2023届高考数学二轮复习专题六解析几何培优提能圆锥曲线中二级结论的应用学案

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培优提能　圆锥曲线中二级结论的应用(1)椭圆、双曲线中的常用二级结论.椭圆:+=1(a>b>0),双曲线:-=1(a>0,b>0).①焦半径的数量关系式:直线l过焦点F与椭圆相交于A,B两点,则+=,同理,双曲线中,+=.②焦点三角形的面积公式:P为椭圆(或双曲线)上异于长轴(或实轴)端点的一点,且∠F1PF2=θ,则椭圆中=b2·tan ,双曲线中=.③圆锥曲线周角定理:已知点P为椭圆(或双曲线)上异于A,B的任一点,A,B为长轴(或实轴)端点,则椭圆中kPA·kPB=-,双曲线中kPA·kPB=.④圆锥曲线垂径定理:已知直线l与椭圆+=1(a>b>0)相交于A,B两点,点M为AB的中点,O为原点,则kOM·kAB=-.同样地,双曲线-=1(a>0,b>0)中有kOM·kAB=.⑤已知点P(x0,y0)为椭圆(或双曲线)上任一点,则过点P与圆锥曲线相切的切线方程为:椭圆中+=1;双曲线中-=1.(2)与抛物线的焦点弦有关的二级结论:设AB是抛物线y2=2px(p>0)的一条焦点弦,焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2),则①x1x2=,y1y2=-p2.②焦半径|AF|=x1+=,|BF|=x2+=.③焦点弦长|AB|=x1+x2+p=,且+=(α为弦AB所在直线的倾斜角).④以AB为直径的圆与准线相切,以FA为直径的圆与y轴相切.(3)抛物线方程为y2=2px(p>0),过点(2p,0)的直线与之交于A,B两点,则OA⊥OB,反之,也成立.培优点1　结论在椭圆、双曲线中的应用典例1　已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点(0,1),椭圆C的离心率为e=.(1)求椭圆C的标准方程;(2)如图,设直线l与圆O:x2+y2=R2(1<R<2)相切于点A,与椭圆C相切于点B,当R为何值时,线段AB的长度最大?试求出最大值.解:(1)由题意知,b=1,=,故=,解得a2=4.故椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)法一　连接OA,OB,如图所示.由题意设直线l的方程为y=kx+m(m≠0),因为直线l与圆O:x2+y2=R2(1<R<2)相切于点A,所以R=,即m2=R2(1+k2),①因为直线l与椭圆C:+y2=1相切于点B,由得x2+4(kx+m)2=4,即(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0有1个实数解,则Δ=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)=16(4k2-m2+1)=0,即4k2-m2+1=0,②由①②可得设B(x1,y1),由求根公式得x1=-=-=-,所以y1=kx1+m=k(-)+m==,所以|OB|2=+==5-,所以在Rt△OAB中,|AB|2=|OB|2-|OA|2=5--R2=5-(+R2),因为+R2≥4,当且仅当R=∈(1,2)时取等号,所以|AB|2≤5-4=1,即当R=∈(1,2)时,|AB|取得最大值,最大值为1.法二　设B(x0,y0),所以过点B与椭圆相切的直线方程为+y0y=1,即x0x+4y0y-4=0,又R2=|OA|2=,R为圆的半径,R∈(1,2),|AB|2=|OB|2-R2=+-,又+=1,所以=4-4,所以|AB|2=4-3-=5-(3+1)-≤5-2=1,当且仅当3+1=,即=,=时,等号成立,所以|AB|max=1,此时R2==2,即R=∈(1,2),故当R=时,|AB|max=1.本题两种方法对比,法二直接利用了结论:已知点P(x0,y0)为椭圆上任一点,则过点P与圆锥曲线相切的切线方程为+=1.可使计算过程得到简化.触类旁通1　(1)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,点P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,则e1e2的最小值为(　B　)A. B. C. D.(2)已知椭圆C:+y2=1,A,B为长轴端点,点M1,M2,…,M5是AB的六等分点,分别过这五点作斜率为k(k≠0)的一组平行线,交椭圆C于P1,P2,…,P10,则直线AP1,AP2,…,AP10,这10条直线的斜率乘积为(　B　)A.- B.- C. D.解析:(1)设椭圆的方程为+=1(a1>b1>0),双曲线的方程为-=1(a2>0,b2>0),焦距为2c(c>0),根据焦点三角形的面积公式可得tan =,即=3,又所以-c2=3(c2-),所以+3=4c2,所以+=4,即+=4,因为4≥2,得e1e2≥,当且仅当=,即e2=e1时,取等号.综上,e1e2的最小值为.故选B.(2)如图所示,由椭圆的性质可得·=·=-=-.由椭圆的对称性可得=,=,·=-.同理可得·=·=·=·=-.所以直线AP1,AP2,…,AP10这10条直线的斜率乘积为(-)5=-.故选B.培优点2　结论在抛物线中的应用典例2　(1)已知抛物线C的顶点是原点O,焦点F在x轴的正半轴上,经过点F的直线与抛物线C交于A,B两点,若·=-12,则抛物线C的方程为(　　)A.x2=8y B.x2=4yC.y2=8x D.y2=4x(2)点F是抛物线y2=4x的焦点,O为原点,点A,B在抛物线上且满足 =3,则△AOB的面积为　　　　. 解析:(1)设抛物线为y2=2px(p>0),直线AB:x=my+,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=,y1y2=-p2,得·=x1x2+y1y2=-p2=-p2=-12,得p=4,即抛物线C的方程为y2=8x.故选C.(2)因为=3,设抛物线y2=4x的焦点弦的倾斜角为α,所以||=,||=,所以=3×,所以cos α=,sin α=.又因为|AB|=|AF|+|BF|=,所以S△AOB=|AF||OF|sin∠AFO+|BF||OF|·sin∠BFO=|OF|·sin α=××=.答案:(1)C　(2)该题通过抛物线弦长公式的结论的拓展,将复杂的面积问题抽象为长度、距离问题,体现了数学抽象的核心素养;通过倾斜角、斜率联立方程坐标运算,体现了数学运算的核心素养.触类旁通2　(1)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若F是AC的中点,且|AF|=4,则线段AB的长为(　C　)A.5 B.6 C. D.(2)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过点F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为(　D　)A. B. C. D.解析:(1)如图,过点A作AD⊥l于点D,设准线l与x轴的交点为M.|AD|=|AF|=|AC|=4,|OF|=|OM|===4×=1,所以p=2,因为+=,|AF|=4,所以|BF|=,所以|AB|=|AF|+|BF|=4+=.故选C.(2)由2p=3,得|AB|===12.原点到直线AB的距离d=|OF|·sin 30°=,故S△AOB=|AB|·d=×12×=.故选D.