2022-2023学年广东省佛山市南海区狮山石门高级中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省佛山市南海区狮山石门高级中学高二（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.过原点且与圆x2+y2−4x+2y+1=0相切的直线方程是( )
A. y=34xB. y=34x或y=0C. y=34x或x=0D. y=43x或x=0
2.已知椭圆C的焦点为F1(−1,0)，F2(1,0).过点F1的直线与C交于A，B两点．若△ABF2的周长为8，则椭圆C的标准方程为( )
A. x216+y215=1B. x28+y27=1C. x24+y23=1D. x23+y24=1
3.已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，Sn是数列{an}的前n项和，则S9等于( )
A. −8B. −6C. 10D. 0
4.已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=−1时有极值为0，则m+n=( )
A. 11B. 4或11C. 4D. 8
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4=4，S5=15，则数列{1an⋅an+1}的前2019项和为( )
A. 20182019B. 20182020C. 20192020D. 20172019
6.已知等比数列{an}的各项均为正数，且3a12，a34，a2成等差数列，则a20+a19a18+a17=( )
A. 9B. 6C. 3D. 1
7.在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的不同排法种数为( )
A. 30B. 36C. 60D. 72
8.已知f(x)是定义在R上的奇函数，其导函数为f′(x)，且当x>0时，f′(x)⋅lnx+f(x)x>0，则不等式(x2−1)f(x)<0的解集为( )
A. (−1,1)B. (−∞,−1)∪(0,1)
C. (−∞,−1)∪(1,+∞)D. (−1,0)∪(1,+∞)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若P是双曲线C：x29−y2m=1上一点，C的一个焦点坐标为F(4,0)，则下列结论中正确的是．( )
A. m= 5B. 渐近线方程为y=± 73x
C. |PF|的最小值是1D. 焦点到渐近线的距离是 7
10.甲、乙两盒中皆装有若干个不同色的小球，从甲盒中摸出一个红球的概率是13，从乙盒中摸出一个红球的概率是12，现小明从两盒各摸出一个球，每摸出一个红球得3分，摸出其他颜色小球得0分，下列说法中正确的是( )
A. 小明得6分的概率为56B. 小明得分低于6分的概率为56
C. 小明得分不少于3分的概率为56D. 小明恰好得3分的概率为12
11.已知函数f(x)=6−12x+x3，下列命题中为真命题的是( )
A. f(x)的单调递减区间是(−2,2)
B. f(x)的极小值点是2
C. f(x)有且只有一个零点
D. 过点(0,0)只能作一条直线与y=f(x)的图象相切
12.数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=2Sn(n∈N*)，则有( )
A. Sn=3n−1B. {an}为等比数列
C. an=2⋅3n−1D. an=1,n=1,2⋅3n−2,n≥2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知(x−3x)n的展开式中，二项式系数之和为64，则展开式中常数项为 ．
14.若函数f(x)=lnx−2 x+m在(1,f(1))处的切线过点(0,2)，则实数m=______．
15.函数f(x)=x+2csx,x∈[0,π2]的最大值为______．
16.已知数列{bn}满足b12+b222+bn23+…+bn2n=n(n∈N*)，bn=2an−1，则数列{anbn}的前7项和S7= ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在数列{an}中，a5=9，点(an,an+1)(n∈N*)在直线x−y+2=0上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记Sn为数列{an}的前n项和，且bn=1Sn+n，求数列{bn}的前n项和Tn．
18.(本小题12分)
设f(x)=x⋅ex．
(1)求曲线f(x)在x=1处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间与极值；
(3)若x⋅ex−a=0有实数解，求实数a的范围．
19.(本小题12分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D为AB1的中点，B1C交BC1于点E，AC⊥BC，BC=AC=AA1．
(1)求证：DE/​/平面AA1C1C；
(2)求平面AB1C与平面A1B1C的夹角的余弦值．
20.(本小题12分)
猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动．在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了n道．假设每道灯谜被猜对的可能性都相等．
(1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
(2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为2225，求n的值．
21.(本小题12分)
已知在各项均为正数的等差数列{an}中，a2+a3+a4=21，且a2−1，a3+1，a4+a3构成等比数列{bn}的前三项．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Sn．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax−1−lnx(a∈R)
①当a=12时，求函数在[1,e]上的最大值和最小值；
②讨论函数的单调性；
③若函数f(x)在x=1处取得极值，不等式f(x)≥bx−2对∀x∈(0,+∞)恒成立，求实数b的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意，圆的方程为(x−2)2+(y+1)2=4，圆心为(2,−1)，半径为2，
当切线的斜率存在时，设切线方程为kx−y=0，
由圆心(2,−1)到直线的距离等于半径2，即|2k+1 k2+1|=2，可得k=34，
因此一条切线方程为y=34x；
当切线斜率不存在时，y轴是符合条件的切线，方程为x=0．
故选：C．
根据圆的方程写出圆心坐标、半径，讨论切线斜率存在性，结合点线距离公式求切线方程．
本题考查的知识点：直线与圆的位置关系，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查椭圆的定义以及标准方程，注意△ABF2的周长为4a，属于基础题．
由椭圆的焦点坐标分析可得椭圆的焦点在x轴上，且c=1，结合椭圆的定义可得△ABF2的周长为4a，则有4a=8，即可得a的值，计算可得b的值，得到答案．
【解答】
解：根据题意，椭圆C的焦点为F1(−1,0)，F2(1,0)，即椭圆的焦点在x轴上，且c=1；
又由△ABF2的周长为8，
则有|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|
=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=8，
变形可得a=2，
则b= a2−c2= 4−1= 3；
故要求椭圆的方程为x24+y23=1；
故答案选：C．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了等比数列的性质，等差数列的通项公式及其前n项和公式，属于基础题．
由a1，a3，a4成等比数列，可得a32=a1a4，再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
【解答】
解：∵a1，a3，a4成等比数列，
∴a32=a1a4，∴(a1+2×2)2=a1⋅(a1+3×2)，
化为2a1=−16，解得a1=−8．
∴则S9=−8×9+9×82×2=0，
故选D．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了导数求极值时的应用，注意函数要产生增减区间才可以．
求导，由题意列方程组及不等式，从而解出m，n的值．
【解答】
解：f′(x)=3x2+6mx+n
由题意，−1+3m−n+m2=03−6m+n=0
且(6m)2−4×3×n>0．
解得，m=2，n=9；
故选A．
5.【答案】C
【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a4=4，S5=15，
∴a1+3d=4，5a1+5×42d=15，
联立解得：a1=d=1，
∴an=1+n−1=n．
∴1anan+1=1n(n+1)=1n−1n+1．
则数列{1an⋅an+1}的前2019项和=1−12+12−13+……+12019−12020=1−12020=20192020．
故选：C．
设等差数列{an}的公差为d，由a4=4，S5=15，可得a1+3d=4，5a1+5×42d=15，联立解得：a1，d，可得an.利用裂项求和方法即可得出．
本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中档题．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查等差数列的性质和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属于基础题．
设各项都是正数的等比数列{an}的公比为q，(q>0)，由题意可得关于q的式子，解之可得q，而所求的式子等于q2，计算可得．
【解答】
解：设各项都是正数的等比数列{an}的公比为q，(q>0)，
由题意可得2×a34=3a12+a2，即q2−2q−3=0，
解得q=−1(舍去)，或q=3，
∴a20+a19a18+a17=(a18+a17)q2a18+a17=q2=9．
故选：A．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了排列组合的简单计数问题，涉及到分类讨论思想的应用，考查了学生的理解能力以及运算能力，属于基础题．
分两种情况讨论：第一种：当第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，第二种：当第一个出场的是女生(不是女生甲)，则将剩下的2个女生排好，2个男生插空，然后分别求解即可．
【解答】
解：分两种情况讨论：
第一种：当第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，此种情况有C21C31A33=36种排法，
第二种：当第一个出场的是女生(不是女生甲)，则将剩下的2个女生排好，2个男生插空，此种情况有C21A22A32=24种排法，
所以共有36+24=60种排法，
故选：C．
8.【答案】B
【解析】解：令g(x)=f(x)lnx，则g′(x)=f′(x)lnx+f(x)x>0，
∴g(x)在(0,+∞)时单调递增，又g(1)=f(1)ln1=0，
∴x∈(0,1)时，g(x)<0，x∈(1,+∞)时，g(x)>0，
当x∈(0,1)时，lnx<0，g(x)<0，∴f(x)>0，
x∈(1,+∞)时，lnx>0，g(x)>0，∴f(x)>0，
∴f(x)>0在(0,+∞)上恒成立，
又f(x)是奇函数，f(0)=0，
∴f(x)<0在(−∞,0)上恒成立，
①当x>0时，f(x)>0，∴x2−1<0，即0②当x<0时，f(x)<0，∴x2−1>0，即x<−1，
由①②得不等式的解集是(−∞,−1)∪(0,1)，
故选：B．
令g(x)=f(x)lnx，根据函数的单调性和奇偶性求出不等式的解集即可．
本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是中档题．
9.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查了双曲线方程及性质，属于基础题．
利用双曲线C：x29−y2m=1的一个焦点坐标为F(4,0)，可得m=7，即可逐一判定．
【解答】
解：对于A，因为双曲线C： x29−y2m=1的一个焦点坐标为F(4,0)，
∴m+9=42，∴m=7，故A错；
对于B，渐近线方程y=±bax=± 73x，故B正确；
对于C，|PF|的最小值是c−a=4−3=1，故C正确；
对于D，焦点到渐近线的距离是bc a2+b2=b= 7，故D正确．
故选：BCD．
10.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用，是基础题．
根据相互独立事件的乘法公式逐一求解即可．
【解答】
解：对选项A，小明得6分的概率为13×12=16，故A错误；
对选项B，小明得分低于6分的概率为1−16=56，故B正确；
对选项C，小明得分不少于3分的概率为1−23×12=23，故C错误；
在D中，小明恰好得3分的概率为13×12+23×12=12，故D正确．
故选：BD．
11.【答案】ABD
【解析】解：由题意得函数的定义域为R，f′(x)=−12+3x2，
由f′(x)=0得x=±2，由f′(x)>0得x<−2或x>2，由f′(x)<0得−2∴f(x)在(−2,2)上单调递减，在(−∞,−2)和(2,+∞)上单调递增，故A正确；
∴当x=2时，f(x)取得极小值，即f(x)的极小值点是2，故B正确；
当x=−2时，f(x)取得极大值，
∴f(2)=−10<0，f(−2)=22>0，
∴f(x)有3个零点，故C错误；
设切点(x0,6−12x0+x03)，则f′(x0)=−12+3x02，
又切线经过(0,0)，则切线的斜率k=6−12x0+x03x0，
∴−12+3x02=6−12x0+x03x0，解得x03=3，故切点只有一个，即过点(0,0)只能作一条直线与y=f(x)的图象相切，故D正确．
故选：ABD．
由题意得函数的定义域为R，f′(x)=−12+3x2，可得f(x)在(−2,2)上单调递减，在(−∞,−2)和(2,+∞)上单调递增，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】AD
【解析】解：因为an+1=2Sn(n∈N*)，
所以当n≥2时，an=2Sn−1，
两式相减得：an+1−an=2an，即an+1=3an，
当n=1时，a2=2S1=2a1=2，
所以数列{an}是从第二项起，以2为首项，3为公比的等比数列，
所以an=1,n=1,2⋅3n−2,n≥2,故B，C错误，D正确；
由当n≥2时，an=2⋅3n−2，所以Sn=an+12=3n−1，
又S1=1满足上式，所以Sn=3n−1(n∈N*)，故A正确．
故选：AD．
直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式可判断B，C，D；进一步利用关系式的变换求出数列{Sn}的通项公式，可判断A．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，等比数列的求和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
13.【答案】−540
【解析】解：根据题意，(x−3x)n的展开式中，二项式系数之和为64，则2n=64，解可得n=6，
则(x−3x)6的展开式为：Tr+1=C6r×x6−r×(−3x)r，
令r=3可得：T4=C63x3×(−3x)3=−540，即展开式中常数项为−540；
故答案为：−540．
根据题意，由展开式的二项式系数之和为64，即2n=64，求出n的值，进而求出展开式，分析可得答案．
本题考查二项式定理的应用，关键是求出n的值，属于基础题．
14.【答案】92
【解析】解：由f(x)=lnx−2 x+m，得f′(x)=1x+1 x3，
∴f′(1)=12，又f(1)=m−2，
∴函数f(x)在(1,f(1))处的切线为y−m+2=12(x−1)，
把点(0,2)代入，可得2−m+2=−12，即m=92．
故答案为：92．
求出原函数的导函数，得到函数在(1,f(1))处的切线方程，代入已知点的坐标，即可求得m值．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，考查运算求解能力，是中档题．
15.【答案】π6+ 3
【解析】解：函数f(x)=x+2csx,x∈[0,π2]的导数为f′(x)=1−2sinx，
由1−2sinx=0，解得x=π6∈[0,π2]，
当x∈[0,π6]时，f′(x)>0，f(x)递增；
当x∈[π6,π2]时，f′(x)<0，f(x)递减．
可得f(x)在x=π6处取得极大值，且为最大值π6+ 3．
故答案为：π6+ 3．
求出f(x)的导数，令导数为0，可得极值点，求出单调区间，可得极大值，且为最大值．
本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于基础题．
16.【答案】18764
【解析】【分析】
本题考查了数列的递推公式和数列的通项公式的求法和错位相减法求和，属于拔高题．
先求出数列{bn}的通项公式，再根据错位相减法求和即可．
【解答】
解：当n=1时，b12=1，即b1=2，
∵b12+b222+bn23+…+bn2n=n(n∈N*)，①，
当n≥2时，b12+b222+…+bn−12n−1=n−1，②，
由①−②可得bn2n=1，
∴bn=2n，
当n=1时，上式也成立，
∴bn=2n，
bn=2an−1=2n．
∴an−1=n，
∴an=n+1，
∴anbn=n+12n，
设数列{anbn}的前n项和Sn，
∴Sn=2×(12)1+3×(12)2+…+n×(12)n−1+(n+1)×(12)n，①
12Sn=2×(12)2+3×(12)3+…+n×(12)n+(n+1)×(12)n+1，②
由①−②可得
12Sn=12+12+(12)2+(12)3+…+(12)n−(n+1)×(12)n+1
=12+12(1−12n)1−12−(n+1)×(12)n+1=12+1−(12)n−(n+1)×(12)n+1
=32−n+32×(12)n，
∴Sn=3−n+32n，
∴S7=3−1027=18764，
故答案为：18764．
17.【答案】解：(1)∵点(an,an+1)在直线x−y+2=0上，
∴an−an+1+2=0，即an+1−an=2，(n∈N*)，
∴数列{an}是以2为公差的等差数列，
又a5=9，∴数列{an}的通项公式an=a5+2(n−5)=9+2n−10=2n−1；
(2)由(1)知，a1=1，d=2，∴Sn=n+n(n−1)×22=n2．
∴bn=1Sn+n=1n2+n=1n(n+1)=1n−1n+1，
Tn=1−12+12−13+13−14+…+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1．
【解析】本题考查等差数列的通项公式与前n项和，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．
(1)由题意可得an+1−an=2，(n∈N*)，则数列{an}是以2为公差的等差数列，结合a5=9，可得数列{an}的通项公式；
(2)由(1)求得首项，进一步求得Sn，代入bn=1Sn+n，利用裂项相消法求数列{bn}的前n项和Tn．
18.【答案】解：(1)f(x)=x⋅ex的定义域为R，
f′(x)=(1+x)⋅ex，f′(1)=2e，又f(1)=e，
∴曲线f(x)在x=1处的切线方程为y−e=2e⋅(x−1)，即2ex−y−e=0；
(2)f′(x)=(1+x)⋅ex，令f′(x)=0，得x=−1，
当x<−1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x>−1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
∴f(x)的单调递减区间是(−∞,−1)，单调递增区间是(−1,+∞)，
所以f(x)极小值=f(−1)=−1e，无极大值；
(3)由(2)知f(x)在x=−1处取极小值，无极大值，则f(x)min=f(x)极小值=1e，无最大值，所以f(x)的值域为[−1e,+∞),
因为方程x⋅ex−a=0有实数解，即方程a=f(x)有实数解，
所以实数a的范围为[−1e,+∞)．
【解析】(1)根据导数的几何意义可求得结果；
(2)利用导数可求得单调区间与极值；
(3)将方程x⋅ex−a=0有实数解问题转化为求函数值域问题即可求解．
本题考查了导数的综合运用，属于中档题．
19.【答案】(1)证明：∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴E为B1C的中点，
又∵D为AB1的中点，∴DE/​/AC，
又∵AC⊂平面AA1C1C，DE⊄平面AA1C1C，
∴DE/​/平面AA1C1C.
(2)解：在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面A1B1C1，又AC⊥BC，
∴C1A1，C1B1，C1C两两互相垂直，
∴以点C1为坐标原点，分别以C1A1，C1B1，C1C为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设BC=AC=AA1=1，则C1(0,0,0)，A1(1,0,0)，B1(0,1,0)，A(1,0,1)，C(0,0,1)，
∴AB1=(−1,1,−1)，AC=(−1,0,0)，A1B1=(−1,1,0)，A1C=(−1,0,1)，
设平面AB1C的一个法向量为n=(x,y,z)，则n⋅AB1=0n⋅AC=0，
∴−x+y=0−x+z=0，不妨令y=1，则n=(0,1,1)，
设平面A1B1C的一个法向量为m=(x,y,z)，则m⋅A1B1=0m⋅A1C=0，∴−x+y=0−x+z=0，
不妨令y=1，则m=(1,1,1)，
∴cs=m⋅n|m|⋅|n|=2 2× 3= 63，
∴平面AB1C与平面A1B1C的夹角的余弦值为 63．
【解析】(1)由三角形中位线定理可得DE/​/AC，再利用线面平行的判定定理即可证得DE/​/平面AA1C1C；
(2)依题意，以点C1为坐标原点，分别以C1A1，C1B1，C1C为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出各点坐标，进而求出平面AB1C的一个法向量和平面A1B1C的一个法向量，再利用法向量的夹角即可求出平面AB1C与平面A1B1C的夹角的余弦值．
本题主要考查了线面平行的判定，考查了平面与平面的夹角，同时考查了学生的计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)设A=“任选一道灯谜甲猜对”，B=“任选一道灯谜乙猜对”，C=“任选一道灯谜丙猜对”，
则P(A)=1220=35，P(B)=820=25，P(C)=n20，
故P(A−)=25，P(B−)=35，P(C−)=1−n20，
所以任选一道灯谜，求，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为35×35+25×25=1325．
(2)设D=“甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对”，
则P(D)=1−25×35×(1−n20)=2225，
解得n=10，
即n的值为10．
【解析】(1)由题设求出甲、乙、丙猜对或错的概率值，应用独立事件乘法公式、互斥事件概率加法公式求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
(2)利用对立事件的概率求法及独立事件乘法公式列方程求n．
本题主要考查了对立事件的概率关系，考查了对立事件的概率乘法公式，属于基础题．
21.【答案】解：(1)根据题意，因为数列{an}为各项均为正数的等差数列，
所以a2+a3+a4=3a3=21，即得a3=7，
设公差为d，则有a2−1=a3−d−1=6−d，a3+1=8，a4+a3=a3+d+a3=14+d，
又因为a2−1，a3+1，a4+a3构成等比数列{bn}的前三项，
所以(a3+1)2=(a2−1)⋅(a4+a3)，
即64=(6−d)(14+d)，
解之可得d=2或d=−10(舍去)，
所以a1=a3−2d=7−4=3，
即得数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列，
故可得an=2n+1，
由题可得，b1=a2−1=4，b2=a3+1=8，
所以数列{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列，
故可得bn=4×2n−1=2n+1；
(2)设cn=anbn=(2n+1)⋅2n+1，
则Sn=3⋅22+5⋅23+7⋅24+⋅⋅⋅+(2n−1)⋅2n+(2n+1)⋅2n+1①，
在上式两边同时乘以2可得，2Sn=3⋅23+5⋅24+⋅⋅⋅+(2n−1)⋅2n+1+(2n+1)⋅2n+2，②，
①−②可得，−Sn=3⋅22+2(23+24+⋅⋅⋅+2n+1)−(2n+1)⋅2n+2=−4+(1−2n)⋅2n+2，
即得Sn=(2n−1)⋅2n+2+4．
【解析】(1)由等差数列、等比数列通项公式的求法求解即可；
(2)利用错位相减法求和即可．
本题考查了等差数列、等比数列通项公式的求法，重点考查了错位相减法求和，属中档题．
22.【答案】解：①当a=12时f(x)=12x−1−lnx，f′(x)=12−1x，由f′(x)=12−1x=0，得x=2．
当x>2时，f′(x)>0，当0又f(1)=−12,f(e)=e2−2=e−42<−12，所以函数在[1,e]上的最大值是−12，最小值是−ln2．
②f′(x)=a−1x=ax−1x(x>0)
当a>0时，令f′(x)>0，得x>1a，由f′(x)<0得x<1a，所以f(x)在(0,1a)上单调递减．在(1a,+∞)上单调递增．
当a=0时，f′(x)=−1x<0恒成立．所以f(x)在(0,+∞)为减函数
当a<0时，f′(x)=ax−1x<0恒成立，所以f(x)在(0,+∞)单调递减．
综上，当a>0时，f(x)在(0,1a)上单调递减，在(1a,+∞)单调递增，
当a≤0时，f(x)在(0,+∞)单调递减
③f′(x)=a−1x，依题意：f′(1)=a−1=0，a=1，所以f(x)=x−1−lnx
又f(x)≥bx−2对∀x∈(0,+∞)恒成立恒成立．
即x−1−lnx≥bx−2，所以b≤1x+1−lnxx在x∈(0,+∞)上恒成立
令g(x)=1−lnxx+1,x>0，则g′(x)=−2+lnxx2
当0e2时，g′(x)>0，
所以当x=e2时，g(e2)min=1−1e2，所以b≤1−1e2．
【解析】①当a=12时f(x)=12x−1−lnx，然后求导利用导数求函数的极值，然后与区间端点的函数值进行比较，从而可求出函数的最大值和最小值；
②求函数的导数，通过讨论参数的取值，令f′(x)>0，可求出函数的增区间，令f′(x)<0，从而确定函数的单调减区间；
③利用函数在x=1处取得极值，建立方程求的a，然后把不等式转化为最值恒成立，然后利用导数求最值．
本题考查了利用导数研究函数的单调性以及求函数的最大值和最小值问题，以及对于不等式恒成立问题，解决不等式恒成立问题的常用方法是转化为最值恒成立．