173，安徽省淮北市第一中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题

这是一份173，安徽省淮北市第一中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题，共17页。试卷主要包含了设数列满足，且，则，用平行于圆锥母线的平面等内容，欢迎下载使用。
满分：150分 时间：120分钟
命题人：唐蒙蒙 审核人：贺子华
一､单项选择题：本题共8题，每小题5分，共40分.
1.已知等差数列的前项和为，若，则等于（ ）
A.1 B.6 C.8 D.4
2.若双曲线的虚轴长与实轴长相等，则的值为（ ）
A.4 B.-4 C.-1 D.1
3.设数列满足，且，则（ ）
A.-2 B. C. D.3
4.在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，若，则（ ）
A. B.
C. D.
5.点在椭圆上，是椭圆的两个焦点，，且的三条边成等差数列，则此椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
6.用平行于圆锥母线的平面（不过顶点）截圆锥，则平面与圆锥侧面的交线是抛物线一部分，如图，在底面您看到的资料都源自我们平台，20多万份最新小初高试卷，家威鑫 MXSJ663 免费下载 半径和高均为2的圆锥中，是底面圆的两条互相垂直的直径，过作平行于的平面，交母线于，则平面与圆锥侧面的交线为抛物线，其焦点到准线的距离为（ ）
A. B. C. D.1
7.已知圆，直线为上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别，当最小时，直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
8.如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，分别是底面与侧面的中心，为该正方体表面上的一个动点，且满足，记点的轨迹所在的平面为，则过四点的球面被平面截得的圆的周长是（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共4题，每小题5分，共20分.
9.设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.与均为的最大值
10.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若满足，顶点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（ ）
A.圆上的点到原点的最大距离为
B.圆上存在三个点到直线的距离为
C.若点在圆上，则的最小值是
D.若圆与圆有公共点，则
11.如图，在直三棱柱中，是棱的中点，，点在上，且，则下列结论正确的是（ ）
A.直线与所成角为
B.三棱锥的体积为
C.平面
D.直三棱柱外接球的表面积为
12.已知是椭圆上的一动点，离心率为，椭圆与轴的交点分别为，左､右焦点分别为.下列关于陏圆的四个结论中正确的是（ ）
A.若的斜率存在且分别为，则为一定值
B.若椭圆上存在点使，则
C.若的面积最大时，，则
D.根据光学现象知道：从发出的光线经过椭圆反射后一定会经过.若一束光线从出发经椭圆反射，当光线第次到达时，光线通过的总路程为
三､填空题：本题共4题，每小题5分，共20分.
13.已知抛物线的方程为，且过点，则焦点坐标为__________.
14.如图，在三棱柱中，所有棱长均为1，且底面，则点到平面的距离为__________.
15.如图，已知斜率为-2的直线与双曲线的右支交于两点，点关于坐标原点对称的点为，且，则该双曲线的离心率为__________.
16.习近平总书记在党的二十大报告中提出：坚持以人民为中心发展教育，加快建设高质量教育体系，发展素质教育，促进教育公平，加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化.某师范大学学生会为贯彻党的二十大精神，成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批派遣大四学生赴乡村支教.原计划第一批派遣20名学生，以后每批都比上一批增加5人.由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为，在数列的任意相邻两项与之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列.按新数列的各项依次派遣支教学生.记为派遣70批学生后支教学生的总数，则的值为__________.
四､解答题：本题共6题，共70分，解答时应写成必要的文字说明､证明过程.
17.（本小题满分10分）已知圆的圆心为，且与直线相切.
（1）求圆的标准方程；
（2）设直线与圆交于两点，求.
18.（本小题满分12分）如图，四边形是边长为2的菱形，，四边形为矩形，，且平面平面.
（1）求与平面所成角的余弦值；
（2）求平面与平面夹角的大小；
19.（本小题满分12分）已知为数列的前项和，且.
（1）证明：数列为等差数列，并求的通项公式；
（2）若，设数列的前项和为，若恒成立，求的范围.
20.（本小题满分12分）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点且互相垂直的两条直线与抛物线分别交于点，证明：直线过定点.
21.（本小题满分12分）数列的前项和为，且，
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，若，求数列的前项和.
22.（本小题满分12分）已知点，点是圆上的任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设是分别过点的两条平行直线，交曲线于两个不同的点，交曲线于两个不同的点（A，M在轴上方），求四边形面积的最大值.
安徽省淮北市第一中学2023-2024学年高二下学期开学考试
数学试题
1.【答案】C
2.【答案】C 解：依题意，双曲线的标准方程为，即，由于虚轴长与实轴长相等，所以，即，即，解得.故选.
3.【答案】A 解：因为，，所以数列的周期为4，
故.
4.【答案】C 解：.
5.【答案】D 解：由已知有，
解得，
在中，由利用余弦定理得：
，
将代入，化简得，所以.故选.
6.【答案】B 解：如图①所示，过点作，垂足为，
是母线的中点，圆锥的底面半径和高均为，则，
在平面内建立直角坐标系，如图②所示，
设抛物线的方程为为抛物线的焦点，
，解得，
故该圆锥曲线的焦点到其准线的距离为.
7.【答案】A
解：由圆，即，得圆心，半径，
因为过点作圆的两条切线切点分别，
所以四点共圆，且，
所以，
而，当所在直线时，最小，则最小，
即最小，此时直线的方程为，由
可得，
即点，所以以点和点为直径的圆的方程为，两圆的方程相减可得：.
8.【答案】B 解：取面对角线中点，连接；
分别在上，且，以为原点，
的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，
，
三棱锥中，为直角三角形，
所以，
因此点即为三棱锥的外接球球心，球半径长为，
，
共面，
平面平面平面，
点的轨迹为矩形的四边，如图所示，为平面的法向量，则球心到平面的距离为，
球面被平面截得的圆的半径，圆的周长为.故选：.
9.【答案】BD 解：根据题意，是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，由可得，故正确；
由可得，则，故错误；
是各项为正数的等比数列，，则有.
对于，则有错误；
对于，则与均为的最大值，正确，
10.【答案】BD 解：由题意，的欧拉线即的垂直平分线，，，
的中点坐标为，则的垂直平分线方程为，即.
由“欧拉线”与圆相切，
到直线的距离，则圆的方程为：，
圆心到原点的距离为，则圆上的点到原点的最大距离为，故错误；
圆心到直线的距离为，
圆上存在三个点到直线的距离为，故正确；
的几何意义为圆上的点与定点连线的斜率，
设过与圆相切的直线方程为，即，
由，解得的最小值是-1，故错误；
的圆心坐标，半径为，圆的的圆心坐标为，半径为，要使圆与圆有公共点，则圆心距的范围为，解得，故正确.
11.【答案】ABD 解：对于，设直三棱柱，
，
，又平面，
平面平面，
，即直线与所成角为，故正确；
对于，依题意，
，故正确；
对于，由，又已知，
，在Rt中，，
，
以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则
，
设平面的法向量为，则，
不妨令，得，故可取，
与不共线，所以平面不成立，故错误；
对于，由前面知，所以为直角三角形，得两两
垂直，所以直三棱柱外接球的半径为，表面积为，
12.【答案】AC 解：依题意，设
，则，
为
定值，正确.
，若椭圆上存在点使，设为上顶点，如图：
则错误.
，若的面积最大时，位于制圆上顶点或下顶点，正确.
，结合椭圆的定义可知，光线第次到达时，
光线通过的总路程为错误.故选：.
13.【答案】 解：抛物线过点，即有，解得，
则抛物线，即，其焦点坐标为.
14.【答案】 解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，设平面的一个法向量为，则有
解得，则所求距离为.
15.【答案】 解：如图，设直线与轴交于点，取的中点，连接，，
由双曲线的对称性可知为线段的中点，则，
所以，由直线的斜率，得，
则直线的斜率
，设，则，两式相减，得
，化简得，即，所以该双曲线的离心率.
16.【答案】390 解：数列满足，
，
在任意相邻两项与之间插入个3，
其中之间插入2个之间插入4个之间插入8个之间插入16个之间插入32个之间插入64个.
又，
数列的前70项含有前6项和65个3，
故.
17.【详解】（1）因为圆心为，所以圆心到切线的距离，
所以半径，所以圆的标准方程为：；
（2）由题可知圆心到直线的距离，又由（1）知半径，所以，所以.
18.【答案】解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以，
易知平面的一个法向量是，
设与平面所成的角为，
所以，所以.
（2）易知，所以，
，
设平面的法向量为，
则
令，则，所以，
设平面的法向量为，
则即
令，则，所以，
所以，故平面与平面
的夹角为.
19.【详解】（1）对任意的，
则，
所以数列为等差数列，且其首项为，公差为1，
所以，故.
（2）当时，，
也满足，故对任意的.
所以，
故.
所以的范围
20.【详解】（1）抛物线的焦点，则直线的方程为：
，
由消去并整理得，，显然，设
，
则，因此，解得，
所以抛物线的方程为：.
（2）显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，点，
由消去得，，当时，，
由，得，
显然，因此，满足，则直线，过定点，所以直线过定点.
21.【详解】（1）当时，，即；
当时，由得，
则两式相减得，即，
综上可知，是首项，公比的等比数列，
则，即.
故，
（2）由（1）知，，
则①，
②，
①-②得，
整理得
，
即，所以
22.【答案】解：（1）由题意知，
所以
所以的轨迹是以点为焦点，6为长轴长的椭圆，
所以，则，所以点的轨迹方程为.
（2）直线的斜率不为0，设，直线的方程为，
由整理可得，则
.
所以
.
根据椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，原点是对角线的交点，
所以四边形的面积等于的面积的4倍.
点到直线的距离
所以的面积.
令，则.
设，所以在上单调递增.
所以当时，取得最小值，其值为9.
所以的面积的最大值为，四边形的面积的最大值为.