2024七年级数学下册提练第5招因式分解的八种常用方法习题课件新版湘教版

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第5招　因式分解的八种常用方法因式分解的常用方法：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)提公因式法与公式法的综合运用.在对一个多项式分解因式时，首先应考虑提公因式法，然后考虑公式法.对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法分解因式，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等.教你一招 因式分解：(1)x4＋4；　　(2)3y3－4y＋1. 因式分解时，当多项式无法直接分解时，则需采用“拆、添”项法，使拆、添项后能用提公因式法或公式法.本例(1)中的多项式只有两项，既没有公因式，又不能运用公式法因式分解.但它是两个数的平方和的形式，这时若能添加一项，使之与原来的两项运用完全平方公式分解，再与添加的项的相反数继续分解，可达到目的；(2)中可把－4y拆成－3y和－y，再分别与3y3和1分组后，可因式分解.解：(1)x4＋4＝x4＋4x2＋4－4x2＝(x4＋4x2＋4)－4x2＝(x2＋2)2－(2x)2＝(x2＋2x＋2)(x2－2x＋2).(2)3y3－4y＋1＝3y3－3y－y＋1＝(3y3－3y)－(y－1)＝3y(y2－1)－(y－1)＝3y(y＋1)(y－1)－(y－1)＝(y－1)[3y(y＋1)－1]＝(y－1)(3y2＋3y－1). 提公因式法题型1 只提一次公因式型1.把下列各式因式分解：(1)2x2－xy；【解】原式＝x(2x－y).(2)[2023·金华]x2＋x；原式＝x(x＋1).(3)xn＋2－2xn－1.原式＝xn－1(x3－2).2.把下列各式因式分解：(1)a(b－c)＋c－b；【解】原式＝a(b－c)－(b－c)＝(b－c)(a－1).(2)15b(2a－b)2＋25(b－2a)2.原式＝15b(2a－b)2＋25(2a－b)2＝5(2a－b)2(3b＋5).题型2 需提两次公因式型3.把下列各式因式分解：(1)2x(2x＋4y)－4x(2x－y)；【解】原式＝2x(2x＋4y－4x＋2y)＝2x(6y－2x)＝4x(3y－ x).(2)3(a＋b)(2a＋b＋4)＋(a＋b)(b－2a－8).原式＝(a＋b)(6a＋3b＋12＋b－2a－8)＝(a＋b)(4b ＋4a＋4)＝4(a＋b)(a＋b＋1). 公式法题型1 直接用公式法4.把下列各式因式分解：(1)[2023·贵州]x2－4；【解】原式＝(x－2)(x＋2).(2)(x2＋y2)2－4x2y2； 原式＝(x2＋y2＋2xy)(x2＋y2－2xy) ＝(x＋y)2(x－y)2.(3)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.【解】原式＝(x2＋6x＋9)2 ＝[(x＋3)2]2 ＝(x＋3)4.题型2 先提再套法5.把下列各式因式分解：(1)[2023·抚顺]2m2－18；【解】原式＝2(m2－9) ＝2(m＋3)(m－3).(2)[2023·邵阳]3a2＋6ab＋3b2.原式＝3(a2＋2ab＋b2) ＝3(a＋b)2.题型3 先局部再整体法6.因式分解：(1)(x＋3)(x＋4)＋(x2－9)；【解】原式＝(x＋3)(x＋4)＋(x＋3)(x－3) ＝(x＋3)[(x＋4)＋(x－3)] ＝(x＋3)(2x＋1).(2)(x＋3)(3x＋2)－9x2＋4.【解】原式＝(x＋3)(3x＋2)－(9x2－4) ＝(x＋3)(3x＋2)－(3x＋2)(3x－2) ＝(3x＋2)(－2x＋5).题型4 先展开再分解法7.把下列各式因式分解：(1)x(x＋4)＋4；【解】原式＝x2＋4x＋4＝(x＋2)2.(2)4x(y－x)－y2. 原式＝4xy－4x2－y2 ＝－(4x2－4xy＋y2) ＝－(2x－y)2. 分组分解法8.把下列各式因式分解：(1)m2－mn＋mx－nx；【解】原式＝(m2－mn)＋(mx－nx) ＝m(m－n)＋x(m－n) ＝(m－n)(m＋x).(2)4－x2＋2xy－y2.【解】原式＝4－(x2－2xy＋y2) ＝22－(x－y)2 ＝(2＋x－y)(2－x＋y). 拆、添项法   整体法题型1 “提”整体10.因式分解：a(x＋y－z)－b(z－x－y)－c(x－z＋y).【解】原式＝a(x＋y－z)＋b(x＋y－z)－c(x＋y－z) ＝(x＋y－z)(a＋b－c).题型2 “当”整体11.因式分解：(x＋y)2－4(x＋y－1).【解】原式＝(x＋y)2－4(x＋y)＋4 ＝(x＋y－2)2.题型3 “拆”整体12.因式分解：ab(c2＋d2)＋cd(a2＋b2).【解】原式＝abc2＋abd2＋cda2＋cdb2 ＝(abc2＋cda2)＋(abd2＋cdb2) ＝ac(bc＋ad)＋bd(ad＋bc) ＝(bc＋ad)(ac＋bd).题型4 “凑”整体13.因式分解：x2－y2－4x＋6y－5.【解】原式＝(x2－4x＋4)－(y2－6y＋9) ＝(x－2)2－(y－3)2 ＝(x＋y－5)(x－y＋1). 十字相乘法14. [新考法 阅读类比法]由多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b).示例：因式分解：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3).(1)尝试：因式分解：x2＋2x－8＝(　 　)·(　 　).(2)应用：请用上述方法解方程：x2－5x－24＝0.【解】因为x2－5x－24＝x2＋(3－8)x＋3×(－8)＝(x＋3)· (x－8)＝0， 所以x＋3＝0或x－8＝0，解得x＝－3或x＝8.x－2　x＋4　 换元法15.[2023·永州四中模拟]因式分解：(1)(a2＋2a－2)(a2＋2a＋4)＋9；【解】设a2＋2a＝m， 则原式＝(m－2)(m＋4)＋9＝m2＋4m－2m－8＋9 ＝m2＋2m＋1＝(m＋1)2 ＝(a2＋2a＋1)2＝(a＋1)4.(2)(b2－b＋1)(b2－b＋3)＋1.【解】设b2－b＝n， 则原式＝(n＋1)(n＋3)＋1 ＝n2＋3n＋n＋3＋1 ＝n2＋4n＋4 ＝(n＋2)2 ＝(b2－b＋2)2. 展开化简法题型1 先展开，再分解型16.因式分解：(c＋b)(c－b)－a(a－2b).【解】原式＝c2－b2－a2＋2ab ＝c2－(a2＋b2－2ab) ＝c2－(a－b)2 ＝(c＋a－b)(c－a＋b).题型2 提公因式后展开，再运用公式型17.因式分解：(a－b)(3a＋b)2＋(a2＋9b2＋6ab)(b－a).【解】原式＝(a－b)[(3a＋b)2－(a2＋9b2＋6ab)] ＝(a－b)[(9a2＋6ab＋b2)－(a2＋9b2＋6ab)] ＝(a－b)(8a2－8b2) ＝8(a＋b)(a－b)2.