2022-2023学年河北省唐山市十县一中联盟高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省唐山市十县一中联盟高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知为虚数单位，若复数，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知向量，，则与的夹角为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知为虚数单位，是关于的方程的一个根，则实数(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  小明为了加强体育锻炼，提高身体素质，从网上购买了一对大小相同的健身哑铃哑铃是由两个全等的大圆柱和中间一个连杆圆柱构成的，已知大圆柱的底面直径是，高为，连杆圆柱的底面直径是，高为，则一只健身哑铃的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，矩形是水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，，则平面四边形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在中，角，，所对的边分别是，，，且，，，则(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

8.  正四棱锥中，底面边长，侧棱，在该四棱锥的内部有一个小球，则小球表面积的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列四个命题中，真命题是(    )

A. 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内
B. 四边形可以确定一个平面
C. 若直线，相交，且平面，则
D. 若直线平面，直线平面，则

10.  在正方形中，，点满足，则下列说法正确的是(    )

A. 当时， B. 当时，
C. 存在，使得 D. 的最小值为

11.  如图，，，，为三棱柱的顶点或所在棱的中点，下列图形中，直线与是异面直线的为(    )

A.  B.
C.  D.

12.  在中，角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是(    )

A. 若，，则为等边三角形
B. 是成立的充要条件
C. 若的面积为，则
D. 若点满足，且，则

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  若复数，，，其中，为实数，则 ______ ．

14.  已知，，，且，，三点共线，则 ______ ．

15.  记的内角，，的对边分别为，，，若边上的高为，且满足，则 ______ ．

16.  已知四点，，，在半径为的圆上，，则的最大值为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知向量与满足，，与的夹角为．
求；
求；
当为何值时，？

18.  本小题分
已知，，复数，且，复数在复平面上对应的点在函数的图象上．
求复数；
若为纯虚数，求实数的值．

19.  本小题分
如图，圆锥的底面半径，母线的长为，为上靠近的一个三等分点，从点拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点．
求绳子的最短长度；
过点作一个与底面平行的截面，将圆锥分为上、下两部分，其体积分别为，，求．

20.  本小题分
在中，，，为的平分线，在边上．
若，求的长；
若，求．

21.  本小题分
如图，某景区绿化规划中，有一块等腰直角三角形空地，，，为上一点，满足现欲在边界，不包括端点上分别选取，两点，并在四边形区域内种植花卉，且，设．
证明：；
为何值时，花卉种植的面积占整个空地面积的一半？

22.  本小题分
如图，扇形的半径为，圆心角为，点是弧上一动点不包括端点，且于，于设，将扇形绕所在直线旋转一周，由图中空白部分旋转形成的几何体的表面积记为，体积记为．

若，求；
当为多大时，最大，并求最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：；
；
又；
与的夹角为．
故选：．
根据向量的坐标即可求出，从而可求出，根据向量夹角的范围即可求出的夹角．
考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，向量夹角的余弦公式，以及向量夹角的范围．
 

3.【答案】 

【解析】解：是关于的方程的一个根，
则是关于的方程的另一个根，
故，解得．
故选：．
根据已知条件，结合韦达定理，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：设圆锥的底面半径为，
则，解得，
计算圆锥的高为，
所以圆锥的体积为．
故选：．
根据侧面展开图计算底面半径，求出圆锥的高，再计算圆锥的体积．
本题考查了圆锥的结构特征与体积计算问题，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：该健身哑铃的体积
故选：．
直接利用圆柱体积公式求解．
本题考查圆柱体积的求法，考查运算求解能力，属基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意，直观图矩形中，，，则其面积，
则原图四边形的面积．
故选：．
根据题意，求出直观图的面积，结合直观图与原图的面积关系，计算可得答案．
本题考查斜二测画法，涉及平面图形的直观图，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题给出三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角．着重考查了利用正弦定理解三角形的知识，属于基础题．
根据正弦定理，代入题中数据算出，结合得，可得，得到本题答案．
【解答】
解：中，，，
由正弦定理，得
，
或，结合可得
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：当小球与正四棱锥各面相切时半径最大，此时小球表面积最大，
设小球的半径为，
由底面边长，侧棱，可得正四棱锥的高为，
，
又侧面面积为，底面面积为，
，解得，
小球表面积的最大值为
故选：．
当小球与正四棱锥各面相切时半径最大，此时小球表面积最大，计算求解即可．
本题考查空间几何体内切球的表面积的求法，属中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，两两相交且不过同一点的三条直线必有个不共线的交点，这个交点唯一确定一个平面，
则两两相交且不过同一点的三条直线必在这个平面内，A正确；
对于，空间四边形不能确定一个平面，B错误；
对于，假设，由于平面，则与平面没有公共点，而，则与没有公共点，
与已知直线，相交矛盾，故一定有，C正确；
对于，若直线平面，直线平面，或与相交，D错误．
故选：．
根据题意，由直线与平面的位置关系依次分析选项，综合可得答案．
本题考查直线与平面的位置关系，涉及平面的基本性质，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，

当时，，，故A正确；
当时，，，
，
，，
，故B错误；
，，
若，则
，解得，
不存在，使得，故C错误；
，，
当时，的最小值为，故D正确．
故选：．
把代入，利用平面向量的加法与数乘运算判断；把代入，再由数量积求夹角判断；由向量垂直与数量积的关系列式求解，即可判断；求出的最小值判断．
本题考查平面向量数量积的运算及性质，考查运算求解能力，是中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于，平面，平面，，平面，由异面直线的定义可知，直线与是异面直线，故A正确；
对于，、为所在棱的中点，由平行公理可得，，故B错误；
对于，如图，

分别取底面三角形两边的中点，，连接，，证得平面平面，进一步得到，
与无公共点，若与平行，得到与平行，这样矛盾，可得与异面，故C正确；
对于，平面，平面，，平面，由异面直线的定义可知，直线与是异面直线，故D正确．
故选：．
由异面直线的定义判断与；由平行公理判断；利用反证法思想说明．
本题考查空间中异面直线的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查推理论证能力，是中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于：在中，，，由正弦定理得，，
又，
，解得，一定是等边三角形，故A正确．
对于：若，且，，则，则，
反之也成立，故A是成立的充要条件，故B正确．
对于：由的面积为，得，
，，由正弦定理可得，
，或，，或，故C错误；
对于：在中，由正弦定理可得，
在中，由正弦定理可得，
，，，故D正确．
故选：．
利用正余弦定理，结合每个选项条件计算可得答案．
本题考查正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
则，即，解得，
故，，
所以．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，，且，，三点共线，
直线和直线的斜率相等，即，则．
故答案为：．
由题意利用三点共线的性质，直线的斜率公式，计算求得的值．
本题主要考查三点共线的性质，直线的斜率公式，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，边上的高为，
则在中，，
则在中，，
，
又，
，
，，
则两边同时除以，得：．

将在直角三角形中用其他边角表示出来，再结合条件式化简即可求得．
本题考查解三角形之高线的应用，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，不妨取，，

设，则，，
，，
，，
；

．


．
当时，的最大值为．
故答案为：．
由题意建立平面直角坐标系，不妨取，，设，则，，再由数量积的坐标运算及三角函数求最值．
本题考查平面向量数量积的运算及性质，考查运算求解能力，建系是关键，是中档题．
 

17.【答案】解：，，与的夹角为，
；
；
，
，即，
即，解得，
故当时， 

【解析】利用数量积公式，求解即可得出答案；
由题意得，求解即可得出答案；
由题意得，即，求解即可得出答案．
本题考查平面向量的数量积和线性运算，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：，
复数在复平面上对应的点在函数的图象上，
，解得，
，
，解得负值舍去，
；
为纯虚数，
则，解得． 

【解析】根据已知条件，结合复数的四则运算，复数模公式，复数的几何意义，即可求解；
根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于中档题．
 

19.【答案】解：将圆锥侧面沿母线展开可得一扇形，连接，此时绳子的长度最短，
在中，，，，

由余弦定理得，；
过点做与底面平行的截面，将圆锥分为上下两部分，
上部分圆锥体积为下部分圆台体积为，设大圆锥体积为，
，
即，，
所以． 

【解析】将圆锥侧面沿母线展开可得一扇形，连接，此时绳子的长度最短，计算即可；
上部分圆锥体积为下部分圆台体积为，设大圆锥体积为，分别计算即可．
本题考查最短距离的计算，考查体积的计算，属中档题．
 

20.【答案】解：由，，
由余弦定理可得，
的长为；
设，由得，
，
因为，所以，
即，故，
则． 

【解析】由余弦定理可得的长；
设，由得，即可求解．
本题考查了余弦定理、角平分线性质，属于中档题．
 

21.【答案】解：证明：由已知得，，，
在中，，，
在中，，，，
在中，由正弦定理得：，所以，
在中，由正弦定理得：，所以，
又，
由得：；
，
，，
所以，即，
由知，所以，
又，
代入解得：，，
所以，当为时，花卉种植的面积占整个空地面积的一半． 

【解析】在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：，线合已知可证；
利用，可得，又，可求．
本题考查正弦定理在解三角形中的应用，考查三角形的面积公式，考查三角恒等变换，属中档题．
 

22.【答案】解：由题意可知，空白部分旋转形成的几何体为圆柱，
若，则，，
；
由题意可知，，，
，
，
，
令，则，
，，
，
，
设，，
在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递增，
，
此时，即，
又，，
，，
即当时，的值最大，最大值为． 

【解析】由题意可知，空白部分旋转形成的几何体为圆柱，利用圆柱的表面积公式求解即可；
利用圆柱的表面积公式和体积公式表达出，，进而求出的表达式，再利用换元法，结合三角函数的性质求解即可．
本题主要考查了圆柱的表面积公式个体积公式，考查了三角函数的实际应用，属于中档题．