四川省遂宁市射洪市射洪中学校2023-2024学年七年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分）
1. 下列方程，，，，，，其中是一元一次方程的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】用一元一次方程的定义判定即可．只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．
【详解】解：x＝0，是一元一次方程；
x+2y＝1，含有两个未知数，故不是一元一次方程；
-1＝x，是一元一次方程；
x2-4＝3x，未知数的最高次数不是1次，故不是一元一次方程；
＝3，不是整式方程，故不是一元一次方程；
2x﹣9，不是方程，
所以是一元一次方程的有2个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键是熟记一元一次方程的定义．
2. 若是关于x的方程的解，则m的值是（ ）
A. B. 0C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查方程的解，解题的关键是理解题意，根据方程的解的定义把代入方程可得关于m的方程，解方程即可解决问题．
【详解】解：把代入方程，得：
，
解得：，
故选：A．
3. 下列变形正确的是（ ）
A. 若4x-1=3x+1，则x=0B. 若ac=bc，则a=b
C. 若a=b，则D. ，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据等式的性质即可一一判断.
【详解】解：A. 若4x-1=3x+1，则x=2，故此选项错误；
B. c=0时，不成立，故此选项错误；
C. c=0时，无意义，故此选项错误；
D.正确，
故选D.
【点睛】本题考查等式的性质：性质1、等式两边加或减同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
4. 下列解方程的步骤正确的是（ ）
A. 由，得B. 由得
C. 由得D. 由，得
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，进行判断即可．
【详解】解：A、由，得；故选项错误；
B、由得，故选项错误；
C、由得，故选项错误；
D、由，得，故选项正确；
故选D．
5. 下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】二元一次方程组是指含有两个未知数，且未知数的次数都是1的一次整式方程组成的方程组，据此求解即可．
【详解】解：A、未知数的最高次不是1，不是二元一次方程组，不符合题意；
B、的次数不是1，不是二元一次方程组，不符合题意；
C、含有3个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意；
D、是二元一次方程组，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，熟知二元一次方程组的定义是解题的关键．
6. 解方程时，去分母后得到的方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】方程两边同乘以4即可得．
【详解】解：，
方程两边同乘以4去分母，得，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握去分母的方法是解题关键．
7. 用加减法解方程组下列解法错误的是（ ）
A. ①×3－②×2，消去xB. ①×2－②×3，消去y
C. ①×(－3)＋②×2，消去xD. ①×2－②×(－3)，消去y
【答案】D
【解析】
【详解】本题考查了加减法解二元一次方程组
用加减法解二元一次方程组时，必须使同一未知数的系数相等或者互为相反数．如果系数相等，那么相减消元；如果系数互为相反数，那么相加消元．
A、，可消去x，故不合题意；
B、，可消去y，故不合题意；
C、，可消去x，故不合题意；
D、，得，不能消去y，符合题意．
故选D．
8. 如果方程与关于x的方程的解相同，则k的值为（ ）
A B. 5C. D.
【答案】B
【解析】
分析】先解第一个方程，再代入第二个方程求解．
【详解】解：∵−x+2= 0，
∴x=2，
∵方程−x+2= 0与关于x的方程7x−2k=4的解相同，
∴7×2−2k=4，
∴k=5．
故选：B．
【点睛】本题考查同解方程的定义，正确求解第一个方程是求解本题的关键．
9. 小明在解关于的二元一次方程组时，解得，则△和？代表的数分别是（ ）
A. 和3B. 3和C. 5和1D. 1和5
【答案】C
【解析】
【分析】把代入①解得，把，代入②得，，即可得到答案．
【详解】解：
把代入①得，，解得，
把，代入②得，，
则△和？代表的数分别是5和1，
故选：C
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，读懂题意准确计算是解题的关键．
10. 是关于x，y的方程组的解，则(a＋b)(a－b)的值为( )
A. －B. C. 16D. －16
【答案】D
【解析】
【分析】把代入方程组，得到关于的方程组，即可求解.
【详解】把代入方程组，得：，
解得：

故选D
【点睛】考查二元一次方程的解法，常用的解法有：代入消元法和加减消元法.
11. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：求100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设大马有x匹，小马有y匹，根据题意可得等量关系：①大马数+小马数=100；②大马拉瓦数+小马拉瓦数=100，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】解：由设有x匹大马，y匹小马，
由共有100匹马，可得
共有100片瓦，则，
所以可得得二元一次方程组．
故答案为C．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、设出未知数并表示相关量、根据等量关系列方程成为解答本题的关键．
12. 小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km，可早到10分钟，每小时骑12km就会迟到5分钟．问他家到学校的路程是多少km？设他家到学校的路程是xkm，则据题意列出的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设他家到学校的路程是xkm，将时间单位转化成小时，然后根据题意列方程即可.
【详解】设他家到学校的路程是xkm，
∵10分钟＝小时，5分钟＝小时，
∴＝﹣．
故选：A．
【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键.
13. 二元一次方程3x+2y＝15在自然数范围内的解的个数是（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】根据二元一次方程即可写出自然数的解，再得出个数.
【详解】解：二元一次方程3x+2y＝15自然数解为或或，
故有3组，
故选：B.
【点睛】此题主要考查二元一次方程的解法，解题的关键是熟知二元一次方程的解的定义.
14. 要锻造一个直径为，高为的圆柱形毛坯， 至少应截取直径为的圆钢（ ）cm．
A. 12B. 16C. 24D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了认识立体图形，根据题意可知，圆柱形毛坯与圆钢的体积相等， 利用此相等关系列方程,即可求解.
【详解】解：设应截取直径的圆钢，
由题意得：
解得：．
故选：B．
15. 作业讲评课上老师摘抄了3位学生的方程过程：①由可得；②由可得；③由可得，其中过程正确的个数（ ）．
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】A
【解析】
【分析】根据解一元一次方程的步骤即可解答．
【详解】由可得，故①错误；
由可得，进而可得，故②错误；
由可得，故③错误．
综上可知过程正确的个数为0个．
故选A．
【点睛】本题考查解一元一次方程．掌握解一元一次方程的步骤“去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1”是解题关键．
16. 一项工程甲单独做要20小时，乙单独做要15小时．现在先由甲单独做5小时，然后乙加入进来合做完成了整个工程．乙做了多少小时？若设乙做了小时，则所列的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设乙做了小时，则甲先做了5小时，再与乙合做了小时，根据总工作量为单位“1”，列方程即可．
【详解】解：设乙做了小时，则甲先做了5小时，再与乙合做了小时，
依题意得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
17. 小马虎在解关于的方程去分母时，方程右边的“”没有乘以6，最后他求得方程的解为3．则方程正确的解为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查解一元一次方程，将错就错，求出的值，再解方程即可．
【详解】解：按照小马虎的方法去分母，得：，
此时方程的解为3，
∴，
解得：，
∴原方程化为：，
解得：；
故选B．
18. 由方程组可得出x与y的关系是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组－加减消元法，先把方程组化为的形式，再把两式相加即可得到关于x、y的关系式．
【详解】解：原方程可变形为
得，
故选C．
19. 已知某商店有两件进价不同的运动衫都卖了160元，其中一件盈利60%，另一件亏损20%，在这次买卖中这家商店（ ）
A. 不盈不亏B. 盈利20元C. 盈利10元D. 亏损20元
【答案】B
【解析】
【分析】设分别设两件运动衫的进价分别是a元，b元，根据售价=成本±利润，列方程求得两件运动衫的进价，再计算亏盈．
【详解】解：设盈利60%的运动衫的进价是a元，亏本20%的运动衫的进价是b元．则有
（1）a（1+60%）=160，
a=100；
（2）b（1-20%）=160，
b=200．
总售价是160+160=320（元），总进价是100+200=300（元），
320-300=20（元），
所以这次买卖中商家赚了20元．
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．培养学生的理解题意的能力，关键是根据利润=售价-进价，求出两个商品的进价，从而得解．
20. 某人带了100元去市场头水果，他买了1千克的哈密瓜，2千克的青提葡萄，还剩30元．设哈密瓜每千克x元，青提葡萄每千克y元，得方程x+2y＝70．则下列说法中，正确的是（ ）
A. 1 千克青提葡萄的价格可以是36元
B. 若1千克哈密瓜的价格是12元，则1千克青提葡萄的价格是20元
C. 若是方程x+2y＝70的解，则m，n都可以表示哈密瓜、青提葡萄的单价
D. 若m，n分别表示哈密瓜、青提葡萄的单价，则m，n一定是方程x+2y＝70的解
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意和题目中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵设哈密瓜每千克x元，青提葡萄每千克y元，得方程x+2y=70，
∴当y=36时，x=-2，此种情况不合实际，故选选项A不正确；
当x=12时，12+2y=70，解得y=29，故选项B不正确；
若是方程x+2y=70的解，则m，n不一定可以表示哈密瓜、青提葡萄的单价，如m=-2，n=36，故选项C不正确；
若m，n分别表示哈密瓜、青提葡萄的单价，则m，n一定是方程x+2y=70的解，故选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程、二元一次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用二元一次方程的知识解答．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
21. 已知是二元一次方程，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面确定a的取值．
【详解】解：∵是二元一次方程，
∴，，
解得．
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了绝对值和二元一次方程的定义，能根据题意得出和是解此题的关键．
22. 若，则x=_______．
【答案】2或-1##-1或2
【解析】
【分析】根据绝对值的意义可直接进行求解．
【详解】解：∵，
∴或，
解得：或．
故答案为：2或-1．
【点睛】本题主要考查绝对值的意义，熟练掌握是解题的关键．
23. 方程，用含的代数式表示，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程中用一个未知数表示另一个未知数，解题的关键是熟知等式的性质．将含的项移到等号的右边，再将的系数化为1即可得解．
【详解】解：，
移项，得，
即，
故答案为：．
24. 若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查算术平方根的非负性，熟练掌握非负数的性质是解题的关键．根据非负数之和等于0，则每一个非负数都等于0，可求出a，b的值，再计算即可．
【详解】解∶∵，
∴，
解得，
∴．
故答案为∶ ．
25. 已知关于x、y的方程组的解满足，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】得出，求出，根据方程组的解满足得出，再求出n即可．
【详解】解：，
得出，
除以4，得，
∵关于x、y的方程组的解满足，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
26. 10年前，小明的爸爸的年龄是小明的6倍；10年后，小明爸爸的年龄是小明年龄的2倍，设小明现在的年龄是岁，小明爸爸现在的年龄是岁，则可列二元一次方程组为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小明现在的年龄是岁，小明爸爸现在的年龄为岁，根据“10年前，小明爸爸的年龄是小明的6倍；10年后，小明爸爸的年龄是小明的2倍”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设小明现在的年龄是岁，小明爸爸现在的年龄为岁，
依题意，得：，
故答案为：
27. 已知、、、为有理数，现规定一种新运算，如．那么当时，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元一次方程，根据新运算的法则，列出方程，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：；
故答案为：．
28. 已知关于x，y的二元一次方程，当a每取一个值时就有一方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解是_______________.
【答案】
【解析】
【分析】将已知方程按a整理得（x+y-2）a=x-2y-5，要使这些方程有一个公共解，说明这个解与a的取值无关，即这个关于a的方程有无穷多个解，所以只须x+y-2=0且x-2y-5=0．联立以上两方程即可求出结果．
【详解】解：将方程化为a的表达式：（x+y-2）a=x-2y-5，
由于x，y的值与a的取值无关，即这个关于a的方程有无穷多个解，
所以有 ，
解得 ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查关于x的方程ax=b有无穷解的条件：a=b=0，二元一次方程组的解法．解题的关键在于将已知方程按a整理以后，能够分析得出这个方程的解与a的取值无关，即这个关于a的方程有无穷多个解，从而转化为求解关于x、y的二元一次方程组．
三、解答题（本大题共7个小题，共62分）
29. 解方程或方程组：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查解一元一次方程和二元一次方程组：
（1）移项，合并，系数化1，求解即可；
（2）去分母，移项，合并，系数化1，求解即可；
（3）加减法解方程组即可；
（4）加减法解方程组即可．
【小问1详解】
解：
，
，
解得：；
【小问2详解】
，
去分母，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：；
【小问3详解】
，
，得：，解得：；
把代入②得：，解得：；
∴方程组的解为：；
【小问4详解】
，得：，解得：；
把代入①，得：，解得：；
∴方程组的解为：．
30. 已知方程组，由于甲看错了方程①中的a得到方程的解为，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为，求a+b的值是多少？
【答案】
【解析】
【分析】根据方程组解的定义，应满足方程②，应满足方程①，将它们分别代入方程②①，就可得到关于a，b的方程，解得a，b的值．
【详解】解：根据题意 是②方程的解， 是①方程的解，
∴ ，
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组解的定义，解决本题的关键是熟练掌握二元一次方程组解的定义．
31. 已知关于，的方程组和有相同的解，求值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查同解方程组，将两个不含参数的方程组成新的方程组，求出方程组的解，再将两个含参数的方程组成方程组，进行求解即可．
【详解】解：∵关于，的方程组和有相同的解，
∴方程组和方程组的解也相同，
解，得：，
将代入得：，
得：，
∴．
32. 列方程解应用题
某商场购进一批服装，进价为200元，提价后标价，由于换季滞销，商场决定将这种服装打折销售，若打折后每件服装仍能获利，则该服装是按几折销售的？
【答案】该服装是按8折销售的
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据利润等于售价减去进价，等于进价乘以利润率，折扣价等于原价乘以折扣，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设该服装是按折销售的，由题意，得：
，
解得：；
答：该服装是按8折销售的．
33. 列方程或方程组解应用题
现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积．
【答案】60
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，进一步求出长方形的面积即可．
【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，由题意和图可知：
，解得：，
∴每个小长方形的面积为．
34. 列方程或方程组解应用题
一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成．如果1立方米木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有5立方米木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好能配成方桌？能配成多少张方桌？
【答案】用3立方米木料做桌面，2立方米做桌腿，恰好能配成方桌，能配成150套方桌
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设用立方米木料做桌面，则用立方米做桌腿，恰好能配成方桌．本题的等量关系为：桌面数量桌腿数量．依此列出方程求解即可．
【详解】解：设用立方米木料做桌面，则用立方米做桌腿，恰好能配成方桌，
根据题意得，
解得，
（立方米），
（套．
答：用3立方米木料做桌面，2立方米做桌腿，恰好能配成方桌，能配成150套方桌．
35. 我们把关于、的两个二元一次方程与（）叫作互为共轭二元一次方程；二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组．
（1）若关于、的方程组，为共轭方程组，则_____，_____；
（2）若二元一次方程中、的值满足下列表格：
则这个方程的共轭二元一次方程是_______；
（3）解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：
的解为 ；的解为 ．
（4）发现：若共轭方程组的解是，猜想、之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1），1．
（2）
（3），
（4）
【解析】
【分析】本题以新定义为背景，考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组
（1）含项的系数和含项的系数相等，常数项相等；
（2）先求和，再写共轭二元一次方程；
（3）消元法求解；
（4）利用整体思想求解．
【小问1详解】
解：由定义可得：，，
，，
故答案为：，1．
【小问2详解】
解：将，和，分别代入，得：
，解得：，
二元一次方程为：，
共轭二元一次方程为：，
故答案为：．
【小问3详解】
解方程组，
①②得：，
，
将代入①得，，
，
方程组的解为：．
解方程组，
⑤⑥得：，
，
将代入⑤得：，
，
方程组的解为：，
故答案为：，．
【小问4详解】
解：将，，代入方程组得：，
，
，
．
1
0
0
2