高考数学一轮复习 考点热身训练 7.2空间点、线、面之间的位置关系

这是一份高考数学一轮复习 考点热身训练 7.2空间点、线、面之间的位置关系，共7页。试卷主要包含了2空间点、线、面之间的位置关系等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(每小题6分，共36分)
1.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )
(A)相交 (B)异面 (C)平行 (D)垂直
2.如图所示，ABCD—A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( )
(A)A，M，O三点共线
(B)A，M，O，A1不共面
(C)A，M，C，O不共面
(D)B，B1，O，M共面
3.（预测题）设m、n表示不同直线，α、β表示不同平面，下列命题中正确的是（ ）
（A）若m∥α,m∥n,则n∥α
（B）若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β，则α∥β
（C）若α⊥β,m⊥α,m⊥n,则n∥β
（D）若α⊥β,m⊥α,n∥m,n β,则n∥β
4.已知m,n是不同的直线，α,β是不重合的平面，给出下列命题
①若m∥α,则m平行于平面α内的无数条直线
②若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n
③若m⊥α,n⊥β,m∥n则α∥β
④若α∥β,m⊂α,则m∥β
其中正确命题的个数是（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
5.设α、β、γ为平面，l、m、n为直线，则m⊥β的一个充分条件为( )
(A)α⊥β，α∩β=l，m⊥l
(B)n⊥α，n⊥β，m⊥α
(C)α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ
(D)α⊥γ，β⊥γ，m⊥α
6.在一个45°的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成45°，则此直线与二面角的另一个面所成的角为( )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有_______对．
8.(2012·晋城模拟)已知l、m、n是互不相同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列命题：
①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；
②若α∥β，l⊂α,m⊂β,则l∥m；
③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.
其中所有真命题的序号为____________.
9.(2012·淮南模拟)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则
①棱AB与PD所在的直线垂直；
②平面PBC与平面ABCD垂直；
③△PCD的面积大于△PAB的面积；
④直线AE与直线BF是异面直线.
以上结论正确的是__________.(写出所有正确结论的编号)
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.（易错题）如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为CC1，AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线．
11.如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点.
(1)若E为A1C1的中点，求证：DE∥平面ABB1A1；
(2)若E为A1C1上一点，且A1B∥平面B1DE，求的值.
【探究创新】
(16分)已知四棱锥P－ABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点.
(1)求四棱锥P－ABCD的体积；
(2)是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；
(3)若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小.

答案解析
1.【解析】选A.直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．
2.【解析】选A.连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，
∴A1,C1,A,C四点共面，
∴A1C⊂平面ACC1A1，
∵M∈A1C,∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，
∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，
同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上.
∴A，M，O三点共线.
3.【解析】选D.由m∥α,m∥n可推得n∥α或n⊂α，故A错误；由m⊂
α,n⊂α,m∥β，n∥β不能推出α∥β，缺少条件m与n相交，故B错误；由α⊥β,m⊥α,m⊥n，n与β的位置关系可能平行，可能相交，也可能n⊂β，故C错误；只有D正确.
4.【解析】选C.由线面平行的定义可知①正确；②中m与n可能平行，也可能异面，故②错误；由面面平行的判定可证明③正确；由面面平行的性质可知④正确，综合上述①③④正确，选C.
5.【解析】选B.如图①知A错；如图②知C错；如图③在正方体中，两侧面α与β相交于l，都与底面γ垂直，γ内的直线m⊥α，但m与β不垂直，故D错.由n⊥α,n⊥β知α∥β，又m⊥α，故m⊥β，因此B正确.
6.【解题指南】先根据已知条件作出正确图形，确定出所求的线面角是解题的关键，然后将所求的线面角转化为求三角形内的角.
【解析】选A.如图，二面角α-l-β为45°，AB⊂β，
且与棱l成45°角，过A作AO⊥α于O，作AH⊥l于H.
连接OH、OB，则∠AHO为二面角α-l-β的平面角，
∠ABO为AB与平面α所成角.不妨设AH=，在
Rt△AOH中，易得AO=1；在Rt△ABH中，易得AB=2.
故在Rt△ABO中，，∴∠ABO=30°，为所求线面角.
7.【解析】正方体如图，若要出现所成角为60°的异面直线，
则直线需为面对角线，以AC为例，与之构成黄金异面直线
对的直线有4条，分别是A′B,BC′,A′D,C′D，正方体
的面对角线有12条，所以所求的黄金异面直线对共有
对(每一对被计算两次，所以记好要除以2)．
答案：24
8.【解析】①中，当α、β不平行时，也可能存在符合条件的l、m；②中的直线l、m也可能异面；③中由l∥γ,l⊂β,γ∩β=m得l∥m,同理l∥n,故m∥n.
答案：③
9.【解析】由条件可得AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD，故①正确；∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAB、平面PAD都与平面ABCD垂直，故平面PBC不可能与平面ABCD垂直，②错；S△PCD=CD·PD，S△PAB=AB·PA，由AB=CD，PD>PA知③正确；由E、F分别是棱PC、PD的中点可得EF∥CD，又AB∥CD，所以EF∥AB，故AE与BF共面，故④错.
答案：①③
10.【解题指南】根据公理3，确定两平面的两个公共点即可得到交线．
【解析】在平面AA1D1D内，延长D1F，
∵D1F与DA不平行，
∴D1F与DA必相交于一点，设为P，
则P∈D1F,P∈DA.
又∵D1F⊂平面BED1F，AD⊂平面ABCD，
∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD.
又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，连接PB,
∴PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线．如图所示．
11.【解析】(1)取B1C1中点G，连接EG、GD，
则EG∥A1B1，DG∥BB1，
又EG∩DG=G，∴平面DEG∥平面ABB1A1，
又DE⊂平面DEG，
∴DE∥平面ABB1A1.
(2)设B1D交BC1于点F，则平面A1BC1∩平面B1DE=EF.
因为A1B∥平面B1DE，A1B⊂平面A1BC1，
所以A1B∥EF.所以.
又因为，所以.
【探究创新】
【解题指南】(1)利用三视图与直观图之间的转化确定相应线段长度.
(2)作辅助线，利用线面垂直证明线线垂直.
(3)找到二面角的平面角，在三角形中利用余弦定理求解.
【解析】(1)由三视图可知，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，
侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2.
∴VP－ABCD=S正方形ABCD·PC=×12×2=，
即四棱锥P－ABCD的体积为.
(2)不论点E在何位置，都有BD⊥AE.
证明如下：连接AC，∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC.
∵PC⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥PC.
又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC.
∵不论点E在何位置，都有AE⊂平面PAC.
∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE.
(3)在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连接BF.
∵AD=AB=1，DE=BE=，AE=AE=，
∴Rt△ADE≌Rt△ABE，
从而△ADF≌△ABF，∴BF⊥AE.
∴∠DFB为二面角D－AE－B的平面角.
在Rt△ADE中，，
∴BF= .
又BD= ，在△DFB中，由余弦定理得
，∴∠DFB=，
即二面角D－AE－B的大小为.