2022-2023学年黑龙江省绥化市肇东四中高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年黑龙江省绥化市肇东四中高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  (    )

A.  B.  C.  D.

2.  在中，点在边上，记，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知向量，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知，且，其中，为实数，则(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

5.  南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  函数的最小正周期和最大值分别是(    )

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

7.  安邦河，在黑龙江省内有两条一条属于松花江二级支流，位于黑龙江省中部，发源于小兴安岭支脉平顶山西坡；另一条属于松花江右岸支流，位于黑龙江省东部，发源于完达山支脉分水岗，自南向北流经双鸭山、集贤、桦川个市县，在桦川县新城乡境内注入松花江安邦河从双鸭山一中旁流过，其中一河段的两岸基本上是平行的，根据城建工程计划，需要测量出该河段的宽度，现在一侧岸边选取两点，并测得，选取对岸一目标点并测得，，，则该段河流的宽度为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在中，、、分别是角、、的对边，，且，则面积的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列四个命题中正确的是(    )

A. 若两条直线互相平行，则这两条直线确定一个平面
B. 若两条直线相交，则这两条直线确定一个平面
C. 若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线
D. 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线

10.  下列命题中错误的是(    )

A.
B. 若，满足，且与同向，则
C. 若，则
D. 若是等边三角形，则

11.  在中，角，，的对边分别为，，，对于有如下命题，其中正确的是(    )

A. 若，则是锐角三角形
B. 若，，则的外接圆的面积等于
C. 若是锐角三角形，则
D. 若，则是等腰直角三角形

12.  已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是(    )

A.  B. 复数的虚部为
C. 若复数为纯虚数，则 D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  记的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，则           ．

14.  在我国古代数学名著九章算术商功中刘徽注解“邪解立方得二堑堵”如图，在正方体中“邪解”得到一堑堵，为的中点，则异面直线与所成的角为______ ．

15.  已知向量，满足，则向量，的夹角为______

16.  已知，则 ______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知复数．
若复数为纯虚数，求实数的值；
若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围．

18.  本小题分
在平面直角坐标系中，已知点，，．
若，，三点共线，求实数的值；
若，求实数的值．

19.  本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，．
求；
若，，求的面积．

20.  本小题分
已知函数．
若，且，求的值；
在锐角中，角，，所对的边分别是，，，若，求的取值范围．

21.  本小题分
如图所示，用一个半径为厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒．
求该圆锥的表面积和体积；
求该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离．

22.  本小题分
如图，在正方体中，与交于点，求证：
直线平面；
直线平面．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．
由已知结合复数的四则运算即可求解．
【解答】
解：．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．
直接利用平面向量的线性运算可得，进而得解．

【解答】

解：如图，

，
，即．
故选：．

3.【答案】 

【解析】解：，
故，
先计算处的坐标，再利用坐标模长公式即可．
本题主要考查利用向量坐标求模，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了复数与共轭复数以及复数相等的应用问题，是基础题．
根据复数与共轭复数的定义，利用复数相等列方程求出、的值．

【解答】
解：因为，且，
所以，
所以，
解得，．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题以实际问题为载体考查棱台的体积公式，考查运算求解能力，属于基础题
先统一单位，再根据题意结合棱台的体积公式求解即可．
【解答】
解：，，
根据题意，增加的水量约为

．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了辅助角公式、三角函数的周期性与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
化简函数的表达式，再利用三角函数的周期，正弦函数的最值求解即可．

【解答】

解：，
最小正周期．
当时，函数取得最大值；
函数的最小正周期为，最大值．
故选：．

7.【答案】 

【解析】解：在中，由正弦定理得：，
河流的宽度．
故选：．
利用正弦定理可得，由可求得结果．
本题考查正弦定理，属基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为，，
由正弦定理得，
化简得：，
，，
由余弦定理得：，
即，当且仅当时等号成立，
所以．
故选：．
利用正弦定理、余弦定理得，则，再利用基本不等式和三角形面积公式即可求出答案．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式及三角形面积公式的应用，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：公理的推论：经过两条平行直线有且只有一个平面，选项A正确；
公理的推论：经过两条相交直线有且只有一个平面，选项B正确；
空间四点不共面，则其中任何三点不共线，否则由公理的推论：直线与直线外一点确定一个平面，这空间四点共面，所以选项C正确；
若两条直线没有公共点，可以互相平行，不一定是异面直线，选项D错误．
故选：．
由公理及推论判断、、选项，由直线的位置关系判断选项．
本题考查平面的基本性质及推论，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由向量模的性质可知，，当且仅当，同向共线时，等号成立，故A正确；
向量不能比较，故B错误；
，
则，当，垂直时，等式也成立，故C错误；
是等边三角形，
则，
故，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合向量模的性质，以及向量垂直的性质，向量夹角的定义，即可依次求解．
本题主要考查向量的概念与向量的模，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于：由余弦定理得，即为锐角，
不能判断为锐角，故A错误；
对于：设的外接圆的半径为，由正弦定理得，
即，故其外接圆的面积为，故B正确；
对于：若为锐角三角形，则，且，
，故C正确；
对于：，
由正弦定理得，
即，
或，即或，
则为等腰三角形或直角三角形，故D错误．
故选：．
根据余弦定理即可判断；根据正弦定理，即可判断；由题意可得，即可判断；根据正弦定理和二倍角的正弦公式计算化简，即可判断．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为，A正确；
复数的虚部为，不正确；
若，则，，不正确；
设，，所以，
，D正确．
故选：．
根据复数的运算可得，，的正误，根据复数虚部的概念可知的正误．
本题主要考查了复数的概念及性质，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题．
由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于的方程，解方程可得．

【解答】

解：的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，
，
又，负值舍
故答案为：．

14.【答案】 

【解析】解：连接，
因为几何体为正方体，
则面，
即，
又为的中点，
则，
则面，
则，
又，
则，
即异面直线与所成的角为，
故答案为：．
由线面垂直的判定定理，结合异面直线所成角的求法求解即可．
本题考查了线面垂直的判定定理，重点考查了异面直线所成角的求法，属基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意，可设向量，的夹角为，向量，满足，，，
由，则，
解得：，
又，
．
故答案为：．
先设向量，的夹角为，再由平面向量数量积的运算，结合平面向量夹角的运算，求解即可．
本题主要考查平面向量的夹角，考查转化能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为，
则，
又，
则．
故答案为：．
运用二倍角进行化简，将其转为其次式即可求出结果．
本题主要考查了同角基本关系及二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
 

17.【答案】解：复数为纯虚数，
且，解得；
复数在复平面内对应的点在第四象限，
，解得；
故实数的取值范围 

【解析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．
根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
本题考查了复数的几何意义的应用和纯虚数的概念，属于基础题．
 

18.【答案】解：点，，，
因为三点共线，所以，可得，解得或；
所以实数的值为或；
，可得，
而，，
所以，解得，
所以实数的值为：． 

【解析】由三点共线可得斜率相等，求出的值；
由直线垂直，可得数量积为，可得的值．
本题考查三点共线的性质的应用及直线垂直转化为数量积为的性质，属于基础题．
 

19.【答案】解：由正弦定理及，得，
所以，
即，所以，
因为，所以，又，所以．
因为，，又由知，
由余弦定理得，
即，则，所以，
所以的面积为． 

【解析】利用正弦定理及条件，进行边转角即可求出结果；
利用余弦定理及条件，建立方程求出的值，再用面积公式求出结果．
本题主要考查解三角形，正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：，
则，
又，则，
所以，
所以；
由于，则，
又，则，
所以，
又，则，
所以，则，即． 

【解析】化简可得，再结合，且，可得，再由正弦的和角公式可得解；
易知，，由此可得解．
本题考查三角函数的恒等变换以及三角函数的求值，考查正弦定理以及三角函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：设圆锥底面半径为厘米，母线的长为厘米，
则厘米，且，
解得厘米，
圆锥的表面积平方厘米，
圆锥的高厘米，
圆锥的体积立方厘米；
由知，圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为厘米，
最高点到底面的距离为等边三角形的高厘米，
故该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离厘米． 

【解析】设圆锥底面半径为厘米，母线的长为厘米，根据扇形的弧长公式求得，再利用勾股定理求得圆锥的高，再根据圆锥的表面积公式和体积公式即可得解；
由知，圆锥的轴截面为等边三角形，从而可得最高点到底面的距离为等边三角形的高，即可得解．
本题考查圆锥的表面积与体积的求解，属中档题．
 

22.【答案】证明：直线在平面外，因为，，
所以四边形是平行四边形，所以，
而是平面内的直线，根据判定定理可知，直线平面．
如图，连接，交于，连接，易知，，
则四边形是平行四边形，所以，
所以在平面上，根据判定定理可知，平面．
 

【解析】根据题意，先证得四边形是平行四边形，从而证得，即可证得线面垂直；
连接，交于，连接，只需证明，即可证得线面垂直．
本题考查线面平行的证明，化归转化思想，属中档题．