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2024年山东省聊城市运河教育联合体 九年级第一次模拟考试数学模拟试题（原卷版+解析版）
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这是一份2024年山东省聊城市运河教育联合体 九年级第一次模拟考试数学模拟试题（原卷版+解析版），文件包含2024年山东省聊城市运河教育联合体九年级第一次模拟考试数学模拟试题原卷版docx、2024年山东省聊城市运河教育联合体九年级第一次模拟考试数学模拟试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．
不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 下列式子中，运算结果为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了有理数的加法，乘法，乘方以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【详解】解：A、，故符合题意；
B、，故不符合题意；
C、，故不符合题意；
D、，故不符合题意；
故选：A．
2. 剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据中心对称图形的定义逐项识别即可．
【详解】解：选项A、B、C均能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形，
选项D不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形．
故选D．
3. 如图是《九章算术》中“堑堵”（直三棱柱）的立体图形，它的左视图为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解答本题的关键．从正面、上面和左面三个不同的方向看一个物体，并描绘出所看到的三个图形，即几何体的三视图．
【详解】解：∵该几何体为放倒的三棱柱，
∴根据左视图的画法，从左往右看，看到的是一个直角在左边的直角三角形，
故选：B．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. a2＋a3＝a5B. a2•a3＝a6
C. a8÷a4＝a2D. （﹣2a2）3＝﹣8a6
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；积的乘方以及幂的乘方的性质对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不能进行运算，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
5. 如图，直线，分别与直线l交于点A，B，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依据，即可得到，再根据，即可得出答案．
【详解】解：如图，
，
，
又，
，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，解本题的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
6. 2023年12月8日，济郑高铁山东段开通运营，标志着聊城进入高铁时代．寒假期间，小明和爸爸从聊城出发去某地旅游，已知两地相距约，乘高铁比开小轿车少用（假设两种出行方式的总路程相同），高铁的平均速度是小轿车的3倍，设小轿车的平均速度是，则下列方程中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系是解题的关键．根据乘高铁比开小轿车少用即可列出关于x的分式方程．
【详解】解：∵高铁的平均速度是小轿车的3倍，且小轿车的平均速度，
∴高铁的平均速度是．
根据题意得：．
故选：C．
7. 小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】列举出所有情况，看个路口都是绿灯的情况占总情况的多少即可．
【详解】解：画树状图，得
∴共有8种情况，经过每个路口都是绿灯的有一种，
∴实际这样的机会是．
故选：A．
【点睛】此题考查了树状图法求概率，树状图法适用于三步或三步以上完成的事件，解题时要注意列出所有的情形．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8. 如图，线段上的点满足关系式：，且，则 的长为（ ）
A. 或B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查黄金分割，设，则，，整理得，然后解方程即可．
详解】解：设，则，
∵，
∴，
整理得 ，，
解得，或（不符合题意，舍去）
∴，
故选：C．
9. 在下列函数图象上任取不同两点、，定能使成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数、反比例函数和二次函数的图象和性质，根据各函数的增减性依次进行判断即可．
【详解】解：A、，
随x的增大而增大，即当时，必有，
当时，，故A选项不符合；
B、对称轴为直线，
当时y 随x的增大而增大，当时y随x的增大而减小，
当时：当时，必有，
此时，故B选项不符合；
C、当时，y随x的增大而增大，
即当时，必有，
此时，故C选项不符合；
D、对称轴为直线，
当时，y随x的增大而减小，
即当时，必有，
此时，
故D选项符合．
故选D．
10. 在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点顺时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】每旋转6次，A的对应点又回到x轴负半轴上，故在第一象限，且，由此求解即可．
【详解】解：∵A点坐标为，
∴，
∴第一次旋转后，点在第二象限，；
第二次旋转后，点在第一象限，；
第三次旋转后，点在x轴正半轴，；
第四次旋转后，点在第三象限，；
第五次旋转后，点在第四象限，；
第六次旋转后，点在x轴负半轴，；
如此循环，每旋转6次，A的对应点又回到x轴负半轴上，
∵，
∴点在第二象限，且，
过点作轴于，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
故选A．
【点睛】本题考查旋转变换，等边三角形的性质，的直角三角形，以及勾股定理等知识，解题的关键是确定所在的象限．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 化简：______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了分式的加减运算，把原式变形为，再根据同分母分式的加减法法则计算即可．
【详解】解：原式．
故答案为：．
12. 圆锥的侧面积是，底面半径为，则圆锥的母线长是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥侧面积公式即可求解．
【详解】解：∵圆锥的侧面积，，
∴圆锥的母线长，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求圆锥的母线长，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键．
13. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了___________．
【答案】20
【解析】
【分析】由图象易得P关于V的函数解析式为，然后问题可求解．
【详解】解：设P关于V的函数解析式为，由图象可把点代入得：，
∴P关于V的函数解析式为，
∴当时，则，
当时，则，
∴压强由加压到，则气体体积压缩了；
故答案为20．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键．
14. 如图，，，，是上的四个点，，则_____度．
【答案】140
【解析】
【分析】根据圆内接四边形对角互补和，同弧所对的圆心角是圆周角的二倍可以解答本题．
【详解】解：，，，是上的四个点，，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
故答案为：140．
【点睛】本题考的查圆周角定理和圆内接四边形性质，解题的关键是明确它们各自内容，灵活运用，解答问题．
15. 将直线沿轴向下平移3个单位长度得到直线，此时原点到直线的距离为3，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】设直线l交x轴于A，交y轴于B，过O作于H，将直线沿y轴向下平移3个单位长度得到直线l的解析式为，求出，，可知是等腰直角三角形，故，即可解得答案．
【详解】解：设直线l交x轴于A，交y轴于B，过O作于H，如图：
将直线沿y轴向下平移3个单位长度得到直线l的解析式为，
在中，令得，令得，
∴，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴或；
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是由原点O到直线l的距离为3得到．
16. 如图①，在菱形中，，点是的中点，点是对角线上一动点，设的长度为，与的长度之和为，图②是关于的函数图象，则图象上最低点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据可得图像上最低点即为求出当最小时的的值，利用对称性求解即可．
【详解】图像上最低点表示的意义为最小，
∵菱形，
∴关于对称，
∴连接交于，此时最小，最小值为长度，
∵即点P与点C重合时，，
∴，
∵点是的中点，
∴．
连接．
∵菱形，，
∴，，，
∴是等边三角形，
∵点E是的中点，
∴，，，
∴，即．
∵，
∴，即，
∴图像上最低点Q的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形得性质、动点问题的函数图象、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，解直角三角形，正确作出辅助线是解题关键．
三、解答题：本题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）计算：；
（2）解不等式组并将解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）1；（2），数轴见解析
【解析】
【分析】（1）先根据负整数指数幂、零指数幂的意义，特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简，再算加减即可；
（2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
解①得，，
解②得，，
∴．
如图，
【点睛】本题考查了负整数指数幂、零指数幂的意义，特殊角的三角函数值，二次根式的性质，求不等式组的解集，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
18. 某中学为营造书香校园，计划购进甲乙两种规格的书柜放置新购置的图书，调查发现，若购买甲种书柜5个，乙种书柜2个，共需要资金1380元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．
（1）甲乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，问：学校应如何购买花费资金最少，最少资金是多少？
【答案】（1）甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元；（2）购买12个甲种书柜，12个乙种书柜时，所需资金最少，最少资金为5040元
【解析】
【分析】（1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，根据：若购买甲种书柜5个、乙种书柜2个，共需资金1380元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元列出方程求解即可；
（2）设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（24-m）个．根据：所需经费=甲图书柜总费用+乙图书柜总费用、总经费,且乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，求出m的范围，利用一次函数的性质即可求解．
【详解】解：（1）设甲种书柜单价为元，乙种书柜的单价为元，由题意得：
解得
答：甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元．
（2）设购买甲种书柜个，则购买乙种书柜个，设所需资金为元．
由题意得：．
解得
∵，随增大而减小
∴当时，（元）．
答：当购买12个甲种书柜，12个乙种书柜时，所需资金最少，最少资金为5040元．
【点睛】本题考查二元一次方程组解应用题，一元一次不等式，一次函数性质，掌握二元一次方程组解应用题的方法与步骤，一元一次不等式的解法，一次函数的性质是解题关键．
19. 为了解决杨树花絮污染环境的难题，某公司引进优秀专利品种，建立新树种实验基地，研究组在甲、乙两个实验基地同时播下新树种，同时随机各抽取株树苗，记录下每株树苗的长度（单位：cm），进行整理、描述和分析（用x表示树苗长度，数据分成5组：A.；B.；C.；D.；E.，cm及以上为优等），下面给出了部分信息：
【数据收集】甲实验基地抽取的株树苗的长度：
乙实验基地抽取的株树苗中，A，B，E三个等级的数据个数相同，C组的所有数据是：.
【数据整理】
甲实验基地抽取的树苗长度统计表
乙实验基地抽取的树苗长度扇形统计图
【数据分析】
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：________，________，________，________；
（2）根据上述数据分析，你认为甲、乙两基地哪个基地的树苗好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）请估计棵乙基地的树苗为优等的树苗有多少棵？
【答案】（1）3，，，；
（2）理由见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）总数20减去A、C、D、E的数量可以求出的值；根据众数的定义，可以求出的值；将乙组数据，从小到大排序，求出中间两个数的平均数即可求出的值；先求出C所占比，然后可求出的值；
（2）根据平均数中位数、众数的意义解答即可；
（3）乘D和E组所占百分比之和即可．
【小问1详解】
解：甲试验基地抽取的树苗数为，;
甲试验基地树苗的长度中出现的次数最多，故；
乙试验基地抽出的株树苗的长度从小到大排列，排在中间的两个数是、，故
；
C组数据的数量是5，
故答案为: 3，，，；
【小问2详解】
答：甲基地的树苗更好，理由：因为两基地的树苗长度的平均数相同，但甲基地的树苗长度的中位数大于乙基地；
【小问3详解】
解：
(棵)
答:估计棵乙基地的树苗为优等的树苗株数大约是棵．
【点睛】本题考查频数分布表，扇形统计图，中位数众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数、样本估计总体的方法是正确求解的关键．
20. 如图，的对角线交于点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）请说明当的对角线满足什么条件时，四边形是正方形？
【答案】（1）平行四边形，见解析
（2）且
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可．
（2）根据对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形判定即可．
【小问1详解】
四边形是平行四边形．理由如下：
∵的对角线交于点，
∴，
∵以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，
∴
∴四边形是平行四边形．
【小问2详解】
∵对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形，
∴且时，四边形是正方形．
【点睛】本题考查了平行四边形判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
21. 某校数学社团的同学想测量“陕西古塔—做德塔”的高度，为了测得敬德塔的高度，社团成员利用自制的测角仪在点处测得塔顶的仰角为，从点向正前方行进4米到点处，再用测角仪在点处测得塔顶的仰角为，已知测角仪的高度为1.6米，且三点在同一条直线上．求“敬德塔”的高度．（参考数据：）
【答案】米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题．延长交于点G，根据题意可得：米，米，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：延长交于点G，
根据题意得：米，米，
设米，则米，
在中，，
∴米，
在中，，
∴米，
∴，
解得：，即米，
∴米，
∴米，
答：“敬德塔”的高度为米．
22. 如图，的直径，和是它的两条切线，点是圆上一点，过点的直线与，分别相交于点，两点，连接并延长，交点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（）连接，由是的直径，得到，由得到，进而得到，又由得到，可得到，由是的切线，即可求证；
（）连接，过点作于点，由切线长定理和切线的性质可得到，，四边形为矩形，进而得到，，设，可得到，，在中，由勾股定理可得，解方程即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
即，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：连接，过点作于点，则，
∵是的切线，
∴，，，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
设，
∵，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
整理得，，
解得，（不合，舍去），
∴长为．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直径所对的圆周角是直角，切线的判定和性质，切线长定理，等腰三角形的性质，勾股定理，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键．
23. 如图，二次函数的图象与轴交于（为坐标原点）、两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，点在轴上，．
（1）求二次函数的解析式；
（2）二次函数在第四象限的图象上有一点，连接，，求面积的最大值；
（3）在二次函数图象上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，或或
【解析】
【分析】（1）先求出顶点坐标，设二次函数解析式为，将点代入即可求函数的解析式；
（2）设，过点P作x轴的垂线交于点Q，直线的解析式，则点Q的坐标为，可得，当时，有最大值，即可得的最大值；
（3）设N点坐标为，根据平行四边形对角线的性质，分三种情况讨论，利用中点坐标公式建立方程求n的值即可求N点坐标．
【小问1详解】
∵二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，
∴二次函数顶点，
设二次函数解析式为，
将点代入得，，
∴，
∴；
【小问2详解】
设，过点P作x轴的垂线交于点Q，则点Q的横坐标为t，
令抛物线解析式的，得到，
解得，，
∴A的坐标为，
设直线AB的解析式为，
将，代入，得
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∴点Q的坐标为，
∴
，
∴当时，有最大值，
∴面积的最大值为；
【小问3详解】
存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设N点坐标为，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，
∴，
∴，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，
∴，
∴，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，
∴，
∴，
综上所述：或或．
【点睛】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，二次函数与几何综合，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
24 综合与实践
【问题背景】
数学活动课上，老师将矩形 按如图①所示方式折叠，使点与点重合，点的对应点为，折痕为，若为等边三角形．
（1）请解答老师提出的问题：
试猜想与的数量关系，并加以证明．
【实践探究】
（2）小明受到此问题启发，将纸片按如图②所示方式折叠，使点与点重合，折痕，若,，
①试判断重叠部分的形状，并说明理由；
②若点为的中点，连接，求的长；
【问题解决】
（3）小亮深入研究小明提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图③，在中，将折叠，使点与点重合，点为折痕所在直线上一点，若，，，请直接写出线段的长．
【答案】（1），理由见解析．
（2）①为等腰直角三角形，理由见解析． ②
（3）或
【解析】
【分析】（1）设，可求得，，进而求得，即可求得答案．
（2）①根据图形折叠的性质可求得，，进而可求得答案；②求得，的长度，根据勾股定理即可求得答案．
（3）需要分两种情况讨论：①当点在内部时，过点作于点，折痕为直线，点为折痕上一点，过点作于点，作于点，连接，，，先证得，进而证得四边形为正方形，设，根据可求得的值，进而可求得答案；②当点在外部时，求解过程与①相似．
【小问1详解】
．
理由如下：
∵为等边三角形，
∴．
∴．
设．
在 中
， ．
∵矩形沿折叠，
∴．
∴．
∵四边形 是矩形，
∴．
∴．
【小问2详解】
①为等腰直角三角形．
理由如下：
∵沿折叠，点与点重合，
∴是线段的垂直平分线，．
∴．
∴．
∴．
∴为等腰直角三角形．
②根据图形折叠的性质可知．
∵点是的中点，
∴．
∴．
【小问3详解】
或．
理由如下：
①当点在内部时．
如图所示，过点作于点，折痕为直线，点为折痕上一点，过点作于点，作于点，连接，，．
∵， 两点关于折痕对称，，
∴，．
∴．
∵，，
∴点为的中点．
∴．
∴．
∵，，，
∴四边形为矩形，．
∴．
∵，
∴．
在和中，
∴．
∴，．
∴四边形为正方形．
∴．
设．
∴，．
∴．
∴．
∴ ．
∴．
②当点在外部时．
如图所示，过点作于点，折痕为直线，点为折痕上一点，过点作于点，作于点，连接，，．
根据①的证明过程，同理可得，四边形为正方形．
设．
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴．
综上所述，BD 的长为或．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、正方形的判定及性质、勾股定理、轴对称图形的性质，能采用数形结合的方法和分类讨论的思想分析问题是解题的关键．x
频数
频率
A
2
B
a
C
4
D
9
E
2
基地
平均数
众数
中位数
E组所占百分比
甲
乙
注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．
不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 下列式子中，运算结果为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了有理数的加法，乘法，乘方以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【详解】解：A、，故符合题意；
B、，故不符合题意；
C、，故不符合题意；
D、，故不符合题意；
故选：A．
2. 剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据中心对称图形的定义逐项识别即可．
【详解】解：选项A、B、C均能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形，
选项D不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形．
故选D．
3. 如图是《九章算术》中“堑堵”（直三棱柱）的立体图形，它的左视图为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解答本题的关键．从正面、上面和左面三个不同的方向看一个物体，并描绘出所看到的三个图形，即几何体的三视图．
【详解】解：∵该几何体为放倒的三棱柱，
∴根据左视图的画法，从左往右看，看到的是一个直角在左边的直角三角形，
故选：B．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. a2＋a3＝a5B. a2•a3＝a6
C. a8÷a4＝a2D. （﹣2a2）3＝﹣8a6
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；积的乘方以及幂的乘方的性质对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不能进行运算，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
5. 如图，直线，分别与直线l交于点A，B，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依据，即可得到，再根据，即可得出答案．
【详解】解：如图，
，
，
又，
，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，解本题的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
6. 2023年12月8日，济郑高铁山东段开通运营，标志着聊城进入高铁时代．寒假期间，小明和爸爸从聊城出发去某地旅游，已知两地相距约，乘高铁比开小轿车少用（假设两种出行方式的总路程相同），高铁的平均速度是小轿车的3倍，设小轿车的平均速度是，则下列方程中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系是解题的关键．根据乘高铁比开小轿车少用即可列出关于x的分式方程．
【详解】解：∵高铁的平均速度是小轿车的3倍，且小轿车的平均速度，
∴高铁的平均速度是．
根据题意得：．
故选：C．
7. 小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】列举出所有情况，看个路口都是绿灯的情况占总情况的多少即可．
【详解】解：画树状图，得
∴共有8种情况，经过每个路口都是绿灯的有一种，
∴实际这样的机会是．
故选：A．
【点睛】此题考查了树状图法求概率，树状图法适用于三步或三步以上完成的事件，解题时要注意列出所有的情形．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8. 如图，线段上的点满足关系式：，且，则 的长为（ ）
A. 或B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查黄金分割，设，则，，整理得，然后解方程即可．
详解】解：设，则，
∵，
∴，
整理得 ，，
解得，或（不符合题意，舍去）
∴，
故选：C．
9. 在下列函数图象上任取不同两点、，定能使成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数、反比例函数和二次函数的图象和性质，根据各函数的增减性依次进行判断即可．
【详解】解：A、，
随x的增大而增大，即当时，必有，
当时，，故A选项不符合；
B、对称轴为直线，
当时y 随x的增大而增大，当时y随x的增大而减小，
当时：当时，必有，
此时，故B选项不符合；
C、当时，y随x的增大而增大，
即当时，必有，
此时，故C选项不符合；
D、对称轴为直线，
当时，y随x的增大而减小，
即当时，必有，
此时，
故D选项符合．
故选D．
10. 在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点顺时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】每旋转6次，A的对应点又回到x轴负半轴上，故在第一象限，且，由此求解即可．
【详解】解：∵A点坐标为，
∴，
∴第一次旋转后，点在第二象限，；
第二次旋转后，点在第一象限，；
第三次旋转后，点在x轴正半轴，；
第四次旋转后，点在第三象限，；
第五次旋转后，点在第四象限，；
第六次旋转后，点在x轴负半轴，；
如此循环，每旋转6次，A的对应点又回到x轴负半轴上，
∵，
∴点在第二象限，且，
过点作轴于，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
故选A．
【点睛】本题考查旋转变换，等边三角形的性质，的直角三角形，以及勾股定理等知识，解题的关键是确定所在的象限．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 化简：______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了分式的加减运算，把原式变形为，再根据同分母分式的加减法法则计算即可．
【详解】解：原式．
故答案为：．
12. 圆锥的侧面积是，底面半径为，则圆锥的母线长是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥侧面积公式即可求解．
【详解】解：∵圆锥的侧面积，，
∴圆锥的母线长，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求圆锥的母线长，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键．
13. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了___________．
【答案】20
【解析】
【分析】由图象易得P关于V的函数解析式为，然后问题可求解．
【详解】解：设P关于V的函数解析式为，由图象可把点代入得：，
∴P关于V的函数解析式为，
∴当时，则，
当时，则，
∴压强由加压到，则气体体积压缩了；
故答案为20．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键．
14. 如图，，，，是上的四个点，，则_____度．
【答案】140
【解析】
【分析】根据圆内接四边形对角互补和，同弧所对的圆心角是圆周角的二倍可以解答本题．
【详解】解：，，，是上的四个点，，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
故答案为：140．
【点睛】本题考的查圆周角定理和圆内接四边形性质，解题的关键是明确它们各自内容，灵活运用，解答问题．
15. 将直线沿轴向下平移3个单位长度得到直线，此时原点到直线的距离为3，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】设直线l交x轴于A，交y轴于B，过O作于H，将直线沿y轴向下平移3个单位长度得到直线l的解析式为，求出，，可知是等腰直角三角形，故，即可解得答案．
【详解】解：设直线l交x轴于A，交y轴于B，过O作于H，如图：
将直线沿y轴向下平移3个单位长度得到直线l的解析式为，
在中，令得，令得，
∴，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴或；
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是由原点O到直线l的距离为3得到．
16. 如图①，在菱形中，，点是的中点，点是对角线上一动点，设的长度为，与的长度之和为，图②是关于的函数图象，则图象上最低点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据可得图像上最低点即为求出当最小时的的值，利用对称性求解即可．
【详解】图像上最低点表示的意义为最小，
∵菱形，
∴关于对称，
∴连接交于，此时最小，最小值为长度，
∵即点P与点C重合时，，
∴，
∵点是的中点，
∴．
连接．
∵菱形，，
∴，，，
∴是等边三角形，
∵点E是的中点，
∴，，，
∴，即．
∵，
∴，即，
∴图像上最低点Q的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形得性质、动点问题的函数图象、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，解直角三角形，正确作出辅助线是解题关键．
三、解答题：本题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）计算：；
（2）解不等式组并将解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）1；（2），数轴见解析
【解析】
【分析】（1）先根据负整数指数幂、零指数幂的意义，特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简，再算加减即可；
（2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
解①得，，
解②得，，
∴．
如图，
【点睛】本题考查了负整数指数幂、零指数幂的意义，特殊角的三角函数值，二次根式的性质，求不等式组的解集，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
18. 某中学为营造书香校园，计划购进甲乙两种规格的书柜放置新购置的图书，调查发现，若购买甲种书柜5个，乙种书柜2个，共需要资金1380元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．
（1）甲乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，问：学校应如何购买花费资金最少，最少资金是多少？
【答案】（1）甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元；（2）购买12个甲种书柜，12个乙种书柜时，所需资金最少，最少资金为5040元
【解析】
【分析】（1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，根据：若购买甲种书柜5个、乙种书柜2个，共需资金1380元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元列出方程求解即可；
（2）设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（24-m）个．根据：所需经费=甲图书柜总费用+乙图书柜总费用、总经费,且乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，求出m的范围，利用一次函数的性质即可求解．
【详解】解：（1）设甲种书柜单价为元，乙种书柜的单价为元，由题意得：
解得
答：甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元．
（2）设购买甲种书柜个，则购买乙种书柜个，设所需资金为元．
由题意得：．
解得
∵，随增大而减小
∴当时，（元）．
答：当购买12个甲种书柜，12个乙种书柜时，所需资金最少，最少资金为5040元．
【点睛】本题考查二元一次方程组解应用题，一元一次不等式，一次函数性质，掌握二元一次方程组解应用题的方法与步骤，一元一次不等式的解法，一次函数的性质是解题关键．
19. 为了解决杨树花絮污染环境的难题，某公司引进优秀专利品种，建立新树种实验基地，研究组在甲、乙两个实验基地同时播下新树种，同时随机各抽取株树苗，记录下每株树苗的长度（单位：cm），进行整理、描述和分析（用x表示树苗长度，数据分成5组：A.；B.；C.；D.；E.，cm及以上为优等），下面给出了部分信息：
【数据收集】甲实验基地抽取的株树苗的长度：
乙实验基地抽取的株树苗中，A，B，E三个等级的数据个数相同，C组的所有数据是：.
【数据整理】
甲实验基地抽取的树苗长度统计表
乙实验基地抽取的树苗长度扇形统计图
【数据分析】
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：________，________，________，________；
（2）根据上述数据分析，你认为甲、乙两基地哪个基地的树苗好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）请估计棵乙基地的树苗为优等的树苗有多少棵？
【答案】（1）3，，，；
（2）理由见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）总数20减去A、C、D、E的数量可以求出的值；根据众数的定义，可以求出的值；将乙组数据，从小到大排序，求出中间两个数的平均数即可求出的值；先求出C所占比，然后可求出的值；
（2）根据平均数中位数、众数的意义解答即可；
（3）乘D和E组所占百分比之和即可．
【小问1详解】
解：甲试验基地抽取的树苗数为，;
甲试验基地树苗的长度中出现的次数最多，故；
乙试验基地抽出的株树苗的长度从小到大排列，排在中间的两个数是、，故
；
C组数据的数量是5，
故答案为: 3，，，；
【小问2详解】
答：甲基地的树苗更好，理由：因为两基地的树苗长度的平均数相同，但甲基地的树苗长度的中位数大于乙基地；
【小问3详解】
解：
(棵)
答:估计棵乙基地的树苗为优等的树苗株数大约是棵．
【点睛】本题考查频数分布表，扇形统计图，中位数众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数、样本估计总体的方法是正确求解的关键．
20. 如图，的对角线交于点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）请说明当的对角线满足什么条件时，四边形是正方形？
【答案】（1）平行四边形，见解析
（2）且
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可．
（2）根据对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形判定即可．
【小问1详解】
四边形是平行四边形．理由如下：
∵的对角线交于点，
∴，
∵以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，
∴
∴四边形是平行四边形．
【小问2详解】
∵对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形，
∴且时，四边形是正方形．
【点睛】本题考查了平行四边形判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
21. 某校数学社团的同学想测量“陕西古塔—做德塔”的高度，为了测得敬德塔的高度，社团成员利用自制的测角仪在点处测得塔顶的仰角为，从点向正前方行进4米到点处，再用测角仪在点处测得塔顶的仰角为，已知测角仪的高度为1.6米，且三点在同一条直线上．求“敬德塔”的高度．（参考数据：）
【答案】米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题．延长交于点G，根据题意可得：米，米，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：延长交于点G，
根据题意得：米，米，
设米，则米，
在中，，
∴米，
在中，，
∴米，
∴，
解得：，即米，
∴米，
∴米，
答：“敬德塔”的高度为米．
22. 如图，的直径，和是它的两条切线，点是圆上一点，过点的直线与，分别相交于点，两点，连接并延长，交点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（）连接，由是的直径，得到，由得到，进而得到，又由得到，可得到，由是的切线，即可求证；
（）连接，过点作于点，由切线长定理和切线的性质可得到，，四边形为矩形，进而得到，，设，可得到，，在中，由勾股定理可得，解方程即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
即，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：连接，过点作于点，则，
∵是的切线，
∴，，，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
设，
∵，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
整理得，，
解得，（不合，舍去），
∴长为．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直径所对的圆周角是直角，切线的判定和性质，切线长定理，等腰三角形的性质，勾股定理，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键．
23. 如图，二次函数的图象与轴交于（为坐标原点）、两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，点在轴上，．
（1）求二次函数的解析式；
（2）二次函数在第四象限的图象上有一点，连接，，求面积的最大值；
（3）在二次函数图象上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，或或
【解析】
【分析】（1）先求出顶点坐标，设二次函数解析式为，将点代入即可求函数的解析式；
（2）设，过点P作x轴的垂线交于点Q，直线的解析式，则点Q的坐标为，可得，当时，有最大值，即可得的最大值；
（3）设N点坐标为，根据平行四边形对角线的性质，分三种情况讨论，利用中点坐标公式建立方程求n的值即可求N点坐标．
【小问1详解】
∵二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，
∴二次函数顶点，
设二次函数解析式为，
将点代入得，，
∴，
∴；
【小问2详解】
设，过点P作x轴的垂线交于点Q，则点Q的横坐标为t，
令抛物线解析式的，得到，
解得，，
∴A的坐标为，
设直线AB的解析式为，
将，代入，得
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∴点Q的坐标为，
∴
，
∴当时，有最大值，
∴面积的最大值为；
【小问3详解】
存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设N点坐标为，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，
∴，
∴，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，
∴，
∴，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，
∴，
∴，
综上所述：或或．
【点睛】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，二次函数与几何综合，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
24 综合与实践
【问题背景】
数学活动课上，老师将矩形 按如图①所示方式折叠，使点与点重合，点的对应点为，折痕为，若为等边三角形．
（1）请解答老师提出的问题：
试猜想与的数量关系，并加以证明．
【实践探究】
（2）小明受到此问题启发，将纸片按如图②所示方式折叠，使点与点重合，折痕，若,，
①试判断重叠部分的形状，并说明理由；
②若点为的中点，连接，求的长；
【问题解决】
（3）小亮深入研究小明提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图③，在中，将折叠，使点与点重合，点为折痕所在直线上一点，若，，，请直接写出线段的长．
【答案】（1），理由见解析．
（2）①为等腰直角三角形，理由见解析． ②
（3）或
【解析】
【分析】（1）设，可求得，，进而求得，即可求得答案．
（2）①根据图形折叠的性质可求得，，进而可求得答案；②求得，的长度，根据勾股定理即可求得答案．
（3）需要分两种情况讨论：①当点在内部时，过点作于点，折痕为直线，点为折痕上一点，过点作于点，作于点，连接，，，先证得，进而证得四边形为正方形，设，根据可求得的值，进而可求得答案；②当点在外部时，求解过程与①相似．
【小问1详解】
．
理由如下：
∵为等边三角形，
∴．
∴．
设．
在 中
， ．
∵矩形沿折叠，
∴．
∴．
∵四边形 是矩形，
∴．
∴．
【小问2详解】
①为等腰直角三角形．
理由如下：
∵沿折叠，点与点重合，
∴是线段的垂直平分线，．
∴．
∴．
∴．
∴为等腰直角三角形．
②根据图形折叠的性质可知．
∵点是的中点，
∴．
∴．
【小问3详解】
或．
理由如下：
①当点在内部时．
如图所示，过点作于点，折痕为直线，点为折痕上一点，过点作于点，作于点，连接，，．
∵， 两点关于折痕对称，，
∴，．
∴．
∵，，
∴点为的中点．
∴．
∴．
∵，，，
∴四边形为矩形，．
∴．
∵，
∴．
在和中，
∴．
∴，．
∴四边形为正方形．
∴．
设．
∴，．
∴．
∴．
∴ ．
∴．
②当点在外部时．
如图所示，过点作于点，折痕为直线，点为折痕上一点，过点作于点，作于点，连接，，．
根据①的证明过程，同理可得，四边形为正方形．
设．
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴．
综上所述，BD 的长为或．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、正方形的判定及性质、勾股定理、轴对称图形的性质，能采用数形结合的方法和分类讨论的思想分析问题是解题的关键．x
频数
频率
A
2
B
a
C
4
D
9
E
2
基地
平均数
众数
中位数
E组所占百分比
甲
乙
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