2024年海南省部分学校中考第一次模拟考试数学模拟试题（原卷版+解析版）

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（全卷满分120分 考试时间100分钟）
一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）
1. 下列各数中，最小的是（ ）．
A. 2B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正数大于零，零大于负数，两个负数，绝对值大反而小判断即可．
【详解】解：∵2，1正数，，是负数，
∴最小数的是在，里，
又，，且，
∴，
∴最小数的是．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了有理数大小比较，解答此题的关键是掌握有理数大小比较法则．
2. 已知是方程的解，则m的值为（ ）
A. 2B. 8C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．根据是方程的解，得到关于的方程，解出即可求解．
【详解】解：∵是方程的解，
∴ ，
解得： ．
故选：A
3. 据报道，2023年“五一”假期全国国内旅游出游合计274000000人次．数字274000000用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
4. 在“庆五四·展风采”的演讲比赛中，7位同学参加决赛，演讲成绩依次为：77，80，79，77，80，79，80．这组数据的中位数是（ ）
A. 77B. 79C. 79.5D. 80
【答案】B
【解析】
【分析】根据有序数组中间的一个数据或中间两个数据的平均数是中位数计算即可．本题考查了中位数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：将这组数据从小到大排列为：77，77，79，79，80，80，80，
中间数据是79，
故中位数是79．
故选：B．
5. 四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】从正面看第一层是个小正方形，第二层右边个小正方形，
故选：D．
【点睛】考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
6. 若x满足，则代数式的值为（ ）
A. 5B. 7C. 10D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知可得，即为，然后整体代入所求式子解答即可.
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故选：B.
【点睛】本题考查了代数式求值，属于基础题型，熟练掌握整体代入思想是解题关键.
7. 分式方程的解是（ ）
A. B. 2C. D. 无解
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，熟练掌握分式方程的解法，注意对方程根的检验是解题的关键．先把分式方程变形成整式方程，求解后再检验即可．
【详解】解：
去分母得：，
解得：或，
检验：把代入得：；
把代入得：，
∴是增根，是分式方程的解．
故选：A．
8. 点P（2，－3）关于y轴对称点的坐标是（ ）
A. （2，3）B. （－2，－3）C. （2，－3）D. （－2，3）
【答案】B
【解析】
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征来解答即可．
【详解】解：∵关于y轴对称的点的坐标特征为横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∴点P（2，－3）的对称点的坐标为（－2，－3），
故选：B．
【点睛】本题考查关于y轴对称的点的坐标特征，解题关键是掌握关于y轴对称的点的坐标特征为横坐标互为相反数，纵坐标不变．
9. 一元一次不等式组 的解集为（ ）
A. B. C. D. 无解
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．第一个不等式解与第二个不等式的解，取公共部分即可.
【详解】解：
解不等式得：
结合得,
∴不等式组的解集是，
故选：C．
10. 如图， ，且，，则等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】可求，再由，即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
11. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．若，则的长为（ ）

A. 9B. 8C. 7D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】由作图可知直线为边的垂直平分线，再由得到，则可知三点在以为圆心直径的圆上，进而得到，由勾股定理求出即可．
【详解】解：由作图可知，直线为边的垂直平分线，
∵
∴，
∵，
∴，
∴三点在以为圆心直径的圆上，
∴，
∵，
∴
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，圆的基本性质和勾股定理，解答关键是熟练掌握常用尺规作图的作图痕迹，由作图过程得到新的结论．
12. 如图，是的外接圆，若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，首先根据圆周角定理得到，然后利用半径相等得到，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可．
【详解】如图所示，连接，

∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，等边对等角和三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点．
二、填空题（本大题满分12分，每小题3分）
13. 函数中，自变量x的取值范围是__________．
【答案】x≥-2且x≠1
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求出结论．
【详解】解：由题意可得
解得x≥-2且x≠1
故答案为：x≥-2且x≠1．
【点睛】此题考查的是求自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解决此题的关键．
14. 如图，在平面直角坐标系中，函数 （k为大于0的常数，）图像上的两点 满足 的边轴，边轴，若 的面积为6，则△ABC的面积是___________．

【答案】2
【解析】
【分析】本题考查反比例函数中的几何意义，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．过点作轴于点，轴于点，于点，利用，，得到，结合梯形的面积公式解得，再由三角形面积公式计算，即可解答．
【详解】解：如图，过点作轴于点，轴于点，于点，

故答案为：2．
15. 如图，矩形中，，．在边上取一点E，使，过点C作，垂足为点F，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用矩形的性质、勾股定理求出，利用证明，根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵矩形中，，，
∴，，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
在和中
，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
16. 人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则，记，，，…，则______．
【答案】2024
【解析】
【分析】本题考查分式的规律计算，正确掌握异分母分式的加减计算法则及运用规律解决问题是解题的关键．根据异分母分式加法法则分别求出、、 ⋯ 、的值，发现结果均为1，依此解答即可．
【详解】解：，
，
，
，
∴．
故答案为：2024
三、解答题（本大题满分72分）
17. （1）计算∶ ；
（2）化简求值∶其中．
【答案】（1）；（2）；3
【解析】
【分析】本题主要考查了实数混合运算，整式化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据立方根定义，绝对值意义，乘方运算法则，进行计算即可；
（2）根据整式混合运算法则进行化简，然后再将数据代入求值即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
把代入得：原式．
18. 创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A． B两种型号的新型垃圾桶． 若购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元，求两种型号垃圾桶的单价．
【答案】A，B两种型号的单价分别为60元和100元.
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意，找准数量关系，准确建立相应方程并求解是解题关键．设两种型号的单价分别为元和元，然后根据题意列出二元一次方程组求解即可.
【详解】解：设A，B两种型号的单价分别为元和元，
由题意：，
解得：，
∴A，B两种型号的单价分别为60元和100元.
19. 某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A．音乐社团；B． 体育社团；C． 美术社团；D．书法团；E．电脑编程社团．该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进调查统计，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机抽取了 名学生，条形统计图中“C． 美术社团”有 人；
（2）扇形统计图中圆心角α= 度；
（3）若该校共有2000名学生，请根据上述调查结果估计该校选择“A． 音乐社团”的学生共有多少名？
（4）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
【答案】（1）200，30；
（2）54； （3）该校选择“A． 音乐社团”的学生共300名
（4）．
【解析】
【分析】（1）用B类型社团的人数除以其人数占比即可求出参与调查的总人数；用总人数减去A、B、D、E四个类型社团的人数得到C类型社团的人数；
（2）用乘以C类型社团的人数占比即可求出扇形统计图中的度数；
（3）2000乘以“A． 音乐社团”的学生所占总体的比即可得解；
（4）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选中甲和乙两名同学的结果数，最后依据概率计算公式求解即可；
【小问1详解】
解：(人)，
C美术社团的人数为(人)，
故答案为：200，30；
【小问2详解】
解：，
故答案为：54；
【小问3详解】
解：（名），
∴该校选择“A． 音乐社团”的学生共300名；
【小问4详解】
解：画树状图如下：

∵共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为．
【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图并画出树状图或列出表格是解题的关键．
20. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知点、、在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为在观景台处测得塔顶部的仰角为：．
（1）求长；
（2）求塔的高度．
【答案】（1）的长为．
（2）塔的高度约为．
【解析】
【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可；
（2）设，分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，，过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可．
【小问1详解】
解：在中，，
∴．
即的长为．
【小问2详解】
设，
在中，，
∴．
在中，由，，，
则.
∴．
即的长为．
如图，过点作，垂足为．

根据题意，，
∴四边形是矩形．
∴，．
可得．
在中，，，
∴．即．
∴．
答：塔的高度约为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键．
21. 如图甲、在中，为边的中线，以为公共端点的两条互相垂直的射线分别与，交于点E，，分别过点E，作的垂线，垂足为、．

（1）求证∶
②线段，，之间有怎样的数量关系？
（2）当绕点旋转到如图乙所示，线段，，之间有怎样的数量关系？
【答案】（1）见解析；②;
（2）.
【解析】
【分析】（1）①根据中，，，得到（），根据为上的中线，得到，，得到，根据，得到，推出，从而可得；
②根据，可得，，根据，，得到，根据，推出，推出，推出，推出，得到；根据，得到，再根据勾股定理即可得到所求结论；
（2）先证（）得，再证（），得，从而得，再利用勾股定理即可得解
【小问1详解】
证明：∵在中，，，
∴，
∵为上中线，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（）；
②解：理由如下：
如图甲，

由知，，
∴，，
∵，，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴（），
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵由可知，
∴．
∴;
【小问2详解】
解：理由如下：
如图，

∵在中，，，
∴，
∵为上的中线，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（）
∴，
∵即，
∴，
∵，，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴（），
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴;
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形，勾股定理，全等三角形等，解决问题的关键是熟练掌握等腰直角三角形判定和性质，全等三角形判定和性质．
22. 如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若直线与抛物线交于点，与直线交于点．
①当取得最大值时，求的值和的最大值；
②当是等腰三角形时，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）①当时，有最大值，最大值为；②或或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先求出，进而求出直线的解析式为，则，进一步求出，由此即可利用二次函数的性质求出答案；②设直线与x轴交于H，先证明是等腰直角三角形，得到；再分如图3-1所示，当时， 如图3-2所示，当时， 如图3-3所示，当时，三种情况利用等腰三角形的定义进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线与轴交于和两点，
∴抛物线对称轴为直线，
在中，当时，，
∴抛物线顶点P的坐标为，
设抛物线解析式为，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为
【小问2详解】
解：①∵抛物线解析式为，点C是抛物线与y轴的交点，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵直线与抛物线交于点，与直线交于点
∴，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
②设直线与x轴交于H，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
如图3-1所示，当时，
过点C作于G，则
∴点G为的中点，
由（2）得，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴；
如图3-2所示，当时，则是等腰直角三角形，
∴，即，
∴点E的纵坐标为5，
∴，
解得或（舍去），
∴
如图3-3所示，当时，过点C作于G，
同理可证是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，，
∴，
∴
综上所述，点E的坐标为或或
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判断，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．