2022-2023学年黑龙江省佳木斯市第一中学高二上学期期中数学试题含解析

2022-2023学年黑龙江省佳木斯市第一中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意求出a,b即可求得答案.

【详解】由题意，，则，结合条件可知，双曲线的标准方程为.

故选：C.

2．平面内有两个定点、和一个动点，，（为常数）.若表示""，表示“点的轨迹是椭圆”．则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用椭圆的定义分析若点的轨迹为椭圆所对应的的范围，再利用充分条件和必要条件的定义判断即可．

【详解】解：因为，且为常数），

所以要使点的轨迹为椭圆，则，

所以“”是“点的轨迹是椭圆”的充分不必要条件．

故选：A．

3．两条平行直线与之间的距离（    ）

A． B． C． D．7

【答案】C

【分析】首先根据两条直线平行求出参数的值，然后利用平行线间的距离公式求解即可.

【详解】由已知两条直线平行，得，所以，

所以直线可化为，

则两平行线间的距离.

故选：C

4．若椭圆与双曲线的焦点相同，则的值为（    ）

A．3 B．6 C．9 D．12

【答案】C

【分析】先将双曲线化成标准方程，再根据两曲线焦点相同可得，，即可解出．

【详解】双曲线化成标准方程，所以，解得．

故选：C．

5．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，则下列向量中与相等的向量是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据平行六面体的特征和空间向量的线性运算依次对选项的式子变形，即可判断.

【详解】A：

，故A正确；

B：

，故B错误；

C：

，故C错误；

D：

，故D错误；

故选：A

6．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽是（    ）

A．13米 B．14米 C．15米 D．16米

【答案】D

【分析】沿拱顶建立如图所示的平面直角坐标系，求出圆的方程后可得水面下降2米后的水面宽.

【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，

设圆的方程为：，代入，则有，

故圆的方程为：，

令，则，故，

故选：D.

7．已知直线l的方向向量为，点在直线l上，则点到直线l的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用数量积的几何意义结合勾股定理求解即可

【详解】由已知得，

因为直线l的方向向量为，

所以点到直线l的距离为

故选：D

8．已知斜率为且不经过原点的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，且在轴上，则（    ）

A． B．1 C．2 D．0

【答案】D

【分析】根据中点弦的问题求解即可.

【详解】解：设，，，

所以，，两式相减得，

所以，．

若在轴上，则．

因为不经过原点，

所以，

所以，．

故选：D

二、多选题

9．已知曲线（    ）

A．表示两条直线 B．表示圆

C．表示焦点在x轴上的双曲线 D．表示焦点在x轴上的椭圆

【答案】BD

【分析】根据圆，双曲线，椭圆的方程特征，依次分析各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，当时，表示焦点在轴上的双曲线，故错误；

对于B选项，当时，表示圆心为原点，半径为的圆，故正确；

对于C选项，当时，表示焦点在轴上的双曲线，故错误；

对于D选项，当时，方程为，由于，故表示焦点在x轴上的椭圆，故正确.

故选：BD

10．下列说法中，正确的有（    ）

A．点斜式可以表示任何直线

B．直线在y轴上的截距为

C．点到直线的的最大距离为

D．直线关于对称的直线方程是

【答案】BC

【分析】根据点斜式的应用范围即可判断A；，求出，即可判断B；求出直线所过的定点，再求出定点与点的距离，即可判断C；求出交点坐标，在求出直线直线上的点关于直线对称的点的坐标，即可判断D.

【详解】解：对于，点斜式不能表示斜率不存在得直线，故A错误；

对于B，令，则，

所以直线在y轴上的截距为，故B正确；

对于C，直线化为，

令，解得，

所以直线过定点，

则点到直线的的最大距离为，故C正确；

对于D，联立，解得，

即直线与直线的交点为，

设直线上的点关于直线对称的点，

则，解得，即，

所以所求直线方程为，即，故D错误.

故选：BC.

11．已知椭圆分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ）

A．离心率 B．的周长为15

C．若，则的面积为9 D．直线与直线斜率乘积为定值

【答案】ACD

【分析】求出椭圆的离心率可以判断A；根据椭圆的定义可判断B；根据椭圆的定义和勾股定理可以求出三角形的面积，进而判断C；设出点P的坐标，得到斜率，进而结合点P的坐标满足椭圆方程求出答案，进而判断D.

【详解】由，可知，

对于A：，故A正确；

对于B：记，则，的周长为，故B错误；

对于C：， ，所以，故C正确；

对于D：设，则，，于是

，故D正确.

故选：ACD.

12．“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C，其方程为．则下列说法正确的是（    ）

A．曲线C包含的封闭图形内部(不含边界)有11个整数点(横、纵坐标均为整数)

B．曲线C上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为5

C．若A(0，－)、B(0，)，P是曲线C下半部分中半椭圆上的一个动点，则cos∠APB的最小值为－

D．画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上，称该圆为椭圆的蒙日圆；那么曲线C中下半部分半椭圆扩充为整个椭圆C'：后，椭圆C'的蒙日圆方程为：

【答案】BCD

【分析】选项A需要对曲线C中x分5类讨论，由x判断对应y的范围，从而得到整数点个数；选项B借助参数方程求解椭圆中两点间距离问题；选项C由椭圆定义可得到|PA|、|PB|之和为定值，由基本不等式可以得到、|PB|乘积的最大值，结合余弦定理即可求出cos∠APB的最小值；选项D中分析蒙日圆的关键信息，圆心是原点，找两条特殊的切线，切线交点在圆上，求得圆半径得圆方程．

【详解】对于A：曲线中，，当时，

分5类讨论：，分别代入曲线方程，可得：

整数点为(－1，1)，(－1，0)，(－1，－1)．(－1，－2)，(0，0)，(1，1)，(1，0)、(1，－1)，(1，－2)，

所以：整数点有9个，选项A错误；

对于B：曲线C中，当时，此时与原点距离为2，

当，时，设半椭圆上动点P坐标为(2cosθ，3sinθ)，

则，

最大值与最小值之和为5，选项B正确；

对于C：又A(0，－)、B(0，)恰为椭圆的两个焦点．

那么，

当且仅当，即P在x轴上时，等号成立，

在△PAB中，，由余弦定理知：

，选项C正确；

对于D：由题意知：蒙日圆的圆心O坐标为原点(0，0)，在椭圆：中取两条切线：和，它们交点为(2，3)，

该点在蒙日圆上，半径为

此时蒙日圆方程为：，选项D正确．

故选：BCD．

三、填空题

13．已知点关于直线的对称点为，则直线的方程为______________________________

【答案】

【分析】求出线段的中垂线方程即可．

【详解】，其中垂线的斜率为，又中点为，∴直线方程为，即．

故答案为：．

【点睛】本题考查点的对称性，考查求两点的对称轴方程．掌握对称的性质即可求解．

14．若点和点到直线的距离依次为1和2，则这样的直线有______条．

【答案】3

【分析】分别以A，B为圆心，1，2为半径作圆，结合图形，转化为公切线问题即可求解.

【详解】

如图1，分别以A，B为圆心，1，2为半径作圆，依题意知，

直线l是圆A的切线，A到l的距离为1，

直线l也是圆B的切线，B到l的距离为2，所以直线l是两圆的公切线，

共3条（2条外公切线，1条内公切线）．

故满足题意的直线有3条．

故答案为:3.

15．已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为的左，右顶点．为上一点，且轴．直线与轴交于点，若直线经过的中点，则的离心率为______

【答案】

【分析】求出，进而得到直线方程，从而求出，求出直线方程，得到直线与轴交点坐标，根据直线经过的中点，得到方程，求出，得到曲线的离心率.

【详解】由题意得：，，，

将代入椭圆方程，，

解得：，不妨设，

则直线方程为，令得：，

故，

直线方程为，令得：，

故，

由题意得：，解得：，

所以.

故答案为：.

16．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两个定点,的距离之比为（，且），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．若平面内两定点,间的距离为，动点满足，则的最大值为______

【答案】##

【分析】先建立平面直角坐标系，写出，，的坐标，然后求出的轨迹方程，然后利用坐标表示出 ，利用点的轨迹方程消元求解即可.

【详解】由题可知,

不妨设：

所以有，

因为

得，整理得，得，

显然，得，解得：

有=

因为，

所以当时，有最大值为

故答案为：

四、解答题

17．平面内，动点到点的距离与它到直线的距离之比为．求动点的轨迹方程．

【答案】

【分析】先设，然后利用距离公式根据题意计算化简即可.

【详解】设

得，

点到直线的距离

由题可知：

化简得：

所以动点的轨迹方程为

18．已知的三顶点坐标为，求

(1)的外接圆的方程;

(2)过点作圆的切线，求切线方程.

【答案】(1)

(2) 或

【分析】（1）设外接圆的一般方程为，代入点坐标，待定系数即得解；

（2）分不存在，存在两种情况讨论，利用圆心到直线距离等于半径，求解即可.

【详解】（1）不妨设外接圆的一般方程为

故

解得：

即的外接圆的方程为：

（2）由题意，

故圆心为，半径，

若切线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离，成立，故为圆C的切线；

若切线的斜率存在，不妨设切线为：，

圆心到直线的距离：，解得

故切线方程为：

综上，过点的圆的切线方程为： 或

19．已知的顶点的坐标为，边上的中线所在的直线方程为，的角平分线所在的直线方程为．求顶点的坐标．

【答案】

【分析】因为点在直线上，设出，然后计算的中点坐标，将其代入上的中线的直线方程求解即可.

【详解】由题可知点在直线上，设

所以的中点坐标为

又因为边的中线方程为

故有，解得

所以的坐标为

20．已知椭圆的焦距为，短轴长为2，直线过点且与椭圆C交于A、B两点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线的斜率为1，求三角形的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知求得后得椭圆方程；

（2）写出直线方程与椭圆方程联立方程组求得交点坐标，计算，求出原点到直线的距离后可得面积．

【详解】（1）椭圆焦点为，则，，又，，所以，

椭圆方程为；

（2）直线方程为，即，

由，解得，，

即，，，

到直线的距离为，

所以．

21．如图所示，在直三棱柱中，，，点分别为棱，的中点，点是线段上的点（不包括两个端点）．

(1)当为线段的中点时，求点到平面的距离；

(2)是否存在一点，使得二面角的余弦值为，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由．

【答案】(1)点到平面的距离为

(2)存在，则

【分析】（1）利用等体积法求解即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解．

【详解】（1）解：

因为，，平面，平面，，

所以平面，又平面

所以，

又，所以，

在△中，，

在△中，，

在△中，，

在△中，，

则，所以，

所以，

，

因为平面，，所以平面，

所以点到平面的距离即为垂线段的长，

设点到平面的距离为，

，即，解得，

即点到平面的距离为.

（2）解：设，建立如图所示的空间直角坐标系，

则,2,，,0,，,0,，

所以，

设,,为平面的法向量，

则即，

令，则，

因为平面为坐标平面，所以,1,为其法向量，

依题意，

解之得或（舍，

所以．

22．已知,分别是椭圆的左右顶点,为坐标原点,,点在椭圆上.过点,且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两个不同的点.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)当直线的倾斜角为锐角时,设直线,分别交轴于点、,记,,求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据长轴长求出,再代入,求出,得到椭圆方程;

(2)设出直线的方程,,,联立椭圆方程,先根据根的判别式求出的取值范围.再设出直线的方程,求出点S坐标,同理求出点T为,根据向量关系和韦达定理得到,结合的范围求出的范围.

【详解】（1）因为,所以;

又点在图像上即,所以,

所以椭圆的方程为;

（2）设直线,、,

由得,

,

解得或①,

又因为倾斜角为锐角,

,

设直线的方程是:,直线的方程是:.

在直线的方程中,令,解得,

点坐标为;

同理点为.

所以,,,

由,,可得:,,

(*),

将,代入(*)式得:

,

因为,所以,,

故的范围是.

【点睛】对于直线与圆锥曲线结合,求解取值范围问题,通常思路为设出直线方程,与圆锥曲线联立，利用韦达定理得到两根之和,两根之积,再根据题干条件列出方程求出答案.