湖北省咸宁市通城县2022-2023学年八年级下学期4月期中数学试题

这是一份湖北省咸宁市通城县2022-2023学年八年级下学期4月期中数学试题，共19页。试卷主要包含了精心选一选，细心填一填，专心解一解等内容，欢迎下载使用。
1．在▱ABCD中，∠A＝80°，∠B＝100°，则∠C等于（ ）
A．60°B．80°C．100°D．120°
2．下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．1，，B．，，C．6，7，8D．2，3，4
4．菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．对角相等B．对角线互相垂直
C．对角线相等D．对角线互相平分
5．下列计算错误的是（ ）
A．•＝B．＝2C．＝2D．
6．已知y＝++1，则x+y的平方根是（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．±1
7．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则A、C两点间的距离是（ ）
A．4B．C．D．2
8．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）
A．3B．2C．4D．2
二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，请将答案填写在答题卷相应题号的位置）
9．计算：＝ ．
10．比较大小：4 （填“＞”或“＜”）．
11．若是整数，则正整数n的最小值为 ．
12．如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线BM交CD于点M，且MC＝2，▱ABCD的周长是14，则DM等于 ．
13．如图，已知OA＝OB，那么数轴上点A所表示的数是 ．
14．一个菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积为 ．
15．观察分析下列数据：，，3，，，…，按规律第18个数据为 ．
16．如图，正方形ABCD的面积为16，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AB，BC上运动，∠EOF＝90°，OG平分∠EOF，与边BC交于点G．则下列结论：
①OE＝OF；
②四边形OEBF的面积保持4不变；
③BG2+CF2＝GF2；
④EF的最小值为．
其中正确说法的序号是 ．（把你认为正确的序号都填上）
三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分.请认真读题，冷静思考.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将答案写在答题卷相应题号的位置）
17．（6分）计算﹣+（+1）（﹣1）
18．（8分）有一块矩形木块，木工采用如图方式，求木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板，求剩余木料的面积．
19．（8分）如图，点E在边长为10的正方形ABCD内，AE＝6，BE＝8，求阴影部分的面积．
20．（9分）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题：
（1）试说明：a2+b2＝c2；
（2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求（a+b）2的值．
21．（9分）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）①当AM的值为 时，四边形AMDN是矩形；
②若AM＝6，求证：四边形AMDN是菱形．
22．（10分）如图甲，笔直的公路上A，B两点相距20km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝10km，CB＝5km，现在计划在公路的AB段上建一个土特产品收购站E．
（1）若规划C，D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？
（2）若规划C，D两村到收购站E的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站E的位置，计算得到距离的和最短值为 km．
23．（10分）如图甲，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）【概念理解】我们已经学习了①平行四边形、②菱形、③矩形、④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是 （填序号）．
（2）【性质探究】小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，如图甲，在四边形ABCD中，若AC⊥BD，则AB2+CD2＝AD2+BC2．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由．
（3）【问题解决】如图乙，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，D，E分别是AC，BC的中点，连接AE，BD，有AE⊥BD，求AB．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（10，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动．
（1）若E为DP的中点，连接OE的延长线交射线CB于点F．
①求证：四边形PODF为平行四边形；
②当点P的坐标为 时，四边形PODF为菱形．
（2）当△ODP等腰三角形时，求点P的坐标．
湖北省咸宁市通城县2022-2023学年八年级下学期4月期中数学试题
参考答案与试题解析
一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，每小题给出的4个选项中只有一个符合题意，请在答题卷上将正确答案的代号涂黑）
1．在▱ABCD中，∠A＝80°，∠B＝100°，则∠C等于（ ）
A．60°B．80°C．100°D．120°
【分析】由在▱ABCD中，∠A＝80°，∠B＝100°，根据平行四边形的对角相等，即可求得答案．
【解答】解：∵在▱ABCD中，∠A＝80°，∠B＝100°，
∴∠C＝∠A＝80°．
故选：B．
【点评】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．
2．下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先化成最简二次根式，再判断即可．
【解答】解：A、，不能和合并，故本选项错误；
B、，不能和合并，故本选项错误；
C、，能和合并，故本选项正确；
D、＝2不能和合并，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的性质，同类二次根式的应用，注意：几个二次根式，化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
3．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．1，，B．，，C．6，7，8D．2，3，4
【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
【解答】解：A、12+（）2＝（）2，故是直角三角形，符合题意；
B、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，不合题意；
C、62+72≠82，故不是直角三角形，不合题意；
D、∵22+32≠42，故不是直角三角形，不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
4．菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．对角相等B．对角线互相垂直
C．对角线相等D．对角线互相平分
【分析】由菱形的性质和矩形的性质分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、对角相等，是矩形和菱形都具有的性质，故选项A不符合题意；
B、对角线互相垂直，是菱形具有而矩形不具有的性质，故选项B符合题意；
C、对角线相等，是矩形具有的性质，而菱形不具有的性质，故选项C不符合题意；
D、对角线互相平分，是矩形和菱形都具有的性质，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了菱形的性质以及矩形的性质，正确区分矩形和菱形的性质是解题的关键．
5．下列计算错误的是（ ）
A．•＝B．＝2C．＝2D．
【分析】根据二次根式的乘法、二次根式的化简、二次根式的除法及二次根式的加减运算，进行各选项的判断．
【解答】解：A、×＝，计算正确，故本选项正确；
B、＝2，计算正确，故本选项正确；
C、÷＝＝2，计算正确，故本选项正确；
D、与不是同类二次根式，不能直接合并，原式计算错误，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的加减及乘除运算，属于基础题，掌握各部分的运算法则是关键．
6．已知y＝++1，则x+y的平方根是（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．±1
【分析】根据二次根式有意义的条件求出x，进而求出y，根据平方根的概念解答即可．
【解答】解：由题意得，x﹣3≥0，3﹣x≥0，
解得，x＝3，
则y＝1，
∴x+y＝4，
∵4的平方根是±2，
∴x+y的平方根是±2，
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、平方根的概念，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
7．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则A、C两点间的距离是（ ）
A．4B．C．D．2
【分析】根据矩形的性质即可求出答案．
【解答】解：在矩形OABC中，
OB＝AC，
∵B（1，3），
∴OB＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查矩形，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及勾股定理，本题属于基础题型．
8．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）
A．3B．2C．4D．2
【分析】连接DN、DB，根据勾股定理求出BD，根据三角形中位线定理得到EF＝DN，结合图形解答即可．
【解答】解：连接DN、DB，
在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，
∴BD＝＝4，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF＝DN，
由题意得，当点N与点B重合时DN最大，最大值为4，
∴EF长度的最大值为2，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，请将答案填写在答题卷相应题号的位置）
9．计算：＝ 2 ．
【分析】分子分母都乘分母有理化因数计算即可得解．
【解答】解：，
＝，
＝，
＝，
＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了分母有理化，是基础题，确定出分母有理化因数是解题的关键．
10．比较大小：4 ＞ （填“＞”或“＜”）．
【分析】根据二次根式的性质求出＝4，比较和的值即可．
【解答】解：4＝，
＞，
∴4＞，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了二次根式的性质和实数的大小比较等知识点，关键是知道4＝，题目较好，难度也不大．
11．若是整数，则正整数n的最小值为 5 ．
【分析】是正整数，则20n一定是一个完全平方数，首先把20n分解因数，确定20n是完全平方数时，n的最小值即可．
【解答】解：∵20n＝22×5n．
∴整数n的最小值为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了算术平方根的定义，理解是正整数的条件是解题的关键．
12．如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线BM交CD于点M，且MC＝2，▱ABCD的周长是14，则DM等于 3 ．
【分析】根据BM是∠ABC的平分线和AB∥CD，求出BC＝MC＝2，根据▱ABCD的周长是14，求出CD＝5，即可得到DM的长．
【解答】解：∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠ABM＝∠CBM，
∵AB∥CD，
∴∠ABM＝∠BMC，
∴∠BMC＝∠CBM，
∴BC＝MC＝2，
∵▱ABCD的周长是14，
∴BC+CD＝7，
∴CD＝5，
则DM＝CD﹣MC＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和角平分线的定义，根据平行四边形的对边相等求出BC+CD是解题的关键，注意等腰三角形的性质的正确运用．
13．如图，已知OA＝OB，那么数轴上点A所表示的数是 ﹣ ．
【分析】首先根据勾股定理得：OB＝．即OA＝．又点A在数轴的负半轴上，则点A对应的数是﹣．
【解答】解：由图可知，OC＝2，作BC⊥OC，垂足为C，取BC＝1，
故OB＝OA＝＝＝，
∵A在x的负半轴上，
∴数轴上点A所表示的数是﹣．
故答案为：﹣．
【点评】熟练运用勾股定理，同时注意根据点的位置以确定数的符号．
14．一个菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积为 2 ．
【分析】直接由菱形面积公式列式计算即可．
【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为和，
∴菱形面积＝××＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，熟记菱形面积公式是解题的关键．
15．观察分析下列数据：，，3，，，…，按规律第18个数据为 ﹣3 ．
【分析】观察发现规律为（﹣1）n+1，写出第18个数据即可．
【解答】解：∵，，3，，，…，（﹣1）n+1，
∴第18个数据为：﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了算术平方根及数字的变化规律，发现规律是关键．
16．如图，正方形ABCD的面积为16，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AB，BC上运动，∠EOF＝90°，OG平分∠EOF，与边BC交于点G．则下列结论：
①OE＝OF；
②四边形OEBF的面积保持4不变；
③BG2+CF2＝GF2；
④EF的最小值为．
其中正确说法的序号是 ①②③④ ．（把你认为正确的序号都填上）
【分析】依据正方形的性质以及全等三角形的判定与性质、勾股定理，通过推理计算即可得到正确的结论，进而得出答案．
【解答】解：∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OB＝OC，∠BOC＝90°，∠OCF＝∠OBE＝45°，
又∵∠EOF＝90°，
∴∠BOE＝∠COF，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，故①正确；
∴△BOE与△COF的面积相等，
∴四边形OEBF的面积与△OBC的面积相等，
又∵△BOC的面积等于正方形ABCD面积的四分之一，
∴四边形OEBF的面积保持4不变，故②正确；
如图所示，连接EG，
∵OG平分∠EOF，
∴∠EOG＝∠FOG，
又∵OE＝OF，OG＝OG，
∴△EOG≌△FOG（SAS），
∴EG＝FG，
∵△BOE≌△COF，
∴BE＝CF，
∵Rt△BEG中，BG2+BE2＝EG2，
∴BG2+CF2＝GF2，故③正确；
∵OE＝OF，∠EOF＝90°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴EF＝OE，
当OE有最小值时，EF的值最小，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴当OE⊥AB时，OE的最小值等于AB的一半，
即OE的最小值等于2，
∴EF的最小值为，故④正确．
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识的综合运用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形、直角三角形解决问题．
三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分.请认真读题，冷静思考.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将答案写在答题卷相应题号的位置）
17．（6分）计算﹣+（+1）（﹣1）
【分析】直接化简二次根式以及结合平方差公式计算得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣2+3﹣1
＝+2．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
18．（8分）有一块矩形木块，木工采用如图方式，求木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板，求剩余木料的面积．
【分析】根据两个正方形木板的面积分别为18dm2和32dm2，分别求得18和32的算术平方根，则可得两个正方形的边长，然后用小正方形的边长乘以两个正方形的边长之差即可得出答案．
【解答】解：∵两个正方形木板的面积分别为18dm2和32dm2，
∴这两个正方形的边长分别为：＝3（dm），＝4（dm），
∴剩余木料的面积为：（4﹣3）×3＝×3＝6（dm2）．
【点评】本题考查了二次根式在正方形和长方形面积计算中的应用，熟练掌握二次根式的计算是解题的关键．
19．（8分）如图，点E在边长为10的正方形ABCD内，AE＝6，BE＝8，求阴影部分的面积．
【分析】利用勾股定理的逆定理可判断△ABE是直角三角形，利用正方形减去直角三角形的面积即可．
【解答】解：在△ABE中，
∵62+82＝102，
∴AE2+BE2＝AB2，
∴△ABE是直角三角形，∠AEB＝90°；
∴阴影部分的面积S＝S正方形ABCD﹣S△ABE
＝102﹣×6×8
＝76．
【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，也考查了勾股定理的逆定理，解本题的关键就是利用勾股定理的逆定理判断出△ABE是直角三角形．
20．（9分）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题：
（1）试说明：a2+b2＝c2；
（2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求（a+b）2的值．
【分析】（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．
（2）根据完全平方公式的变形解答即可．
【解答】解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b﹣a）2，
∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b2；
（2）由图可知：
（b﹣a）2＝3，4×ab＝13﹣3＝10，
∴2ab＝10，
∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝3+2×10＝23．
【点评】本题考查了对勾股定理的证明和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键．
21．（9分）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）①当AM的值为 3 时，四边形AMDN是矩形；
②若AM＝6，求证：四边形AMDN是菱形．
【分析】（1）由菱形的性质可得∠DNE＝∠AME，再由点E是AD边的中点，可得AE＝DE，从而可证明△NDE≌△MAE（AAS），则NE＝ME，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案；
（2）①当AM的值为3时，四边形AMDN是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定；
②根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判定．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠DNE＝∠AME，
∵点E是AD边的中点，
∴AE＝DE，
在△NDE和△MAE中，，
∴△NDE≌△MAE（AAS），
∴NE＝ME，
∴四边形AMDN是平行四边形；
（2）①解：当AM的值为3时，四边形AMDN是矩形．理由如下：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝6，
∵点E是AD边的中点，
∴AE＝AD＝3，
∴AM＝AE＝3，
∵∠DAB＝60°，
∴△AEM是等边三角形，
∴EM＝AE，
∵NE＝EM＝MN，
∴MN＝AD，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴四边形AMDN是矩形．
故答案为：3；
②证明：∵AB＝AD＝6，AM＝6，
∴AD＝AM，
∵∠DAB＝60°，
∴△AMD是等边三角形，
∴ME⊥AD，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴四边形AMDN是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质及等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
22．（10分）如图甲，笔直的公路上A，B两点相距20km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝10km，CB＝5km，现在计划在公路的AB段上建一个土特产品收购站E．
（1）若规划C，D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？
（2）若规划C，D两村到收购站E的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站E的位置，计算得到距离的和最短值为 25 km．
【分析】（1）设AE＝x km，则BE＝（20﹣x）km，在Rt△ADE与Rt△BCE中，由勾股定理结合DE＝CE得出方程求出x的值即可求解；
（2）作点C关于AB的对称点C'，连接DC'交AB于点E，则点E即为所求，DC'长即为距离的和最短值，在Rt△DFC'中由勾股定理求出DC'的长即可．
【解答】解：（1）设AE＝x km，则BE＝（20﹣x）km，
在Rt△ADE与Rt△BCE中，由勾股定理得，
AD2+AE2＝DE2，BE2+BC2＝CE2，
∵DE＝CE，
∴AD2+AE2＝BE2+BC2，
∴102+x2＝（20﹣x）2+52，
解得x＝，
即收购站E应建在离A点km处；
（2）如图，作点C关于AB的对称点C'，连接DC'交AB于点E，则点E即为所求，DC'长即为距离的和最短值，
过点C'作C'F⊥DA交DA的延长线于点F，
则DC'＝（km），
故答案为：25．
【点评】本题考查了作图﹣应用设计作图，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题，熟记勾股定理是解题的关键．
23．（10分）如图甲，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）【概念理解】我们已经学习了①平行四边形、②菱形、③矩形、④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是 ②④ （填序号）．
（2）【性质探究】小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，如图甲，在四边形ABCD中，若AC⊥BD，则AB2+CD2＝AD2+BC2．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由．
（3）【问题解决】如图乙，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，D，E分别是AC，BC的中点，连接AE，BD，有AE⊥BD，求AB．
【分析】（1）利用垂美四边形的定义依次判断，可求解；
（2）由勾股定理可得结论；
（3）由三角形中位线定理可得AD＝AC＝2，BE＝BC＝，DE＝AB，由垂美四边形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵菱形、正方形的对角线互相垂直，
∴菱形、正方形是垂美四边形，
故答案为：②④；
（2）猜想正确，理由如下：
∵四边形ABCD中，AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠COD＝∠BOC＝∠AOD＝90°，
∴AB2＝OA2+OB2，CD2＝OC2+OD2，BC2＝OB2+OC2，AD2＝OA2+OD2，
∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OC2+OD2，BC2+AD2＝OB2+OC2+OA2+OD2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）∵BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC的中点，
∴AD＝AC＝2，BE＝BC＝，DE＝AB，
∵AE⊥BD，
∴AB2+ED2＝AD2+BE2，
∴AB2＝4+，
∴AB＝．
【点评】本题为四边形综合题，主要考查的是菱形的性质，垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（10，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动．
（1）若E为DP的中点，连接OE的延长线交射线CB于点F．
①求证：四边形PODF为平行四边形；
②当点P的坐标为 （3，4） 时，四边形PODF为菱形．
（2）当△ODP等腰三角形时，求点P的坐标．
【分析】（1）①根据矩形的性质证明△FPE≌△ODE（AAS），FE＝OE，进而可以解决问题；
②由①知：四边形PODF为平行四边形，当OP＝OD时，四边形PODF为菱形，然后利用勾股定理求出CP，即可解决问题；
（2）分为三种情况：①OP＝OD时，②DO＝DP时，③OP＝PD时，根据点B的坐标，根据勾股定理和等腰三角形的性质即可求出答案．
【解答】（1）①证明：∵E为DP的中点，
∴PE＝DE，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA∥BC，
∴∠PFE＝∠DOE，∠FPE＝∠ODE，
∴△FPE≌△ODE（AAS），
∴FE＝OE，
∵PE＝DE，
∴四边形PODF为平行四边形；
②解：由①知：四边形PODF为平行四边形，
∴当OP＝OD时，四边形PODF为菱形，
∵矩形OABC的顶点B的坐标为（10，4），
∴OA＝BC＝10，OC＝4，
∵点D是OA的中点，
∴OD＝AD＝5，
∴OP＝OD＝5，
∴PC＝＝＝3，
∵P在BC上，
∴P点的纵坐标是4，
∴P的坐标是（3，4），
故答案为：（3，4）；
（2）解：∵B的坐标是（10，4），四边形OCBA是矩形，
∴OC＝AB＝4，
∵D为OA中点，
∴OD＝AD＝5，
∵P在BC上，
∴P点的纵坐标是4，
以O为圆心，以OD为半径作弧，交BC于P，如图1所示：
此时OP＝OD＝5，
由勾股定理得：CP＝3，
即P的坐标是（3，4）；
以D为圆心，以OD为半径作弧，交BC于P、P′，如图2所示：
此时DP＝OD＝DP′＝5，
由勾股定理得：DM＝DN＝3，
即P的坐标是（2，4），
P′的坐标是（8，4）；
③作OD的垂直平分线交BC于P，如图3所示：
此时OP＝DP，P的坐标是（2.5，4）；
综上所述：点P的坐标为：（2，4）或（3，4）或（8，4）或（2.5，4）．
【点评】本题考查了矩形性质和勾股定理，坐标与图形性质的应用，注意一定要进行分类讨论．