安徽省淮北市第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题（Word版附解析）

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（卷面分值：160分 考试时间：120分钟）
命题人：孟祥海 审核人：张芳
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知数列为等比数列，公比为．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题中条件建立关于的等式，由此可解得的值.
【详解】由题意得，，，可得，解得.
故选：C．
2. 下列求导计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数的四则运算和复合函数的导数，即得解
【详解】，A错误；
，B正确；
，C错误；
，D错误．
故选：B．
3. 曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】求得的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得的方程，解方程可得所求值．
【详解】解：的导数为，
可得在点处的切线的斜率为，
由切线与直线垂直，可得，
解得，
故选：．
4. 已知等比数列的前n项和，则数列的前5项和等于（ ）
A. 10B. 15C. 20D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，求出数列的通项公式，再求出即可计算得解.
【详解】等比数列的前n项和，则，而，
因此公比，，，显然是等差数列，
所以数列的前5项和等于.
故选：A
5. 已知各项均不为零的等差数列满足，数列是等比数列，且，则（ ）
A. 16B. 8C. 4D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用等差等比数列的下标和性质即可得解.
【详解】因为是等差数列，，又，
所以，则，所以，
因为是等比数列，，
所以.
故选：A.
6. 函数在区间上有最大值，则m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先利用导数求出函数的单调区间，即可得到函数的极值点，依题意因为所给区间为开区间，所以最值只能在极大值点处取得，再求出极大值，求出临界点，即可求出参数的取值范围．
【详解】解：因为，所以，
所以当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，因为在上有最大值，
所以极大值点，
又，当时，即，解得或，
所以，
故选：D．
7. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题设可以得到由两个相异的零点，构建新函数，分和讨论即可.
【详解】，令，则有两个不同的解，且在在零点的两侧符号是异号.
，
当时，，在上单调递增，故不可能有两个零点.
当时，时，，在上单调递增；
时，，在上单调递减，
所以 ，即，.
当时，，故在上有一个零点；
，令，
，所以在是减函数，故时，有，故，所以在上有一个零点，
综上，，选C.
【点睛】函数零点个数的判断，需利用函数的单调性和零点存在定理来判断，选择怎样的点来计算其函数值且函数值异号是关键，可根据解析式的特点选点，如对于对数，应选等，对于指数，应选等形式的数来计算，也可以选极值点附近的点，通过构建新函数讨论函数值的符号.
8. 定义：在数列中，若对任意的都满足为常数，则称数列为等差比数列．已知等差比数列中，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题中条件可求得数列的通项公式，继而，利用通项公式计算即可.
【详解】因为为等差比数列，，，，
所以是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以，
所以
故选：
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知函数，下列说法中正确有（ ）
A. 曲线在点处的切线方程为
B. 函数的极小值为
C. 函数的单调增区间为
D. 当时，函数的最大值为，最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，利用导数的几何意求解判断即可，对于BC，对函数求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值；对于D，求出函数的单调区间，进而可求出函数的最值.
【详解】由，得，
对于A，因为，，
所以曲线在点处的切线方程为，即，所以A正确；
对于B，由，得或舍去，
当时，， 当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取极大值，无极小值，
所以B错误，C正确；
对于D，由选项BC，可知当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为，
因为，
所以的最小值为，所以D正确，
故选：ACD.
10. 已知是数列的前n项和，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 为等比数列B. 为等比数列
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对A：根据递推公式，求得以及，结合等比数列的定义，即可判断；对B：构造等比数列即可判断；对C：根据B中所得，结合累加法即可求得；对D：根据C中所求，直接求解即可.
【详解】对A：因为，，，
所以，，
因此，，，
而，，所以数列不是等比数列，故A错误；
对B：因为，所以，
而，，因此数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确；
对C：由选项B知：数列是首项为，公比为等比数列，
因此，而，，
所以
，故C正确；
对D：由选项C知：，
因此，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据递推公式，构造等比数列，进而求得，从而解决问题.
11. 对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 在上单调递增，在上单调递减
B. 若方程有个不等的实根，则
C. 当时，
D 设，若对，，使得成立，则
【答案】BD
【解析】
【分析】对函数求导，利用导数探讨函数的单调性、图象及性质即可判断选项A，B，C；
求出函数在R上的值域，在上的值域，借助值域的包含关系即可判断作答.
【详解】函数的定义域为，，当或时，，当时，，
在，上都单调递减，在上单调递增，A不正确；
当时，的图象在x轴上方，且在时，，在上的图象在x轴下方，
显然是偶函数，在方程中，或时，方程有两个不等实根，时，方程无实根，时，方程有个不等的实根，B正确；
因，则有，即，于是得，C不正确；
当时，的值域为，当时，的值域为，
因对，，使得成立，从而得，即得，D正确.
故选：BD
【点睛】结论点睛：已知函数，，若，，有，则的值域是值域的子集,
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
12. 在数列中，，，则数列的通项公式为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件可得数列是等差数列，求出其通项即可计算作答.
【详解】由得：，而，
于是得数列是以为首项，为公差的等差数列，
则有，
所以数列的通项公式为：.
故答案为：
13. 已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】判断函数导数为开口向下的二次函数，则应满足，即可求解
【详解】，因为函数在上是单调函数，
故只能满足在上恒成立，即，，解得
故答案为:
14. 在数列中，已知对任意正整数，有，则________．
【答案】
【解析】
【分析】利用,①与时,②相减可解得,进而求得也为等比数列,由等比数列求和公式可得结果.
【详解】因为,①
所以,
所以当时,②
①-②得,
当时,也适合,
故.
所以,
所以.
故答案为: .
【点睛】本题考查了由求,以及等比数列的求和公式,注意要验证时的情况,属于基础题.
15. 若是函数的极大值点，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】求导后，得导函数的零点，比较两数的大小，分别判断在两们的导数符号，确定函数单调性，从而确定是否在处取到极大值，即可求得的范围．
【详解】因为，，
，
令，解得或，
当，即，
则当或时，当时，
此时在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增，
符合是函数的极大值点，
反之，当，即，
则当或时，当时，
此时在区间单调递增，上单调递减，上单调递增，
所以是函数的极小值点，不符合题意；
当，即，恒成立，函数在上单调递增，无极值点．
综上得：，即的取值范围是．
故答案：．
四、解答题：本题共6小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 已知曲线（，为常数）在处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）求曲线过点的切线方程.
【答案】（1），；（2）或.
【解析】
【分析】（1）求出导函数，由，解出，再由在切线上可求.
（2）设切点，求出在切点处的导数值，根据切点既在切线上，也在曲线上，代入曲线方程与切线方程，联立求切点，代入切线方程即可求解.
【详解】（1），依题意可得，∴，
当，代入直线方程得，将点代入曲线方程，求得；
（2）设切点，则，切线方程为，
切点既在切线上，也在曲线上，
从而有，①
，②
联立①②消去，整理可得，
，
解得或，切点为或，
从而切线方程为或.
17. 已知数列满足，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）在式子两边同时加上1，按等比数列的定义证明；
（2）可通过第（1）问构造出的等比数列，求解出的通项公式，然后使用错位相减法和公式法求出数列前n项和.
【小问1详解】
证明：由，可得，
又，所以，
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列.
【小问2详解】
解：由（1）得，所以，
，
设，前n项和为，
，
，
两式相减得，
，
得，
.
18. 已知函数.
（1）若，求函数的极值；
（2）讨论函数的单调性.
【答案】（1）极大值0
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数分析单调性，求出极值即可；
（2）含参数的单调性讨论，求导后分与零的大小求出导函数为零的根，再求单调区间，讨论单调性即可.
【小问1详解】
当时，，
则，
令，解得（舍），，
所以当时，，为单调递增函数；
当时，，为单调递减函数；
所以当时为极大值，.
【小问2详解】
，
①当时，，恒大于零，
所以在上为单调递增函数；
②当时，导数分子恒大于零，
所以在上为单调递增函数；
③当时，导数分子为零时的两个根，
因为，
所以单增区间为，单减区间为 .
综上，当时，在上为单调递增函数；
当时，在为单调递增函数；在为单调递减函数.
19. 已知等差数列的公差，，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，且，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由，，成等比数列，可得，利用等差数列，，即可求出和，从而求出的通项公式；
（2）由（1）知，利用累加法可得，利用裂项求和即可得 的前项和.
【详解】（1），，成等比数列，
∴∴， 整理得
∴或，
当时，由解得，满足题意，
当时，由解得，不合题意，
∴.
（2）由（1）知，当时，，
∵，∴当时，，
，
又∴当时，∴，.
∴，
∴.
【点睛】本题考查求等差数列的通项公式与前项和，考查累加法求数列通项，裂项相消法求和，属于中档题.
20. 为了积极响应国家“全面实施乡村振兴战略”的号召，某同学大学毕业后决定利用所学专业知识进行自主创业．经过市场调查，生产某种小型电子产品需投入固定成本3万元，每生产x万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于10万件时，（万元）；当年产量不小于10万件时，（万元）．已知每件产品售价为6元，假若该产品当年全部售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）
（2）当年产量约为多少万件时，该产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（结果保留一位小数，取）
【答案】（1）
（2）当年产量约为万件时，该产品所获年利润最大，最大利润为万元．
【解析】
【分析】（1）根据利润是商品销售收入减去固定成本和每生产x万件，需另投入流动成本求解.
（2）根据（1）利用分段函数的性质，分别求得每一段的最大值，从中取最大的则为利润的最大值求解.
【小问1详解】
产品售价为元，则万件产品销售收入为万元．
依题意得，当时，，
当时
.
【小问2详解】
当时，，
当时，的最大值为5（万元）．
当时，，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，取最大值，万元当时，取最大值万元，
即当年产量约为万件时，该产品所获年利润最大，最大利润为万元．
21. 已知函数.
（1）求的极值；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）有极小值，无极大值.
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值；
（2）首先根据不等式构造函数，再根据函数构造函数，再利用函数的导数判断函数的单调性，并结合零点存在性定理，判断，即的正负，判断函数的单调性，并求函数的最值，即可证明不等式.
【小问1详解】
求导得
所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以有极小值，无极大值.
【小问2详解】
由题知不等式上恒成立，
则原问题等价于不等式在上恒成立，
记，
则
记则恒成立，
所以在上单调递增，又，，
所以存在，使得，
即当时，，此时；当时，，此时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
由得，
即，
所以，
.