四川省什邡中学2022-2023学年高一数学下学期第二次月考试题（Word版附解析）

什邡中学高2022级平实部第二学期第二次月考

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 复数的虚部是（    ）

A.  B. 1 C.  D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数乘除法则化简，再根据复数的虚部定义即可求解.

【详解】因为，

所以的虚部是-2．

故选：C

2. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求出集合，然后利用集合补集和并集运算即可.

【详解】由已知，

，

， 

.

故选：C.

3. 已知向量，若，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．

【详解】因为，所以，，

由可得，，

即，整理得：．

故选：D．

4. 把一个铁制底面半径为，侧面积为的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求出圆柱的高，由圆柱和球的体积相等即可得出球的半径，再利用球体的表面积公式可求得结果.

【详解】设实心圆柱的高为，

因为实心圆柱的底面半径为，侧面积为，解得，

则圆柱的体积为，

设球的半径为，则，解得，

因此，该铁球表面积为.

故选：A.

5. 设甲：，乙：，则（    ）

A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件

C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.

【详解】当时，例如但，

即推不出；

当时，，

即能推出.

综上可知，甲是乙的必要不充分条件.

故选：B

6. 已知函数，则（    ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

【答案】D

【解析】

【分析】结合函数的解析式及对数的运算性质计算即可.

【详解】由题意可得 ，

故选：D.

7. 函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若函数是偶函数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据图像平移得函数的解析式，由函数是偶函数，解出，可得.

【详解】函数的图像向左平移个单位，得的图像，

又函数是偶函数，则有，，解得，；

所以.

故选：C．

8. 在中，若，则面积的最大值为（    ）

A.  B.  C. 1 D.

【答案】C

【解析】

【分析】延长至点，使得，延长至点，使得，可得，，再由可得答案.

【详解】如图，延长至点，使得，延长至点，使得，

若，则，

，

所以，

则面积的最大值为1    .

故选：C.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知点、、、，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据向量模长和夹角的坐标求解、向量平行和垂直的坐标表示依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，，，，，A正确；

对于B，，，，，，B正确；

对于C，，，，C错误；

对于D，，，，，D正确.

故选：ABD.

10. 下列说法正确的是（    ）

A. 命题“”的否定是“”

B. 若正数满足，则

C. 函数的最小正周期是

D. 半径为1，圆心角为的扇形的弧长等于

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A；利用基本不等式可判断B；利用三角函数的周期公式可判断C；利用扇形的弧长公式可判断D.

【详解】命题“”的否定是“”，故A错误；

，当且仅当时，等号成立，故B正确；

函数的最小正周期，故C正确；

半径为1，圆心角为的扇形的弧长为，故D正确.

故选：BCD.

11. 已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到，则（    ）

A. 的最小正周期为π

B. 在区间上单调递增

C. 的图象关于直线对称

D. 的图象关于点对称

【答案】AD

【解析】

【分析】用二倍角公式化简，向右平移后得，分别代入正弦函数的单调区间，对称轴，对称中心分别对四个选项判断即可.

【详解】因为，向右平移个单位得，则最小正周期为，故A选项正确；

令，解得，所以单调递增区间为，故B选项错误；

令解得，故C选项错误；

令解得所以函数的对称中心为，故D选项正确.

故选：AD

12. 已知的解集是，则下列说法中正确的是（    ）

A. 若c满足题目要求，则有成立

B. 的最小值是4

C. 函数的值域为，则实数b的取值范围是

D. 当时，，的值域是，则的取值范围是

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据三个二次之间的关系分析可得，对A：根据指数函数的单调性分析判断；对B：根据基本不等式分析运算；对C：根据对数函数分析判断；对D：根据二次函数的性质运算判断.

【详解】若解集是，则方程的根为，且，

可得，解得，

对A：∵，则，

∴，A正确；

对B：∵，

当且仅当，即时等号成立，

∴的最小值是，B错误；

对C：函数的值域为，则函数的值域包含，且，

可得，解得，C正确；

对D：当时，则，，

令，解得；

令，解得或；

若在上的值域是，则或，

可得，故的取值范围是，D正确.

故选：ACD.

【点睛】易错点睛：注意理解以下两种情况：

（1）的值域为，则；

（2）的定义域为，则.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，则圆锥的侧面积为______．

【答案】

【解析】

【分析】直接根据圆锥的侧面积公式计算即可.

【详解】.

故答案为：.

14. 用斜二测画法画水平放置的的直观图为直角边长是2的等腰直角三角形（如图），则的面积是___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据斜二测画法法的规则，求得水平放置的的平面图形，结合三角形的面积公式，即可求解.

【详解】如图（1）所示，由水平放置的的直观图为直角边长是2的等腰直角三角形，

即且，可得,

如图（2）所示，根据斜二测画法，可得的平面图形，

可得且，所以.

故答案为：.

15. 已知，则的值是__________．

【答案】5

【解析】

【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式以及弦化切的公式先化简，在将代入即可.

【详解】因为，

所以

，

故答案为：5.

16. 在中，，D为BC上一点，E为AD上一点，F为EC上一点，且，，，，则____________．

【答案】

【解析】

【分析】先利用表达，利用数量积为0得到，设，利用余弦定理求出，作出辅助线，设出，平方后求出，得到F为EC上靠近点E三等分点，求出，得到答案.

【详解】设，

，，

则

，

解得：或（舍去），

所以，即，

，故，

在三角形中，，

解得：，，

在三角形中，，

取中点为，因为，所以，

设，

且，所以，

即，两边平方得：

，

即，

整理得：，

即，解得：，

，所以M为FC的中点，F为EC上靠近点E的三等分点，

所以，

所以，故.

故答案为：

【点睛】本题解题关键在于作出辅助线，利用数量积为0先得到，再结合余弦定理和数量积运算法则求出，难度大，综合性强.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 设集合,

（1）若，求；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）;   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据并集的定义运算即得；

（2）由题可得，分类讨论进而可得不等式即得.

【小问1详解】

当时，，；

【小问2详解】

，

当时，满足题意，此时，解得；

当时，解得，

实数m的取值范围为.

18. 在中，已知，求：

（1）；

（2）在方向上的投影向量；

（3）在方向上的投影的数量．

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）由条件可得，进而得到，然后根据向量数量积的定义求解即可；

（2）根据投影向量的定义求解即可.

（3）根据投影向量的定义求解即可.

【小问1详解】

因为，，，

所以，即，

所以，

所以.

【小问2详解】

由（1）知，，

所以，

所以在方向上的投影为.

【小问3详解】

由（1）知，，

所以在方向上的投影的数量为.

19. 蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活、蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示，一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示，已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米．

（1）求该蒙古包的侧面积．

（2）求该蒙古包的体积．

【答案】（1）平方米   

（2）立方米

【解析】

【分析】（1）先求出圆锥和圆柱的侧面积，再求和即可；

（2）先求出圆锥和圆柱的体积，再求和即可.

【小问1详解】

依题意得米，米，米，

所以米，

所以圆锥的侧面积为平方米，

圆柱的侧面积为平方米，

所以该蒙古包的侧面积为平方米.

【小问2详解】

圆锥的体积为立方米，

圆柱的体积为立方米，

所以该蒙古包的体积为立方米.

20. 若函数在一个周期内的图象如图所示.

（1）写出函数的解析式；

（2）求函数的单调增区间.将函数的图象向右移动个单位后，得到函数的图象，求函数在上的值域.

【答案】（1）   

（2）的增区间为，，函数的值域为

【解析】

【分析】（1）根据函数的图象可得及周期，即可求出，再利用待定系数法求出即可；

（2）根据正弦函数的单调性结合整体思想即可求出函数的单调区间，根据平移变换的原则求出函数的解析式，再根据正弦函数的性质即可得解.

【小问1详解】

由图可知，

则，所以，

故，

又，则，

所以，即，

又，所以，

所以；

【小问2详解】

令，得，

所以的增区间为，，

由题意，

由，得，则，

所以函数在上的值域为.

21. 已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosC=bcosA+acosB.

（1）求角C的大小；

（2）若，求的周长的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由两角和的正弦公式、诱导公式变形后可昨角；

（2）由正弦定理把用角表示，并由两角和与差的正弦公式化简，由锐角三角形得的范围，然后由正弦函数性质得取值范围，从而得周长范围．

【小问1详解】

由正弦定理得：，代入，

∴，又，

∴，而0<C< ，则，

∴，故.

【小问2详解】

由正弦定理得：，

，

因为为锐角三角形，所以，，

由内角和为，则，

所以，则，

周长为，

故的取值范围为.

22. 已知函数．

（1）若方程有三个不等实根，求实数的取值范围；

（2）若，且对，总，使得，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用一元二次函数与对数函数的性质分析的图像，再将问题转化为的图像与的图像有三个交点，从而结合图像得解；

（2）先将问题转化为的值域是的值域的子集，再分别求得与的值域，从而利用数轴法即可得解.

【小问1详解】

因为，

所以当时，开口向上，对称轴为，

则，，

当时，在上单调递增，且的图像由的图像向下平移两个单位而得，

又因为方程有三个不等实根，所以的图像与的图像有三个交点，

作出与的图像如下：

所以，即.

【小问2详解】

因为对，总，使得，

所以的值域是的值域的子集，

因为在上单调递增，

所以当时，，

因为开口向上，对称轴为，

所以当时，，

又，，

所以，即，

所以，则，解得，

所以实数的取值范围为.

【点睛】结论点睛：不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，函数，，

（1）若，，总有成立，故；

（2）若，，有成立，故；

（3）若，，有成立，故；

（4）若，，有，则的值域是值域的子集．