浙江省温州市温州经济技术开发区温州经济技术开发区滨海外国语学校2023-2024学年八年级下册第一次月考数学试题（含解析）

这是一份浙江省温州市温州经济技术开发区温州经济技术开发区滨海外国语学校2023-2024学年八年级下册第一次月考数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了下列各式一定是二次根式的是，下列方程是一元二次方程的是，下列二次根式中，能化简为的是，下列各式中，运算正确的是，将一元二次方程化成等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各式一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列二次根式中，能化简为的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列各式中，运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．B．C．4，21D．
6．某开发公司今年一月份收益达50万元，且一月份、二月份、三月份的收益共为175万元，问二、三月平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A．B．
C．D．
7．已知x，y为实数，若满足，则的值为（ ）
A．5B．6C．8D．9
8．等腰三角形的腰长为2，底边长是方程的根，则三角形的周长为（ ）
A．7B．9C．10D．7或9
9．某校在操场东边开发出一块长、宽分别为、的矩形菜园（如图），作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为．设小道的宽为，根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，正方形，正方形，连结，，作交于点，记正方形和正方形的面积分别为，，若，，则等于（ ）

A．B．C．D．
非选择题部分
二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若式子 有意义，则x的取值范围是 ．
12．计算： ．
13．如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡向上行驶了90米，则此时该小车离水平面的垂直高度为 米．
14．关于x的一元二次方程的一个根为0，则 ．
15．若关于x的一元二次方程的解为，则关于y的一元二次方程的解为
16．如图，将正方形沿图中虚线剪成三块图形（图中的 x，y，d 是相应线段的长度），用这三块图形恰能拼成一个长与宽之比为的长方形，若 x 的值为 6，则 y 的值为 ，此时 d的值为 ．
三．解答题（本小题共6小题，共52分）
17．计算：
(1)
(2)
18．解方程
(1)
(2)
19．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何实数，此方程总有两个实数根；
(2)设方程两根为和，求的值．
20．先化简，再求值：，其中．
如图是小亮和小芳的解答过程．
(1)_____________的解答过程是错误的；
(2)错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：_____________；
(3)先化简，再求值： ，其中．
21．2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
(2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
22． 探究不同长方形周长与面积的关系
一、项目化情境与问题
某学习小组在一次参观画展时，一同学发现作品甲的边框是长方形，它的长、宽、周长C和面积S分别如图1所示
根据以上，这个同学提出一个有趣问题，任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的，即对于任意一个长方形A，是否一定存在长方形B，使得成立？
二、项目支架与探究
为了进一步深入探究提出的问题，小组成员对任务进行了如下分解，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论．
三、项目成果
长方形A的长为m，宽为1，若一定存在长方形B，使得成立，请直接写出m的最小值．
参考答案与解析
1．B
【分析】同时满足两个条件才是二次根式，第一：被开方数是非负数，第二：根指数是二．
【解答】解：A．，2是整数，不是二次根式，故此选项不合题意；
B．，根据一定大于0，则一定是二次根式，故此选项符合题意；
C．无意义，故此选项不合题意；
D．，的符号不确定，故不一定是二次根式，故此选项不合题意．
故选：B．
【点拨】本题主要考查二次根式的定义，对二次根式的根指数和被开方数理解到位是解题的关键．
2．C
【分析】根据一元二次方程的定义即可求解，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
【解答】解：A. ，是一元一次方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
C. 即，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；
D. ，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
3．C
【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键．
【解答】解；不能继续化简，，，，
故选：C．
4．D
【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟练掌握二次根式的四则运算法则是解题的关键．
根据二次根式的四则运算法则，逐项判断即可求解．
【解答】解：A、和不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
5．A
【分析】先移项，再配方，即可得出答案．
【解答】解：，
，
，
，
∴，
故选：A．
【点拨】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
6．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程是实际应用——增长率问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为．根据“一月份、二月份、三月份的收益共为175万元”即可出方程．
【解答】解：设平均每月的增长率为x，
根据题意可列方程，
故选：D．
7．D
【分析】此题考查了算术平方根非负，幂的运算等知识，根据算术平方根非负求出，是解题的关键．
根据算术平方根非负求出，由此得到y的值，再进行计算即可．
【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
8．A
【分析】先利用因式分解法解方程求出x的值，再根据等腰三角形三边关系可得答案．
【解答】解：∵，
∴，
则或，
解得，，
当底边长为3，此时三边长度为2、2、3，能够成三角形，周长为7；
若底边长为5，此时三边长度为2、2、5，不能构成三角形；
故选：A．
【点拨】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
9．A
【分析】由小道的宽为米，可得出种植菜园的部分可合成长为米，宽为米的长方形，再根据种植面积为96平方米，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：小道的宽为米，
种植菜园的部分可合成长为米，宽为米的长方形．
依题意得：．
故选：A．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．A
【分析】作出如图辅助线，根据平分，即可得出．再根据正方形和正方形的面积之比为，即可得到，进而利用三角形面积公式即可求解．
【解答】解：如图所示，过点P作，交的延长线于点M，作，交的延长线于点N，

由题可得，，
∴，
又∵，
∴，即平分，
又∵，，
∴，
∵正方形和正方形的面积分别为，，且，，
∴正方形的面积，
∴正方形和正方形的面积之比为，
∴，
∴，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了勾股定理以及角平分线的性质的运用，解决问题的难点是利用角平分线的性质发现，将的值转化为的值．
11．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，据此即可作答．
【解答】解：∵式子 有意义
∴
解得
故答案为：
12．
【分析】利用平方差公式，二次根式化简进行计算即可．
【解答】解：．
【点拨】本题考查了平方差公式，二次根式化简，熟练掌握平方差公式是解题关键．
13．45
【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．
【解答】设此时该小车离水平面的垂直高度为x米，则水平前进了x米．
根据勾股定理可得：x2＋（x）2＝902．
解得x＝45．
即此时该小车离水平面的垂直高度为45米．
故答案为：45.
【点拨】考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：tan（坡度）＝垂直高度÷水平宽度，综合利用了勾股定理．
14．
【分析】将代入一元二次方程，转化为关于的方程，要注意，．
【解答】解：将代入一元二次方程得，
，
整理得，，
解得，．
是一元二次方程，
，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义，要熟悉一元二次方程的解法和二次项系数的取值范围．
15．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．把原方程变形为，根据题意可得或，即可求解．
【解答】解：，
∴，
∵关于x的一元二次方程的解为，
∴或，
解得：．
故答案为：
16． ##
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．根据题意得：长方形的长为，宽为，再由长方形的长与宽之比为，且正方形的面积等于长方形的面积，可得，即可求解．
【解答】解：根据题意得：长方形的长为，宽为，
∵长方形的长与宽之比为，且正方形的面积等于长方形的面积，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴．
故答案为：；
17．(1)3
(2)
【分析】本题考查了二次根式的化简，混合运算，熟练掌握基本知识点是解题的关键．
（1）依次化简每一项，再进行加减运算；
（2）先化简，再乘除，最后相减．
【解答】（1）解：原式
（2）解：原式
18．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程：
（1）利用直接开方法即可求解；
（2）利用因式分解法即可求解；
熟练掌握直接开方法及因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
【解答】（1）解：开方得：，
解得：，．
（2）整理，得：，
因式分解，得：，
即：或，
解得：，．
19．(1)见解析
(2)1
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，正确掌握根的判别式及根与系数的关系式是解题的关键．
（1）直接根据根的判别式证明即可；
（2）先根据根与系数的关系求出，的值，再代入求解即可．
【解答】（1）证明：，
无论取何实数，此方程总有两个实数根．
（2）由根与系数的关系可得，，
．
20．(1)小亮
(2)（或）
(3)
【分析】（1）根据二次根式的性质，判断出小亮的计算是错误的；
（2）错误原因是：二次根式的性质的应用错误；
（3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据二次根式的性质化简，再代入计算即可．
【解答】（1）根据二次根式的性质，判断出小亮的计算是错误的，
故答案为：小亮；
（2）二次根式的性质为：（或），
故答案为：（或）；
（3）解：原式，
，
，
原式
．
【点拨】本题考查二次根式的化简求值，要熟练掌握二次根式的性质：．
21．(1)该款吉祥物2023年4月份到6月份销售量的月平均增长率为
(2)当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该款吉祥物2023年4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，根据增长率问题的等量关系列方程求解即可；
（2）设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据月销售利润为8400元列方程求解即可．
【解答】（1）解：设该款吉祥物2023年4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：该款吉祥物2023年4月份到6月份销售量的月平均增长率为；
（2）解：设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元．
22．探究1：，，，；探究2：不存在，理由见解析；三、m的最小值为．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元二次方程的判别式、解一元二次方程，能够根据题意列出方程是解题的关键．
探究1：根据题意得到，，然后利用长方形面积和周长公式得到，，进而解方程求解即可；
探究2：首先根据题意得到，，然后设长方形丙两条邻边长分别为a和，然后根据面积列方程求解即可；
三、设长方形B的两边长分别为，根据题意得到，然后得到，然后利用一元二次方程的判别式结合求解即可．
【解答】探究1：∵，
∴，
∵设长方形乙的长为x，宽为y，
∴，
∴，即
代入得，
解得，或（因y是宽小于长，故舍去）
∴；
探究2：要使成立
则，
∴设长方形丙两条邻边长分别为a和，
，
，
∴方程无解
不存在；
三、设长方形B的两边长分别为
则有
消去得，得
解得：或
∵
m的最小值为．
探究1
研究特殊情况
小组成员研究过后得知一定存在长方形乙的使得
设长方形乙的长为x，宽为y，请你通过计算完成图2的填空∶
探究2
研究特殊情况
不妨考虑图2所示的长方形乙，探究是否存在长方形丙使得成立？若存在，请求出长方形丙的长和宽．若不存在，请说明理由．