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_ 2021年山东省济南市莱芜区中考数学模拟试卷（一） 解析版
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这是一份_ 2021年山东省济南市莱芜区中考数学模拟试卷（一） 解析版，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年山东省济南市莱芜区（五四制）中考一模数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．2021的倒数是（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
2．如图，是由五个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．截止到2021年1月22日9时30分，天问一号探测器已经在轨飞行182天，距离火星约4200000公里，4200000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.42×107 B．4.2×106 C．4.2×105 D．42×105
4．如图，直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分∠BEF交直线CD于点G，若∠1＝∠BEF＝72°，则∠EGF的度数为（ ）
A．34° B．36° C．38° D．68°
5．下列图形是几家电信公司的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．化简（1﹣a）÷（1﹣）•a的结果是（ ）
A．﹣a2 B．1 C．a2 D．﹣1
7．下列运算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6 B．（a+b）2＝a2+b2
C．（a5）2＝a7 D．（﹣a+2）（﹣a﹣2）＝a2﹣4
8．某班班长统计去年1～8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了如图所示的折线统计图，下列说法错误的是（ ）
A．阅读课外书本数的众数是58
B．阅读课外书本数的平均数是56.25
C．阅读课外书本数的中位数是50
D．阅读课外书本数的极差是55
9．若实数k、b满足k+b＝0，且k＞b，则一次函数y＝kx+b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图已知∠AOB，按照以下步骤作图：
①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD．
②分别以点C，D为圆心，以大于线段CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接CE，DE．
③连接OE交CD于点M．
不列结论中错误的是（ ）
A．CM＝MD B．∠CEO＝∠DEO
C．∠OCD＝∠ECD D．S四边形OCED＝CD•OE
11．如图，点A（5a﹣1，2）、B（8，a）都在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点P是直线y＝x上的一个动点，当PA+PB最小时，点P坐标是（ ）
A．（，） B．（，） C．（3，3） D．（4，4）
12．如图，抛物线y＝2x2﹣8x+6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝﹣x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．1＜m＜ B．＜m＜3 C．1＜m＜3 D．＜m＜1
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分。请直接填写答案）
13．分解因式：2a3﹣2a＝ ．
14．从3、﹣4、5三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第二象限的概率是 ．
15．当x＝ 时，代数式比代数式的值小3．
16．如图所示，两个半圆中，长为4的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，则图中阴影部分的面积是 ．
17．近期随着国家抑制房价新政策的出台，某楼盘房价连续两次下跌，由原来的每平方米10000元降至每平方米8100元，设每次降价的百分率相同，则降价百分率为 ．
18．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A'处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N．若直线BA'交直线CD于点O，BC＝9，AM＝4，则OD的长为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
19．（1）计算：﹣（4﹣π）0+（cos60°）﹣2﹣|﹣3|；
（2）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
20．学校开通了空中课堂在线学习平台，为了解学生使用情况，该校学生会成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的平台使用情况按A级：优秀（每天都用），B级：良好（周末使用），C级：合格（假期使用），D级：不合格（基本不用）四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．
等级
频数
频率
A
6
0.15
B
12
b
C
c
0.35
D
8
0.2
请根据以上信息完成下列问题：
（1）本次调查随机抽取了 名学生；表中b＝ ，c＝ ；
（2）请补全条形统计图；
（3）若绘制扇形统计图，则“不合格”等级所对应的圆心角的度数是 ；
（4）若全校有1800名学生，请你估计该校学习平台使用达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．
21．如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AD⊥OP于点C，交⊙O于点D，连接PD交直径AB的延长线于点E．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，DC＝4，求PD的长．
22．某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面示意图．身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为58°．如果测温门顶部A处距地面的高度AD为2.8米，求小聪在有效测温区间MN的长度约为多少米？（保留两位小数，注：额头到地面的距离以身高计，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73．）
23．为了加强疫情防控，某学校购进了部分N95口罩和一次性医用口罩，已知购买N95口罩共花费2000元，购买一次性医用口罩共花费1000元，购买一次性医用口罩数量是购买N95口罩数量的2.5倍，且购买一个N95口罩比购买一个一次性医用口罩多花4元．
（1）求购买一个N95口罩、一个一次性医用口罩各需多少元？
（2）该单位决定再次购买N95口罩和一次性医用口罩共3000个，恰逢该商场对两种口罩的售价进行调整，N95口罩售价比第一次购买时降低了20%，一次性医用口罩售价比第一次购买时降低了50%，如果此次购买N95口罩和一次性医用口罩的总费用不超过3250元，那么该单位至少可购买多少个一次性医所口罩？
24．如图1，△ABC和△AMN都是等腰直角三角形，△ABC固定不动，△AMN可以绕着点A旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°）．
（1）观察验证：当△AMN绕点A旋转到如图2的位置时，求证：△AMC≌△ANB；
（2）问题探究：如图3，连接BM，分别取MN、BM、BC的中点O、P、Q，连接OP、PQ、OQ，猜想△OPQ的形状，并说明理由；
（3）问题拓展：若AC＝5，AN＝3，在（2）的条件下，△AMN绕着点A在自由旋转过程中，旋转角为α（0°＜α＜360°），求出△OPQ面积的最大值．
25．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为A（1，2），与x轴交于点B（﹣1，0），C两点，与y轴交于点D，点P是抛物线上的动点．
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）如图2，连接CD，点E在CD上，若点P在第一象限，且∠PEC＝90°，求线段PE长度的最大值；
（3）如图3，连接AB、AC，已知∠ACB+∠PCB＝α，是否存在点P，使得tanα＝2？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．2021的倒数是（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：2021的倒数是．
故选：C．
2．如图，是由五个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：D．
3．截止到2021年1月22日9时30分，天问一号探测器已经在轨飞行182天，距离火星约4200000公里，4200000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.42×107 B．4.2×106 C．4.2×105 D．42×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：4200000＝4.2×106．
故选：B．
4．如图，直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分∠BEF交直线CD于点G，若∠1＝∠BEF＝72°，则∠EGF的度数为（ ）
A．34° B．36° C．38° D．68°
【分析】利用角平分线的性质先求出∠BEG，再利用平行线的判定和性质得到∠EGF的度数．
【解答】解：∵∠1＝∠BEF＝72°，
∴AB∥CD．
∴∠EGF＝∠GEB．
∵EG平分∠BEF，
∴∠GEB＝∠BEF＝36°．
∴∠EGF＝∠GEB＝36°．
故选：B．
5．下列图形是几家电信公司的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：左起第一个图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
第二个图形不是轴对称图形，是中心对称图形；
第三个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
第四个图形不是轴对称图形，是中心对称图形；
所以既是轴对称图形又是中心对称图形的有1个．
故选：A．
6．化简（1﹣a）÷（1﹣）•a的结果是（ ）
A．﹣a2 B．1 C．a2 D．﹣1
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝（1﹣a）••a
＝﹣a2，
故选：A．
7．下列运算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6 B．（a+b）2＝a2+b2
C．（a5）2＝a7 D．（﹣a+2）（﹣a﹣2）＝a2﹣4
【分析】各式计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式＝2a3，不符合题意；
B、原式＝a2+2ab+b2，不符合题意；
C、原式＝a10，不符合题意；
D、原式＝a2﹣4，符合题意．
故选：D．
8．某班班长统计去年1～8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了如图所示的折线统计图，下列说法错误的是（ ）
A．阅读课外书本数的众数是58
B．阅读课外书本数的平均数是56.25
C．阅读课外书本数的中位数是50
D．阅读课外书本数的极差是55
【分析】根据极差的定义，众数的定义，中位数的定义以及平均数的计算方法分别进行计算即可得解．
【解答】解：A、58出现的次数最多，是2次，所以，众数是58，故本选项不符合题意；
B、平均数＝（36+70+58+42+58+28+78+83）＝×453＝56.625，故本选项不符合题意；
C、按照阅读本数从小到大的顺序排列为：28、36、42、58、58、70、78、83，
中间两个数都是58，所以，中位数是58，故本选项符合题意；
D、极差＝83﹣28＝55，故本选项不符合题意．
故选：C．
9．若实数k、b满足k+b＝0，且k＞b，则一次函数y＝kx+b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．
【解答】解：因为实数k、b满足k+b＝0，且k＞b，
所以k＞0，b＜0，
所以它的图象经过一、三、四象限，
故选：A．
10．如图已知∠AOB，按照以下步骤作图：
①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD．
②分别以点C，D为圆心，以大于线段CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接CE，DE．
③连接OE交CD于点M．
不列结论中错误的是（ ）
A．CM＝MD B．∠CEO＝∠DEO
C．∠OCD＝∠ECD D．S四边形OCED＝CD•OE
【分析】根据线段的垂直平分线的判定，全等三角形的性质一一判断即可．
【解答】解：由作图可知，OC＝OC，EC＝ED，
∴OE垂直平分线段CD，
∴CM＝MD，
∴S四边形OCED＝•CD•OE，
在△COE和△DOE中，
，
∴△COE≌△DOE（SSS），
∴∠CEO＝∠DEO，
故A，B，D正确，
故选：C．
11．如图，点A（5a﹣1，2）、B（8，a）都在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点P是直线y＝x上的一个动点，当PA+PB最小时，点P坐标是（ ）
A．（，） B．（，） C．（3，3） D．（4，4）
【分析】先根据A，B都在反比例函数图象上，求出A，B坐标，再求出A的对称点，利用两点之间，线段最短来解答即可．
【解答】解：∵A（5a﹣1，2）、B（8，a）都在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴（5a﹣1）×2＝8a，
∴a＝1，
∴A（4，2），B（8，1），
∴A关于直线y＝x的对称点A'（2，4），
设直线A'B的函数关系式为：y＝kx+b，
∴，
∴k＝，b＝5，
∴y＝﹣，
∵P为A'B与直线y＝x的交点，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
12．如图，抛物线y＝2x2﹣8x+6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝﹣x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．1＜m＜ B．＜m＜3 C．1＜m＜3 D．＜m＜1
【分析】根据图象可以判断当直线y＝﹣x+m在过B和与C2相切之间时与两个抛物线有三个不同的交点，求出两个临界值即可．
【解答】解：y＝2x2﹣8x+6，
令y＝0，
即2x2﹣8x+6＝0，
解得x＝1或3，
则A（1，0），（3，0），
由于将C1向右平移两个单位得到C2，
则C2的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣8（x﹣2）+6（3≤x≤5），
由图象知当直线y＝﹣x+m在过B和与C2相切之间时与两个抛物线有三个不同的交点，
∴①当y＝﹣x+m与C2相切时，
令y＝﹣x+m＝2x2﹣8x+6，
即2x2﹣15x+30﹣m＝0，
∴△＝8m﹣15＝0，
解得m＝，
②当y＝﹣x+m'过点B时，
即0＝﹣3+m'，
解得m'＝3，
综上，当＜m＜3时，直线y＝﹣x+m与C1、C2共有3个不同的交点，
故选：B．
二．填空题
13．分解因式：2a3﹣2a＝ 2a（a+1）（a﹣1） ．
【分析】先提取公因式2a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：2a3﹣2a
＝2a（a2﹣1）
＝2a（a+1）（a﹣1）．
故答案为：2a（a+1）（a﹣1）．
14．从3、﹣4、5三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第二象限的概率是 ．
【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．
【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的情况数，其中在第二象限的情况数有2种，
所以该点在第二象限的概率为＝．
故答案为：．
15．当x＝ 时，代数式比代数式的值小3．
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】解：根据题意得：＝﹣3，
去分母得：x＝3x（x﹣1）﹣3（x2﹣1），
去括号得：x＝3x2﹣3x﹣3x2+3，
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解．
故答案为：．
16．如图所示，两个半圆中，长为4的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，则图中阴影部分的面积是 2π ．
【分析】阴影部分的面积＝大半圆的面积﹣小半圆的面积．过O向AB作垂线OE，连接OB；再根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：过O向AB作垂线，则小圆的半径为OE＝r，BE＝AE＝AB＝×4＝2．
连接OB，则OB为大圆的半径R，
在Rt△OEB中：
由勾股定理得：
R2﹣r2＝BE2，
图中阴影部分的面积是π （R2﹣r2）＝πBE2＝2π．
故答案为：2π．
17．近期随着国家抑制房价新政策的出台，某楼盘房价连续两次下跌，由原来的每平方米10000元降至每平方米8100元，设每次降价的百分率相同，则降价百分率为 10% ．
【分析】设每次降价的百分率为x，则第一次降价后的单价是原价的1﹣x，第二次降价后的单价是原价的（1﹣x）2，根据题意列方程解答即可．
【解答】解：设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得
10000×（1﹣x）2＝8100，
解得x1＝0.1，x2＝1.9（不符合题意，舍去），
则降价百分率为10%．
故答案为：10%．
18．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A'处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N．若直线BA'交直线CD于点O，BC＝9，AM＝4，则OD的长为 ．
【分析】连接AA'，先证明△ABA'为等边三角形，得∠ABM＝30°，从而求出AB、CD，再在Rt△BOC中求出OC，即可得到答案．
【解答】解：AA'连接AA'，如图：
∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，
∴AA'＝A'B，
∵把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A'处，得到折痕BM，
∴A'B＝AB，∠ABM＝∠A'BM，
∴△ABA'为等边三角形，
∴∠ABA'＝∠BA'A＝∠A'AB＝60°，
又∵∠ABC＝∠BAM＝90°，
∴∠ABM＝∠A'BM＝∠A'BC＝30°，
∵AM＝4，
∴BM＝2AM＝8，AB＝AM＝4＝CD，
在直角△OBC中，∠C＝90°，∠OBC＝30°，
∴OC＝BC•tan∠OBC＝9×＝3，
∴OD＝CD﹣OC＝4﹣3＝，
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
19．（1）计算：﹣（4﹣π）0+（cos60°）﹣2﹣|﹣3|；
（2）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【分析】（1）先去掉绝对值，零指数幂，负整数指数幂，三角函数化简，最后用实数的运算即可；
（2）分别解出不等式①，②的解集确定出公共部分即可写出它的所有整数解．
【解答】解：（1）﹣（4﹣π）0+（cos60°）﹣2﹣|﹣3|
＝2﹣1+4+﹣3
＝3；
（2），
解不等式①得x≥﹣1，
解不等式②得x＜3，
故原不等式组的解集为﹣1≤x＜3，
故它的所有整数解为﹣1，0，1，2．
20．学校开通了空中课堂在线学习平台，为了解学生使用情况，该校学生会成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的平台使用情况按A级：优秀（每天都用），B级：良好（周末使用），C级：合格（假期使用），D级：不合格（基本不用）四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．
等级
频数
频率
A
6
0.15
B
12
b
C
c
0.35
D
8
0.2
请根据以上信息完成下列问题：
（1）本次调查随机抽取了 40 名学生；表中b＝ 0.3 ，c＝ 14 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）若绘制扇形统计图，则“不合格”等级所对应的圆心角的度数是 72° ；
（4）若全校有1800名学生，请你估计该校学习平台使用达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．
【分析】（1）根据优秀的人数和所占的百分比求出总人数，用良好的人数除以总人数求出b，用总人数乘以合格的人数所占的百分比求出c；
（2）根据（1）求出合格的人数，再补全统计图即可；
（3）用360°乘以“不合格”的人数所占的百分比即可；
（4）用总人数乘以“优秀”和“良好”等级的学生所占的百分比即可．
【解答】解：（1）本次调查随机抽取的学生数是：6÷0.15＝40（名），
b＝＝0.3，c＝0.35×40＝14；
故答案为：40，0.3，14；
（2）C级的人数有14人，补全统计图如下：
（3）“不合格”等级所对应的圆心角的度数是：360°×0.2＝72°．
故答案为：72°；
（4）1800×（0.15+0.3）＝810（人），
答：该校学习平台使用达到“优秀”和“良好”等级的学生共有810人．
21．如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AD⊥OP于点C，交⊙O于点D，连接PD交直径AB的延长线于点E．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，DC＝4，求PD的长．
【分析】（1）由切线的性质得∠OAP＝90°，再证△OPD≌△OPA（SSS），得∠ODP＝∠OAP＝90°，即可得出结论；
（2）先由勾股定理得OC＝2，再证△OCD∽△DCP，得＝，即可求解．
【解答】（1）证明：∵PA与⊙O相切于点A，
∴PA⊥OA，
∴∠OAP＝90°，
∵AD⊥OP，
∴AC＝DC，
∴PD＝PA，
在△OPD和△OPA中，
，
∴△OPD≌△OPA（SSS），
∴∠ODP＝∠OAP＝90°，
又∵OD是⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的半径为6，
∴OD＝6，
∵AD⊥OP，
∴∠DCP＝∠OCD＝90°，
∴OC＝＝＝2，∠ODC+∠DOC＝90°，
由（1）得：∠ODP＝90°，
∴∠ODC+∠PDC＝90°，
∴∠DOC＝∠PDC，
∴△OCD∽△DCP，
∴＝，
即＝，
解得：PD＝．
22．某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面示意图．身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为58°．如果测温门顶部A处距地面的高度AD为2.8米，求小聪在有效测温区间MN的长度约为多少米？（保留两位小数，注：额头到地面的距离以身高计，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73．）
【分析】延长BC交AD于点E，则AE＝AD﹣DE＝1.2（米），再求出BE、CE的长，进而可得结果．
【解答】解：如图，延长BC交AD于点E，
则AE＝AD﹣DE＝2.8﹣1.6＝1.2（米），
在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，
∴BE＝AE＝（米），
在Rt△ACE中，∠ACE＝58°，tan∠ACE＝＝tan58°≈1.60，
∴CE≈＝＝0.75（米），
∴MN＝BC＝BE﹣CE＝﹣0.75≈1.33（米），
答：小聪在有效测温区间MN的长度约为1.33米．
23．为了加强疫情防控，某学校购进了部分N95口罩和一次性医用口罩，已知购买N95口罩共花费2000元，购买一次性医用口罩共花费1000元，购买一次性医用口罩数量是购买N95口罩数量的2.5倍，且购买一个N95口罩比购买一个一次性医用口罩多花4元．
（1）求购买一个N95口罩、一个一次性医用口罩各需多少元？
（2）该单位决定再次购买N95口罩和一次性医用口罩共3000个，恰逢该商场对两种口罩的售价进行调整，N95口罩售价比第一次购买时降低了20%，一次性医用口罩售价比第一次购买时降低了50%，如果此次购买N95口罩和一次性医用口罩的总费用不超过3250元，那么该单位至少可购买多少个一次性医所口罩？
【分析】（1）设购买一个一次性医用口罩需x元，则购买一个N95口罩需（x+4）元，根据题意列出分式方程进行解答即可；
（2）设设购买N95口罩y个．根据题意列出不等式进行解答即可．
【解答】解：（1）设购买一个一次性医用口罩需x元，则购买一个N95口罩需（x+4）元．
列方程：×2.5＝，
解得：x＝1．
经检验x＝1是原方程的解，
∴x+4＝5．
答：购买一个普通口罩需1元，购买一个N95口罩需5元．
（2）设购买一次性医用口罩y个．则购买N95口罩（3000﹣y）个，
依题意得：1×（1﹣50%）y+5×（1﹣20%）（3000﹣y）≤3250．
解得：y≥2500．
∴该单位至少可购买2500个一次性医所口罩．
24．如图1，△ABC和△AMN都是等腰直角三角形，△ABC固定不动，△AMN可以绕着点A旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°）．
（1）观察验证：当△AMN绕点A旋转到如图2的位置时，求证：△AMC≌△ANB；
（2）问题探究：如图3，连接BM，分别取MN、BM、BC的中点O、P、Q，连接OP、PQ、OQ，猜想△OPQ的形状，并说明理由；
（3）问题拓展：若AC＝5，AN＝3，在（2）的条件下，△AMN绕着点A在自由旋转过程中，旋转角为α（0°＜α＜360°），求出△OPQ面积的最大值．
【分析】（1）根据SAS证明三角形全等即可．
（2）结论：△OPQ是等腰直角三角形，利用三角形的中位线定理，解决问题即可．
（3）求出CM的最大值，可得结论．
【解答】（1）证明：
∵∠CAB＝∠MAN＝90°，
∴∠CAM＝∠BAN，
∴AC＝AB，AM＝AN，
∴△CAM≌△BAN（SAS）．
（2）解：结论：△OPQ是等腰直角三角形．
理由：延长CM交BN于H，交AB于J．
∵△CAM≌△BAN，
∴CM＝BN，∠ACM＝∠ABN，
∵∠AJC＝∠BJH，
∴∠CAJ＝∠BHJ＝90°，
∵CQ＝QB，MP＝PB，
∴PQ∥CM，PQ＝CM，
∵MO＝OM，MP＝PB，
∴OP∥BN，OP＝BN，
∴PQ＝PO，
∵CH∥BN，OP∥CH，OP∥BN，
∴QP⊥PO，
∴∠QPO＝90°，
∴△OPQ是等腰直角三角形．
（3）解：∵△OPQ是等腰直角三角形，PQ＝CM，
∴CM的值最大时，△OPQ的面积最大，
∵CM≤AC+AN，
∴CM≤8，
∴CM的最大值为8，
∴PQ的最大值为4，
∴△OPQ的面积的最大值为×4×4＝8．
25．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为A（1，2），与x轴交于点B（﹣1，0），C两点，与y轴交于点D，点P是抛物线上的动点．
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）如图2，连接CD，点E在CD上，若点P在第一象限，且∠PEC＝90°，求线段PE长度的最大值；
（3）如图3，连接AB、AC，已知∠ACB+∠PCB＝α，是否存在点P，使得tanα＝2？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用抛物线顶点坐标已知，将抛物线设为顶点式，代入B点，求得抛物线解析式；
（2）先由抛物线的解析式，求出抛物线与坐标轴的三个交点D、B、C，则直角△DOC的各个内角三角函数值和边长均可求，且直线CD的解析式可求，因为PE⊥CD，可以过P作PF⊥x轴与F，交CD于H，则可以证得△PEH∽△COD，利用相等的角的三角函数值相等这个结论，得到PE与PH的数量关系，设出P点坐标，可以得到H点坐标，表示出PH的长度，继而求得PE的长度，得到一个二次函数，根据P的横坐标范围，讨论这个二次函数最值问题，在顶点处取得最值，即可解决．
（3）根据题意，可以画图，得到PC可以在x轴上方和x轴下方两种情况，先看PC在x轴下方，利用A、B、C三点坐标，可以证得∠BAC＝90°，延长AB交CP于K点，则△AKC是一个直角三角形，构造一线三直角模型，可以求得CK的解析式，从而联立CK与抛物线解析式，求出交点P的横坐标，当P在x轴上方时，可以先求出K关于x轴对称点K′的坐标，先求出直线CK′的解析式，再联立直线CK′与抛物线解析式，求出交点P的横坐标．
【解答】解：（1）由题可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+2，
代入点B，得4a+2＝0，
∴a＝，
∴抛物线解析式为：；
（2）如图1，过P作PF⊥x轴于F，交CD于H，
∵PE⊥CD，
∴∠PEH＝∠PFC＝90°，
∴∠PHE+∠EPH＝∠CHF+DCB＝90°，
∵∠PHE＝∠CHF，
∴∠EPH＝∠DCB，
令x＝0，则y＝＝，
∴D（0，），
令y＝0，则，
解得x＝﹣1或3，
∴C（3，0），
∴DO＝，CO＝3，
∴，
∴cos∠EPH＝cos∠DCB＝，
设直线CD为y＝kx+，
代入点C，得k＝，
∴直线CD为，
设P（），则H（），
∴，
∵cos∠EPH＝，
∴PE＝＝，
∵P在第一象限，
∴0＜m＜3，
∴时，PE最大值为；
（3）①如图2，当P在x轴下方时，tan∠ACP＝tanα＝2，
延长AB交CP延长线于K，过A作x轴平行线，过K作y轴平行线，两线交于点Q，
过C作CR⊥AQ于R，
∵A（1，2），B（﹣1，0），C（3，0），
∴AB＝，
同理，AC＝，BC＝4，
∴AB2+AC2＝BC2，AB＝AC，
∴∠BAC＝90°，
∵∠AKQ+∠QAK＝∠QAK+∠RAC＝90°，
∴∠AKQ＝∠RAC，
又∠AQK＝∠CRA＝90°，
∴△AQK∽△CRA，
∴，
又tan∠ACK＝，
∴，
又AR＝CR＝2，
∴QK＝AQ＝4，
∴K（﹣3，﹣2），
设直线CK为y＝k1（x﹣3），代入点K，
解得，
∴直线CK为，
联立，
∴3x2﹣4x﹣15＝0，
解得x＝或3，
∴P的横坐标为，
②如图3，当P在x轴上方时，K关于x轴的对称点为K′，则K′（﹣3，2），
连接CK′交抛物线于点P，
可设直线CK′为y＝k2（x﹣3），代入点K′，
解得，
∴直线CK′为y＝
联立，
∴3x2+4x﹣3＝0，
∴x＝或3，
∴P的横坐标为，
综上，P的横坐标为或．
2021年山东省济南市莱芜区（五四制）中考一模数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．2021的倒数是（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
2．如图，是由五个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．截止到2021年1月22日9时30分，天问一号探测器已经在轨飞行182天，距离火星约4200000公里，4200000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.42×107 B．4.2×106 C．4.2×105 D．42×105
4．如图，直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分∠BEF交直线CD于点G，若∠1＝∠BEF＝72°，则∠EGF的度数为（ ）
A．34° B．36° C．38° D．68°
5．下列图形是几家电信公司的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．化简（1﹣a）÷（1﹣）•a的结果是（ ）
A．﹣a2 B．1 C．a2 D．﹣1
7．下列运算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6 B．（a+b）2＝a2+b2
C．（a5）2＝a7 D．（﹣a+2）（﹣a﹣2）＝a2﹣4
8．某班班长统计去年1～8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了如图所示的折线统计图，下列说法错误的是（ ）
A．阅读课外书本数的众数是58
B．阅读课外书本数的平均数是56.25
C．阅读课外书本数的中位数是50
D．阅读课外书本数的极差是55
9．若实数k、b满足k+b＝0，且k＞b，则一次函数y＝kx+b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图已知∠AOB，按照以下步骤作图：
①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD．
②分别以点C，D为圆心，以大于线段CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接CE，DE．
③连接OE交CD于点M．
不列结论中错误的是（ ）
A．CM＝MD B．∠CEO＝∠DEO
C．∠OCD＝∠ECD D．S四边形OCED＝CD•OE
11．如图，点A（5a﹣1，2）、B（8，a）都在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点P是直线y＝x上的一个动点，当PA+PB最小时，点P坐标是（ ）
A．（，） B．（，） C．（3，3） D．（4，4）
12．如图，抛物线y＝2x2﹣8x+6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝﹣x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．1＜m＜ B．＜m＜3 C．1＜m＜3 D．＜m＜1
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分。请直接填写答案）
13．分解因式：2a3﹣2a＝ ．
14．从3、﹣4、5三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第二象限的概率是 ．
15．当x＝ 时，代数式比代数式的值小3．
16．如图所示，两个半圆中，长为4的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，则图中阴影部分的面积是 ．
17．近期随着国家抑制房价新政策的出台，某楼盘房价连续两次下跌，由原来的每平方米10000元降至每平方米8100元，设每次降价的百分率相同，则降价百分率为 ．
18．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A'处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N．若直线BA'交直线CD于点O，BC＝9，AM＝4，则OD的长为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
19．（1）计算：﹣（4﹣π）0+（cos60°）﹣2﹣|﹣3|；
（2）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
20．学校开通了空中课堂在线学习平台，为了解学生使用情况，该校学生会成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的平台使用情况按A级：优秀（每天都用），B级：良好（周末使用），C级：合格（假期使用），D级：不合格（基本不用）四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．
等级
频数
频率
A
6
0.15
B
12
b
C
c
0.35
D
8
0.2
请根据以上信息完成下列问题：
（1）本次调查随机抽取了 名学生；表中b＝ ，c＝ ；
（2）请补全条形统计图；
（3）若绘制扇形统计图，则“不合格”等级所对应的圆心角的度数是 ；
（4）若全校有1800名学生，请你估计该校学习平台使用达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．
21．如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AD⊥OP于点C，交⊙O于点D，连接PD交直径AB的延长线于点E．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，DC＝4，求PD的长．
22．某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面示意图．身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为58°．如果测温门顶部A处距地面的高度AD为2.8米，求小聪在有效测温区间MN的长度约为多少米？（保留两位小数，注：额头到地面的距离以身高计，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73．）
23．为了加强疫情防控，某学校购进了部分N95口罩和一次性医用口罩，已知购买N95口罩共花费2000元，购买一次性医用口罩共花费1000元，购买一次性医用口罩数量是购买N95口罩数量的2.5倍，且购买一个N95口罩比购买一个一次性医用口罩多花4元．
（1）求购买一个N95口罩、一个一次性医用口罩各需多少元？
（2）该单位决定再次购买N95口罩和一次性医用口罩共3000个，恰逢该商场对两种口罩的售价进行调整，N95口罩售价比第一次购买时降低了20%，一次性医用口罩售价比第一次购买时降低了50%，如果此次购买N95口罩和一次性医用口罩的总费用不超过3250元，那么该单位至少可购买多少个一次性医所口罩？
24．如图1，△ABC和△AMN都是等腰直角三角形，△ABC固定不动，△AMN可以绕着点A旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°）．
（1）观察验证：当△AMN绕点A旋转到如图2的位置时，求证：△AMC≌△ANB；
（2）问题探究：如图3，连接BM，分别取MN、BM、BC的中点O、P、Q，连接OP、PQ、OQ，猜想△OPQ的形状，并说明理由；
（3）问题拓展：若AC＝5，AN＝3，在（2）的条件下，△AMN绕着点A在自由旋转过程中，旋转角为α（0°＜α＜360°），求出△OPQ面积的最大值．
25．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为A（1，2），与x轴交于点B（﹣1，0），C两点，与y轴交于点D，点P是抛物线上的动点．
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）如图2，连接CD，点E在CD上，若点P在第一象限，且∠PEC＝90°，求线段PE长度的最大值；
（3）如图3，连接AB、AC，已知∠ACB+∠PCB＝α，是否存在点P，使得tanα＝2？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．2021的倒数是（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：2021的倒数是．
故选：C．
2．如图，是由五个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：D．
3．截止到2021年1月22日9时30分，天问一号探测器已经在轨飞行182天，距离火星约4200000公里，4200000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.42×107 B．4.2×106 C．4.2×105 D．42×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：4200000＝4.2×106．
故选：B．
4．如图，直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分∠BEF交直线CD于点G，若∠1＝∠BEF＝72°，则∠EGF的度数为（ ）
A．34° B．36° C．38° D．68°
【分析】利用角平分线的性质先求出∠BEG，再利用平行线的判定和性质得到∠EGF的度数．
【解答】解：∵∠1＝∠BEF＝72°，
∴AB∥CD．
∴∠EGF＝∠GEB．
∵EG平分∠BEF，
∴∠GEB＝∠BEF＝36°．
∴∠EGF＝∠GEB＝36°．
故选：B．
5．下列图形是几家电信公司的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：左起第一个图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
第二个图形不是轴对称图形，是中心对称图形；
第三个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
第四个图形不是轴对称图形，是中心对称图形；
所以既是轴对称图形又是中心对称图形的有1个．
故选：A．
6．化简（1﹣a）÷（1﹣）•a的结果是（ ）
A．﹣a2 B．1 C．a2 D．﹣1
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝（1﹣a）••a
＝﹣a2，
故选：A．
7．下列运算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6 B．（a+b）2＝a2+b2
C．（a5）2＝a7 D．（﹣a+2）（﹣a﹣2）＝a2﹣4
【分析】各式计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式＝2a3，不符合题意；
B、原式＝a2+2ab+b2，不符合题意；
C、原式＝a10，不符合题意；
D、原式＝a2﹣4，符合题意．
故选：D．
8．某班班长统计去年1～8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了如图所示的折线统计图，下列说法错误的是（ ）
A．阅读课外书本数的众数是58
B．阅读课外书本数的平均数是56.25
C．阅读课外书本数的中位数是50
D．阅读课外书本数的极差是55
【分析】根据极差的定义，众数的定义，中位数的定义以及平均数的计算方法分别进行计算即可得解．
【解答】解：A、58出现的次数最多，是2次，所以，众数是58，故本选项不符合题意；
B、平均数＝（36+70+58+42+58+28+78+83）＝×453＝56.625，故本选项不符合题意；
C、按照阅读本数从小到大的顺序排列为：28、36、42、58、58、70、78、83，
中间两个数都是58，所以，中位数是58，故本选项符合题意；
D、极差＝83﹣28＝55，故本选项不符合题意．
故选：C．
9．若实数k、b满足k+b＝0，且k＞b，则一次函数y＝kx+b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．
【解答】解：因为实数k、b满足k+b＝0，且k＞b，
所以k＞0，b＜0，
所以它的图象经过一、三、四象限，
故选：A．
10．如图已知∠AOB，按照以下步骤作图：
①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD．
②分别以点C，D为圆心，以大于线段CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接CE，DE．
③连接OE交CD于点M．
不列结论中错误的是（ ）
A．CM＝MD B．∠CEO＝∠DEO
C．∠OCD＝∠ECD D．S四边形OCED＝CD•OE
【分析】根据线段的垂直平分线的判定，全等三角形的性质一一判断即可．
【解答】解：由作图可知，OC＝OC，EC＝ED，
∴OE垂直平分线段CD，
∴CM＝MD，
∴S四边形OCED＝•CD•OE，
在△COE和△DOE中，
，
∴△COE≌△DOE（SSS），
∴∠CEO＝∠DEO，
故A，B，D正确，
故选：C．
11．如图，点A（5a﹣1，2）、B（8，a）都在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点P是直线y＝x上的一个动点，当PA+PB最小时，点P坐标是（ ）
A．（，） B．（，） C．（3，3） D．（4，4）
【分析】先根据A，B都在反比例函数图象上，求出A，B坐标，再求出A的对称点，利用两点之间，线段最短来解答即可．
【解答】解：∵A（5a﹣1，2）、B（8，a）都在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴（5a﹣1）×2＝8a，
∴a＝1，
∴A（4，2），B（8，1），
∴A关于直线y＝x的对称点A'（2，4），
设直线A'B的函数关系式为：y＝kx+b，
∴，
∴k＝，b＝5，
∴y＝﹣，
∵P为A'B与直线y＝x的交点，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
12．如图，抛物线y＝2x2﹣8x+6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝﹣x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．1＜m＜ B．＜m＜3 C．1＜m＜3 D．＜m＜1
【分析】根据图象可以判断当直线y＝﹣x+m在过B和与C2相切之间时与两个抛物线有三个不同的交点，求出两个临界值即可．
【解答】解：y＝2x2﹣8x+6，
令y＝0，
即2x2﹣8x+6＝0，
解得x＝1或3，
则A（1，0），（3，0），
由于将C1向右平移两个单位得到C2，
则C2的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣8（x﹣2）+6（3≤x≤5），
由图象知当直线y＝﹣x+m在过B和与C2相切之间时与两个抛物线有三个不同的交点，
∴①当y＝﹣x+m与C2相切时，
令y＝﹣x+m＝2x2﹣8x+6，
即2x2﹣15x+30﹣m＝0，
∴△＝8m﹣15＝0，
解得m＝，
②当y＝﹣x+m'过点B时，
即0＝﹣3+m'，
解得m'＝3，
综上，当＜m＜3时，直线y＝﹣x+m与C1、C2共有3个不同的交点，
故选：B．
二．填空题
13．分解因式：2a3﹣2a＝ 2a（a+1）（a﹣1） ．
【分析】先提取公因式2a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：2a3﹣2a
＝2a（a2﹣1）
＝2a（a+1）（a﹣1）．
故答案为：2a（a+1）（a﹣1）．
14．从3、﹣4、5三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第二象限的概率是 ．
【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．
【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的情况数，其中在第二象限的情况数有2种，
所以该点在第二象限的概率为＝．
故答案为：．
15．当x＝ 时，代数式比代数式的值小3．
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】解：根据题意得：＝﹣3，
去分母得：x＝3x（x﹣1）﹣3（x2﹣1），
去括号得：x＝3x2﹣3x﹣3x2+3，
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解．
故答案为：．
16．如图所示，两个半圆中，长为4的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，则图中阴影部分的面积是 2π ．
【分析】阴影部分的面积＝大半圆的面积﹣小半圆的面积．过O向AB作垂线OE，连接OB；再根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：过O向AB作垂线，则小圆的半径为OE＝r，BE＝AE＝AB＝×4＝2．
连接OB，则OB为大圆的半径R，
在Rt△OEB中：
由勾股定理得：
R2﹣r2＝BE2，
图中阴影部分的面积是π （R2﹣r2）＝πBE2＝2π．
故答案为：2π．
17．近期随着国家抑制房价新政策的出台，某楼盘房价连续两次下跌，由原来的每平方米10000元降至每平方米8100元，设每次降价的百分率相同，则降价百分率为 10% ．
【分析】设每次降价的百分率为x，则第一次降价后的单价是原价的1﹣x，第二次降价后的单价是原价的（1﹣x）2，根据题意列方程解答即可．
【解答】解：设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得
10000×（1﹣x）2＝8100，
解得x1＝0.1，x2＝1.9（不符合题意，舍去），
则降价百分率为10%．
故答案为：10%．
18．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A'处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N．若直线BA'交直线CD于点O，BC＝9，AM＝4，则OD的长为 ．
【分析】连接AA'，先证明△ABA'为等边三角形，得∠ABM＝30°，从而求出AB、CD，再在Rt△BOC中求出OC，即可得到答案．
【解答】解：AA'连接AA'，如图：
∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，
∴AA'＝A'B，
∵把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A'处，得到折痕BM，
∴A'B＝AB，∠ABM＝∠A'BM，
∴△ABA'为等边三角形，
∴∠ABA'＝∠BA'A＝∠A'AB＝60°，
又∵∠ABC＝∠BAM＝90°，
∴∠ABM＝∠A'BM＝∠A'BC＝30°，
∵AM＝4，
∴BM＝2AM＝8，AB＝AM＝4＝CD，
在直角△OBC中，∠C＝90°，∠OBC＝30°，
∴OC＝BC•tan∠OBC＝9×＝3，
∴OD＝CD﹣OC＝4﹣3＝，
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
19．（1）计算：﹣（4﹣π）0+（cos60°）﹣2﹣|﹣3|；
（2）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【分析】（1）先去掉绝对值，零指数幂，负整数指数幂，三角函数化简，最后用实数的运算即可；
（2）分别解出不等式①，②的解集确定出公共部分即可写出它的所有整数解．
【解答】解：（1）﹣（4﹣π）0+（cos60°）﹣2﹣|﹣3|
＝2﹣1+4+﹣3
＝3；
（2），
解不等式①得x≥﹣1，
解不等式②得x＜3，
故原不等式组的解集为﹣1≤x＜3，
故它的所有整数解为﹣1，0，1，2．
20．学校开通了空中课堂在线学习平台，为了解学生使用情况，该校学生会成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的平台使用情况按A级：优秀（每天都用），B级：良好（周末使用），C级：合格（假期使用），D级：不合格（基本不用）四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．
等级
频数
频率
A
6
0.15
B
12
b
C
c
0.35
D
8
0.2
请根据以上信息完成下列问题：
（1）本次调查随机抽取了 40 名学生；表中b＝ 0.3 ，c＝ 14 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）若绘制扇形统计图，则“不合格”等级所对应的圆心角的度数是 72° ；
（4）若全校有1800名学生，请你估计该校学习平台使用达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．
【分析】（1）根据优秀的人数和所占的百分比求出总人数，用良好的人数除以总人数求出b，用总人数乘以合格的人数所占的百分比求出c；
（2）根据（1）求出合格的人数，再补全统计图即可；
（3）用360°乘以“不合格”的人数所占的百分比即可；
（4）用总人数乘以“优秀”和“良好”等级的学生所占的百分比即可．
【解答】解：（1）本次调查随机抽取的学生数是：6÷0.15＝40（名），
b＝＝0.3，c＝0.35×40＝14；
故答案为：40，0.3，14；
（2）C级的人数有14人，补全统计图如下：
（3）“不合格”等级所对应的圆心角的度数是：360°×0.2＝72°．
故答案为：72°；
（4）1800×（0.15+0.3）＝810（人），
答：该校学习平台使用达到“优秀”和“良好”等级的学生共有810人．
21．如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AD⊥OP于点C，交⊙O于点D，连接PD交直径AB的延长线于点E．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，DC＝4，求PD的长．
【分析】（1）由切线的性质得∠OAP＝90°，再证△OPD≌△OPA（SSS），得∠ODP＝∠OAP＝90°，即可得出结论；
（2）先由勾股定理得OC＝2，再证△OCD∽△DCP，得＝，即可求解．
【解答】（1）证明：∵PA与⊙O相切于点A，
∴PA⊥OA，
∴∠OAP＝90°，
∵AD⊥OP，
∴AC＝DC，
∴PD＝PA，
在△OPD和△OPA中，
，
∴△OPD≌△OPA（SSS），
∴∠ODP＝∠OAP＝90°，
又∵OD是⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的半径为6，
∴OD＝6，
∵AD⊥OP，
∴∠DCP＝∠OCD＝90°，
∴OC＝＝＝2，∠ODC+∠DOC＝90°，
由（1）得：∠ODP＝90°，
∴∠ODC+∠PDC＝90°，
∴∠DOC＝∠PDC，
∴△OCD∽△DCP，
∴＝，
即＝，
解得：PD＝．
22．某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面示意图．身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为58°．如果测温门顶部A处距地面的高度AD为2.8米，求小聪在有效测温区间MN的长度约为多少米？（保留两位小数，注：额头到地面的距离以身高计，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73．）
【分析】延长BC交AD于点E，则AE＝AD﹣DE＝1.2（米），再求出BE、CE的长，进而可得结果．
【解答】解：如图，延长BC交AD于点E，
则AE＝AD﹣DE＝2.8﹣1.6＝1.2（米），
在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，
∴BE＝AE＝（米），
在Rt△ACE中，∠ACE＝58°，tan∠ACE＝＝tan58°≈1.60，
∴CE≈＝＝0.75（米），
∴MN＝BC＝BE﹣CE＝﹣0.75≈1.33（米），
答：小聪在有效测温区间MN的长度约为1.33米．
23．为了加强疫情防控，某学校购进了部分N95口罩和一次性医用口罩，已知购买N95口罩共花费2000元，购买一次性医用口罩共花费1000元，购买一次性医用口罩数量是购买N95口罩数量的2.5倍，且购买一个N95口罩比购买一个一次性医用口罩多花4元．
（1）求购买一个N95口罩、一个一次性医用口罩各需多少元？
（2）该单位决定再次购买N95口罩和一次性医用口罩共3000个，恰逢该商场对两种口罩的售价进行调整，N95口罩售价比第一次购买时降低了20%，一次性医用口罩售价比第一次购买时降低了50%，如果此次购买N95口罩和一次性医用口罩的总费用不超过3250元，那么该单位至少可购买多少个一次性医所口罩？
【分析】（1）设购买一个一次性医用口罩需x元，则购买一个N95口罩需（x+4）元，根据题意列出分式方程进行解答即可；
（2）设设购买N95口罩y个．根据题意列出不等式进行解答即可．
【解答】解：（1）设购买一个一次性医用口罩需x元，则购买一个N95口罩需（x+4）元．
列方程：×2.5＝，
解得：x＝1．
经检验x＝1是原方程的解，
∴x+4＝5．
答：购买一个普通口罩需1元，购买一个N95口罩需5元．
（2）设购买一次性医用口罩y个．则购买N95口罩（3000﹣y）个，
依题意得：1×（1﹣50%）y+5×（1﹣20%）（3000﹣y）≤3250．
解得：y≥2500．
∴该单位至少可购买2500个一次性医所口罩．
24．如图1，△ABC和△AMN都是等腰直角三角形，△ABC固定不动，△AMN可以绕着点A旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°）．
（1）观察验证：当△AMN绕点A旋转到如图2的位置时，求证：△AMC≌△ANB；
（2）问题探究：如图3，连接BM，分别取MN、BM、BC的中点O、P、Q，连接OP、PQ、OQ，猜想△OPQ的形状，并说明理由；
（3）问题拓展：若AC＝5，AN＝3，在（2）的条件下，△AMN绕着点A在自由旋转过程中，旋转角为α（0°＜α＜360°），求出△OPQ面积的最大值．
【分析】（1）根据SAS证明三角形全等即可．
（2）结论：△OPQ是等腰直角三角形，利用三角形的中位线定理，解决问题即可．
（3）求出CM的最大值，可得结论．
【解答】（1）证明：
∵∠CAB＝∠MAN＝90°，
∴∠CAM＝∠BAN，
∴AC＝AB，AM＝AN，
∴△CAM≌△BAN（SAS）．
（2）解：结论：△OPQ是等腰直角三角形．
理由：延长CM交BN于H，交AB于J．
∵△CAM≌△BAN，
∴CM＝BN，∠ACM＝∠ABN，
∵∠AJC＝∠BJH，
∴∠CAJ＝∠BHJ＝90°，
∵CQ＝QB，MP＝PB，
∴PQ∥CM，PQ＝CM，
∵MO＝OM，MP＝PB，
∴OP∥BN，OP＝BN，
∴PQ＝PO，
∵CH∥BN，OP∥CH，OP∥BN，
∴QP⊥PO，
∴∠QPO＝90°，
∴△OPQ是等腰直角三角形．
（3）解：∵△OPQ是等腰直角三角形，PQ＝CM，
∴CM的值最大时，△OPQ的面积最大，
∵CM≤AC+AN，
∴CM≤8，
∴CM的最大值为8，
∴PQ的最大值为4，
∴△OPQ的面积的最大值为×4×4＝8．
25．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为A（1，2），与x轴交于点B（﹣1，0），C两点，与y轴交于点D，点P是抛物线上的动点．
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）如图2，连接CD，点E在CD上，若点P在第一象限，且∠PEC＝90°，求线段PE长度的最大值；
（3）如图3，连接AB、AC，已知∠ACB+∠PCB＝α，是否存在点P，使得tanα＝2？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用抛物线顶点坐标已知，将抛物线设为顶点式，代入B点，求得抛物线解析式；
（2）先由抛物线的解析式，求出抛物线与坐标轴的三个交点D、B、C，则直角△DOC的各个内角三角函数值和边长均可求，且直线CD的解析式可求，因为PE⊥CD，可以过P作PF⊥x轴与F，交CD于H，则可以证得△PEH∽△COD，利用相等的角的三角函数值相等这个结论，得到PE与PH的数量关系，设出P点坐标，可以得到H点坐标，表示出PH的长度，继而求得PE的长度，得到一个二次函数，根据P的横坐标范围，讨论这个二次函数最值问题，在顶点处取得最值，即可解决．
（3）根据题意，可以画图，得到PC可以在x轴上方和x轴下方两种情况，先看PC在x轴下方，利用A、B、C三点坐标，可以证得∠BAC＝90°，延长AB交CP于K点，则△AKC是一个直角三角形，构造一线三直角模型，可以求得CK的解析式，从而联立CK与抛物线解析式，求出交点P的横坐标，当P在x轴上方时，可以先求出K关于x轴对称点K′的坐标，先求出直线CK′的解析式，再联立直线CK′与抛物线解析式，求出交点P的横坐标．
【解答】解：（1）由题可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+2，
代入点B，得4a+2＝0，
∴a＝，
∴抛物线解析式为：；
（2）如图1，过P作PF⊥x轴于F，交CD于H，
∵PE⊥CD，
∴∠PEH＝∠PFC＝90°，
∴∠PHE+∠EPH＝∠CHF+DCB＝90°，
∵∠PHE＝∠CHF，
∴∠EPH＝∠DCB，
令x＝0，则y＝＝，
∴D（0，），
令y＝0，则，
解得x＝﹣1或3，
∴C（3，0），
∴DO＝，CO＝3，
∴，
∴cos∠EPH＝cos∠DCB＝，
设直线CD为y＝kx+，
代入点C，得k＝，
∴直线CD为，
设P（），则H（），
∴，
∵cos∠EPH＝，
∴PE＝＝，
∵P在第一象限，
∴0＜m＜3，
∴时，PE最大值为；
（3）①如图2，当P在x轴下方时，tan∠ACP＝tanα＝2，
延长AB交CP延长线于K，过A作x轴平行线，过K作y轴平行线，两线交于点Q，
过C作CR⊥AQ于R，
∵A（1，2），B（﹣1，0），C（3，0），
∴AB＝，
同理，AC＝，BC＝4，
∴AB2+AC2＝BC2，AB＝AC，
∴∠BAC＝90°，
∵∠AKQ+∠QAK＝∠QAK+∠RAC＝90°，
∴∠AKQ＝∠RAC，
又∠AQK＝∠CRA＝90°，
∴△AQK∽△CRA，
∴，
又tan∠ACK＝，
∴，
又AR＝CR＝2，
∴QK＝AQ＝4，
∴K（﹣3，﹣2），
设直线CK为y＝k1（x﹣3），代入点K，
解得，
∴直线CK为，
联立，
∴3x2﹣4x﹣15＝0，
解得x＝或3，
∴P的横坐标为，
②如图3，当P在x轴上方时，K关于x轴的对称点为K′，则K′（﹣3，2），
连接CK′交抛物线于点P，
可设直线CK′为y＝k2（x﹣3），代入点K′，
解得，
∴直线CK′为y＝
联立，
∴3x2+4x﹣3＝0，
∴x＝或3，
∴P的横坐标为，
综上，P的横坐标为或．
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