广东省佛山市南海区狮山石门高级中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题

石门高级中学2022-2023学年度第二学期高二级数学科

第二次统测试卷

（全卷共4页，供高二年级1-19班使用）  命题人：郑兆至

班别_____________学号_____________姓名____________

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.过原点且与圆相切的直线方程是（    ）

A.     B. 或

C. 或  D. 或

2.已知椭圆的焦点为，过点的直线与交于，两点.若的周长为8，则椭圆的标准方程为（    ）

A.    B.

C.    D.

3.已知等差数列的公差为2，若，，成等比数列，是数列的前项和，则等于（    ）

A.8   B.6   C.10   D.0

4.已知函数在时有极值为0，则（    ）

A.11   B.4或11   C.4   D.8

5.已知等差数列的前项和为，，，则数列的前2019项和为（    ）

A.    B.    C.    D.

6.已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则（    ）

A.1   B.3   C.6   D.9

7.在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的不同排法种数为（    ）

A.30   B.36   C.60   D.72

8.已知是定义在上的奇函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（    ）

A.     B.

C.   D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.若是双曲线：上一点，的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（    ）

A.     B.渐近线方程为

C. 的最小值是1  D.焦点到渐近线的距离是

10.甲、乙两盒中皆装有若干个不同色的小球，从甲盒中摸出一个红球的概率是，从乙盒中摸出一个红球的概率是，现小明从两盒各摸出一个球，每摸出一个红球得3分，摸出其他颜色小球得0分，下列说法中正确的是（    ）

A.小明得6分的概率为    B.小明得分低于6分的概率为

C.小明得分不少于3分的概率为  D.小明恰好得3分的概率为

11.已知函数，下列命题中为真命题的是（    ）

A. 的单调递减区间是

B. 的极小值点是2

C. 有且只有一个零点

D.过点只能作一条直线与的图象相切

12.数列的前项和为，若，，则有（    ）

A.    B. 为等比数列

C.   D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知的展开式中，二项式系数之和为64，则展开式中常数项为___________.

14.若函数在处的切线过点，则实数__________.

15.函数，的最大值为___________.

16.已知数列满足，，则数列的前7项和___________.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

在数列中，，点在直线上.

（1）求数列的通项公式；

（2）记为数列的前项和，且，求数列的前项和.

18.（本小题12.0分）

设函数.

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）求的单调区间与极值；

（3）若方程有实数解，求实数的范围，

19.（本小题12.0分）

如图，在直三棱柱中，为的中点，交于点，，.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面的夹角的余弦值.

20.（本小题12.0分）

猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动。在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了道，假设每道灯谜被猜对的可能性都相等.

（1）任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；

（2）任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值.

21.（本小题12.0分）

已知在各项均为正数的等差数列中，，且，，构成等比数列的前三项.

（1）求数列，的通项公式；

（2）设，求数列的前项和

22.（本小题12.0分）已知函数

（1）当时，求函数在上的最大值和最小值；

（2）讨论函数的单调性；

（3）若函数在处取得极值，不等式对恒成立，求实数的取值范围.

石门高级中学2022-2023学年度第二学期高二级数学科

第二次统测试卷答案和解析

1.【答案】C

解：由题意，圆的方程为，可知圆心坐标为，半径为2，

当切线的斜率存在时，设切线方程为，

由圆心到直线的距离等于半径2得，，

因此一条切线方程为；

当切线斜率不存在时，轴是符合条件的切线，方程为，

故选C.

2.【答案】C

解：根据题意，椭圆的焦点为，，即椭圆的焦点在轴上，且；

又由的周长为8，则有

，

变形可得，

则；

故要求椭圆的方程为；

故答案选：C.

3.【答案】D

解：∵，，成等比数列，∴，∴，

化为，解得.

∴则，故选D.

4.【答案】A

解：

由题意，

且.

解得，，；故选A.

5.【答案】C

解：等差数列的前项和为，公差设为，，，

可得，，解得，，

即，，

则数列的前2019项和为.

故选：C.

6.【答案】D

解：设各项都是正数的等比数列的公比为，

由题意可得，即，

解得（舍去）或，∴.

故选：D.

7.【答案】C

解：分两种情况讨论：

第一种：当第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，此种情况有种排法，

第二种：当第一个出场的是女生（不是女生甲），则将剩下的2个女生排好，2个男生插空，此种情况有种排法，所以共有36+24=60种排法，故选：C.

8.【答案】B

解：设，，则，

所以在上递增，

又，所以时，，

此时，所以，时，，

此时，所以，

所以时，，

因为是奇函数，所以时，，

由得或，所以或.

9.【答案】BCD

解：对于A，因为双曲线：的一个焦点坐标为，

∴，∴，故A错；

对于B，渐近线方程，故B正确；

对于C，的最小值是，故C正确；

对于D，焦点到渐近线的距离是，故D正确，故选；BCD.

10.【答案】BD

解；对选项A，小明得6分的概率为，故A错误；

对选项B，小明得分低于6分的概率为，故B正确；

对选项C，小明得分不少于3分的概率为，故C错误；

在D中，小明恰好得3分的概率为，故D正确.

故选：BD.

11.【答案】ABD

解：，可得的单词递减区间为，A项正确；

又单调递增区间为，，所以2是的极小值点，B项正确；

又，，则有三个零点，C项错误；

原点不在曲线上，设切点为，

则，得，所以切点只有一个，D项正确.

12.【答案】ABD

解：∵，∴当时，，

两式相减得，，即，当时，，

∴数列从第二项起为公比为3的等比数列，

∴故C错误，D正确，

由当时，，所以，

又满足上式，所以，为等比数列，故A，B正确.

故选ABD

13.【答案】-540

解：由的展开式中；二项式系数之和为64得，∴，

∴的展开式的通项为，

令，得，所以展开式中常数项为.

故答案为：-540.

14.【答案】6

解：函数，切点为，

，，即切线的斜率为2，则切线方程为，

又因为切线过，所以，解得.故答案为6.

15.【答案】

解：因为，，令，即，，

解得，在为上单调递增，令，即，，

解得，在上单调递减，所以.

故答案为.

16.【答案】

解：当时，，即，

∵，①，

当时，，②，

由①-②可得，∴，当时，上式也成立，

∴，，∴，

∴，∴，

设数列的前项和，

∴，①

，②

由①-②可得

，

∴，∴，

故答案为：.

17.【答案】解：（1）由题可得，即，

∴数列是以为公差的等差数列，

∵，；

（2）由（1）知，∴，

∴，

∴

.

18.【答案】解：（1）的定义域为，，，又，∴曲线在处的切线方程为，即；

（2），令，得，

列表如下：

∴的单调递减区间是，单调递增区间是，

所以，无极大值；

（3）由（2）知在处取极小值，无极大值，则，无最大值，所以的值域为，

因为方程有实数解，所以有实数解，

所以的范围就是函数的值域，所以实数的范围为.

19.【答案】解；（1）因为为三棱柱，所以平面是平行四边形，

又交于点，所以是的中点，又为的中点，所以，

又平面，又平面，所以平面.

（2）在直三棱柱中，平面，而平面，

故，，又，

所以、、两两互相维直

所以以为坐标展点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示.

设，则，，，，，

所以，，，.

设平面的一个法向量为，

则，所以，

不妨令，则.

设平面的一个法向量为，

则，所以，

不妨令，则.

所以，

所以平面与平面的夹角的余弦值为.

20.【答案】解：（1）设“甲猜对灯迷”为事件，“乙猜对灯迷”为事件，

“任选一道灯谜，恰有一个人猜对”为事件，

由题意得，，，

且事件、相互独立，

则

，

所以任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为；

（2）设“丙猜对灯迷”为事件，“任选一道灯谜，甲、乙、丙三个人部没有猜对”为事件，

则由题意，

，

解得.

21.【答案】解；（1）根据题意，因为数列为各项均为正数的等整数列，

所以，即得，

设公整为，则有，，，

又因为，，构成等比数列的前三项，

所以，即，

解之可得，或（合去），所以，

即得数列是以3为首项，2为公差的筝整数列，

故可得，

由题可得，，，

所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，

故可得.

（2）设，

则①，

在上式两边同时乘以2可得，

，②.

①-②可得，

，

即得.

22.【答案】解：（1）当时，，则，

令，解得，当时，，当时，，

又因为，所以，

又，，

所以，

所以在上的最大值是，最小值是.

（2），

当时，令，解得，令，解得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

当时，在恒成立，

所以在单调递减.

（3），依题意：，解得，

所以，

又对恒成立，

即对恒成立，

法（一）则在上恒成立，

令，则，

当时，；

当时，，

所以，

所以；

法（二）由，得在上恒成立，

设，则，

当时，，显然不满足条件；

当时，时，，

当时，，

所以，

所以，解得，

综上可得，实数的取值范围为.