安徽省淮北市第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题

这是一份安徽省淮北市第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（卷面分值：160分 考试时间：120分钟）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知数列为等比数列，公比为q．若,则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．下列求导计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．已知等比数列的前n项和,则数列的前5项和等于（ ）
A．10 B．15 C．20 D．5
5．已知各项不为0的等差数列满足,数列是等比数列，且,则等于（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
6．函数在区间上有最大值，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．定义：在数列中，若对任意的都满足（d为常数），则称数列为等差比数列．己知等差比数列中，,则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．已知函数,下列说法中正确的有（ ）
A．曲线在点处的切线方程为
B．函数的极小值为
C．函数的单调增区间为
D．当时，函数的最大值为，最小值为
10．已知是数列的前n项和，且,则下列结论正确的是（ ）
A．为等比数列 B．为等比数列
C． D．
11．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递增，在上单调递减
B．若方程有4个不等的实根，则
C．当时，
D．设,若对，使得成立，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
12．在数列中，，则数列的通项公式为_______________________．
13．已知函数在R上是单调函数，则实数a的取值范围是____________．
14．数列中，已知对任意,则等于____________．
15．若是函数的极大值点，则a的取值范围是________________________．
四、解答题：本题共6小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题12分）
已知曲线（a,b为常数）在处的切线方程为．
（1）求的值；
（2）求曲线过点的切线方程．
17．（本小题12分）
已知数列满足．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设,求数列的前n项和．
18．（本小题12分）
已知函数
（1）若,求函数的极值；
（2）讨论函数的单调性．
19．（本小题12分）
已知等差数列的公差,且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，且，求数列的前n项和．
20．（本小题12分）
为了积极响应国家“全面实施乡村振兴战略”的号召，某同学大学毕业后决定利用所学专业知识进行自主创业．经过市场调查，生产某种小型电子产品需投入固定成本3万元，每生产x万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于10万件时，（万元）；当年产量不小于10万件时，（万元）．已知每件产品售价为6元，假若该产品当年全部售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；
（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）
（2）当年产量约为多少万件时，该产品所获年利润最大？最大年利润是多少？
（结果保留一位小数，取）
21．（本小题12分）
已知函数．
（1）求的极值；
（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围．
淮北一中2023-2024学年下学期高二年级第1次月考
数学答案
【答案】
1. C 2. B 3. D 4. A 5. A 6. D 7. D 8. B 9. ACD 10. BCD 11. BD
12. an=2n2 13. [− 3, 3] 14. 9n−12 15. −∞,1
16. 解：(1)y'=3ax2，依题意可得y' x=2=3a×22=4，∴a=13，
当x=2，代入直线方程得y=4，将点2,4代入曲线方程，得b=43；
(2)设切点x0,y0，则k=y'x=x0=x02，切线方程为y−4=x02x−2，
切点x0,y0既在切线上，也在曲线上，
从而有y0−4=x02x0−2，①
y0=13x03+43，②
整理可得x03−3x02+4=0，
x03−2x02−x02+4=0⇒x02x0−2−x0+2x0−2=x0−22x0+1=0，
解得x0=2y0=4或x0=−1y0=1，切点为2,4或−1,1，
从而切线方程为y=4x−4或y=x+2．
17. 解：(1)证明：由an+1=3an+2，可得an+1+1=3(an+1)，
又a1+1=3≠0，所以an+1+1an+1=3，
所以数列an+1是以3为首项，3为公比的等比数列．
(2)由(1)得an+1=3n，所以an=3n−1，
bn=(3n−2)(3n−1)=(3n−2)⋅3n−(3n−2)，
设cn=(3n−2)⋅3n，前n项和为Tn，
Tn=1×3+4×32+7×33+⋯+(3n−2)⋅3n，
3Tn=1×32+4×33+7×34+⋯+(3n−2)⋅3n+1，
两式相减得，
−2Tn=3+33+34+⋯+3n+1−(3n−2)⋅3n+1=3+33×(1−3n−1)1−3−(3n−2)⋅3n+1，
得Tn=(32n−74)⋅3n+1+214，
Sn=Tn−(1+3n−2)n2=(32n−74)⋅3n+1−3n−12n+214．
18. 解：(1)f(x)极小值=0
(2)1)a⩾0 f(x)单增区间为(0,+∞)
2)a<0，f(x)单增区间为(0,−1− 1−8a4a)，单间区间为(−1− 1−8a4a,+∞)
19. 解：(1)由a1,a6,5a3成等比数列，得a1·5a3=a62，
即：7−d·57+d=7+4d2，
解得：3d+14d−2=0，
∵d>0，
∴d=2，
∴an=2n+3．
(2)∵1bn+1−1bn=2n+3，
当n⩾2时，1bn=1b1+1b2−1b1+1b3−1b2+...+1bn−1bn−1，
=3+a1+a2+...+an−1，
=3+n−15+2n+12=n2+2n，
当n=1时，符合上式，
∴1bn=1n2+2n=121n−1n+2，
Tn=121−12+1212−14+...+121n−1n+2，
=121+12−1n+1−1n+2，
=34−2n+32n+1n+2．
20. 解：(1)产品售价为6元，则x万件产品销售收入为6x万元，
依题意得，当0当x≥10时，P(x)=6x−(6x+lnx+4ex−13)−3=10−(lnx+4ex)，
∴P(x)=11−(x+9x),0(2)当0∴当x=3时，P(x)的最大值为5万元，
当x≥10时，P(x)=10−(lnx+4ex)，∴P'(x)=−1x+4ex2=4e−xx2，
∴当10≤x<4e时，P'(x)>0，P(x)单调递增，
当x>4e时，P'(x)<0，P(x)单调递减，
∴当x=4e时，P(x)取最大值，P(4e)=10−(1+ln4e)=9−ln4e=8−2ln2≈6.6(万元)，
∴当x=4e时，P(x)取最大值6.6万元，
即当年产量约为4e万件时，该产品所获年利润最大，最大利润为6.6万元．
21. 解：(1)因为f(x)=xex+1，所以f'(x)=(x+1)ex+1，
因此当x>−1时，f'(x)>0;当x<−1时，f'(x)<0，
所以函数f(x)在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,+∞)上单调递增，
因此当x=−1时，函数f(x)取得极小值，极小值为f(−1)=−1，无极大值．
(2)由题知不等式xex+1≥x+lnx+a+1在x∈(0,+∞)上恒成立，
则原问题等价于不等式xex+1−x−lnx−1≥a在x∈(0,+∞)上恒成立，
记g(x)=xex+1−x−lnx−1，
则g'(x)=(x+1)ex+1−1x−1=(x+1)(ex+1−1x)，
记ℎ(x)=ex+1−1x，则ℎ'(x)=ex+1+1x2>0恒成立，
所以ℎ(x)在x∈(0,+∞)上单调递增，又ℎ(1e2)=e1+1e2−e2<0，ℎ(1)=e2−1>0，
所以存在x0∈(1e2,1)，使得ℎ(x0)=0，
即当0x0时，ℎ(x)>0，此时g'(x)>0，
所以g(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，
由ℎ(x0)=ex0+1−1x0=0，得ex0+1=1x0，
即x0=1ex0+1，lnx0=−x0−1，
所以g(x)≥g(x0)=x0ex0+1−lnx0−x0−1=x0⋅1x0+x0+1−x0−1=1，
∴a∈(−∞,1]．
6. 解：因为fx=x3−3x，
所以f'(x)=3x2−3=3(x2−1)=3x+1x−1，
所以当x<−1或x>1时，f'(x)>0，当−1所以f(x)在(−∞,−1)，(1,+∞)上单调递增，在(−1,1)上单调递减，
所以f(x)在x=−1处取得极大值，在x=1处取得极小值，
因为在(−2,m)上有最大值，所以极大值点−1∈(−2,m)，又f(−1)=2，
当x3−3x=2时，即x+12x−2=0，解得x=2或x=−1，
所以−17.解：f '(x)=lnx+1−2ax=0，(x>0)得到a=lnx+12x(x>0)，
令g(x)=lnx+12x，g '(x)=2−2(lnx+1)4x2=−2lnx4x2，
令g'(x)=0，解得：x=1，
当x∈(0,1)时，g'(x)>0，函数单调递增，
当x∈(1,+∞)时，g'(x)<0，函数单调递减，
并且g(x)>0，所以当x=1时函数取得最大值g(1)=12，如图为y=g(x)的图象，
当y=a与图象有两个不同交点时，a∈(0,12)，故选D．
8.解：因为an为等差比数列，a2a1=1，a3a2=3，a3a2−a2a1=2，
所以an+1an是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an+1an=1+n−1×2=2n−1，
所以a2023a2021=a2023a2022×a2022a2021=2×2022−1×2×2021−1=4×20212−1．
故选B．
解：f(x)=4lnx−12x2+1求导，f'(x)=4x−x，f'(1)=3，
曲线y=f(x)在点x=1处的切线斜率k=3，
当x=1，则f(1)=12，
∴曲线y=f(x)在点x=1处的切线方程为
y−12=3(x−1)，化简得y=3x−52，故A正确；
f'(x)=4x−x，令f'(x)=0，x>0解得x=2或x=−2(舍去)，
00，函数单调增，x>2，f'(x)<0，函数单调减，
所以当x=2时，f(x)取极大值f(2)=4ln2−1，故B错；
函数f(x)的单调增区间为(0,2)，故C正确；
当x∈[1,e]时，函数f(x)在x∈[1,2]单调增，在x∈(2,e]单调减，
∴当x=1时，f(1)=12;当x=2时，f(2)=4ln 2−1；当x=e时，f(e)=5−e22，
∵12<5−e22，∴f(x)max=4ln 2−1，f(x)min=12，故D正确．
故选ACD．
10. 解：对于A.因为a1=1，a2=2，an+2=32an+1−12an(n∈N∗)，
所以a3=32a2−12a1=3−12=52，a4=32a3−12a2=32×52−12×2=114，
因此a2+a1=3，a3+a2=52+2=92，a4+a3=114+52=214，
而a3+a2a2+a1=32，a4+a3a3+a2=76，所以数列{an+1+an}不是等比数列，故 A错误;
对于B.因为3an+1=an+2an+2(n∈N∗)，所以2an+2−an+1−an+1−an=0(n∈N∗)，
而a1=1，a2=2，因此数列an+1−an是首项为1，公比为12的等比数列，故B正确;
对于C.由选项B知：数列an+1−an是首项为1，公比为12的等比数列，因此an+1−an=12n−1(n∈N∗)，
而a1=1，a2=2，
所以an=an−an−1+an−1−an−2+an−2−an−3+⋯+a3−a2+a2−a1+a1
=12 n−2+12 n−3+12 n−4+⋯+12+1+1=1−12n−11−12+1=3−12n−2，故C正确;
对于D.由选项C知：an=3−(12)n−2，
因此S5=5×3−123+122+12+120+12−1=15−3+78=898，故D正确．
11. 【分析】
本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．逐一判断即可．
【解答】
解：函数f(x)=xlnx，x∈(0,1)∪(1,+∞)．
f'(x)=lnx−1ln2x，
可得函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,e)上单调递减，在(e,+∞)上单调递增．
f(x)大致图象如图，
A.由上述分析可得A不正确．
B.若方程f(|x|)=k有4个不等的实根，
则x>0，且x≠1时，f(x)=k有2个不等的实根，则k>e，因此正确．
C.由函数f(x)=xlnx在x∈(0,1)单调递减，
可得函数y=lnxx在x∈(0,1)单调递增，
因此当0即x1lnx2>x2lnx1，因此不正确；
D.设函数g(x)(x∈R)的值域为G，函数f(x)(x∈(1,+∞))的值域为E．
g(x)=x2+a，对∀x∈R，G=[a,+∞)．
f(x)对∀x∈(1,+∞)，E=[e,+∞)．
g(x)=x2+a，若对∀x1∈R，∃x2∈(1,+∞)，使得g(x1)=f(x2)成立，
则G⊆E.∴a≥e.因此正确．
故选BD．
12. 【分析】
本题考查了等差数列的通项公式和等差数列的判定与证明，是基础题．
利用等差数列的判定得数列{ an}是首项为 2，公差为 2的等差数列，再利用等差数列的通项公式计算得结论．
【解答】
解：∵a1=2， an+1= an+ 2，
∴数列 an是以 a1= 2为首项， 2为公差的等差数列，
∴ an= 2+(n−1) 2= 2n，
∴an=2n2．
故答案为：an=2n2
13. 【分析】
本题考查利用导数研究函数单调性，导数的运算，考查转化思想，是基础题．
由求导公式和法则求出f'(x)，由题意和导数与函数单调性的关系可得：f'(x)≤0在R上恒成立，利用二次函数的图象和△列出不等式，求出实数a的取值范围．
【解答】
解：由题意知，f(x)=−x3+ax2−x−1，
则f'(x)=−3x2+2ax−1，
∵f(x)=−x3+ax2−x−1在R上是单调函数，
∴f'(x)=−3x2+2ax−1≤0在R上恒成立，
则△=(2a)2−4×(−3)×(−1)≤0，解得− 3≤a≤ 3，
∴实数a的取值范围是[− 3, 3]，
故答案为：[− 3, 3]．
14. 【分析】
本题考查数列的递推关系、等比数列的前n项和公式，属于中档题．
设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn=3n−1，当n≥2时，Sn=3n−1−1.即可得出an，进而得到an2，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．
【解答】
解：设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn=3n−1，
当n≥2时，Sn−1=3n−1−1，
∴an=Sn−Sn−1=3n−1−(3n−1−1)=2×3n−1，
当n=1，a1=31−1=2，符合上式．
∴an2=(2×3n−1)2=4×9n−1，
∴a12+a22+a32+…+an2=4(90+91+…+9n−1)
=4×1−9n1−9=9n−12．
故答案为9n−12．
15. 【分析】
本题考查利用导数根据极值或极值点求参，是中档题．
求导后，得导函数的零点 a,a+23 ，比较两数的大小，分别判断在 x=a 两边的导数符号，确定函数单调性，从而确定是否在 x=a 处取到极大值，即可求得 a 的范围．
【解答】
解：因为 f(x)=(x−a)2(x−1) ， x∈R ，
∴f'(x)=(x−a)(3x−a−2) ，
令 f'(x)=0 ，解得 x1=a 或 x2=a+23 ，
当 a则当 xa+23 时， f'(x)>0 ；当 a此时 f(x) 在区间 (−∞,a) 上单调递增， a,a+23 上单调递减， a+23,+∞ 上单调递增，
则x=a 是函数 f(x) 的极大值点，符合题意；
当 a>a+23 ，即 a>1时，
则当 xa 时， f'(x)>0 ；当 a+23此时 f(x) 在区间 (−∞,a+23) 单调递增， (a+23,a) 上单调递减， (a,+∞) 上单调递增，
所以 x=a 是函数 f(x) 的极小值点，不符合题意；
当 a=a+23 ，即 a=1 ， f'(x)≥0 恒成立，函数 f(x) 在 x∈R 上单调递增，无极值点．
综上得： a<1 ，即 a 的取值范围是 −∞,1 ．
故答案为： −∞,1 ．
16. 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查导数的几何意义：切点处的导数值是切线的斜率；注意“在点处的切线”与“过点的切线”的区别．
(1)求出导数，则有f'(2)=4，再由条件得a=13，又f(2)=4，即可得到解析式；
(2)设切点为切点x0,y0，则由y0−4=x02x0−2，①y0=13x03+43，②联立①②消去y0，得切点为2,4或−1,1，即可求解；
17. 本题考查错位相减法求和，等比数列的证明，属于中档题．
(1)在式子两边同时加上1，按等比数列的定义证明；
(2)可通过第(1)问构造出的等比数列，求解出an的通项公式，然后使用错位相减法和公式法求出数列前n项和．
18. 本题考查了导数法求切线方程，导数法判断函数的单调性和极值，含参问题分类讨论思想的应用，属较综合的中档题．
(1)根据切线相同，求出a，代入求出f(x)−g(x)，再利用求导判断即可；
(2)令ℎ(x)=f(x)−g(x)=ax2−(a+2)x+2+lnx，定义域为(0,+∞)，求导并对a进行分类讨论，判断单调性即可．
19. 本题考查等差与等比的综合，等差数列的通项公式，累加法求通项，裂项相消求和，属于中档题．
(1)由等差与等比的性质得7−d·57+d=7+4d2，得d=2，可得数列an的通项公式．
(2)由叠加法得1bn=1n2+2n=121n−1n+2，得解．
20. 本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
(1)根据利润是商品销售收入减去固定成本和每生产x万件，需另投入流动成本求解；
(2)根据(1)利用分段函数的性质，分别求得每一段的最大值，从中取最大的则为利润的最大值求解．
21. 本题考查了利用导数求已知函数的极值，利用导数解(证明)不等式，函数零点、方程的根的个数和利用导数研究恒成立问题，属于较难题．
(1)利用导数求已知函数的极值，计算得结论;
(2)由题知原问题等价于不等式xex+1−x−lnx−1≥a在x∈(0,+∞)上恒成立，记g(x)=xex+1−x−lnx−1，求导，判断单调性，从而得到g(x)的最小值，求得a的范围．