2023-2024学年江苏省泰州市泰兴市实验初中教育集团九年级（下）3月月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省泰州市泰兴市实验初中教育集团九年级（下）3月月考数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.27的立方根是( )
A. 3B. ±3C. 9D. ±9
2.下列运算正确的是( )
A. 3a2+2a4=5a6B. a2⋅a3=a6C. 2a23=6a6D. −2a32=4a6
3.一组数据5，3，6，6，6，1，4，若去掉一个数据，则下列统计量一定不发生变化的是( )
A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 方差
4.2sin60°的值等于( )
A. 12B. 33C. 22D. 3
5.如图，PA,PB是⊙O的切线，A，B为切点，过点A作AC//PB交⊙O于点C，连接BC，若∠P=α，则∠PBC的度数为
( )
A. 90∘+12αB. 90∘−12αC. 180∘−αD. 180∘−12α
6.已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图，则一次函数y=ax+b和反比例函数y=cx的图象为
( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.2024年我国国内旅游人数将超过6000000000人次．经济呈乐观发展态势，将6000000000用科学记数法表示是__________．
8.已知a2=b3=c4，则a+bc=_______．
9.分解因式：a2−ab=_______________．
10.已知−1是方程x2+ax−b=0的一个根，则a2−b2+2b的值为________．
11.方程2x+3=1x−1的解为_____．
12.已知y是x的反比例函数，其部分对应值如表：若a”“<”或“=”)
13.若式子1 x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________．
14.如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是 3,0，0,1，点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的面积是_________．
15.设x1、x2是方程x2−3x+2=0的两个根，则x1+x2−x1x2=________．
16.如图，抛物线y=ax2+bx+ca≠0的图象与x轴交于A，B两点，其顶点为P，连接AP，若AB=12，AP=10，则a的值是_________．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
17.(1)−2024+π0−16−1+ 16；(2)解方程组x+2y=52x+y=−2．
18.计算m2−1m÷m+2m+1m．
四、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
解不等式组4x+1≤7x+10①x−5请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得____；
(2)解不等式②，得____；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为____．
20.(本小题8分)
2022年4月，教育部印发了新的《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某校据此开展了“布艺”，“烹饪”，“家居美化”三门课．甲，乙，丙三名同学分别从中随机选择一门学习．
(1)求甲，乙选择的课相同的概率；
(2)甲，乙，丙选择的课均不相同的概率是________．
21.(本小题8分)
如图，点D、E、F分别在边长为4的等边▵ABC的三边AB、AC、BC上，且DE⊥EF，∠DFE=60∘．
(1)求证：▵DBF∽▵FCE；
(2)若AE=3，求BF的长．
22.(本小题8分)
如图为在地面上水平放置的某圆柱形垃圾桶的侧面示意图，其中矩形ABF′E表示该垃圾桶的桶盖，已知DE=30cm，AB=20cm，AE=1.5cm.在打开垃圾桶盖的过程中，当开口∠FEF′=50∘时，求此时垃圾桶的最高点B到地面的距离(精确到0.1cm).(参考数据：sin50∘≈0.77，cs50∘≈0.64，tan50∘≈1.19)
23.(本小题8分)
操作题：如图，⊙O是▵ABC的外接圆，弦AD平分∠BAC，P是⊙O上一点．
(1)请你只用无刻度的直尺在圆上找一点P使PB=PC；
(2)在(1)的条件下，当BC=8，圆的半径为5的时候，求S▵PBC的面积．
24.(本小题8分)
【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L(灯丝的阻值RL=2Ω)亮度的实验(如图)，已知串联电路中，电流与电阻R、RL之间关系为I=UR+RL，通过实验得出如下数据：
(1)a=___________，b=___________；
(2)【探究】根据以上实验，构建出函数y=12x+2x≥0，结合表格信息，探究函数y=12x+2x≥0的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数y=12x+2x≥0的图象；
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是____________．
(3)【拓展】结合(2)中函数图象分析，当x≥0时，12x+2≥−x+6
解集为____________．
25.(本小题8分)
已知：二次函数y=x2+bx+c的顶点P在直线y=−4x上，并且图像经过点A−1,0．
(1)求这个二次函数的 解析式；
(2)D是线段BP上的一个动点，过点D作DE⊥x轴于点E，E点的坐标为a,0，△DCE的面积为S，
①求△DCE的面积S的最大值；
②在BP上是否存在点D，使△DCE为直角三角形？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
26.(本小题8分)
某玩具公司对一款长90厘米的玩具火车做性能测试．现有一斜坡轨道AB，如图玩具火车从A点匀速出发，途中玩具火车头经过测速点2秒后，火车的尾部也经过测速点．火车头到达B点时火车停留了2秒，然后进行倒车测试，火车匀速倒回点A运动停止．设运动时间为t秒，车尾离A的距离为m厘米，车头离B的距离为n厘米，记y=m−n，已知火车从A向B运动过程中，t=7和t=9的时候与之对应的y的值互为相反数．火车从点A出发到倒回到点A，整个过程总用时36秒(含停留时间)．
(1)火车从A向B运动的 速度为_______厘米/秒；
(2)轨道AB的长为________厘米；
(3)求火车倒回过程中y与t的函数表达式；
(4)在整个过程中，若y=360，求t的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．
【详解】解：∵3的立方等于27，
∴27的立方根等于3．
故选A．
2.【答案】D
【解析】【分析】根据积的乘方，同底数幂乘法和合并同类项等计算法则求解判断即可．
【详解】解：A、3a2与2a4不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、a2⋅a3=a5，原式计算错误，不符合题意；
C、2a23=8a6，原式计算错误，不符合题意；
D、−2a32=4a6，原式计算正确，符合题意；
故选D．
3.【答案】B
【解析】【分析】此题主要考查统计的有关知识，根据众数，中位数，平均数，方差的定义判断即可．
【详解】解：∵数据5，3，6，6，6，1，4中，6出现了3次，
∴这组数据的众数为6，
去了一个6后，这组数据中，6出现了2次，众数仍然是6，
若去掉的是其他数字，这组数据中，6出现了3次，众数仍然是6，
∴众数没有变化，平均数，中位数，方差都发生了变化，
故选：B．
4.【答案】D
【解析】【分析】根据特殊锐角三角函数值代入计算即可．
【详解】解：2sin60°=2× 32= 3，
故选：D．
5.【答案】A
【解析】【分析】连接OA,OB，根据切线的性质得出∠OAP=∠OBP=90∘，根据四边形内角和为360∘，求得∠AOB=180∘−α，根据圆周角定理得出∠C=12∠AOB=90∘−12α，然后根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，连接OA,OB，

∵PA,PB是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90∘，
∵∠P=α，
∴∠AOB=180∘−∠P=180−α，
∵AB⌢=AB⌢，
∴∠C=12∠AOB=90∘−12α，
∵AC//PB
∴∠PBC=180∘−∠C=90∘+12α，
故选：A．
6.【答案】B
【解析】【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴位置，于y轴交点，确定a、b、c符号，进而确定一次函数与反比例函数所在象限，即可求解，
本题考查了，通过函数图像判断二次函数的各项系数，一次函数与反比例函数图像的综合判断，解题的关键是：熟练掌握函数的系数与函数图像之间的对应关系．
【详解】解：由二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象可知：
∵二次函数开口向下，
∴a<0，
∵对称轴位于y轴右侧，
∴−b2a<0，则：b<0，
∵抛物线交于y轴的负半轴，
∴c<0，
∴一次函数y=ax+b的图像，经过二、三、四象限，反比例函数y=cx在二、四象限，
故选：B．
7.【答案】6×109
【解析】【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数，由此进行求解即可得到答案，
解题的 关键是：熟记科学记数法的规则．
【详解】解：6000000000=6×109，
故答案为：6×109．
8.【答案】54
【解析】【分析】根据比例的性质设a=2k，b=3k，c=4k，再代入a+bc计算可求解．
【详解】解：由题意设a=2k，b=3k，c=4k，
∴a+bc=2k+3k4k=5k4k=54．
故答案为：54．
9.【答案】a(a−b)
【解析】【详解】解：a2−ab=a(a−b)．
故答案为a(a−b)．
10.【答案】１
【解析】【分析】把x=−1代入方程x2+ax−b=0，得a+b=1，再代入a2−b2+2b中即可．
【详解】解：∵−1是方程x2+ax−b=0的一个根，
∴1−a−b=0，
∴a+b=1，
a2−b2+2b=(a+b)(a−b)+2b=a−b+2b=a+b=1，
故答案为：1．
11.【答案】x=5
【解析】【详解】解：方程2x+3=1x−1的两边同时乘以(x+3)(x−1)，
得：2(x−1)=x+3，
解得x=5．
检验：把x=5代入(x+3)(x−1)≠0
∴原方程的解为：x=5．
故答案为x=5．
12.【答案】<
【解析】【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，判断反比例函数的增减性，根据−2<−1,a【详解】解：∵−2<−1,a∴在每个象限内y随x增大而增大，
∵1<2，
∴m故答案为：<．
13.【答案】x>1
【解析】【分析】使代数式有意义的条件是：分母不能为0，二次根式中的被开方数不能为负数．
【详解】解：根据题意得：x−1>0，
解得：x>1．
故答案为：x>1．
14.【答案】2 3
【解析】【分析】本题主要考查了坐标与图形，菱形的性质，先根据点A和点B的坐标得到OA= 3,OB=1，再由菱形的性质得到AC=2OA=2 3,BD=2OB=2，据此利用菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可．
【详解】解：∵A，B两点的坐标分别是 3,0，0,1，
∴OA= 3,OB=1，
∵四边形ABCD是菱形，且点C，D在坐标轴上，
∴AC=2OA=2 3,BD=2OB=2，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×2 3×2=2 3，
故答案为：2 3．
15.【答案】1
【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系公式，可直接求得x1+x2和x1x2．
【详解】如果方程ax2+bx+c=0a≠0的两个实数根是x1、x2，那么x1+x2=−ba，x1x2=ca.可知：x1+x2=−−31=3,x1⋅x2=21=2，所以x1+x2−x1x2=3−2=1．
16.【答案】−29
【解析】【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，勾股定理，过点P作PH⊥AB于H，则AH=BH=12AB=6，利用勾股定理求出PH= AP2−AH2=8，设Pm,8，则Am−6,0，则抛物线解析式为y=ax−m2+8，把点A坐标代入解析式中求解即可．
【详解】解：如图所示，过点P作PH⊥AB于H，则AH=BH=12AB=6，
∵AP=10，
∴PH= AP2−AH2=8，
设Pm,8，则Am−6,0，则抛物线解析式为y=ax−m2+8，
∴am−6−m2+8=0，
解得a=−29，
故答案为：−29．
17.【答案】解：(1)−2024+π0−16−1+ 16
=2024+1−6+4
=2023；
(2)x+2y=5①2x+y=−2②
②×2−①得：3x=−9，解得x=−3，
把x=−3代入①得：−3+2y=5，解得y=4，
∴方程组的解为x=−3y=4．

【解析】【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂等等：
(1)先计算零指数幂，负整数指数幂和算术平方公式，再计算绝对值，最后计算加减法即可；
(2)利用加减消元法接方程组即可．
18.【答案】原式=m2−1m÷m2m+2m+1m
=m2−1m÷m2+2m+1m
=(m+1)(m−1)m⋅m(m+1)2
=m−1m+1．

【解析】【分析】先根据异分母分式的加法法则计算括号里的加法，再将除法转化为乘法，约分即可得出答案．
19.【答案】【小问1详解】
解：4x+1≤7x+10
4x+4≤7x+10
4x−7x≤10−4
−3x≤6
x≥−2
故答案为：x≥−2；
【 小问2详解】
解：x−53x−53x−153x−x<15−8
2x<7
x<3.5
故答案为：x<3.5；
【小问3详解】
解：在数轴上表示如下：
【小问4详解】
解：由数轴可得，不等式组的解集为：−2≤x<3.5，
故答案为：−2≤x<3.5．

【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式组，以及在数轴上表示解集．
(1)根据去括号，移项，合并，系数化为1计算即可；
(2)根据去分母，去括号，移项，合并，系数化为1计算即可；
(3)分别将两个不等式的解集表示在数轴上即可；
(4)根据数轴上的公共部分即可写出解集．
20.【答案】【小问1详解】
甲，乙选择的课，可能出现的结果有9种，即(布艺，布艺)，(布艺，烹饪)，(布艺，家居美化)，(烹饪，布艺)，(烹饪，烹饪)，(烹饪，家居美化)，(家居美化，布艺)，(家居美化，烹饪)，(家居美化，家居美化)，并且它们出现的可能性相同．其中甲，乙选择的课相同(记为事件A)的结果有3种，即(布艺，布艺)，(烹饪，烹饪)，(家居美化，家居美化)，
所以P(A)=39=13．
【小问2详解】
把“布艺”，“烹饪”，“家居美化”分别记为A，B，C，画出树状图，如下：
由树状图可知，共有27种等可能得结果，其中甲，乙，丙选择的课均不相同(记为事件B)的结果有6种，
所以P(B)=627=29，
故答案是29．

【解析】【分析】(1)先列举出所有等可能得结果，再根据概率计算公式计算即可；
(2)先画出树状图，再根据概率计算公式计算即可得出答案．
21.【答案】【小问1详解】
证明：∵▵ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60∘，
∴∠BDF+∠BFD=120∘，
∵∠DFE=60∘，
∴∠BFD+∠CFE=120∘，
∴∠BDF=∠CFE，
∴▵DBF∽▵FCE；
【小问2详解】
解：∵▵ABC是边长为4的等边三角形，
∴AC=BC=4，
∵AE=3，
∴CE=1，
∵DE⊥EF，∠DFE=60∘，
∴DF=EFcs∠DFE=2EF，
∵▵DBF∽▵FCE，
∴BFCE=DFEF=2，
∴BF=2CE=2．

【解析】【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形：
(1)先由等边三角形的性质得到∠B=∠C=60∘，再由三角形内角和定理和平角的定义证明∠BDF=∠CFE，即可证明▵DBF∽▵FCE；
(2)先求出CE=1，再解直角三角形得到DF=2EF，利用相似三角形的性质得到BFCE=DFEF=2，则BF=2CE=2．
22.【答案】【详解】解：过B作BH⊥DC，交EF于M，交EF′于N，如图所示：
∵∠F′=∠NME=90∘,∠MNE=∠BNF′，
∴∠NBF′=∠FEF′=50∘
在Rt▵BF′N中，∵BF′=AE=1.5cm，∠NBF′=∠FEF′=50∘，
∴BN=BF′cs50∘≈，
NF′=BF′⋅tan50∘≈1.5×1.19=1.79cm，
在矩形ABF′E中EF′=AB=20cm，
在Rt▵NME中，∵EN=EF′−NF′=20−1.79=18.21cm，
∴NM=EN⋅sin50∘≈18.21×0.77=14.02cm，
∵MH=ED=30cm，
∴BH=BN+NM+MH=2.34+14.02+30≈46.4cm．
即垃圾桶的最高点B到底面的距离约为46.4cm．

【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形函数的定义．过B作BH⊥DC，交EF于M，交EF′于N，根据三角函数的定义分别求出BN=BF′cs50∘≈，NM=EN⋅sin50∘≈18.21×0.77=14.02cm，然后相加即可．
23.【答案】【小问1详解】
解：如图所示，连接DO并延长交⊙O于点P，点P即为所求；
由角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD，则BD⌢=CD⌢，则BP⌢=CP⌢，则PB=PC；
【小问2详解】
解：设DP交BC于H，连接OB，
角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD，则BD⌢=CD⌢，
∴PD⊥BC，
∴BH=12BC=4，
∴OH= OB2−BH2=3，
∴PH=8，
∴S▵PBC=12BC⋅PH=12×8×8=32．

【解析】【分析】本题主要考查了弧与弦，圆周角之间的关系，垂径定理的推论，勾股定理等等：
(1)如图所示，连接DO并延长交⊙O于点P，点P即为所求；
(2)先由垂径定理的推论得到PD⊥BC，再利用勾股定理求出OH的长，进而求出PD⊥BC的长，即可根据三角形面积公式求出答案．
24.【答案】【小问1详解】
解：根据题意得：2.4=12a+2，b=121+2，
∴a=3，b=4，
故答案为：3，4，
【小问2详解】
解：①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中函数y=12x+2x≥0的图象如下：
②由图像可知随着自变量x的不断增大，函数值y的不断减小，
故答案为：不断减小，
【小问3详解】
解：作函数y=−x+6的图象，
由函数图象可知，当x≥4或x=0时，12x+2≥−x+6，
即：当x≥0时，12x+2≥−x+6的解集为：x≥4或x=0，
故答案为：x≥4或x=0．

【解析】【分析】(1)由已知列出方程，即可求解，
(2)①用描点法，画出图象，②根据烦你里函数的图象性质，即可求解，
(3)作函数y=−x+6的图象，根据图象，即可求解，
本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：画出函数图象，应用数形结合的思想．
25.【答案】【小问1详解】
解：设抛物线顶点坐标为m,−4m，则抛物线解析式为y=x−m2−4m，
把A−1,0代入y=x−m2−4m中得：−1−m2−4m=0，解得m=1，
∴抛物线解析式为y=x−12−4=x2−2x−3；
【小问2详解】
①解：由(1)得点P坐标为1,−4
在y=x2−2x−3中，当y=x2−2x−3=0时，解得x=−1或x=3，
∴B3,0，
设直线BC解析式为y=kx+b′，
∴k+b′=−43k+b′=0,
∴k=2b′=−6,
∴直线BC解析式为y=2x−6，
∵DE⊥x，E点的坐标为a,0，
∴Da,2a−6，
∴DE=6−2a，
∴S▵CDE=12DE⋅OE=12a6−2a=−a−322+94，
∵−1<0，
∴当a=32时，S▵CDE有最大值，最大值为94；
②在y=x2−2x−3中，当x=0时，y=−3，
∴C0,−3；
∵DE⊥x，E点的坐标为a,0，
∴Da,2a−6，
∴CE2=a2+32=a2+9，DE2=6−2a2=4a2−24a+36，CD2=a−02+2a−6+32=5a2−12a+9，
当∠DCE=90∘时，则CE2+CD2=DE2，
∴5a2−12a+9+a2+9=4a2−24a+36，
解得a=−3+3 2或a=−3−3 2(舍去)，
∴点D的坐标为−3+3 2,6 2−12；
当∠CDE=90∘时，则CE2=CD2+DE2，
∴5a2−12a+9+4a2−24a+36=a2+9，2a2−9a+9=0
解得a=32或a=3(舍去)，
∴点D的坐标为32,−3；
综上所述，点D的坐标为−3+3 2,6 2−12或32,−3．

【解析】【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理等等，
(1)设抛物线顶点坐标为m,−4m，则抛物线解析式为y=x−m2−4m，然后代入点A坐标进行求解即可；
(2)①由(1)得点P坐标为1,−4，先求出点B坐标，进而求出直线BP解析式，从而得到点D的坐标，则DE=6−2a，则S▵CDE=12DE⋅OE=12a6−2a=−a−322+94，由此利用二次函数的性质求解即可；②先求出点C的坐标，再利用勾股定理求出CD2,CE2,DE2，再分∠CDE=90∘,∠DCE=90∘，两种情况利用勾股定理建立方程求解即可．
26.【答案】【小问1详解】
解：设火车从A向B运动的速度为x厘米/秒，
由题意得，2x=90，
解得x=45，
∴火车从A向B运动的速度为45厘米/秒，
故答案为：45；
【小问2详解】
解：火车由A→B时m=45t，
∵m+90+n=AB，
∴n=AB−45t−90，
∴y=m−n=45t−AB+45t+90=90t+90−AB，
∵t=7和t=9时y的值互为相反数，
∴90×7+90−AB+90×9+90−AB=0，
∴AB=810，
故答案为：810；
【小问3详解】
解：∵tA→B=810−9045=16(秒)
∴tB→A=36−16−2=18(秒)
∴VB→A=810−9018=40(厘米)
∴当18≤t≤36时 n=40t−18，m=810−90−40t−18=1440−40t，
∴y=m−n=1440−40t−40t−18=−80t+2160；
【小问4详解】
解：当18≤t≤36时，−80t+2160=360，解得t=22.5；
当0≤t≤16时
y=m−n=45t−810−90−45t=90t−720
令y=360，解得t=12
综上t的值为12秒或22.5秒．

【解析】【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，列函数关系式，求自变量的值：
(1)设火车从A向B运动的速度为x厘米/秒，根据途中玩具火车头经过测速点2秒后，火车的尾部也经过测速点列出方程求解即可；
(2)根据(1)所求可得火车由A→B时m=45t，进而得到n=AB−45t−90，则y=90t+90−AB，再根据t=7和t=9的时候与之对应的y的值互为相反数列出方程求解即可；
(3)先求出由A到B的时间，进而求出由B到A的时间，从而求出由B到A的速度，进而表示出由B到A过程中m和n即可得到答案；
(4)分由A到B和由B到A两种情况讨论求解即可．
x
…
−2
−1
1
2
…
y
…
a
b
m
n
…
R/Ω
…
1
2
a
4
6
…
I/A
…
b
3
2.4
2
1.5
…