2022-2023学年河北省秦皇岛市昌黎县文汇学校高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河北省秦皇岛市昌黎县文汇学校高一（下）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知△ABC中，a= 2，b= 3，B=60°，那么角A等于
( )
A. 135°B. 90°C. 45°D. 30°
2.已知向量a=(1,2)，b=(m,2−m)，若a//b，则m=( )
A. 23B. 1C. 43D. −2
3.已知向量a，b满足|a|=1，a⋅b=−1，则a⋅(2a−b)=( )
A. 4B. 3C. 2D. 0
4.已知非零向量a，b满足|a|=2|b|，且(a−b)⊥b，则a与b的夹角为
( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
5.若AD是△ABC的中线，已知AB=a，CA=b，则AD等于( )
A. −12(a+b)B. 12(a+b)C. 12(−a+b)D. 12(a−b)
6.已知A，B为锐角，csA=35,csB=513，则cs(A+B)=( )
A. 5665B. −5665C. −3365D. 3365
7.△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,asinAsinB+bcs2A= 3a，则ba=( )
A. 2B. 3C. 2 2D. 2 3
8.在△ABC中，已知a：b：c=3：2：4，那么csC=( )
A. 14B. 23C. −23D. −14
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设向量a=(2,0)，b=(1,1)，则( )
A. |a|=|b|B. (a−b)/​/b
C. (a−b)⊥bD. a与b的夹角为π4
10.下列运算正确的是( )
A. (−3)⋅2a=−6aB. 2(a+b)−(2b−a)=3a
C. (a+2b)−(2b+a)=0D. 2(3a−b)=6a−2b
11.下列选项正确的是( )
A. sin(32π−α)=csα
B. 512πrad=75°
C. 若α终边上有一点P(−4,3)，则sinα=−45
D. 若一扇形弧长为2，圆心角为60°，则该扇形的面积为6π
12.以下关于正弦定理或其变形正确的有( )
A. 在△ABC中，a：b：c=sinA：sinB：sinC
B. 在△ABC中，若sin2A=sin2B，则a=b
C. 在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B，若A>B，则sinA>sinB都成立
D. 在△ABC中，asinA=b+csinB+sinC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.sin31°cs59°+cs31°cs31°= ______．
14.已知向量a=(1,2)，b=(2,−2)，c=(1,λ).若c/​/(2a+b)，则λ= ．
15.f(x)=cs(2x+π4)在区间[0,π2]上的最小值为______．
16.已知向量a,b满足|a|=3,|b|=2且(a−2b)⋅(a+b)=5，则a在b方向上的投影向量为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知向量a=(1,0)，b=(−1,2)．
(1)求2a+b的坐标；
(2)求a⋅(a−b)．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin(2x−π6)−12．
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；
(Ⅱ)当x∈[0,π2]时，求函数f(x)的最大值及相应的x的值．
19.(本小题12分)
已知不共线的向量a,b满足|a|=3,|b|=2,(2a−3b)⋅(2a+b)=20．
(1)求a⋅b；
(2)是否存在实数λ，使得λa+b与a−2b共线？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．
20.(本小题12分)
已知|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为120°．
(1)求(2a−b)·(a+3b)与|a+b|的值；
(2)x为何值时，xa−b与a+3b垂直？
21.(本小题12分)
已知△ABC中，a2+c2=b2+ac．
(1)求角B;
(2)若b= 14，sinC=3sinA，求△ABC的面积．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式及对称中心；
(2)先将f(x)的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的12倍，得到函数g(x)图象，再将g(x)图象右平移π12个单位后得到h(x)的图象，求函数y=h(x)在x∈[π12,3π4]上的单调减区间．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．
先根据正弦定理bsinB=asinA将题中所给数值代入求出sinA的值，进而求出A，再由a【解答】
解：由正弦定理得：asinA=bsinB⇒ 2sinA= 3sinB，
则sinA= 2 3sinB= 22，
∵A∈(0 ∘,180 ∘)，
∴A=45°或135°，
∵a∴A∴A=45°，
故选：C．
2.【答案】A
【解析】解：a=(1,2)，b=(m,2−m)，a//b，
则2m=2−m，解得m=23．
故选：A．
根据已知条件，结合向量平行的性质，即可求解．
本题主要考查向量平行的性质，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由已知得a⋅(2a−b)
=2a2−a⋅b
=2|a|2−a⋅b
=2+1=3．
故选：B．
直接利用向量的加减法和数量积的运算性质求解．
本题考查了向量的加、减法和数量积的运算性质．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查平面向量的数量积运算，关键是向量垂直的条件．属于基础题．
可先由向量垂直得到数量积等于零，再结合夹角计算公式求解即可．
【解答】
解：设向量a与b的夹角为θ，则由(a→−b→)⊥b→，
得(a→−b→)⋅b→=a→⋅b→−b→2=|a→||b→|csθ−|b→|2=2|b→|2csθ−|b→|2=0，
所以csθ=12，
因为0<θ<π，
所以θ=π3，
故选B．
5.【答案】D
【解析】解：由CA=b，得AC=−b，
因为AD是△ABC的中线，
所以AD=12(AB+AC)=12(a−b).
故选：D．
根据AD是△ABC的中线可得AD=12(AB+AC)，进一步结合AB=a，AC=−CA=−b即可求解．
本题考查平面向量的线性运算，考查学生直观想象与数形结合的能力，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查同角三角函数的基本关系式，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．
由题意利用同角三角函数的基本关系式，两角差的余弦公式，计算求得结果．
【解答】
解：A，B为锐角，csA=35,csB=513，∴sinA= 1−csA2=45，sinB= 1−cs2B=1213，
则cs(A+B)=csAcsB−sinAsinB=35×513−45×1213=−3365，
故选：C．
7.【答案】B
【解析】解：由题意，∵asinAsinB+bcs2A= 3a，
∴sin2AsinB+sinBcs2A= 3sinA
∴sinB= 3sinA
∴ba=sinBsinA= 3
故选：B．
先利用正弦定理，将边转化为角，化简即可得到结论．
本题考查正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：△ABC中，a：b：c=3：2：4，
所以设a=3k，b=2k，c=4k，且k≠0；
所以csC=a2+b2−c22ab=9k2+4k2−16k22×3k×2k=−14．
故选：D．
根据a：b：c=3：2：4，利用余弦定理求出csC的值．
本题考查了余弦定理的应用问题，是基础题目．
9.【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查了根据向量的坐标求向量模，向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于中档题．
可以求出|a|=2,|b|= 2，从而判断A错误；得出(a−b)⋅b=0，从而判断B错误，C正确；求出cs= 22，从而判断D正确．
【解答】
解：∵|a|=2,|b|= 2，∴A错误；
∵a−b=(1,−1)，∴(a−b)⋅b=1−1=0，∴(a−b)⊥b，∴B错误，C正确；
∵cs=a⋅b|a||b|=22 2= 22，且0≤≤π，
∴a与b的夹角为π4，∴D正确．
故选CD．
10.【答案】ABD
【解析】解：由向量的数乘运算可知，(−3)⋅2a=−6a，故A正确．
由向量的数乘运算可知，2(a+b)−(2b−a)=2a+2b−2b+a=3a，故B正确．
由向量的数乘运算可知，(a+2b)−(2b+a)=a+2b−2b−a=0，故C错误．
由向量的数乘运算可知，2(3a−b)=6a−2b，故D正确．
故选：ABD．
根据向量的加减和数乘运算，即可得出结论．
本题主要考查向量的线性运算，属于基础题．
11.【答案】BD
【解析】解：对于A，sin(32π−α)=−csα，故A错；
对于B，512πrad=512×180°=75°，故B正确；
对于C，若α终边上有一点P(−4,3)，则sinα=3 42+32=35，故C不正确；
对于D，若一扇形弧长为2，圆心角为60°，则该扇形的半径为6π，面积为12×2×6π=6π，故D正确．
故选：BD．
利用诱导公式可判断A，利用弧度与角度之间的转化公式可判断B，利用任意角的三角函数定义可判断C，利用扇形的弧长和面积公式可判断D．
本题主要考查了三角函数定义，诱导公式，角度与弧度的相互转化及扇形的面积公式，属于基础题．
12.【答案】ACD
【解析】解：对于A，由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R，
可得：a：b：c=2RsinA：2RsinB：2RsinC=sinA：sinB：sinC，故正确；
对于B，由sin2A=sin2B，可得A=B，或2A+2B=π，即A=B，或A+B=π2，
∴a=b，或a2+b2=c2，故B错误；
对于C，在△ABC中，由正弦定理可得sinA>sinB⇔a>b⇔A>B，因此A>B是sinA>sinB的充要条件，正确；
对于D，由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R，
可得右边=b+csinB+sinC=2RsinB+2RsinCsinB+sinC=2R=左边，故正确．
故选：ACD．
由正弦定理，二倍角的正弦函数公式逐一分析各个选项即可求解．
本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
13.【答案】1
【解析】解：sin31°cs59°+cs31°cs31°=sin31°cs59°+cs31°sin59°=sin(31°+59°)=sin90°=1．
故答案为：1．
利用诱导公式和两角和差公式即可．
本题考查两角和差公式，属于基础题．
14.【答案】12
【解析】【分析】
本题考查平面向量的加法、减法以及数乘运算，是基础题．
利用向量坐标运算法则求出2a+b=(4,2)，再由向量平行的性质能求出λ的值．
【解答】解：∵向量a=(1,2)，b=(2,−2)，
∴2a+b=(4,2)，
∵c=(1,λ)，c/​/(2a+b)，
∴14=λ2，解得λ=12．
故答案为：12．
15.【答案】−1
【解析】解：因为x∈[0,π2]，所以2x+π4∈[π4,5π4]
所以当2x+π4=π时，函数f(x)min=−1．
故答案为：−1．
根据余弦函数的性质结合整体思想即可得解．
本题主要考查三角函数最值的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】−b
【解析】解：∵(a−2b)⋅(a+b)=a2−a⋅b−2b2，且|a|=3,|b|=2，
则32−a⋅b−2×22=5，解得a⋅b=−4，
故a在b方向上的投影向量为(|a|cs〈a,b〉)b|b|=(|a|a⋅b|a||b|)b|b|=(a⋅bb2)b=−44b=−b．
故答案为：−b．
先根据数量积的运算律求a⋅b，进而求a在b方向上的投影向量．
本题主要考查投影向量的运算，属于基础题．
17.【答案】解：(1)因为a=(1,0)，b=(−1,2)．
所以2a+b=2(1,0)+(−1,2)=(2,0)+(−1,2)=(1,2)；
(2)a⋅(a−b)=(1,0)⋅(2,−2)=1×2+0×(−2)=2．
【解析】利用向量加法、数乘以及数量积的坐标运算公式计算即可．
本题考查坐标条件下的数量积、向量加法、减法以及数乘运算法则，属于基础题．
18.【答案】解：(I)因为函数f(x)=sin(2x−π6)−1，
所以函数f(x)的最小正周期为2π2=π，
(II)当x∈[0,π2]，
−π6≤2x−π6≤5π6，
所以当2x−π6=−π6，
即x=0时函数取得最小值sin(−π6)−1=−32，
当2x−π6=π2，即x=π3时，函数取得最大值sin(π2)−1=0
综上所述：当x=0时，函数取得最小值−32，
当x=π3时，函数最得最大值0．
【解析】(I)由三角函数的解析式，分析周期，
(II)由三角函数的解析式，求最值即可．
本题考查三角函数的周期和最值，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由题知|a|=3,|b|=2，
∴(2a−3b)⋅(2a+b)=4a2−4a⋅b−3b2=4×32−4a⋅b−3×22=2，
∴a⋅b=1．
(2)存在．理由如下：假设存在实数t，使得λa+b与a−2b共线，
则λa+b=t(a−2b),t∈R，即(λ−t)a=(−2t−1)b，
∵a,b不共线，∴λ−t=0−2t−1=0，
解得t=−12λ=−12，
即存在实数λ=−12，使得λa+b与a−2b共线．
【解析】(1)根据平面向量数量积概念即可求解；
(2)通过平面向量共线定理建立方程即可求解．
本题考查面向量数量积概念，平面向量共线定理，方程思想，属基础题．
20.【答案】解：(1)|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为120°．
(2a−b)·(a+3b)=2a2+5a⋅b−3b2=8−15−27=−34；
|a+b|= a2+2a⋅b+b2= 4−6+9= 7；
(2)xa−b与a+3b垂直，
可得(xa−b)·(a+3b)=0，
所以xa2−a⋅b+3xa⋅b−3b2=0，
4x+3−9x−27=0，
解得x=−245．
【解析】本题考查了向量的数量积，向量的模的求法，向量垂直条件的应用，是基础题．
(1)利用向量的数量积以及向量的模的运算法则化简求解即可．
(2)利用向量的数量积为0，列出方程求解即可．
21.【答案】解：(Ⅰ)因为在△ABC中，a2+c2=b2+ac，
所以由余弦定理可得csB=a2+c2−b22ac=ac2ac=12，
又B∈(0,π)，
可得B=π3．
(Ⅱ)因为sinC=3sinA，
所以由正弦定理可得c=3a，
又b= 14，B=π3，
所以由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，可得14=a2+9a2−2×a×3a×12，
解得a= 2，c=3 2，
所以△ABC的面积S=12acsinB=12× 2×3 2× 32=3 32．
【解析】(Ⅰ)由已知利用余弦定理可得csB的值，结合范围B∈(0,π)，可求B的值．
(Ⅱ)由正弦定理化简已知等式可得c=3a，进而利用余弦定理解得a的值，可求c的值，进而利用三角形的面积公式即可求解．
本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由函数图象知，A=2，
由函数图象可知过(−π3,0)和(5π12,2)，
则−π3ω+φ=−π+2kπ,k∈Z5π12ω+φ=π2+2kπ,k∈Z|φ|<π，解得ω=2，φ=−π3，
所以f(x)=2sin(2x−π3)；
函数的对称中心的横坐标满足：2x−π3=kπ，k∈Z，解得x=π6+kπ2,k∈Z，
即f(x)的对称中心为(π6+kπ2,0),k∈Z；
(2)先将f(x)的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的12倍，
得到函数g(x)图象，即g(x)=sin(2x−π3)，
再将g(x)图象右平移π12个单位后得到h(x)的图象，
即h(x)=sin[2(x−π12)−π3]=sin(2x−π2)=−cs2x，
函数的单调递减区间区间满足：2x∈[2kπ−π,2kπ]，k∈Z，则x∈[kπ−π2,kπ]，k∈Z，
因为x∈[π12,3π4]，
再由k=1时满足条件，且x∈[π2,3π4]，
即函数y=h(x)在x∈[π2,3π4]上的单调减区间为[π12,3π4].
【解析】(1)由图知，A=2，T=π，由ω=2πT求得ω的值，将点(5π12,2)代入f(x)的解析式中，可得φ的值，再根据正弦函数的中心对称性，得解；
(2)根据三角函数图象的变换规律可求得h(x)的解析式，结合余弦函数的性质即可求得答．
本题考查由函数的部分图象求解析式及余弦函数的性质的应用，属于中档题．