江苏省常州市北郊初级中学2023—2024学年下学期新课结束学业水平调研+九年级数学试题

这是一份江苏省常州市北郊初级中学2023—2024学年下学期新课结束学业水平调研+九年级数学试题，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）﹣2024的相反数是（ ）
A．2024B．C．﹣2024D．
2．（2分）代数式﹣7x的意义可以是（ ）
A．﹣7与x的和B．﹣7与x的差C．﹣7与x的积D．﹣7与x的商
3．（2分）先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2分）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果∠1＝70°，那么∠2的度数是（ ）
A．20°B．25°C．30°D．45°
5．（2分）关于x的一元一次方程2x+m＝5的解为x＝1，则m的值为（ ）
A．3B．﹣3C．7D．﹣7
6．（2分）已知a﹣1＞0，则下列结论正确的是（ ）
A．﹣1＜﹣a＜a＜1B．﹣a＜﹣1＜1＜aC．﹣a＜﹣1＜a＜1D．﹣1＜﹣a＜1＜a
7．（2分）已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠COM＝∠CODB．若OM＝MN，则∠AOB＝20°
C．MN∥CDD．MN＝3CD
8．（2分）已知二次函数y＝﹣x2+m2x和y＝x2﹣m2（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（ ）
A．2B．m2C．4D．2m2
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
9．（2分）计算：m6÷m2＝ ．
10．（2分）2023年全国高考报名人数约12910000人，数12910000用科学记数法表示为 ．
11．（2分）分解因式：a2b﹣9b＝ ．
12．（2分）函数y＝kx+3的图象经过点（﹣2，5），则函数值y随着x的增大而 ．（填“增大”或“不变”或“减小”）
13．（2分）某校九年级有8个班级，人数分别为37，32，32，36，37，32，38，34．则这组数据的中位数为 ．
14．（2分）关于x的一元二次方程x2+2x+4c＝0有两个相等的实数根，则c＝ ．
15．（2分）用半径为24cm，面积为120πcm2的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 cm．
16．（2分）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为 ．
17．（2分）矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 ．
18．（2分）如图，已知点A（4，3），点B为直线y＝﹣2上的一动点，点C（0，n），﹣2＜n＜3，AC⊥BC于点C，连接AB．若直线AB与x轴正半轴所夹的锐角为α，那么当sinα的值最大时，n的值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，第19、20题每题6分，第21-25题每题8分，第26-27题每题10分，第28题12分，共84分）
19．（6分）计算：4sin60°+（）﹣1+|﹣2|﹣．
20．（6分）解不等式组：，并写出整数解．
21．（8分）书籍是人类进步的阶梯．联合国教科文组织把每年的4月23日确定为“世界读书日”．在“世界读书日”前夕，某校开展了“共享阅读，向上人生”的读书活动．为了解学生对书籍种类（A：艺术类，B：科技类，C：文学类，D：体育类）的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能在这四种类型中选择一项），将调查结果绘成如下尚不完整的统计图表．
（1）本次调查的样本容量是 ，统计表中m＝ ；
（2）扇形统计图中D（体育类）所在扇形的圆心角度数为 °；
（3）若全校有1200名学生，请估计喜欢B（科技类）的学生人数．
22．（8分）为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动．根据活动要求，每班需要2名宣传员．某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员．
（1）“甲、乙同学都被选为宣传员”是 事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”）
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率．
23．（8分）如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD＝AB．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：DE＝BE．
24．（8分）“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为45°，看底部C的俯角为60°，无人机A到该建筑物BC的水平距离AD为10米，求该建筑物BC的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：，）
25．（8分）如图，点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，4），点C为OB中点．将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A′BC′．
（1）反比例函数y＝的图象经过点C′，求该反比例函数的表达式；
（2）一次函数图象经过A、A′两点，求该一次函数的表达式．
26．（10分）对于⊙C与⊙C上一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q，且PA＝2QA，则称点P为点A关于⊙C的“倍距点”．已知平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（﹣，0）．
（1）如图1，点O为坐标原点，⊙O的半径是，点P是点A关于⊙O的“倍距点”．
①若点P在x轴正半轴上，直接写出点P的坐标是 ；
②若点P在第一象限，且∠PAO＝30°，求点P的坐标；
（2）设点T（t，0），以点T为圆心，TA长为半径作⊙T，一次函数y＝x+4的图象分别与x轴、y轴交于D、E，若一次函数y＝x+4的图象上存在唯一一点P，使点P是点A关于⊙T的“倍距点”，求t的值．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过点A（0，1），点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m、2m（m＞0），连接AP，AQ．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当∠PAQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差；
（3）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分（包括点A和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为h2，当h2﹣h1＝m时，直接写出m的值．
28．（12分）如图1和图2，平面上，四边形ABCD中，AB＝8，，CD＝12，DA＝6．∠A＝90°，点M在AD边上，且DM＝2．将线段MA绕点M顺时针旋转n°（0＜n≤180）到MA'，∠A′MA的平分线MP所在直线交折线AB﹣BC于点P，设点P在该折线上运动的路径长为x（x＞0），连接A′P．
（1）若点P在AB上，求证：A'P＝AP；
（2）如图2，连接BD．
①求∠CBD的度数，并直接写出当n＝180时，x的值；
②若点P到BD的距离为2，求tan∠A′MP的值；
（3）当0＜x≤8时，请直接写出点A′到直线AB的距离（用含x的式子表示）．
2024年江苏省常州市天宁区北郊初级中学中考数学结课试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1．（2分）﹣2024的相反数是（ ）
A．2024B．C．﹣2024D．
【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数是互为相反数”解答即可．
【解答】解：﹣2024的相反数是2024，
故选：A．
【点评】此题考查了相反数的定义，熟记定义是解题的关键．
2．（2分）代数式﹣7x的意义可以是（ ）
A．﹣7与x的和B．﹣7与x的差C．﹣7与x的积D．﹣7与x的商
【分析】直接利用代数式的意义分析得出答案．
【解答】解：代数式﹣7x的意义可以是﹣7与x的积．
故选：C．
【点评】此题主要考查了代数式，掌握代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子是解题关键．
3．（2分）先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】画出这个几何体的主视图即可．
【解答】解：这个立体图形的主视图为：
故选：B．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握解答几何体三视图的画法是正确解答的前提．
4．（2分）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果∠1＝70°，那么∠2的度数是（ ）
A．20°B．25°C．30°D．45°
【分析】利用平行线的性质可得∠3的度数，再利用平角定义可得∠2的度数．
【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝70°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣70°＝20°，
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
5．（2分）关于x的一元一次方程2x+m＝5的解为x＝1，则m的值为（ ）
A．3B．﹣3C．7D．﹣7
【分析】根据方程的解的定义把x＝1代入方程即可求出m的值．
【解答】解：∵x＝1是关于x的一元一次方程2x+m＝5的解，
∴2×1+m＝5，
∴m＝3，
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，熟知：使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解．
6．（2分）已知a﹣1＞0，则下列结论正确的是（ ）
A．﹣1＜﹣a＜a＜1B．﹣a＜﹣1＜1＜aC．﹣a＜﹣1＜a＜1D．﹣1＜﹣a＜1＜a
【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：∵a﹣1＞0，
∴a＞1，
∴﹣a＜﹣1，
∴﹣a＜﹣1＜1＜a，
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
7．（2分）已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠COM＝∠CODB．若OM＝MN，则∠AOB＝20°
C．MN∥CDD．MN＝3CD
【分析】利用作法得到MC＝CD＝DN，OM＝ON＝OC＝OD，根据圆心角、弧、弦的关系得到＝＝，则可对A选项进行判断；当OM＝MN时，△MON为等边三角形，则可对B选项进行判断；作半径OE⊥CD，如图，利用垂径定理得到＝，＝，所以OE⊥MN，则可对C选项进行判断；利用两点之间线段最短可对D选项进行判断．
【解答】解：由作法得MC＝CD＝DN，OM＝ON＝OC＝OD，
∴＝＝，
∴∠COM＝∠COD＝∠DON，所以A选项的结论正确；
当OM＝MN，
而OM＝ON，
∴此时△MON为等边三角形，
∴∠MON＝60°，
∴∠AOB＝∠MON＝20°，所以B选项的结论正确；
作半径OE⊥CD，如图，则＝，
∴＝，
∴OE⊥MN，
∴MN∥CD，所以C选项正确；
∵MC+CD+DN＞MN，
∴3CD＞MN，所以D选项错误．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆心角、弧、弦的关系和垂径定理．
8．（2分）已知二次函数y＝﹣x2+m2x和y＝x2﹣m2（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（ ）
A．2B．m2C．4D．2m2
【分析】求出三个交点的坐标，再构建方程求解．
【解答】解：令y＝0，则﹣x2+m2x＝0和x2﹣m2＝0，
∴x＝0或x＝m2或x＝﹣m或x＝m，
∵这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，
若m＞0，则m2＝2m，
∴m＝2，
若m＜0时，则m2＝﹣2m，
∴m＝﹣2．
∵抛物线y＝x2﹣m2的对称轴为直线x＝0，抛物线y＝﹣x2+m2x的对称轴为直线x＝，
∴这两个函数图象对称轴之间的距离＝＝2．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
9．（2分）计算：m6÷m2＝ m4 ．
【分析】运用同底数幂的除法进行计算、求解．
【解答】解：m6÷m2＝m4，
故答案为：m4．
【点评】此题考查了同底数幂除法的运算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算．
10．（2分）2023年全国高考报名人数约12910000人，数12910000用科学记数法表示为 1.291×107 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：12910000＝1.291×107，
故答案为：1.291×107．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11．（2分）分解因式：a2b﹣9b＝ b（a+3）（a﹣3） ．
【分析】首先提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：a2b﹣9b
＝b（a2﹣9）
＝b（a+3）（a﹣3）．
故答案为：b（a+3）（a﹣3）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键．
12．（2分）函数y＝kx+3的图象经过点（﹣2，5），则函数值y随着x的增大而 减小 ．（填“增大”或“不变”或“减小”）
【分析】由函数y＝kx+3的图象经过点（﹣2，5），利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出k值，由k＝﹣1＜0，利用一次函数的性质，即可得出函数值y随着x的增大而减小．
【解答】解：∵函数y＝kx+3的图象经过点（﹣2，5），
∴5＝﹣2k+3，
解得：k＝﹣1．
∵k＝﹣1＜0，
∴函数值y随着x的增大而减小．
故答案为：减小．
【点评】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出k值是解题的关键．
13．（2分）某校九年级有8个班级，人数分别为37，32，32，36，37，32，38，34．则这组数据的中位数为 35 ．
【分析】根据中位数的定义直接求解即可．
【解答】解：把这些书从小到大排列为：32，32，32，34，36，37，37，38，
则这组数据的中位数为＝35．
故答案为：35．
【点评】本题考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
14．（2分）关于x的一元二次方程x2+2x+4c＝0有两个相等的实数根，则c＝ ．
【分析】根据关于x的一元二次方程x2+2x+4c＝0有两个相等的实数根，可知Δ＝22﹣4×1×4c＝0，然后求出c的值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+4c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4×1×4c＝0，
解得c＝，
故答案为：．
【点评】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确题意，求出c的值．
15．（2分）用半径为24cm，面积为120πcm2的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 5 cm．
【分析】根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r cm，
则×2πr×24＝120π，
解得：r＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
16．（2分）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为 ．
【分析】根据题意求出AF，再根据平行线分线段成比例定理计算即可．
【解答】解：∵AO＝2，OF＝1，
∴AF＝AO+OF＝2+1＝3，
∵AB∥EF∥CD，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
17．（2分）矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 2或1+ ．
【分析】以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：如图1，当∠MND＝90°时，如图2，当∠NMD＝90°时，根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：
①如图1，当∠MND＝90°时，
则MN⊥AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴MN∥AB，
∵M为对角线BD的中点，
∴AN＝DN，
∵AN＝AB＝1，
∴AD＝2AN＝2；
如图2，当∠NMD＝90°时，
则MN⊥BD，
∵M为对角线BD的中点，
∴BM＝DM，
∴MN垂直平分BD，
∴BN＝DN，
∵∠A＝90°，AB＝AN＝1，
∴BN＝AB＝，
∴AD＝AN+DN＝1+，
综上所述，AD的长为2或1+．
故答案为：2或1+．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
18．（2分）如图，已知点A（4，3），点B为直线y＝﹣2上的一动点，点C（0，n），﹣2＜n＜3，AC⊥BC于点C，连接AB．若直线AB与x轴正半轴所夹的锐角为α，那么当sinα的值最大时，n的值为 ．
【分析】当sinα的值最大时，则tanα＝值最大，即当BG最大时，sinα的值最大，设BG＝m，由tan∠CAM＝tan∠BCG，得到m＝﹣（n﹣3）（n+2），进而求解．
【解答】解：过点A作AM⊥y轴于点M，作AN⊥BN交于点N，
∵直线y＝﹣2与x轴平行，
∴∠ABN＝α，
当sinα的值最大时，则tanα＝值最大，
故BN最小，即BG最大时，tanα最大，
即当BG最大时，sinα的值最大，
设BG＝m，
则AM＝4，GC＝n+2，CM＝3﹣n，
∵∠ACM+∠MAC＝90°，∠ACM+∠BCG＝90°，
∴∠CAM＝∠BCG，
∴tan∠CAM＝tan∠BCG，
∴，即＝，
∴m＝﹣（n﹣3）（n+2）＝﹣（n﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当n＝时，m取得最大值，
故n＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数和二次函数的性质，解直角三角形等，解题的关键是确定sinα的值最大时，即BG最大，题目综合性强，难度适中．
三、解答题（本大题共10小题，第19、20题每题6分，第21-25题每题8分，第26-27题每题10分，第28题12分，共84分）
19．（6分）计算：4sin60°+（）﹣1+|﹣2|﹣．
【分析】根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质计算．
【解答】解：原式＝4×+3+2﹣2
＝2+3+2﹣2
＝5．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟记特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质是解题的关键．
20．（6分）解不等式组：，并写出整数解．
【分析】分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集．
【解答】解：由4x+5＞x﹣1得：x＞﹣2，
由x≥得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤2．
所以不等式组的整数解为﹣1、0、1、2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．（8分）书籍是人类进步的阶梯．联合国教科文组织把每年的4月23日确定为“世界读书日”．在“世界读书日”前夕，某校开展了“共享阅读，向上人生”的读书活动．为了解学生对书籍种类（A：艺术类，B：科技类，C：文学类，D：体育类）的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能在这四种类型中选择一项），将调查结果绘成如下尚不完整的统计图表．
（1）本次调查的样本容量是 200 ，统计表中m＝ 60 ；
（2）扇形统计图中D（体育类）所在扇形的圆心角度数为 54 °；
（3）若全校有1200名学生，请估计喜欢B（科技类）的学生人数．
【分析】（1）根据A类的人数和所占的百分比，即可求出样本容量，用样本容量减去其它三类的人数，可得m的值；
（2）用整体1减去A、C、D类所占的百分比，即可求出扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数；
（3）总人数乘以样本中B所占百分比即可得．
【解答】解：（1）本次调查的样本容量：40÷20%＝200，
故m＝200﹣40﹣70﹣30＝60．
故答案为：200；60；
（2）D所占百分比为×100%＝15%，
扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数为：360°×15%＝54°；
故答案为：54；
（3）1200×＝420（名），
答：估计喜欢B（科技类）的学生人数大约为420名．
【点评】此题主要考查了统计表和扇形统计图的应用，正确利用统计图得出正确信息是解题关键．
22．（8分）为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动．根据活动要求，每班需要2名宣传员．某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员．
（1）“甲、乙同学都被选为宣传员”是 随机 事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”）
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率．
【分析】（1）根据题意可知：“甲、乙同学都被选为宣传员”是随机事件；
（2）根据题意可以画出相应的树状图，然后即可求得甲、丁同学都被选为宣传员的概率．
【解答】解：（1）由题意可得，
“甲、乙同学都被选为宣传员”是随机事件，
故答案为：随机；
（2）树状图如下所示：
由上可得，一共有12种等可能事件，其中甲、丁同学都被选为宣传员的可能性有2种，
∴甲、丁同学都被选为宣传员的概率为：＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、随机事件，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
23．（8分）如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD＝AB．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：DE＝BE．
【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可；
（2）证明△BAE≌△DAE（SAS），即可得出结论．
【解答】（1）解：如图所示，即为所求，
（2）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵AB＝AD，AE＝AE，
∴△BAE≌△DAE（SAS），
∴DE＝BE．
【点评】本题考查了尺规作图的基本作图平分已知角的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
24．（8分）“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为45°，看底部C的俯角为60°，无人机A到该建筑物BC的水平距离AD为10米，求该建筑物BC的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：，）
【分析】先说明三角形ABD是等腰直角三角形，用等腰三角形的性质求出BD，再在Rt△ACD 中用直角三角形的边角间关系求出CD，最后利用线段的和差关系求出建筑物的高度．
【解答】解：由题意知，∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，AD⊥BC．
∵AD⊥BC，
∴∠BDA＝∠ADC＝90°．
∴∠BAD＝∠ABD＝45°．
∴BD＝AD＝10 （米）．
在Rt△ACD 中，
CD＝AD•tan∠CAD
＝AD•tan60°
＝10（米）．
∴ （米）．
答：该建筑物BC的高度约为27.3米．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及等腰三角形的性质是解决本题的关键．
25．（8分）如图，点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，4），点C为OB中点．将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A′BC′．
（1）反比例函数y＝的图象经过点C′，求该反比例函数的表达式；
（2）一次函数图象经过A、A′两点，求该一次函数的表达式．
【分析】（1）根据旋转的性质得出C′的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）作A′H⊥y轴于H．证明△AOB≌△BHA′（AAS），推出OA＝BH，OB＝A′H，求出点A′坐标，再利用待定系数法即可求得一次函数的解析式．
【解答】解：（1）∵点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，4），点C为OB中点，
∴OA＝3，OB＝4，
∴BC＝2，
将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A′BC′，
∴C′（2，4），
∵反比例函数y＝的图象经过点C′，
∴k＝2×4＝8，
∴该反比例函数的表达式为y＝；
（2）作A′H⊥y轴于H．
∵∠AOB＝∠A′HB＝∠ABA′＝90°，
∴∠ABO+∠A′BH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠A′BH，
∵BA＝BA′，
∴△AOB≌△BHA′（AAS），
∴OA＝BH，OB＝A′H，
∵OA＝3，OB＝4，
∴BH＝OA＝3，A′H＝OB＝4，
∴OH＝1，
∴A′（4，1），
设一次函数的解析式为y＝ax+b，
把A（﹣3，0），A′（4，1）代入得，，
解得，
∴该一次函数的表达式为y＝x+．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上的点的坐标特征，坐标与图形的变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
26．（10分）对于⊙C与⊙C上一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q，且PA＝2QA，则称点P为点A关于⊙C的“倍距点”．已知平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（﹣，0）．
（1）如图1，点O为坐标原点，⊙O的半径是，点P是点A关于⊙O的“倍距点”．
①若点P在x轴正半轴上，直接写出点P的坐标是 （3，0） ；
②若点P在第一象限，且∠PAO＝30°，求点P的坐标；
（2）设点T（t，0），以点T为圆心，TA长为半径作⊙T，一次函数y＝x+4的图象分别与x轴、y轴交于D、E，若一次函数y＝x+4的图象上存在唯一一点P，使点P是点A关于⊙T的“倍距点”，求t的值．
【分析】（1）①P在x轴正半轴时，如图1，设点Q为⊙O与x轴正半轴的交点，根据“倍距点”的定义，可求得AQ＝2，PA＝4，即可求出答案；
②若∠PAO＝30°时，如图2，作QM⊥x轴于M，PN⊥x轴于N，连接OQ，先证得△AQM∽△APN，再根据“倍距点”的定义和三角函数即可求得答案；
（2）先求得D（﹣4，0），E（0，4），进而得出∠EDO＝30°，取AD的中点G（，0），过点G作GH∥DE交y轴于点H，则直线GH的解析式为y＝x+，当⊙T与直线GH相切时，一次函数y＝x+4的图象上存在唯一一点P，使点P是点A关于⊙T的“倍距点”，设切点为L1或L2，连接T1L1，T2L2，根据AT1＝L1T1＝GT1，L2T2＝GT2，AT2＝L2T2，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）①P在x轴正半轴时，如图1，设点Q为⊙O与x轴正半轴的交点，
∵点O为坐标原点，⊙O的半径是，点P是点A关于⊙O的“倍距点”，
∴AQ＝2，PA＝2QA＝4，
∴点P离开原点O的距离＝4＝3，
∴点P的坐标是（3，0），
故答案为：（3，0）；
②若∠PAO＝30°时，如图2，作QM⊥x轴于M，PN⊥x轴于N，连接OQ，
∴∠QMA＝∠PNA＝90°，
∵∠PAO＝∠PAO，
∴△AQM∽△APN，
∴，
∵点O为坐标原点，⊙O的半径是，点P是点A关于⊙O的“倍距点”，PA＝2QA，
∴OA＝OQ＝，，
∴∠AQO＝∠PAO＝30°，
∴∠QOM＝60°，
∴∠OQM＝30°，
在Rt△OQM中，OQ＝，∠OQM＝30°，
∴QM＝OQ•cs∠OQM＝•cs30°＝，OM＝OQ•sin∠OQM＝•sin30°＝，
∴AM＝OA+OM＝，
∴由比例式得：AN＝3，PN＝3，
∴ON＝AN﹣AO＝3﹣＝2，
∴P（2，3）；
（2）存在符合条件的点P．如图3，
∵一次函数y＝x+4的图象分别与x轴、y轴交于D、E，
∴令y＝0，则x+4＝0，令x＝0，则y＝4，
解得x＝﹣4，
∴D（﹣4，0），E（0，4），
∴OD＝4，OE＝4，
∵y轴⊥x轴，
∴∠EOD＝90°，
∴tan∠EDO＝＝＝，
∴∠EDO＝30°，
取AD的中点G（，0），过点G作GH∥DE交y轴于点H，
则直线GH的解析式为y＝x+，
当⊙T与直线GH相切时，一次函数y＝x+4的图象上存在唯一一点P，使点P是点A关于⊙T的“倍距点”，
设切点为L1或L2，连接T1L1，T2L2，
则∠GL1T1＝∠GL2T2＝90°，
∵GH∥DE，
∴∠OGH＝∠EDO＝30°，
∴AT1＝L1T1＝GT1，L2T2＝GT2，AT2＝L2T2，
∵AT1＝﹣﹣t，AT2＝t+，GT1＝t+，GT2＝t+，
∴﹣﹣t＝×（t+）或t+＝×（t+），
解得：t＝﹣或．
【点评】本题是圆与一次函数综合题，考查了圆的性质，切线的性质，待定系数法，一次函数图象，特殊角三角函数值，相似三角形的判定和性质，新定义等，解题关键是对新定义“倍距点”的理解和运用．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过点A（0，1），点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m、2m（m＞0），连接AP，AQ．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当∠PAQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差；
（3）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分（包括点A和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为h2，当h2﹣h1＝m时，直接写出m的值．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）分AQ∥x轴时，AP∥x轴时，分别根据抛物线的对称性求得O的横坐标与P的横坐标，进而代入抛物线解析式，求得纵坐标，即可求解；
（3）分四种情况讨论，如图所示，当P，O都在对称轴x＝1的左侧时，当P，O在对称轴两侧时，当点P在x＝1的右侧时，当P的纵坐标小于1时，分别求得h1，h2，根据h2﹣h1＝m建立方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+c经过点A（0，1），
∴c＝1，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+1；
（2）①AQ∥x轴时，点A，Q关于对称轴x＝1对称，
xQ＝2m＝2，
∴m＝1，
则﹣12+2×1+1＝2﹣22+2×2+1＝1，
∴P（1，2），Q（2，1），
∴点P与点Q的纵坐标的差为2﹣1＝1；
②当AP∥x轴时，则A，P关于直线x＝1对称，xP＝m＝2，xQ＝2m＝4，
则﹣42+2×4+1＝﹣7，
∴P（2，1），Q（4，﹣7）；
∴点P与点Q的纵坐标的差为1﹣（﹣7）＝8；
综上所述，点P与点Q的纵坐标的差为1或8；
（3）①如图1所示，当P，Q都在对称轴x＝1的左侧时，

则0＜2m＜1，
∴0＜m，
∵P（m，﹣m2+2m+1），
∴Q（2m，﹣4m2+4m+1），
∴＝﹣m2+2m，
h2＝yQ﹣yA＝﹣4m2+4m+1﹣1＝﹣4m2+4m，
∴h2﹣h1＝﹣4m2+4m+m2﹣2m＝m，
解得： 或 m＝0（舍去）；
②当P，Q在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，如图2，
则2m≥1，m≤1，即 ，
则 h2＝2﹣1＝1，
∴1+m2﹣2m＝m，
解得： （舍去）或 （舍）；
③当点P在x＝1的右侧且在直线y＝1方时，如图3，即1＜m＜2，
∵h1＝2﹣1＝1，
，
∵4m2﹣4m+1﹣1＝m，
解得： 或m＝0（舍去）；
④当P在直线y＝1上或下方时，如图4，即m≥2，
，
∴4m2﹣4m+1﹣（m2﹣2m+1）＝m，
解得：m＝1（舍去）或 m＝0（舍去），
综上所述， 或 ．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
28．（12分）如图1和图2，平面上，四边形ABCD中，AB＝8，，CD＝12，DA＝6．∠A＝90°，点M在AD边上，且DM＝2．将线段MA绕点M顺时针旋转n°（0＜n≤180）到MA'，∠A′MA的平分线MP所在直线交折线AB﹣BC于点P，设点P在该折线上运动的路径长为x（x＞0），连接A′P．
（1）若点P在AB上，求证：A'P＝AP；
（2）如图2，连接BD．
①求∠CBD的度数，并直接写出当n＝180时，x的值；
②若点P到BD的距离为2，求tan∠A′MP的值；
（3）当0＜x≤8时，请直接写出点A′到直线AB的距离（用含x的式子表示）．
【分析】（1）根据旋转的性质和角平分线的概念得到A′M＝AM，∠A′MP＝∠AMP，然后证明出△A′MP≌△AMP（SAS），即可得到A′P＝AP；
（2）①首先根据勾股定理得到 ，然后利用勾股定理的逆定理即可求出∠CBD＝90°；画出图形，然后证明出△DNM∽△DBA，利用相似三角形的性质求出 ，然后证明出△PBN∽△DMN，利用相似三角形的性质得到PB＝5，进而求解即可；
②当P点在AB上时，PQ＝2，∠A′MP＝∠AMP，分别求得BP，AP，根据正切的定义即可求解；当P在BC上时，则PB＝2，过点P作PQ⊥ABAB的延长线于点Q，延长MP交AB的延长线于点H，证明△PQB∽BAD，得 ，进而求得AQ，证明△HPQ∽△HMA，即可求解；
（3）如图所示，过点A′作A′F⊥AD于点F，过点P作PE⊥A′F于点E，则四边形AFEP是矩形，证明△A′PE∽△MA′F，根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵将线段MA绕点M顺时针旋转n° （0＜n≤180）得到MA′，
∴A′M＝AM，
∵∠A′MA的平分线MP所在的直线交折线AB﹣BC于点P，
∴∠A′MP＝∠AMP，
∵PM＝PM，
∴△A′MP≌△AMP（SAS），
∴A′P＝AP；
（2）解：①∵AB＝8，DA＝6，∠A＝90°，
∴BD＝＝10，
又∵，CD＝12，
∴BD2+BC2＝100+44＝144，CD2＝144，
∴BD2+BC2＝CD2，
∴∠CBD＝90°；
如图2所示，当n＝180时，设MP交BD与点N．
∵PM平分∠A′MA．∠PMA＝90°，
∴PM∥AB，
∴△DNM∽△DBA，
∴，
∵DM＝2，DA＝6，
∴，
∴，
∴，
∵∠PBN＝∠NMD＝90°，∠PNB＝∠DNM，
∴△PBN∽△DMN，
∴，即 ，
∴PB＝5，
∴x＝AB+PB＝8+5＝13．
②如图所示，当P点在AB上时，PQ＝2，∠A′MP＝∠AMP，
∴AB＝8，DA＝6，∠A＝90°，
∴，
∴，
∴BP＝＝＝，
∴，
∴tan∠AMP＝＝＝，
如图所示，当P在BC上时，则PB＝2，过点P作PQ⊥AB交AB的延长线于点Q，延长MP交AB的延长线于点H，
∵∠PQB＝∠CBD＝∠DAB＝90°，
∴∠QPB＝90°﹣∠PBQ＝∠DBA，
∴△PQB∽△BAD，
∴，即 ，
∴，，
∴，
∵PQ⊥AB，DA⊥AB，
∴PQ∥AD，
∴△HPQ∽△HMA，
∴，
∴，
解得：，
∴tan∠AMP＝tan∠QPH＝＝＝，
综上所述，tan∠A′MP的值为或；
（3）解：∵当0＜x≤8时，
∴P在AB上，
如图所示，过点A′作A′F⊥AD于点F，过点P作PE⊥A′F于点E，则四边形AFEP是矩形，
由△A′PE∽△MA'F，
∴＝＝，
∵A′P＝AP＝x，MA′＝MA＝4，设 A′F＝y，PE＝h，
即
∴，4（x﹣y）＝x（h﹣4），
∴，
整理得 ，
即点A′到直线AB的距离为．
解法二：连接AA′交PM于点G，过点A′作A′H⊥AB于点H．
∵MA＝MA′，∠PMA＝∠PMA′，
∴PM⊥AA′，GA＝GA′，
∵AP＝x，AM＝4，
∴PM＝，
∴AG＝＝，
∴AA′＝2AG＝，
∵PG＝PA•cS∠APM＝，
∵PA•A′H＝•AA′•PG，
∴A′H＝＝．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，求正切值，熟练掌握以上知识且分类讨论是解题的关键．
书籍种类
A：艺术类
B：科技类
C：文学类
D：体育类
人数
40
70
m
30
书籍种类
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B：科技类
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40
70
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30