2013-2014学年湖北省咸宁市通城县九年级（下）期中数学试卷

这是一份2013-2014学年湖北省咸宁市通城县九年级（下）期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了精心选一选，细心填一填，专心解一解等内容，欢迎下载使用。


1. 下列各数中，最小的数是（ ）
A.1B.12C.0D.−1

2. 实数a在数轴上的位置如图所示，则|a−2.5|=( )

A.a−2.5B.2.5−aC.a+2.5D.−a−2.5

3. 下列运算正确的是( )
A.a+a=a2B.a6÷a3=a2
C.(π−3.14)0=0D.23−3=3

4. 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（ ）
A.AB=BCB.AC=BCC.∠B=60∘D.∠ACB=60∘

5. 下列说法正确的是（ ）
A.为了了解全国中学生的心理健康状况，应采用普查的方式
B.一个游戏中奖的概率是1100，则做100次这样的游戏一定会中奖
C.一组数据0，1，2，1，1的众数和中位数都是1
D.若甲组数据的方差S 2甲 =0.2，乙组数据的方差S 2乙 =0.5，则乙组数据比甲组数据稳定

6. 小乐用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验，通过观察，发现这块长方形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是（ ）
A.三角形B.线段C.矩形D.平行四边形

7. 如图，已知AB⊥AE于A，EF⊥AE于E，要计算A，B两地的距离，甲、乙、丙、丁四组同学分别测量了部分线段的长度和角的度数，得到以下四组数据：甲：AC，∠ACB；乙：EF，DE，AD； 丙：AD和∠DFE；丁：CD，DE，∠ACB．其中能求得A，B两地距离的有（ ）
A.1组B.2组C.3组D.4组

8. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则下列5个代数式：ac，a+b+c，4a−2b+c，2a+b，a+b中，值大于0的个数为（ ）
A.2个B.3个C.4个D.5个
二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．请将答案填写在答题卷相应题号的位置）

写出一个比−3大的负无理数是________．

若|x−1|+y+2=0，则x−y的值为________．

在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形的序号是________．


某地居民生活用电基本价格为0.50元/度，规定每月基本用电量为a度，超过部分电量的毎度电价比基本用电量的毎度电价增加20%收费，某用户在5月份用电100度，共交电费52元，则a=________度．

如图，在五边形ABCDE中，AB // CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3=________．


函数y=1−kx与y=2x的图象没有交点，则k的取值范围为________．

如图，动点P从(0, 3)出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2014次碰到矩形的边时，点P的坐标为________．

如图，⊙O的半径为2，弦BC=23，点A是优弧BC上一动点（不包括端点），△ABC的高BD、CE相交于点F，连结ED．下列四个结论：
①∠A始终为60∘；
②当∠ABC=45∘时，AE=EF；
③当△ABC为锐角三角形时，ED=3；
④线段ED的垂直平分线必平分弦BC．
其中正确的结论是________．（把你认为正确结论的序号都填上）

三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分．请认真读题，冷静思考．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将答案写在答题卷相应题号的位置）

先化简，再求值：(a2a−2+12−a)÷a2−2a+1a−2，其中a=2+1．

大源村在“山上再造一个通城”工作中，计划植树200亩，全村在完成植树40亩后，党的群众路线教育实践活动工作小组加入村民植树活动，并且该活动小组植树的速度是全村植树速度的1.5倍，整个植树过程共用了13天完成．
（1）全村每天植树多少亩？

（2）如果全村植树每天需2000元工钱，党的群众路线教育实践活动工作小组是义务植树，因此实际工钱比计划节约多少元？

已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k−4=0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；

(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．

某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A．篮球 B．乒乓球C．羽毛球 D．足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图.
请回答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有________人；

(2)请你将条形统计图(2)补充完整；

(3)在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）.

如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过点D作DF⊥BC于点F，交AB的延长线于点E．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；

（2）当csE=45，BF＝6时，求⊙O的直径．

某蔬菜经销商到蔬菜种植基地采购一种蔬菜，经销商一次性采购蔬菜的采购单价y（元/千克）与采购量x（千克）之间的函数关系图象如图中折线AB−−BC−−CD所示（不包括端点A）．

（1）当100
（2）蔬菜的种植成本为2元/千克，某经销商一次性采购蔬菜的采购量不超过200千克，当采购量是多少时，蔬菜种植基地获利最大，最大利润是多少元？

（3）在（2）的条件下，求经销商一次性采购的蔬菜是多少千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润？

（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；

（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45∘，∠CAE=90∘，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．

如图1，已知菱形ABCD的边长为23，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点．点D的坐标为(−3, 3)，抛物线y=ax2+b(a≠0)经过AB、CD两边的中点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；

（2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF．设菱形ABCD平移的时间为t秒(0①是否存在这样的t，使△ADF与△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②连接FC，以点F为旋转中心，将△FEC按顺时针方向旋转180∘，得△FE′C′，当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围．（写出答案即可）
参考答案与试题解析
2013-2014学年湖北省咸宁市通城县九年级（下）期中数学试卷
一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．每小题给出的4个选项中只有一个符合题意，请在答题卷上将正确答案的代号涂黑）
1.
【答案】
D
【考点】
有理数大小比较
【解析】
根据有理数的大小比较法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小，即可得出答案．
【解答】
解：选项中的4个数，最小的是−1．
故选D．
2.
【答案】
B
【考点】
在数轴上表示实数
【解析】
首先观察数轴，可得a<2.5，然后由绝对值的性质，可得|a−2.5|=−(a−2.5)，则可求得答案．
【解答】
解：如图可得：a<2.5，
即a−2.5<0，
则|a−2.5|=−(a−2.5)=2.5−a．
故选B．
3.
【答案】
D
【考点】
合并同类项
同底数幂的除法
零指数幂、负整数指数幂
二次根式的加法
【解析】
A、合并同类项得到结果，即可作出判断；
B、利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可作出判断；
C、利用零指数幂法则计算得到结果，即可作出判断；
D、合并同类二次根式得到结果，即可作出判断．
【解答】
解：A，a+a=2a，本选项错误；
B，a6÷a3=a3，本选项错误；
C，(π−3.14)0=1，本选项错误；
D，23−3=3，本选项正确.
故选D.
4.
【答案】
B
【考点】
菱形的判定
平移的性质
【解析】
首先根据平移的性质得出AC= // ED，得出四边形ACDE为平行四边形，进而利用菱形的判定得出答案．
【解答】
解：∵ 将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴ AC= // ED，
∴ 四边形ACDE为平行四边形，
当AC=BC时，则DE=EC，
∴ 平行四边形ACED是菱形．
故选：B．
5.
【答案】
C
【考点】
全面调查与抽样调查
中位数
众数
概率的意义
【解析】
根据调查方式，可判断A，根据概率的意义一，可判断B根据中位数、众数，可判断c，根据方差的性质，可判断D．
【解答】
解：A、为了了解全国中学生的心理健康状况，应采用抽查方式，故A错误；
B、一个游戏中奖的概率是1100，则做100次这样的游戏有可能中奖，故B错误；
C、一组数据0，1，2，1，1的众数和中位数都是1，故C正确；
D、若甲组数据的方差S 2甲 =0.2，乙组数据的方差S 2乙 =0.5，则甲组数据比乙组数据稳定，故D错误；
故选：C．
6.
【答案】
A
【考点】
平行投影
【解析】
根据平行投影的性质进行分析即可得出答案．
【解答】
解：将长方形硬纸的板面与投影线平行时，形成的影子为线段；
将长方形硬纸板与地面平行放置时，形成的影子为矩形；
将长方形硬纸板倾斜放置形成的影子为平行四边形；
由物体同一时刻物高与影长成比例，且长方形对边相等，故得到的投影不可能是三角形．
故选A．
7.
【答案】
C
【考点】
相似三角形的应用
全等三角形的应用
解直角三角形的应用
【解析】
分别根据直角三角形的性质及相似三角形的判定与性质对四组数据进行逐一分析即可．
【解答】
解：甲：∵ 已知AC、∠ACB，
∴ AB=AC⋅tan∠ACB，故甲组符合题意；
乙组：∵ AB⊥AE于A，EF⊥AE于E，
∴ AE // EF，
∴ ∠A=∠E=90∘，
∵ ∠ADB=∠EDF，
∴ △DEF∽△DAB，
∴ DEAD=EFAB，
∴ AB=AD⋅EFDE，故乙组符合题意；
丙：∵ ∠ADB=∠EDF，△ADB是直角三角形，
∴ AB=AD⋅tan∠ADB，故丙组正确；
丁组：设AC=x，
∵ AB=(x+CD)⋅tan∠ADB=x⋅tan∠ACB，∠ADB不知，
∴ 不可求出AC的长，
故丁组不符合题意．
故选C．
8.
【答案】
B
【考点】
二次函数图象与系数的关系
二次函数的性质
抛物线与x轴的交点
【解析】
根据抛物线与x轴（y轴）的交点，开口方向，对称轴及特殊点的函数值，逐一判断符号．
【解答】
解：①∵ 抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，∴ a<0，c<0，∴ ac>0，
②由图象可知，当x=1时，函数值y=a+b+c>0，
③由图象可知，当x=−2时，函数值y=4a−2b+c<0，
④由对称轴x=−b2a<1，a<0，得2a+b<0，
⑤由②可知a+b=−c>0，
∴ ①②⑤的式子为正数．
故选B．
二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．请将答案填写在答题卷相应题号的位置）
【答案】
−2
【考点】
实数大小比较
【解析】
本题需先根据已知条件，写出一个负数并且是无理数即可求出答案．
【解答】
解：∵ 写一个比−3大的负无理数，
首先写出一个数是无理数，再写出它是负数，
∴ 如−2；
故答案为：−2．
【答案】
3
【考点】
非负数的性质：算术平方根
非负数的性质：绝对值
【解析】
根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】
解：由题意得，x−1=0，y+2=0，
解得x=1，y=−2，
所以x−y=1−(−2)=1+2=3．
故答案为：3．
【答案】
②
【考点】
利用旋转设计图案
【解析】
通过观察发现，当涂黑②时，所形成的图形为中心对称图形．
【解答】
如图，把标有序号②的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形．
【答案】
80
【考点】
二元一次方程组的应用——行程问题
一元一次方程的应用——工程进度问题
【解析】
设每月基本用电量为a度，根据用电基本价格为0.50元/度，用户在5月份用电100度，共交电费52元，列方程求解．
【解答】
解：设每月基本用电量为a度，
由题意得，0.5a+(100−a)×0.5(1+20%)=52，
解得：a=80，
即每月基本用电量为80度．
故答案为：80．
【答案】
180∘
【考点】
多边形内角与外角
平行线的性质
【解析】
根据两直线平行，同旁内角互补求出∠B+∠C=180∘，从而得到以点B、点C为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于180∘，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解．
【解答】
解：作∠B和∠C的外角分别为∠4，∠5，
∵ AB // CD，
∴ ∠B+∠C=180∘，
∴ ∠4+∠5=180∘，
根据多边形的外角和定理，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360∘，
∴ ∠1+∠2+∠3=360∘−180∘=180∘．
故答案为：180∘．
【答案】
k>1
【考点】
函数的综合性问题
【解析】
根据反比例函数与一次函数图象的特征，得到1−k小于0，即可确定出k的范围．
【解答】
解：∵ 函数y=1−kx与y=2x的图象没有交点，
∴ 1−k<0，即k>1，
故答案为：k>1
【答案】
(5, 0)
【考点】
规律型：点的坐标
【解析】
根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2014除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
【解答】
解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点(0, 3)，
∵ 2014÷6=，
∴ 当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，
点P的坐标为(5, 0)．
故答案为：(5, 0)．
【答案】
①②③④
【考点】
全等三角形的性质
直角三角形斜边上的中线
圆周角定理
圆的综合题
相似三角形的性质与判定
特殊角的三角函数值
【解析】
①延长CO交⊙O于点G，如图1．在Rt△BGC中，运用三角函数就可解决问题；②只需证到△BEF≅△CEA即可；③易证△AEC∽△ADB，则AEAD=ACAB，从而可证到△AED∽△ACB，则有EDBC=AEAC．由∠A=60∘可得到AEAC=12，进而可得到ED=3；④取BC中点H，连接EH、DH，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EH=DH=12BC，所以线段ED的垂直平分线必平分弦BC．
【解答】
①延长CO交⊙O于点G，如图1．
则有∠BGC=∠BAC．
∵ CG为⊙O的直径，∴ ∠CBG=90∘．
∴ sin∠BGC=BCCG=234=32．
∴ ∠BGC=60∘．
∴ ∠BAC=60∘．
故①正确．
②如图2，
∵ ∠ABC=45∘，CE⊥AB，即∠BEC=90∘，
∴ ∠ECB=45∘=∠EBC．
∴ EB=EC．
∵ CE⊥AB，BD⊥AC，
∴ ∠BEC=∠BDC=90∘．
∴ ∠EBF+∠EFB=90∘，∠DFC+∠DCF=90∘．
∵ ∠EFB=∠DFC，∴ ∠EBF=∠DCF．
在△BEF和△CEA中，
∠FBE=∠ACEBE=CE∠BEF=∠CEA=90∘ ．
∴ △BEF≅△CEA．
∴ AE=EF．
故②正确．
③如图2，
∵ ∠AEC=∠ADB=90∘，∠A=∠A，
∴ △AEC∽△ADB．
∴ AEAD=ACAB．
∵ ∠A=∠A，
∴ △AED∽△ACB．
∴ EDBC=AEAC．
∵ csA=AEAC=cs60∘=12，
∴ EDBC=12．
∴ ED=12BC=3．
故③正确．
④取BC中点H，连接EH、DH，如图3、图4．
∵ ∠BEC=∠CDB=90∘，点H为BC的中点，
∴ EH=DH=12BC．
∴ 点H在线段DE的垂直平分线上，
即线段ED的垂直平分线平分弦BC．
故④正确．
三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分．请认真读题，冷静思考．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将答案写在答题卷相应题号的位置）
【答案】
解：原式=a2−1a−2÷(a−1)2a−2=(a+1)(a−1)a−2⋅a−2(a−1)2=a+1a−1，
当a=2+1时，原式=2+22=1+2．
【考点】
分式的化简求值
【解析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．
【解答】
解：原式=a2−1a−2÷(a−1)2a−2=(a+1)(a−1)a−2⋅a−2(a−1)2=a+1a−1，
当a=2+1时，原式=2+22=1+2．
【答案】
全村每天植树8亩；
（2）根据题意得：原计划全村植树天数是200÷8=25（天），
∴ 可以节省工钱：(25−13)×2000=24000元．
答：实际工钱比计划节约24000元．
【考点】
分式方程的应用
【解析】
（1）设全村每天植树x亩，根据整个植树过程共用了13天完成，列方程求解；
（2）先根据（1）求出的结果求出计划植树的天数，然后计算节约的钱数．
【解答】
解：（1）设全村每天植树x亩，
根据题意得：40x+1602.5x=13，
解得：x=8，
经检验，x=8是原方程的解，且符合题意．
答：全村每天植树8亩；
（2）根据题意得：原计划全村植树天数是200÷8=25（天），
∴ 可以节省工钱：(25−13)×2000=24000元．
答：实际工钱比计划节约24000元．
【答案】
解：(1)根据题意得：Δ=4−4(2k−4)=20−8k>0，
解得：k<52；
(2)由k为正整数，得到k=1或2，
利用求根公式表示出方程的解为x=−1±5−2k，
∵ 方程的解为整数，
∴ 5−2k为完全平方数，则k的值为2．
【考点】
根的判别式
解一元二次方程-公式法
一元二次方程的解
【解析】
（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围；
（2）找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得到满足题意k的值．
【解答】
解：(1)根据题意得：Δ=4−4(2k−4)=20−8k>0，
解得：k<52；
(2)由k为正整数，得到k=1或2，
利用求根公式表示出方程的解为x=−1±5−2k，
∵ 方程的解为整数，
∴ 5−2k为完全平方数，则k的值为2．
【答案】
200
(2)C .羽毛球项目的人数为200−20−80−40=60（人），
补全图形，如图所示：
(3)列表如下：
所有等可能的结果为12种，其中符合要求的只有2种，
则P=212=16．
【考点】
列表法与树状图法
条形统计图
扇形统计图
【解析】
（1）由喜欢篮球的人数除以所占的百分比即可求出总人数；
（2）由总人数减去喜欢A，B及D的人数求出喜欢C的人数，补全统计图即可；
（3）根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出满足题意的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】
解：(1)根据题意得：20÷36∘360∘=200（人），
故答案为：200；
(2)C .羽毛球项目的人数为200−20−80−40=60（人），
补全图形，如图所示：
(3)列表如下：
所有等可能的结果为12种，其中符合要求的只有2种，
则P=212=16．
【答案】
证明：连接BD、OD，
∵ AB是直径，
∴ ∠ADB＝90∘，
∵ AB＝BC，
∴ AD＝DC，
∵ AO＝OB，
∴ OD // BC，
∵ DF⊥BC，
∴ DF⊥OD，
又∵ 点D在⊙O上，
∴ 直线DE是⊙O的切线；
∵ DF⊥BC，csE=45，BF＝6，
∴ 可得EF＝8，BE＝10，
∵ OD // BC，
∴ △EFB∽△EDO，
∴ BFOD=BEOE，
设半径为x，则6x=1010+x，
解得：x＝15，
∴ ⊙O直径为30．
【考点】
切线的判定
相似三角形的性质与判定
【解析】
（1）连接BD、OD，根据AB为直径得出∠ADB＝90∘，根据等腰三角形性质求出AD＝CD，根据三角形的中位线推出OD // BC，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；
（2）根据已知求出EF、BE，根据平行线推出△EFB∽△EDO，推出比例式BFOD=BEOE，设半径为x，代入求出x即可．
【解答】
证明：连接BD、OD，
∵ AB是直径，
∴ ∠ADB＝90∘，
∵ AB＝BC，
∴ AD＝DC，
∵ AO＝OB，
∴ OD // BC，
∵ DF⊥BC，
∴ DF⊥OD，
又∵ 点D在⊙O上，
∴ 直线DE是⊙O的切线；
∵ DF⊥BC，csE=45，BF＝6，
∴ 可得EF＝8，BE＝10，
∵ OD // BC，
∴ △EFB∽△EDO，
∴ BFOD=BEOE，
设半径为x，则6x=1010+x，
解得：x＝15，
∴ ⊙O直径为30．
【答案】
y＝−0.02x+8
当采购量是x千克时，蔬菜种植基地获利W元，
当0当x＝100时，W有最大值400元，
当100W＝(y−2)x
＝(−0.02x+6)x
＝−0.02(x−150)2+450，
∴ 当x＝150时，W有最大值为450元，
综上所述，一次性采购量为150千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润为450元；
∵ 400<418<450，
∴ 根据（1）可得，−0.02(x−150)2+450＝418
解得：x1＝110，x ​2＝190，
答：经销商一次性采购的蔬菜是110千克或190千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润．
【考点】
二次函数的应用
【解析】
（1）利用待定系数法求出当100（2）根据当0（3）根据（2）中所求得出，−0.02(x−150)2+450＝418求出即可．
【解答】
设当100100a+b=6200a+b=4 ，
解得：a=−0.02b=8
∴ y与x之间的函数关系式为：y＝−0.02x+8；
故答案为：y＝−0.02x+8；
当采购量是x千克时，蔬菜种植基地获利W元，
当0当x＝100时，W有最大值400元，
当100W＝(y−2)x
＝(−0.02x+6)x
＝−0.02(x−150)2+450，
∴ 当x＝150时，W有最大值为450元，
综上所述，一次性采购量为150千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润为450元；
∵ 400<418<450，
∴ 根据（1）可得，−0.02(x−150)2+450＝418
解得：x1＝110，x ​2＝190，
答：经销商一次性采购的蔬菜是110千克或190千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润．
【答案】
解：（1）完成图形，如图所示：
证明：∵ △ABD和△ACE都是等边三角形，
∴ AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60∘，
∴ ∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，
∵ 在△CAD和△EAB中，
AD=AB∠CAD=∠EABAC=AE，
∴ △CAD≅△EAB(SAS)，
∴ BE=CD；
（2）BE=CD，理由同（1），
∵ 四边形ABFD和ACGE均为正方形，
∴ AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90∘，
∴ ∠CAD=∠EAB，
∵ 在△CAD和△EAB中，
AD=AB∠CAD=∠EABAC=AE，
∴ △CAD≅△EAB(SAS)，
∴ BE=CD；
（3）由（1）、（2）的解题经验可知，过A作等腰直角△ABD，∠BAD=90∘，
则AD=AB=100米，∠ABD=45∘，
∴ BD=1002米，
连接CD，BD，则由（2）可得BE=CD，
∵ ∠ABC=45∘，∴ ∠DBC=90∘，
在Rt△DBC中，BC=100米，BD=1002米，
根据勾股定理得：CD=1002+(1002)2=1003米，
则BE=CD=1003米．
【考点】
四边形综合题
【解析】
（1）分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，BD，同理连接AE，CE，如图所示，由△ABD与△ACE都是等边三角形，得到三对边相等，两个角相等，都为60度，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到△CAD与△EAB全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）BE=CD，理由与（1）同理；
（3）根据（1）、（2）的经验，过A作等腰直角△ABD，连接CD，由AB=AD=100，利用勾股定理求出BD的长，由题意得到△DBC为直角三角形，利用勾股定理求出CD的长，即为BE的长．
【解答】
解：（1）完成图形，如图所示：
证明：∵ △ABD和△ACE都是等边三角形，
∴ AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60∘，
∴ ∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，
∵ 在△CAD和△EAB中，
AD=AB∠CAD=∠EABAC=AE，
∴ △CAD≅△EAB(SAS)，
∴ BE=CD；
（2）BE=CD，理由同（1），
∵ 四边形ABFD和ACGE均为正方形，
∴ AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90∘，
∴ ∠CAD=∠EAB，
∵ 在△CAD和△EAB中，
AD=AB∠CAD=∠EABAC=AE，
∴ △CAD≅△EAB(SAS)，
∴ BE=CD；
（3）由（1）、（2）的解题经验可知，过A作等腰直角△ABD，∠BAD=90∘，
则AD=AB=100米，∠ABD=45∘，
∴ BD=1002米，
连接CD，BD，则由（2）可得BE=CD，
∵ ∠ABC=45∘，∴ ∠DBC=90∘，
在Rt△DBC中，BC=100米，BD=1002米，
根据勾股定理得：CD=1002+(1002)2=1003米，
则BE=CD=1003米．
【答案】
解：（1）由题意得AB的中点坐标为(−3, 0)，CD的中点坐标为(0, 3)，
分别代入y=ax2+b得
(−3)2a+b=0b=3，
解得，a=−1b=3，
∴ y=−x2+3．
（2）①如图2所示，在Rt△BCE中，∠BEC=90∘，BE=3，BC=23
∴ sinC=BEBC=323=32，∴ ∠C=60∘，∠CBE=30∘
∴ EC=12BC=3，DE=3
又∵ AD // BC，∴ ∠ADC+∠C=180∘
∴ ∠ADC=180∘−60∘=120∘
要使△ADF与△DEF相似，则△ADF中必有一个角为直角．
(I)若∠ADF=90∘
∠EDF=120∘−90∘=30∘
在Rt△DEF中，DE=3，求得EF=1，DF=2．
又∵ E(t, 3)，F(t, −t2+3)，∴ EF=3−(−t2+3)=t2
∴ t2=1，∵ t>0，∴ t=1
此时ADDE=233=2，DFEF=21=2，
∴ ADDE=DFEF，
又∵ ∠ADF=∠DEF
∴ △ADF∽△DEF
(II)若∠DFA=90∘，
可证得△DEF∽△FBA，则DEFB=EFBA
设EF=m，则FB=3−m
∴ 33−m=m23，即m2−3m+6=0，此方程无实数根．
∴ 此时t不存在；
(III)由题意得，∠DAF<∠DAB=60∘
∴ ∠DAF≠90∘，此时t不存在．
综上所述，存在t=1，使△ADF与△DEF相似；
②如图3所示，依题意作出旋转后的三角形△FE′C′，过C′作MN⊥x轴，分别交抛物线、x轴于点M、点N．
观察图形可知，欲使△FE′C′落在指定区域内，必须满足：EE′≤BE且MN≥C′N．
∵ F(t, 3−t2)，∴ EF=3−(3−t2)=t2，∴ EE′=2EF=2t2，
由EE′≤BE，得2t2≤3，解得t≤62．
∵ C′E′=CE=3，∴ C′点的横坐标为t−3，
∴ MN=3−(t−3)2，又C′N=BE′=BE−EE′=3−2t2，
由MN≥C′N，得3−(t−3)2≥3−2t2，解得t≥6−3或t≤−6−3（舍）．
∴ t的取值范围为：6−3≤t≤62．
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）根据已知条件求出AB和CD的中点坐标，然后利用待定系数法求该二次函数的解析式；
（2）本问是难点所在，需要认真全面地分析解答：
①如图2所示，△ADF与△DEF相似，包括三种情况，需要分类讨论：
(I)若∠ADF=90∘时，△ADF∽△DEF，求此时t的值；
(II)若∠DFA=90∘时，△DEF∽△FBA，利用相似三角形的对应边成比例可以求得相应的t的值；
(III)∠DAF≠90∘，此时t不存在；
②如图3所示，画出旋转后的图形，认真分析满足题意要求时，需要具备什么样的限制条件，然后根据限制条件列出不等式，求出t的取值范围．确定限制条件是解题的关键．
【解答】
解：（1）由题意得AB的中点坐标为(−3, 0)，CD的中点坐标为(0, 3)，
分别代入y=ax2+b得
(−3)2a+b=0b=3，
解得，a=−1b=3，
∴ y=−x2+3．
（2）①如图2所示，在Rt△BCE中，∠BEC=90∘，BE=3，BC=23
∴ sinC=BEBC=323=32，∴ ∠C=60∘，∠CBE=30∘
∴ EC=12BC=3，DE=3
又∵ AD // BC，∴ ∠ADC+∠C=180∘
∴ ∠ADC=180∘−60∘=120∘
要使△ADF与△DEF相似，则△ADF中必有一个角为直角．
(I)若∠ADF=90∘
∠EDF=120∘−90∘=30∘
在Rt△DEF中，DE=3，求得EF=1，DF=2．
又∵ E(t, 3)，F(t, −t2+3)，∴ EF=3−(−t2+3)=t2
∴ t2=1，∵ t>0，∴ t=1
此时ADDE=233=2，DFEF=21=2，
∴ ADDE=DFEF，
又∵ ∠ADF=∠DEF
∴ △ADF∽△DEF
(II)若∠DFA=90∘，
可证得△DEF∽△FBA，则DEFB=EFBA
设EF=m，则FB=3−m
∴ 33−m=m23，即m2−3m+6=0，此方程无实数根．
∴ 此时t不存在；
(III)由题意得，∠DAF<∠DAB=60∘
∴ ∠DAF≠90∘，此时t不存在．
综上所述，存在t=1，使△ADF与△DEF相似；
②如图3所示，依题意作出旋转后的三角形△FE′C′，过C′作MN⊥x轴，分别交抛物线、x轴于点M、点N．
观察图形可知，欲使△FE′C′落在指定区域内，必须满足：EE′≤BE且MN≥C′N．
∵ F(t, 3−t2)，∴ EF=3−(3−t2)=t2，∴ EE′=2EF=2t2，
由EE′≤BE，得2t2≤3，解得t≤62．
∵ C′E′=CE=3，∴ C′点的横坐标为t−3，
∴ MN=3−(t−3)2，又C′N=BE′=BE−EE′=3−2t2，
由MN≥C′N，得3−(t−3)2≥3−2t2，解得t≥6−3或t≤−6−3（舍）．
∴ t的取值范围为：6−3≤t≤62．
甲
乙
丙
丁
甲
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（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
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丙
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