2023-2024学年浙江省温州市瓯海区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年浙江省温州市瓯海区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若二次根式 a−1在实数范围内有意义，则a的取值范围是( )
A. a>1B. a≥1C. a=1D. a≤1
2.已知一组数据3，5，4，6，3，3，4，则这组数据的众数和中位数分别是( )
A. 4，4B. 4，3C. 3，3D. 3，4
3.下列运算正确的是( )
A. 3+ 3=3 3B. 27÷ 3=3C. 2× 3= 5D. 4=±2
4.反比例函数y=6x的图象一定经过的点( )
A. (−3,2)B. (2,3)C. (−2,3)D. (2,−3)
5.直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，如图所示，则α+β=( )
A. 115∘
B. 120∘
C. 135∘
D. 144∘
6.四边形ABCD对角线交于点O，下列条件能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A. OA=OB，OC=OD
B. AB=BC，CD=DA
C. AB//CD，∠ABC=∠ADC
D. ∠BAD=∠ABC，∠BCD=∠ADC
7.用配方法解方程x2−2x=1时，配方后所得的方程( )
A. (x+1)2=0B. (x−1)2=0C. (x+1)2=2D. (x−1)2=2
8.若点A(−1,y1)，B(1,y2)，C(3,y3)都在反比例函数y=3x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y3>y2>y1B. y1>y3>y2C. y2>y3>y1D. y1>y2>y3
9.李师傅从市场上买了一块长100cm、宽60cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱.如图，他将铁皮的四个角各剪掉一个边长x cm的正方形后，剩余部分刚好能焊接成一个底面积为3200cm2的无盖工具箱，根据题意可列方程为( )
A. 100×60−4x2=3200
B. 100×60−4x2−(100+60)x=3200
C. (100−x)(60−x)=3200
D. (100−2x)(60−2x)=3200
10.点P是矩形ABCD内一点，且满足PA=2，PB=3，PC=4，则PD的值为( )
A. 3
B. 5
C. 5
D. 11
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.当a=7时，代数式 2a−10的值是______.
12.某校为了了解九年级学生的课后作业量，随机调查了30名学生每天完成作业的时长，调查数据统计如下表：
请你估计该校九年级学生每天完成作业的平均时长约是______h.
13.如图，平行四边形ABCD的周长是10cm，其对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别与AD、BC相交于点E、F，且OE=1cm，则四边形CDEF的周长是______cm.
14.如图是一块长方形菜地ABCD，AB=am，AD=bm，面积为Sm2.现将边AB增加1m，边AD增加2m，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为2Sm2，则S的值是______.
15.如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是AC，CD上的两点，BE⊥EF，CF=2，则AE的长为______.
16.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象与正方形的两边AB，BC分别交于点M，N，连接OM，ON，MN，若∠MON=45∘，MN=2，则k的值为__________.
三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)计算： 27− 2× 8+ (−2)2；
(2)解方程：x2−4x+1=0.
18.(本小题6分)
如图是6×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C，P各点都在格点上.请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求在同一答题图上画图.(1)找出格点D，连结CD，AD，使四边形ABCD是平行四边形；
(2)过点P作一条直线l，使直线l平分平行四边形ABCD的周长和面积.
19.(本小题6分)
在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，D是斜边AB上的一点，作DE⊥BC，垂足为E，延长DE到F，连接CF，使∠A=∠F.
(1)求证：四边形ADFC是平行四边形.
(2)连接CD，若E为DF中点，求证：CD=AD.
20.(本小题7分)
某单位450名职工积极参加想贫困地区捐书活动，为了解职工的捐书两，采用随机抽样的方法抽取了30名职工作为样本，对他们的涓蜀梁进行统计，统计结果共有4本，5本，6本，7本，8本，五类，分别用A，B，C，D，E表示，根据统计数据绘制成了如图所示不完整的条形统计图，用图中所给的信息解答下列问题：
(1)补全条形统计图；
(2)求这30名职工捐书本书的平均数；
(3)估计该单位450名职工共捐书多少本？
21.(本小题7分)
密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V(单位：m3)变化时，气体的密度ρ(单位：kg/m3)随之变化.已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当V=2.5m3时，ρ=4kg/m3.
(1)求密度ρ关于体积V的函数表达式；
(2)当V=5m3时，求二氧化碳密度ρ的值.
22.(本小题8分)
如图，已知四边形ABCD是正方形，点E、F分别在AD、DC上，BE与AF相交于点G，且BE=AF.
(1)求证：BE⊥AF；
(2)如果正方形ABCD的边长为5，AE=2，点H为BF的中点，连接GH.求GH的长.
23.(本小题10分)
【问题情境】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6.点F是射线BC上的一点，将矩形ABCD沿直线AF折叠，点B的对应点为点E.
【猜想证明】
(1)当点E落在边AD上时，四边形ABFE的形状为______.
(2)当AE平分∠BAD时，连接DE，求S△ADE.
【能力提升】
(3)在【问题情境】的条件下，是否存在点F，使点F，E，D三点共线.若存在，请直接写出BF的长；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
根据二次根式有意义的条件可得a−1≥0，再解不等式即可．
【解答】
解：由题意得：a−1≥0，
解得：a≥1，
故选：B.
2.【答案】D
【解析】解：从小到大排列：3，3，3，4，4，5，6，
∵3出现的次数为3，出现的次数最多
∴众数为3；
∵排在中间位置的数是4，
∴中位数是4.
故选：D.
根据出现次数最多的数即为众数，把数据排序后取中间位置的数为中位数(如果中间位置有两个数，那么求这两个数的平均数)即可作答．
本题考查了众数和中位数的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、3与 3不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、 27÷ 3= 9=3，正确，符合题意；
C、 2× 3= 6，原计算错误，不符合题意；
D、 4=2，原计算错误，不符合题意，
故选：B.
根据二次根式混合运算的法则对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：k=6，点的纵横坐标之积为6的点在反比例函数图象上，
∵2×3=6，
∴点(2,3)在反比例函数图象上，
故选：B.
根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键．
5.【答案】B
【解析】解：正六边形每个内角为：(6−2)×180∘6=120∘，
而六边形MBCDEN的内角和也为(6−2)×180∘=720∘，
∴∠B+∠C+∠D+∠E+∠ENM+∠NMB=720∘，
∴∠ENM+∠NMB=720∘−4×120∘=240∘，
∵β+∠ENM+α+∠NMB=180∘×2=360∘，
∴α+β=360∘−240∘=120∘，
故选：B.
先求出正六边形的每个内角为120∘，再根据六边形MBCDEN的内角和为720∘即可求解∠ENM+∠NMB的度数，最后根据邻补角的意义即可求解．
本题考查了多边形的内角和，正多边形的每个内角，邻补角，熟练掌握知识点是解决本题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：A、∵四边形ABCD的对角线交于点O，OA=OB，OC=OD，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，故A不符合题意；
B、∵AB=BC，CD=DA，
∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
C、∵AB//CD，
∴∠ABC+∠BAD=∠ADC+∠DCB=180∘，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠BAC=∠DCB，
∴四边形ABCD为平行四边形，故C符合题意；
D、∵∠BAD=∠ABC，∠BCD=∠ADC，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，故D不符合题意；
故选：C.
由AO=CO，BO=DO，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可证明四边形ABCD是平行四边形，可判断A符合题意，两个有公共底边的等腰三角形不一定全等，可判断B符合题意，
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵x2−2x=1，
∴(x−1)2=2，
故选：D.
根据配方法即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
8.【答案】C
【解析】解：∵k=3>0，
∴该反比例函数y=3x的图象在第一、三象限，且每一个象限内y随x的增大而减小，
∴y2>y3>0，y1<0，
∴y2>y3>y1，
故选：C.
根据k>0，图象在第一、三象限，且每一个象限内y随x的增大而减小进行判断．
本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解答本题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：根据题意得，裁剪后的底面的长为(100−2x)cm，宽为(60−2x)cm，
∴(100−2x)(60−2x)=3200.
故选：D.
根据题意可知：裁剪后的底面的长为(100−2x)cm，宽为(60−2x)cm，从而根据底面积可以列出相应的方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，找出等量关系是解题关键．
10.【答案】D
【解析】解：过点P向矩形的四边分别作垂线，垂直分别为E，G，F，H，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90∘，
∴四边形AEPG，EPHB，GPFD，PHCF是矩形，
∴AE=PG=DF，AG=EP=BH，GD=PF=HC，EB=PH=FC，PF=GD=HC，
设AG=a，AE=b，GD=c，BE=d，
则AP2=a2+b2，BP2=a2+d2，PD2=c2+b2，PC2=d2+c2，
∴AP2+PC2=BP2+PD2，
∵PA=2，PB=3，PC=4，
∴22+42=32+PD2，
∴PD= 11.
故选：D.
过点P向矩形的四边分别作垂线，垂直分别为E，G，F，H，根据题意，设AG=a，AE=b，GD=c，BE=d，则有勾股定理，分别求得AP2，PB2，PC2，PD2，根据已知数据以及AP2+PC2=BP2+PD2，进而即可求得PD的长．
本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，正确的添加辅助线是解题的关键．
11.【答案】2
【解析】解：将a=7代入得： 2a−10= 14−10= 4=2.
故答案为：2.
将a=7代入 2a−10并运用算术平方根求解即可．
本题主要考查了二次根式求值，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
12.【答案】1.5
【解析】解：根据题意得：130×(2.5×3+2×6+1.5×12+1×6+0.5×3)=1.5(h)，
∴估计该校九年级学生每天完成作业的平均时长约是1.5h.
故答案为：1.5.
根据加权平均数的定义列式计算即可．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
13.【答案】7
【解析】解：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴AO=CO，AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCOAO=CO∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AE=CF.
∵平行四边形ABCD的周长是10cm，
∴2(CD+AD)=10，
∴CD+AD=5cm，
∴四边形CDEF的周长=CD+CF+EF+ED=CD+AD+2OE=5+2=7(cm).
故答案为：7.
利用平行四边形的性质得出AO=CO，AD//BC，进而得出∠EAO=∠FCO，再利用ASA求出△AOE≌△COF，即可得出答案．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
14.【答案】6+4 2
【解析】解：根据题意，得起始矩形的面积S=ab，变化后矩形的面积为(a+1)(b+2)，
∴2S=(a+1)(b+2)，b=Sa，
∴2S=(a+1)(Sa+2)，
∴2a2+(2−S)a+S=0，
∵有且只有一个a的值，
∴Δ=(2−S)2−8S=0，
整理得：S2−12S+4=0，
解得：S1=6+4 2，S2=6−4 2(舍去)，
∴S的值是6+4 2.
故答案为：6+4 2.
根据已知条件，用a和S表示出矩形的面积，根据一元二次方程的解法解答即可．
本题主要考查了矩形的性质，一元二次方程的知识，读懂题意列出方程是解答本题的关键．
15.【答案】2 2
【解析】解：
过E作NM//BC，
由边长为6的正方形ABCD中，BE⊥EF，
得∠FME=∠BNE=90∘，EM=MC=BN，∠NEB=90∘−∠MEF=∠MFE，
得△FME≌△BNE(AAS)，
得MF=NE=AN=DM，
由CD=6，CF=2，
得AN=MF=DM=(6−2)÷2=2，
得AE= 2AN=2 2.
故答案为：2 2.
过E作NM//BC，由边长为6的正方形ABCD中，BE⊥EF，得∠FME=∠BNE=90∘，EM=MC=BN，∠NEB=90∘−∠MEF=∠MFE，得△FME≌△BNE(AAS)，得MF=NE=AN=DM，由CD=6，CF=2，得AN=MF=DM=(6−2)÷2=2，即可得AE= 2AN=2 2.
本题主要考查了正方形的性质，解题关键是正确作辅助线．
16.【答案】1+ 2
【解析】解：延长BA到G，使得AG=CN，连接OG，如图所示：
在正方形OABC中，OA=OC，∠OCB=∠OAB=∠COA=90∘，
∴∠OAG=∠OCN，
在△OCN和△OAG中，
OA=OC∠OAG=∠OCNAG=CN
∴△OCN≌△OAG(SAS)，
∴∠CON=∠AOG，OG=ON，
∵∠MON=45∘，
∴∠CON+∠AOM=45∘，
∴∠AOM+∠GOA=45∘，即∠MOG=45∘，
在△MON和△MOG中，
OG=ON∠MOG=∠MONOM=OM，
∴△MON≌△MOG(SAS)，
∴MN=MG，
即MN=MA+CN，
设AM=x，
∵MN=2，
∴CN=2−x，
∵M，N在反比例函数上，
∴CN⋅OC=AM⋅OA，
∵OC=OA，
∴2−x=x，
解得x=1，
设正方形边长为a，则BM=a−1，BN=a−1，
在△BMN中，根据勾股定理，得2(a−1)2=4，
解得a=1+ 2或1− 2(舍)，
∴M点坐标为(1+ 2,1)，
将M点坐标代入反比例函数解析式，
得k=1+ 2.
故答案为：1+ 2.
延长BA到G，使得AG=CN，连接OG，易证△OCN≌△OAG(SAS)，根据全等三角形的性质，进一步证明△MON≌△MOG(SAS)，根据全等三角形性质，求出AM的值，再设正方形边长为a，在△BMN中根据勾股定理即可求出正方形的边长，进一步可知M点坐标，即可求出k的值．
本题考查了反比例函数与正方形的综合，涉及三角形全等，正方形的性质，勾股定理等，构造全等三角形求出AM的长再根据勾股定理求出正方形的边长是解题的关键，本题综合性较强．
17.【答案】解：(1) 27− 2× 8+ (−2)2
=3 3−4+2
=3 3−2；
(2)x2−4x+1=0，
x2−4x=−1，
x2−4x+4=−1+4，
(x−2)2=3，
x−2=± 3，
解得：x1=2+ 3,x2=2− 3.
【解析】(1)先化简二次根式，计算乘法，再合并计算；
(2)利用配方法求解即可．
本题考查了解一元二次方程--配方法，二次根式的加减法，属于基本运算，掌握运算法则和合适的解法是解题的关键．
18.【答案】解：(1)取格点D，使AD平行且等于BC，即可得到平行四边形ABCD.
(2)连接AC、BD交于点O，过点P、O作直线l交AD于点E，直线l平分平行四边形ABCD的周长和面积．

【解析】(1)利用网格的特点找到点D使得AD平行且等于BC即可．
(2)利用平行四边形的对称性，找到对角线AC、BD的交点O，过点P、O作直线l交AD于点E即可．
本题主要考查了作图-应用与设计作图，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
19.【答案】证明：(1)∵∠ACB=90∘，
∴AC⊥BC，
又∵DE⊥BC，
∴AC//DF，
∴∠A=∠BDF，
∵∠A=∠F，
∴∠BDF=∠F，
∴CF//AB，
又∵AC//DF，
∴四边形ADFC是平行四边形；
(2)∵E为DF中点，DE⊥BC，
∴BC垂直平分DF，
∴CD=CF，
∵四边形ADFC是平行四边形，
∴AD=CF，
∴CD=AD.
【解析】(1)由∠ACB=90∘，DE⊥BC，推出AC//DF，得出∠A=∠BDF，再证∠BDF=∠F，则CF//AB，即可得出结论；
(2)根据条件可得BC垂直平分DF，即有CD=CF，结合四边形ADFC是平行四边形，即可证明．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质．
20.【答案】解：(1)捐D类书的有30−4−6−9−3=8(人)，
补全的条形统计图如右图所示；
(2)x−=130×(4×4+5×6+6×9+7×8+8×3)=6(本)，
答：这30名职工捐书本数的平均数为6本；
(3)450×6=2700(本)，
答：估计该单位450名职工共捐书2700本．
【解析】(1)根据题目中的数据和条形统计图中的数据，可以计算出捐D类书的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
(2)根据条形统计图中的数据，可以计算出平均数；
(3)根据(2)中的平均数，可以计算出该单位450名职工共捐书多少本．
本题考查条形统计图、用样本估计总体、加权平均数，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)设p=kV，
由题意得：k=pV=2.5×4=10，
∴密度ρ关于体积V的函数表达式为：p=10V；
(2)当V=5m3时，p=105=2kg/m3.
【解析】(1)根据待定系数法求解；
(2)把V=5m3代入(1)中的解析式求解．
本题考查了反比例函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，且BE=AF，
∴BA=AD，∠BAE=90∘=∠D，
∴△BAE≌△ADF(HL)，
∴∠ABE=∠DAF，
∴∠ABE+∠BAG=∠DAF+∠BAG=90∘，
∴∠AGB=90∘，
∴BE⊥AF；
(2)解：由△BAE≌△ADF，
得DF=AE=2，
由正方形ABCD的边长为5，点H为BF的中点，
得CF=5−2=3，
得BF= BC2+CF2= 34，
由BE⊥AF，点H为BF的中点，
得GH=12BF=12 34.
【解析】(1)由四边形ABCD是正方形，且BE=AF，得△BAE≌△ADF(HL)，得∠ABE=∠DAF，即可得BE⊥AF；
(2)由△BAE≌△ADF，得DF=AE=2，由正方形ABCD的边长为5，点H为BF的中点，得CF=5−2=3，得BF= BC2+CF2= 34，由BE⊥AF，点H为BF的中点，即可得GH=12BF=12 34.
本题主要考查了正方形的有关证明和计算，解题关键是全等三角形和勾股定理的应用．
23.【答案】正方形
【解析】解：(1)如图1：

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠B=∠BAD=90∘，
∴此时AE//BF，
由翻折的性质可知：∠1=∠2，AB=AE，
∵AE//BF，
∴∠2=∠3，
∴AB=BF，
∴AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵AB=AE，
∴四边形ABFE是菱形，
∵∠B=90∘，
∴四边形ABFE是正方形，
故答案为：正方形；
(2)过点E作EG⊥AD于点G，如图2，则∠AGE=90∘，
∵∠BAD=90∘，AE平分∠BAD，
∴∠EAG=45∘，
∴∠AEG=45∘，
∴∠EAG=∠AEG，
∴GA=GE，
设GA=GE=x
由翻折的性质可知：AE=AB=4，
在Rt△AEG中，由勾股定理得：x2+x2=42，
解得：x=2 2(负值已舍去)，
即GE=2 2，
∴S△ADE=12×AD×GE=12×6×2 2=6 2；
(3)存在点F，使点F，E，D三点共线．理由如下：
①点F在线段BC上，当F、E、D三点共线时，如图3：
由翻折的性质可知：∠AFB=∠AFE，
∵AD//BC，
∴∠AFB=∠DAF，
∴∠DAF=∠AFE，
∴DA=DF=6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=4，∠C=90∘，AD=BC=6，
∴Rt△DCF中，由勾股定理得CF=2 5，
∴BF=6−2 5；
②点F在线段BC延长线上，当F、E、D三点共线时，如图4：
同理可求：CF=2 5，
∴BF=6+2 5，
综上：BF=6+2 5或BF=6−2 5.
(1)先证明四边形ABFE是平行四边形，再证明是菱形，最后再证明是正方形；
(2)过点E作EG⊥AD于点G，可得△AEG为等腰直角三角形，设GA=GE=x，在Rt△AEG中，由勾股定理得：x2+x2=42，解得：x=2 2，故由S△ADE=12×AD×GE代入求解即可；
(3)①点F在线段BC上，根据“平行线+角平分线”可以得到等腰三角形，即 DA=DF=6，对Rt△DCF运用勾股定理得CF=2 5，则BF=6−2 5，点F在线段BC延长线上，同理可求BF=6+2 5.
本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．时长/h
2.5
2
1.5
1
0.5
人数
3
6
12
6
3