2022-2023学年湖北省咸宁市咸安区温泉中学等五校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖北省咸宁市咸安区温泉中学等五校八年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖北省咸宁市咸安区温泉中学等五校八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本题共8小题，共24分）
1. 下列各式中，属于二次根式的是(    )
A. x+y B. |-3| C. 1x D. 3x
2. 以下列各组线段为边作三角形，能构成直角三角形的是(    )
A. 6，12，13 B. 6，8，9 C. 3，4，5 D. 5，12，15
3. 在▱ABCD中，已知∠A+∠C=240°，则∠A的度数为(    )
A. 60° B. 80° C. 70° D. 120°
4. 下列计算正确的是(    )
A. 3 2- 2=3 B. 9÷3= 3
C. 2+ 3= 5 D. (-2)×(-6)=2 3
5. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，如果AB=8，BC=6，那么AC的长是(    )
A. 10 B. 2 7 C. 10或2 7 D. 7
6. 若二次根式 32n的值是整数，则下列n的取值符合条件的是(    )
A. n=12 B. n=15 C. n=16 D. n=18
7. 我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为(    )
A. x2+102=(x+1)2 B. (x-1)2+52=x2
C. x2+52=(x+1)2 D. (x-1)2+102=x2
8. 如图，菱形ABCD的周长为20，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AB，垂足为E，DE：AB=4：5，有以下结论，其中不正确的是(    )
A. DE=4
B. BE=2
C. AC=4 3
D. S菱形ABCD=20
二、填空题（本题共8小题，共24分）
9. 计算：(4+ 3)(4- 3)= ______ ．
10. 命题“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”是______ 命题.(执“真”或“假”)
11. 若等式 x⋅ 3-x= x(3-x)成立，则x的取值范围是______ ．
12. 如图，线段BC为等腰△ABC的底边，矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O，若OD=1，则AC= ______ ．


13. 当a=2，b=-7，c=5时，代数式-b+ b2-4ac2a的值是______ ．
14. 如图，D、E、F、G分别为AC、AB、BO、CO的中点，∠BOC=90°，若AO=3，BO=4，CO=3，则四边形DEFG的周长______ ．

15. 观察： 1+112+122=1+12, 1+122+132=1+16, 1+132+142=1+112，……
计算 1+112+122+ 1+122+132+ 1+132+142+⋯+ 1+192+1102，其结果为______ ．
16. 如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上，连接BD，有下列结论：①AE=BD；②∠DAB=∠BCD；③ED⊥DB；④AE2+AD2=2AC2；其中正确的结论有______ (填序号)
三、简答题（本题共8小题，共72分）
17. 计算：
(1)2 27+ 12；
(2)4 12× 48- 54+ 6．
18. 如图，每个小正方形的边长为1．
(1)求四边形ABCD的面积和周长；
(2)∠BCD是直角吗？说明理由．


19. 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行.“远航”号沿北偏东60°方向航行，每小时航行16海里；“海天”号沿北偏西30°方向航行，每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，求此时两轮船相距多少海里？

20. 已知a=2- 2,b=2+ 2，求下列式子的值：
(1)a2+b2；
(2)a2b2+ab+ 2．
21. 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．


22. 如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕MN，将纸片展平，再一次折叠，使点D落到MN上的点F处，折痕为AP；延长PF交AB于点G．
(1)求证：△APG为等边三角形；
(2)E为线段AP上一动点，H为AF的中点，连接EH，EF.若AD=2(AB>AD)，则EH+EF的最小值是______ ．

23. 如图，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
(1)求证：AE=EF；
(2)连接AC，则CFAC的值为______ ；
(3)连接AF，设AF与CD交于点H，连接EH，探究BE，EH，DH之间的关系．

24. 如图，点O为坐标原点，四边形OABC为矩形，边OC、OA分别在x轴、y轴上，A(0,a)，C(c,0)，且a、c满足|a-4|+(8-c)2=0．
(1)求B，C两点的坐标；
(2)把△ABC沿AC翻折，点B落在B'处，线段AB与x轴交于点D，求CD的长；
(3)在平面内是否存在点P，使以A，D，C，P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：A.x+y不是二次根式，故该选项不正确，不符合题意；
B. |-3|是二次根式，故该选项正确，符合题意；
C.1x不是二次根式，故该选项不正确，不符合题意；
D.3x不是二次根式，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
根据二次根式的定义判断即可．
本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键．

2.【答案】C 
【解析】解：A、62+122=180≠132，不能构成直角三角形，不符合题意；
B、62+82=100≠92，不能构成直角三角形，不符合题意；
C、32+42=25=52，能构成直角三角形，符合题意；
D、52+122=169≠152，不能构成直角三角形，不符合题意．
故选：C．
根据两较小边的平方和是否等于最长边的平方进行判断是否是直角三角形即可．
考查勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．

3.【答案】D 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∵∠A+∠C=240°，
∴∠A=120°，
故选：D．
由四边形ABCD是平行四边形，可得∠A=∠C，又由∠A+∠C=240°，即可求得∠A的度数．
此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形的对角相等、邻角互补的知识．

4.【答案】D 
【解析】解：A. 3 2- 2=2 2，故该选项不正确，不符合题意；
B.  9÷3=1，故该选项不正确，不符合题意；
C.  3与 2不是同类二次根式，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
D.  (-2)×(-6)= 12=2 3，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
根据二次根式的混合运算法则，可以判断各个选项是否正确．
本题考查了二次根式的混合运算，熟记二次根式混合运算的基本法则是解题的关键．

5.【答案】B 
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，BC=6，
∴AC= AB2-BC2= 82-62=2 7，
故选：B．
利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

6.【答案】D 
【解析】解：∵ 32n=4 2n是整数，
A.当n=12时， 2×12= 24=2 6，故该选项不正确，不符合题意；
B.当n=15时， 2×15= 30，故该选项不正确，不符合题意；
C.当n=16时， 2×16= 32=4 2，故该选项不正确，不符合题意；
D.当n=18时， 2×18= 36=6，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
先化简 32n=4 2n，根据题意逐项分析判断即可求解．
本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．

7.【答案】B 
【解析】解：设芦苇长x尺，由题意得：
(x-1)2+52=x2，
故选：B．
首先设芦苇长x尺，则为水深为(x-1)尺，根据勾股定理可得方程(x-1)2+52=x2．
此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．

8.【答案】C 
【解析】解：∵菱形ABCD的周长为20，
∴AB=AD=5，
∵DE：AB=4：5，
∴DE=4，故A正确，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
在Rt△ADE中，AE= AD2-DE2=3，
∴BE=AB-AE=5-3=2，故B选项正确，
在Rt△BDE中，BD= DE2+BE2= 42+22=2 5，
∴S菱形ABCD=AB×DE=20，故D选项正确，
∵S菱形ABCD=AB×DE=12AC×BD，
∴AC=2AB×DEBD=2×4×52 5=4 5，故C选项不正确，
故选：C．
根据菱形的性质得出AB=AD=5，根据已知条件得出DE=4，即可判断A选项，根据勾股定理求得AE=3，得出BE=2，即可判断B选项，进而勾股定理求得BD=2 5，根据菱形的面积公式即可判断C，D选项．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．

9.【答案】13 
【解析】解：原式=42-( 3)2
=16-3
=13．
故答案为：13．
利用平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键．

10.【答案】假 
【解析】解：|-2|=|2|，而-2≠2，
故命题“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”是假命题，
故答案为：假．
根据互为相反数的绝对值相等判断即可．
本题考查的是命题的真假判断、绝对值的性质、逆命题的概念，熟记绝对值的性质是解题的关键．

11.【答案】0≤x≤3 
【解析】解：由题意得：x≥0且3-x≥0，
解得：0≤x≤3，
故答案为：0≤x≤3．
根据二次根式中的被开方数是非负数列出不等式组，解不等式组得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．

12.【答案】2 
【解析】解：∵四边形ADBE是矩形，
∴AB=DE，AO=BO，DO=OE，
∴AB=DE=2OD=2，
∵AB=AC，
∴AC=2，
故答案为：2．
由矩形的性质可得AB=2OD=2，由等腰三角形的性质可求解．
本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键．

13.【答案】52 
【解析】解：当a=2，b=-7，c=5时，
代数式-b+ b2-4ac2a=7+ 49-404=7+34=52．
故答案为：52．
把a，b，c的值代入代数式计算即可求出值．
此题考查了解一元二次方程-公式法，二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

14.【答案】8 
【解析】解：∵∠BOC=90°，BO=4，CO=3，
∴BC= OB2+OC2= 42+32=5，
∵D、E、F、G分别为AC、AB、BO、CO的中点，
∴DE，FG分别为△ABC，△OBC的中位线，EF，DG分别为△AOB，△AOC的中位线，
∴DE=FG=12BC=2.5，EF=DG=12OA=1.5，
∴EF+DG=3，DE+FG=5，
∴四边形DEFG的周长=EF+DG+DE+FG=3+5=8，
故答案为：8．
根据勾股定理求出BC=5，根据三角形中位线定理得到DE=FG=12BC，EF=DG=12O，得到EF+DG=3，DE+FG=5，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．

15.【答案】9.9 
【解析】解： 1+112+122+ 1+122+132+ 1+132+142+⋯+ 1+192+1102
=1+12+1+16+1+112+…+1+190
=9+1-12+12-13+13-14+…+19-110
=9+1-110
=9.9．
故答案为：9.9．
根据题干算式变形，再拆分后抵消法计算即可求解．
本题考查了规律型：数字的变化类，实数的运算，关键是变形得到原式=1+12+1+16+1+112+…+1+190．

16.【答案】①②③④ 
【解析】解：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠ECD=∠ACB，
∴∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD，
∴∠ECA=∠DCB，
∵CA=CB，CE=CD，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴AE=BD，故①正确；
∵∠DAC=∠E+∠ECA，∠DAC=∠DAB+∠BAC，
∴∠E+∠ECA=∠DAB+∠BAC，
∵∠E=∠BAC=45°，
∴∠ECA=∠DAB，
∵∠ECA=∠DCB，
∴∠DAB=∠BCD，故②正确；
∵△ACE≌△BCD，
∴∠E=∠CDB=45°，
∵∠BDE=∠CDA+∠CDB，
∴∠BDE=45°+45°=90°，
∴ED⊥DB，故③正确；
∵∠BDE=90°，
在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB2=AC2+BC2=2AC2，
∴AD2+BD2=2AC2，
∵AE=BD，
∴AD2+AE2=2AC2，故④正确；
故答案为：①②③④．
首先可根据“手拉手”模型推出△ACE≌△BCD，进而利用全等三角形的证明①，并进一步利用全等三角形得到的基本性质证明后续问题即可．
本题考查全等三角形的判定与性质，以及勾股定理的运用等，能够通过“手拉手”模型准确找到全等三角形，并且熟练运用勾股定理是解题关键．

17.【答案】解：(1)2 27+ 12
=2×3 3+2 3
=6 3+2 3
=8 3；
(2)4 12× 48- 54+ 6
=4× 12×48-3 6+ 6
=8 6-2 6
=6 6． 
【解析】(1)根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可求解；
(2)根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．

18.【答案】解：(1)由勾股定理可得：AB2=12+72=50，
则AB= 50=5 2，
∵BC2=42+22=20，
∴BC=2 5，
∵CD2=22+12=5，
∴CD= 5，
∵AD2=32+42=25，
∴AD=5，
故四边形ABCD的周长为：5 2+2 5+5+ 5=5 2+3 5+5，
四边形ABCD的面积为：7×5-12(1×7+4×2+2×1+4×3)-3
=35-17.5
=17.5；
(2)由(1)得：BC2=20，CD2=5，而BD2=32+42=25，
故DC 2+BC2=BD2，
则∠BCD=90°，
∴∠BCD是直角． 
【解析】此题主要考查了勾股定理以及其逆定理，正确应用勾股定理是解题关键．
(1)直接利用勾股定理得出各边长，进而利用四边形所在矩形面积减去周围三角形面积得出答案；
(2)利用勾股定理的逆定理得出答案．

19.【答案】解：由题意，∠SPQ=60°，∠RPS=30°，
∴∠RPQ=∠SPQ+∠RPS=30°+60°=90°，即△RPQ为直角三角形，
一个半小时后，PR=12×1.5=18(海里)，PQ=16×1.5=24(海里)，
∴在Rt△RPQ中，RQ= PR2+PQ2= 182+242=30(海里)，
∴此时两轮船相距30海里． 
【解析】由题意，首先确定出直角三角形，以及两直角边长，然后结合勾股定理求解即可．
本题考查勾股定理解三角形，理解方位角的定义，准确建立直角三角形，熟练运用勾股定理是解题关键．

20.【答案】解：(1)∵a=2- 2,b=2+ 2，
∴a+b=2- 2+2+ 2=4，ab=(2- 2)(2+ 2)=4-2=2，
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=42-2×2=12；
(2)∵ab=2，
∴a2b2+ab+ 2=22+2+ 2=6+ 2 
【解析】(1)根据已知条件式得出a+b=4，ab=2，然后根据完全平方公式变形求值即可求解；
(2)将ab=2，代入进行计算即可求解．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式与二次根式的运算法则是解题的关键．

21.【答案】证明：(1)∵BF=DE，
∴BF-EF=DE-EF，
即BE=DF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∵AB=CD，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL)；
(2)连接AC，交BD于点O，

∵△ABE≌△CDF，
∴∠ABE=∠CDF，
∴AB/​/CD，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO． 
【解析】此题考查了全等三角形的判定与性质与平行四边形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．
(1)由BF=DE，可得BE=DF，由AE⊥BD，CF⊥BD，可得∠AEB=∠CFD=90°，又由AB=CD，在直角三角形中利用HL即可证得：△ABE≌△CDF；
(2)由△ABE≌△CDF，即可得∠ABE=∠CDF，根据内错角相等，两直线平行，即可得AB/​/CD，又由AB=CD，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形ABCD是平行四边形，则可得AO=CO．

22.【答案】 3 
【解析】(1)证明：由折叠可得：M、N分别为AD、BC的中点，
∵DC/​/AB，
∴F为PG的中点，即PF=GF，
由折叠可得：∠PFA=∠D=90°，∠1=∠2，
在△AFP和△AFG中，
PF=GF∖hfill∠AFP=∠AFG∖hfillAF=AF∖hfill，
∴△AFP≌△AFG(SAS)，
∴AP=AG，
∵AF⊥PG，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠2=∠3=30°，
∴∠2+∠3=60°，即∠PAG=60°，
∴△APG为等边三角形．
(2)解：如图所示，连接HD，

∵折叠，
∴EF=ED，
∴EF+EH=ED+EH≥DH，
∴当D，E，H三点共线时，EF+EH取得最小值，最小值为DH的长，
由(1)可得∠2+∠1=60°，
又DA=DF，
∴△ADF是等边三角形，
∵AD=2，H为AF的中点，
∴AH=1，DH⊥AF，
在Rt△AHD中，DH= AD2-AH2= 3．
故答案为： 3．
(1)由折叠的性质得到M、N分别为AD、BC的中点，利用平行线分线段成比例得到F为PG的中点，再由折叠的性质得到AF垂直于PG，证明△AFG≌△AFP，得到对应边相等，利用三线合一得到∠2=∠3，由折叠的性质及等量代换得到∠PAG为60°，根据AP=AG且有一个角为60°即可得证．
(2)根据EF+EH=ED+EH≥DH，可得当D，E，H三点共线时，EF+EH取得最小值，最小值为DH的长，然后勾股定理即可求解．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，轴对称的性质，以及矩形的性质，熟练掌握相关的性质与定理是解本题的关键．

23.【答案】12 
【解析】解：(1)证明：如图所示，取AB的中点M，并连接ME，
∴AM=BM，
∵E是边BC的中点，
∴BE=CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AM=BM=BE=CE，
∵∠AEF=90°，∠B=90°，
∴∠MAE+∠AEB=90°，∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠MAE=∠CEB，
∵BM=BE，∠B=90°
∴∠BME=45°，∠AME=135°，
∵正方形外角的平分线为CF，
∴∠ECF=90°+45°=135°，
∴∠AME=∠ECF，
在△AME和△ECF中，
∠MAE=∠CEBAM=EC∠AME=∠ECF，
∴△AME≌△ECF(ASA)，
∴AE=EF；

(2)解：如图所示，连接AC，
∵点M，E分别为AB，BC的中点，
∴ME为△ABC的中位线，
∴AC=2ME，
由(1)得△AME≌△ECF，
∴ME=CF，
∴AC=2CF，
∴CFAC=12，
故答案为：12；

(3)解：EH=BE+DH，理由如下：
如图所示，延长CB至点N，使得BN=DH，连接AN，
由正方形基本性质得：∠ABN=∠ADH=90°，AB=AD，
∴△ABN≌△ADH(SAS)，
∴AN=AH，∠DAH=∠BAN，
由(1)知，AE=EF，且∠AEF=90°，
∴∠EAF=∠EFA=45°，
∴∠DAH+∠BAE=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°，
∴∠NAE=∠BAN+∠BAE=45°，即：∠NAE=∠HAE=45°，
在△NAE和△HAE中，
AN=AH∠NAE=∠HAEAE=AE，
∴△NAE≌△HAE(SAS)，
∴EN=EH，
∵EN=BE+BN，BN=DH，
∴EN=BE+DH，
∴EH=BE+DH．

(1)取AB的中点M，并连接ME，通过正方形和等腰直角三角形的基本性质，证明△AME≌△ECF，即可得出结论；
(2)连接AC后，由点M，E分别为AB，BC的中点，推出ME为△ABC的中位线，再结合全等三角形的性质转换边长，根据中位线定理求解即可；
(3)结合(1)的结论，可得到∠EAF=45°，从而考虑运用“半角”模型，因此延长CB至点N，使得BN=DH，连接AN，运用两次基础全等证明即可得出结论．
本题考查正方形的性质，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识点，在证明第一小问时要合理作出辅助线，才能为后面的问题做良好的铺垫，掌握基本图形的性质，熟练运用基本定理是解题关键．

24.【答案】解：(1)∵|a-4|+(8-c)2=0，
∴a-4=0，8-c=0，
解得：a=4，c=8，
∴A(0,4)，C(8,0)，
∵四边形AOCB是矩形，
∴AB=OC=8.BC=AO=2，
∴B(8,4)；
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB/​/CD，
∴∠BAC=∠ACO，
∵折叠
∴∠BAC=∠B'AC，BC=B'C，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
设DA=DC=x，则DB'=AB'-AD=8-x，
在Rt△DB'C中，DB'2+B'C2=DC2，
即x2=(8-x)2+42，
解得：x=5，即CD=5，
(3)∵A(0,4)，C(8,0)，D(3,0)，设P(m,n)，
当AD为对角线时，0+32=8+m24+02=0+n2，
解得：m=-5n=4，
∴P(-5,4)；
当AC为对角线时，0+82=3+m24+02=0+n2，
解得：m=5n=4，
∴P(5,4)；
当AP为对角线时，0+m2=3+824+n2=0，
解得：m=11n=-4，
∴P(11,-4)；
综上所述，P(-5,4)或P(5,4)或P(11,-4)． 
【解析】(1)根据非负数的性质求得a=4，c=8，得出A(0,4)，C(8,0)，根据矩形的性质即可求得B点的坐标；
(2)根据折叠的性质得出DA=DC，进而设DA=DC=x，在Rt△DB'C中，勾股定理即可求解；
(3)分AD，AC，AP为对角线时，根据中点坐标公式即可求解．
本题考查了非负数的性质，坐标与图形，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．