2024年广东省天河区华南师范大学附属中学中考模拟数学试题

这是一份2024年广东省天河区华南师范大学附属中学中考模拟数学试题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．）
1．下列四个实数中，属于无理数的是（ ）
A．B．C．D．
2．中汽协发布数据显示，2024年1～2月，新能源汽车产销分别完成125.2万辆和120.7万辆，同比分别增长28.2%和29.4%，市场占有率达到30%．将数据125.2万用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，直线AB，CD相交于点O，，若，，则∠3的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
5．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
6．若关于x的不等式的正整数解有且只有2个，则m可能的值是（ ）
A．3.5B．3C．2.5D．2
7．如图，在平面直角坐标系中，点，点，连结AB，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，连接OC，则线段OC的长度为（ ）
（第7题）
A．5B．C．D．
8．如图，在中，，，，垂足为D，BE平分∠ABC交AD于点E，则DE的长为（ ）
（第8题）
A．B．3C．D．6
9．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程的两个根，则k的值为（ ）
A．3B．4C．3或4D．7
10．如图，一个点在第一象限及x轴、y轴上运动，且每秒移动一个单位，在第1秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）……，那么第35秒时质点所在位置的坐标是（ ）
A．（4，0）B．（0，5）C．（5，0）D．（5，5）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．若式子有意义，则x的取值范围是______．
12．分解因式：______．
13．当时，化简______．
14．如图，在中，，，，则______．
（第14题）
15．如图，正方形MNPQ内接于，点M，N在BC上，点P，Q分别在AC和AB边上，且BC边上的高，，则正方形MNPQ的面积为______．
（第15题）
16．如图，CE是▱ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点
E．连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：
①四边形ACBE是菱形；
②；
③；
④．
其中正确的结论有______．（填写正确结论的序号）
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（4分）计算：；
18．（4分）如图，点E、F在▱ABCD的对角线AC上，且．求证：．
19．（6分）已知．
（1）化简W；
（2）若a，2，3恰好是等腰的三边长，求W的值．
20．（6分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点，的三个顶点都在格点上．将在坐标系中平移，使得点A平移至图中点的位置，点B对应点E，点C对应点F．
（第20题）
（1）点B的坐标为______，点F的坐标为______；
（2）在图中画出，并连接AD；
（3）求在线段AB平移到线段DE的过程中，线段AB扫过的区域的面积．
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，，点E是AC的中点，且．
（第21题）
（1）尺规作图：作∠CAD的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若，且，证明：为等边三角形．
22．（10分）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．
（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？
（2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13000元，请分析合理的方案共有多少种？并确定获利最大的方案以及最大利润．
23．（10分）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE，，．
（1）求BC的长；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆AB的高度．
条件①：；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角为52.46°．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．参考数据：，，．
24．（12分）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC、BD．
（1）若，求B点和C点坐标；
（2）若，求m的值；
（3）若在第一象限内二次函数的图象上，始终存在一点P，使得．请结合函数的图象，直接写出m的取值范围．
25．（12分）在和中，，，（k是常数），点E在内部运动（不包含边界），直线AD与BE交于点F．
（1）如图（1），若，并且点D、F重合时，求证：；
（2）如图（2），一般情形下，探究AF，BF，CF之间的数量关系，并给出证明；
（3）如图（3），BF与AC交于点G，若，求的最大值．
2023学年第二学期九年级阶段训练（4月）
数学试题参考答案与评分标准
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．）
ABDBA ADBCC
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．且；12．；13．1；14．；15．16；16．①②④．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（4分）
解：（1）原式
18．（4分）
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，．
∴．
在和中，
∴
∴
19．（6分）
解：（1）
（2）∵a，2，3恰好是等腰的三边长，∴或3
又∵分母不能为0，2，∴，
∴．
20．（6分）
解：（1）；；
（2）如图，和AD即为所作；
（3）线段AB沿AD的方向平移到DE的过程中扫过的图形为平行四边形ADEB，．
21．（8分）（第1小问2分，第2小问6分）
解：（1）作图结果如图所示．
（2）证明：∵，AF平分∠CAD，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴是等边三角形．
22．（10分）（第1小问4分，第2小问6分）
解：（1）设每台空调的进价为m元，则每台电冰箱的进价为元，
根据题意得：，
解得：
经检验，是原方程的解，
，
答：每台空调的进价为1600元，则每台电冰箱的进价为2000元．
（2）设购进电冰箱x台（x为正整数），这100台家电的销售总利润为y元，则，
根据题意得：，
解得：，
∵x为正整数，∴34，35，36，37，38，39，40，
∴合理的方案共有7种，
∵，，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，y有最大值，最大值为：（元），
答：当购进电冰箱34台，空调66台获利最大，最大利润为13300元．
23．（10分）（第1小问3分，第2小问7分）
解：（1）∵，，
∴，∴BC的长为9 m；
（2）若选择条件①，连结AC，DE，由题意得，
∴，∴，
∴，∴AB=13.5，
∴旗杆AB的高度为13.5 m；
若选择条件②：过点D作，垂足为F，
则，，
在中，，
∴，
∴，
∴旗杆AB的高度约为13.5 m．
24．（12分）（第1小问3分，第2小问6分，第3小问3分）
解：（1）当时，，
令，得，解得，，
∵点A在点B的左侧，
∴，
令，得，
∴；
（2）当时，，
解得：，，
∵点A在点B的左侧，且，
∴，，
∵当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图1中，连接AE，
∵，
∴，，
∴，，，
∵A、B关于对称轴直线：对称，
∴，
∴，
∵，，
∴，
即，
∵，
，
，
∵，
∴，
∴，解得：或，
经检验，是方程的根，
∵，∴；
（3）如图2，设PC交x轴于点Q，
当点P在第一象限时，点Q总是在点B的左侧，此时，即．
∵，∴，
∴，解得，
又∵，同法可得，
∵，∴．
（注：第3小问直接写出答案，得3分，写得1分）
25．（12分）（第1小问3分，第2小问5分，第3小问4分）
解：（1）∵，，
∴，
∵，，∴，
∴，，
而点D、F重合，故，而为等腰直角三角形，
故，则．
（2）AF，BF，CF之间的数量关系是：
如图2，，而，，即，
∴，∴，
过点C作交BF于点G，则，
∴，∴，
则，，
在中，
则．
（3）∵，
∴，∴，
∴
∴点F在以AB为直径的圆上，又因为点E在内部运动，所以F点在以AB为直径，弧AC上运动．过点F作，H为垂足，记AB中点为O．
∵，
∴．
由于，所以，设，则，
当时，FH最大，且最大值为，
的最大值为．