知函数的图象如图所示,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
7.已知抛物线的焦点为F,,过点M作直线的垂线,垂足为Q,点P是抛物线C上的动点,则的最小值为( )
A.B.5C.D.
8.已知函数,若对,都有,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分
9.在公比为整数的等比数列中,是数列的前项和,若,,下列说法正确的是( )
A.B.
C.D.数列,,,…为等比数列
10.已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(—1,3,1),则( )
A.是共线向量
B.与向量方向相同的单位向量坐标是
C.夹角的余弦值是
D.上的投影向量的模为
11.已知双曲线,点、是的左、右顶点,则( )
A.双曲线的离心率为
B.双曲线的渐近线方程为
C.过作与有且仅有一个公共点的直线,这样的直线恰有条
D.过的右焦点的直线与交于、,则可以使得的直线恰有条
12.已知定义在上的函数,其导函数分别为,若,,,,则( )
A.是奇函数 B.是周期函数
C. D.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分
13.若函数的导函数为,且满足,则 .
14. 已知M(m,n)为圆C:上任意一点,则的最小值为 .
15.设椭圆的左右焦点为,,过点的直线与该椭圆交于,两点,若线段的中垂线过点,则 .
16.定义在上的偶函数满足,且当时,,则曲线在点处的切线方程为 .
四、解答题:共70分
17.已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)求的极值.
18.在锐角中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知,
且,.
(1)求角B及边b的大小;
(2)求的值.
19.已知数列满足.记.
(1)证明:数列为等比数列;
(2)求数列的前n项和.
20.如图,在三棱柱中,底面侧面,,,.
(1)证明:平面;
(2)若,求平面与平面所成的角的余弦值.
21.已知椭圆()的离心率为,且过点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)分别过椭圆的左、右焦点、作两条互相垂直的直线和,与交于,与椭圆交于,两点,与椭圆交于,两点.
①求证:;
②求证:为定值.
22.已知函数.
(1)若函数存在单调递减区间,求实数b的取值范围;
(2)设是函数的两个极值点,证明:
什邡中学高2022级平实班第四学期第一次月考
数 学 答 案
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13. 14. 15. 16..
四、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.【详解】(1)的定义域为,
,所以, 又因为,所以切点为,
所以曲线在处的切线方程为
(2),当时,,
当时,,函数单调递增,
当时,,函数单调递减,
所以当时,取得极小值,且极小值为,无极大值.
18.【详解】(1)依题意,,
由正弦定理得,由于锐角三角形中,
所以,而是锐角,所以.
由余弦定理得.
(2)由余弦定理得,而是锐角,
所以,所以.
.
19.【详解】(1)由,
可得,
因为,所以表示以1为首项,2为公比的等比数列;
(2)由(1)得,,可得,
记,
则,
,
两式相减,可得,
即, 所以.
20.【详解】(1)在三棱柱中,由,得四边形是菱形,
则,
由平面平面,平面平面,平面,
得平面,而平面,则,又,
因此,而平面,
所以平面.
(2)在平面内过点作于,由平面平面,
平面平面,得平面,而平面,则,
在平面内过作于,连接,又平面,
于是平面,而平面,则,从而是二面角的平面角,
由,得,
由,得,,
则,显然,
,
,
所以平面与平面所成的角的余弦值是.
21.【详解】(1)椭圆的的离心率为,所以,故,
又,故,
椭圆过点,故有,即,解得,
因此椭圆的标准方程为;
(2)①当直线和中有一条没有斜率时,另一条的斜率为零,此时点是或者是,
由,,此时,即成立,
当直线存在斜率且不为零时,设为,所以直线的斜率为,
因为,坐标原点是线段的中点,
所以点的轨迹是以为圆心,半径为的圆(不包括两焦点),
综上所述:点的轨迹是以为圆心,半径为的圆,因此,
则,故恒成立;
②当直线和中有一条没有斜率时,由于椭圆的对称性,不妨设直线不存在,
因此直线的斜率为零,,
把时,,所以,
显然,所以;
当直线存在斜率且不为零时,设为,所以直线的斜率为,
直线的方程为:,设,
于是有,
由在椭圆内部,故恒成立,,
,同理可得:,
于是,
综上所述:,恒为定值.
22.【解析】(1),
函数存在单调递减区间,在上有解,
,设,则,
∴只需或, 解得或,
故实数b的取值范围为;
(2)证明:由题意可知,,
有两个极值点,
是的两个根,则,
, ∴要证,即证,
即证,即证,即证,
令,则证明, ,
则,在上单调递增,
则,即,
所以原不等式成立.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
D
A
C
B
A
B
题号
9
10
11
12
答案
ABC
BD
BCD
BCD
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