数学七年级下册7.2 一元一次不等式优秀精练

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题型一 不等式的定义
题型二 不等式的解集
题型三 不等式的基本性质
题型四 一元一次不等式的定义
题型五 求一元一次不等式的解集
题型六 求一元一次不等式的整数解
题型七 求一元一次不等式解的最值
题型八 解|x|≥a型的不等式
题型九 列一元一次不等式
题型十 用一元一次不等式解决实际问题
题型十一 用一元一次不等式解决几何问题
题型十二 在数轴上表示不等式的解集
题型十三 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
题型十四 根据两条直线的交点求不等式的解集
【知识梳理】
知识点1 一元一次不等式定义
只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．
注：其标准形式：ax+b＜0或ax+b≤0，ax+b＞0或ax+b≥0(a≠0)．
知识点2 解一元一次不等式
解一元一次不等式步骤：
（1）去分母；去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项去括号；
（2）去括号：移项时不要忘记变号；
（2）移项； 移项时不要忘记变号；
（3）合并同类项；
（4）化系数为1．
说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．
知识点 一次函数与一元一次不等式的关系
任何一元一次不等式都可以转化为 ax+b>0 或 ax+b<0 (a、b 为常数，a≠0）的形式，所 以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于 0 时，求自变量相应的取值范围。
【经典例题一 不等式的定义】
【例1】（22-23八年级下·辽宁沈阳·期中）给出下列数学式：①；②；③；④；⑤．其中不等式的个数是（ ）
A．5B．4C．3D．1
【答案】C
【分析】运用不等式的定义进行判断．
【详解】解：③是等式，④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式．
不等式有①②⑤，共3个．
故选：C．
【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠．
【变式训练】
1．（22-23九年级下·吉林松原·期中）用不等式表示：的倍与的的和不大于，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意列出不等式，不大于5即．
【详解】解：的倍与的的和不大于，即，
故选：D．
【点睛】本题考查了列不等式，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．
2．（21-22八年级上·湖南娄底·期末）对于下列结论：①x为自然数，则；②x为负数，则；③x不大于10，则；④m为非负数，则，正确的有 ．
【答案】②④/④②
【分析】根据自然数定义即可判断①，根据负数定义即可判断②，不大于10，即小于或等于可判断③，根据非负数定义即可判断④．
【详解】解：x为自然数，则，错误，不合题意；
②x为负数，则，正确，符合题意；
③x不大于10，则，错误，不合题意；
④m为非负数，则，正确，符合题意；
故答案为：②④．
【点睛】本题考查了列不等式的知识，正确理解负数定义，非负数定义，自然数定义，不大于即小于或等于．
3．（22-23八年级上·全国·课时练习）根据下列数量关系列不等式：
(1)x的7倍减去1是正数．
(2)y的与的和不大于0．
(3)正数a与1的和的算术平方根大于1．
(4)y的20%不小于1与y的和．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【分析】（1）根据“x的7倍减去1是正数”直接列不等式即可；
（2）根据“y的与的和不大于0”直接列不等式即可；
（3）根据“正数a与1的和的算术平方根大于1”直接列不等式即可；
（4）根据“y的20%不小于1与y的和”直接列不等式即可．
【详解】（1）解：由题意得：；
（2）解：由题意得：；
（3）解：由题意得：；
（4）解：由题意得：．
【点睛】本题主要考查列不等式，准确理解“大于，小于，不大于，不小于”这些词语是关键．
【经典例题二 不等式的解集】
【例2】（22-23七年级下·湖南衡阳·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．不等式的解集是B．是不等式的一个解
C．不等式的整数解有无数个D．不等式的正整数解有4个
【答案】C
【分析】先求出不等式的解集，再依次判断解的情况．
【详解】解：A、该不等式的解集为，故错误，不符合题意；
B、∵，故错误，不符合题意；
C、正确，符合题意；
D、因为该不等式的解集为，所以无正整数解，故错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质和不等式的解集的理解，解题关键是根据解集正确判断解的情况．
【变式训练】
1．（20-21七年级下·湖北恩施·期末）据悉，我国设计制造的天舟二号货运飞船，在2021年5月29日顺利升空，将6吨多物资运送到天和核心舱，若用a表示货运飞船的载货质量，则对a的取值理解最准确的是（ ）（单位：吨）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据“6吨多”得到的取值范围即可．
【详解】解：根据“6吨多”物资运送到天和核心舱得到．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了不等式的定义：用“”或“”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“”号表示不等关系的式子也是不等式．
2．（22-23八年级下·山西太原·期中）在，，，四个数中， 是不等式的解．
【答案】6
【分析】移项，合并同类项得出不等式的解集即可得出答案．
【详解】解：，
，
在，，，四个数中，符合条件的只有，
即是不等式的解，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
3．（20-21八年级下·江西景德镇·期中）关于x的两个不等式x+1<7−2x与−1+x(1)若两个不等式解集相同，求a的值；
(2)若不等式x+1<7−2x的解都是−1+x【答案】(1)a=1；
(2)a≥1．
【分析】（1）求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出a的值即可；
（2）根据不等式x+1<7−2x的解都是−1+x【详解】（1）解：由x+1<7−2x得：x＜2，
由−1+x由两个不等式的解集相同，得到a+1=2，
解得：a=1；
（2）解：由不等式x+1<7−2x的解都是−1+x得到2≤a+1，
解得：a≥1．
【点睛】此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值，利用不等关系求解．
【经典例题三 不等式的基本性质】
【例3】（23-24七年级上·吉林长春·期末）下列不等式的变形正确的是（ ）
A．若，则B．若，且，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，进行分析即可．
【详解】解：A、若，则，故原变形错误，故此选项不符合题意；
B、若，且，则，故原变形错误，故此选项不符合题意；
C、若，当时，则，故原变形错误，故此选项不符合题意；
D、若，由题分析得，不等式两边同时除以正数，则，原变形正确，故此选项符合题意．
故选：D．
【变式训练】
1．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）下列叙述正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】本题考查不等式性质，不等式两边加上或减去同一个数或式子，不等号方向不变．不等式两边乘或除以同一个正数，不等号方向不变．不等式两边乘或除以同一个负数，不等号方向改变．根据不等式性质对各项进行判断，即可解题．
【详解】解：A、若，当时，则，故A项错误，不符合题意；
B、若，则，故B项错误，不符合题意；
C、若，则，故C项正确，符合题意；
D、若，则，故D项错误，不符合题意；
故选：C．
2．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）已知，且，，若，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了不等式的性质，根据题意得出，进而推出是解题关键．
【详解】解：∵，
∴
∴
∵，，
∴，
∴
故答案为：
3．（22-23七年级下·山东烟台·阶段练习）（1）比较与的大小关系：
①当时， __________；
②当时， __________；
③当时， __________．
（2）根据上述结果请你猜想与的大小关系：__________，并进行验证．
【答案】（1）①；②；③；（2），过程见详解
【分析】（1）①②③将的值代入和，求值后，比较大小即可；
（2）综合①②③得出结论：（时，取“”）；
本题主要考查的是不等式的基本性质：（时，取“”）；
【详解】解：①当时，
，
∵，
∴；
②当时，
，
∵，
∴；
③当时
，
∵，
∴；
（2）综合①②③得出结论：（时，取“=”）．
证明：∵（时，取“=”），
∴，
∴
【经典例题四 一元一次不等式的定义】
【例4】（23-24七年级下·全国·假期作业）若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖南娄底·阶段练习）下列各式：①；②；③；④；⑤．其中是一元一次不等式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【分析】
本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，其中只含有一个未知数，且未知数的最高次为1的不等式叫做一元一次不等式．解答此类题关键是会识别常见的不等号：．
【详解】解：①未知数的次数不是1，不是一元一次不等式，不符合题意；
②含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意；
③是一元一次不等式，符合题意；
④不是不等式，不符合题意；
⑤是一元一次不等式，符合题意；
∴一元一次不等式一共有2个，
故选：A．
2．（2021下·湖南长沙·七年级统考期末）已知关于的不等式的解集为，则关于18．（2023九年级·全国·专题练习）已知（k－3）x|k|－2＋1＞0是关于x的一元一次不等式，则k＝ ．
【答案】-3
【详解】∵(k-3)x|k|-2+1>0是关于x的一元一次不等式,
∴k-3≠0且|k|-2=1,
解得k=-3.
2．（22-23八年级下·江西抚州·阶段练习）已知不等式是关于x的一元一次不等式，则m的值为多少？并解这个一元一次不等式．
【答案】，
【分析】先根据一元一次不等式的性质，求出m的值，得出这个不等式，再根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：∵不等式是关于x的一元一次不等式，
∴，
解得：，
∴原不等式为，
解得：．
综上：，．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的性质，解一元一次不等式，解题的关键是掌握只含有一个未知数，且未知数指数为1的不等式是一元一次不等式；以及不等式的性质：不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．
【经典例题五 求一元一次不等式的解集】
【例5】（23-24八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的有（ ）
①不是不等式的解；
②不等式的解集是；
③不等式的负数解有无限多个；
④不等式的负数解有无限多个．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】此题主要考查了不等式的解的定义，以及不等式的解集的定义，关键是熟练掌握两个定义．根据不等式的解的定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；不等式的解集的定义：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集，进行分析即可得到答案．
【详解】
①不等式的解集为：，
∴不是不等式的解，正确；
②不等式的解集是，正确；
③不等式的负数解有无限多个，正确；
④不等式的负数解有无限多个，正确．
综上分析可知，此题正确的说法有4个．
故选：D．
【变式训练】
1．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）若关于、的方程组的解满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先应用加减消元法，求出关于、的方程组的解，然后根据解一元一次不等式的方法，求出的取值范围即可．
【详解】解：，
，可得，
解得：，
把代入②，可得，
解得：，
，
，
解得：，
故选：．
【点睛】此题主要考查了解二元一次不等式组，解一元一次不等式，熟练掌握解二元一次方程组的方法和解一元一次不等式的方法是解答本题的关键．
2．（2024·河北·一模）若不等式有解，则实数的最小值是 .
【答案】
【分析】
本题考查绝对值的代数意义，根据代数意义去绝对值，分类讨论求解即可得到答案，
熟练掌握利用绝对值的代数意义去绝对值是解决问题的关键．
【详解】解：①当时，，
，解得，
不等式有解，
，解得；
②当时，，
，解得，
不等式有解，
，解得；
③当时，，
，解得，
不等式有解，
，解得；
综上所述，若不等式有解，则，即实数的最小值是，
故答案为：．
3．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）已知关于的方程．
(1)若该方程的解满足，求的取值范围；
(2)若该方程的解是不等式的的负整数解，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次方程，解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
（1）先求出方程的解，再根据方程的解满足，得到关于x的不等式，即可求解；
（2）求出不等式的解集，根据不等式的负整数解为，代入方程，即可求解．
【详解】（1）解： ，
解得，
由题意得：，
．
（2），
，
，
，
，
所以不等式的负整数解为，
把代入得：，
解得：．
【经典例题六 求一元一次不等式的整数解】
【例6】（22-23七年级下·四川眉山·期中）关于x、y的二元一次方程的正整数解有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据x、y为正整数得出，求出x的范围，得出或2或3或4，代入求出y的值，由此即可解答．
【详解】解：∵二元一次方程的解为正整数，
∴，解得：，
∴当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
∴二元一次方程的正整数解有4个，
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程的整数解，求出x的取值范围是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（22-23七年级下·四川遂宁·期末）定义一种新运算：．例如：，那么不等式的正整数解是（ ）
A．B．1C．0和1D．2
【答案】B
【分析】根据题目所给新运算的运算法则，将化为代数式，再求解不等式即可．
【详解】解：根据题意可得：，
∵，
∴，
解得：，
符合条件是正整数解有：1．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求一元一次不等式的正整数解，解题的关键是正确理解题意，根据题目所给新运算，列出不等式求解．
2．（22-23七年级下·山东济宁·期末）对于任意实数，，定义一种新运算，其运算法则为，例如：，请根据上述定义解决问题：求不等式的非负整数解 ．
【答案】，，
【分析】根据新运算法则可得，然后按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
该不等式的非负整数解为，，，
故答案为：，，．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，理解新运算法则是解题的关键．
3、（22-23七年级下·北京东城·期末）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．
①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为．
②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．

(1)的解集为___________，的解集为___________；
(2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是负整数，求的值．
【答案】(1)；或
(2)
【分析】（1）根据阅读材料的结论即可解答；
（2）先将二元一次的方程组的两方程求和可得，再代入得到关于m的绝对值不等式，然后求解，最后确定满足题意的m的值即可．
【详解】（1）解：由阅读材料提供方法可得：
的解集为；的解集为或．
故答案为：；或．
（2）解：∵二元一次方程组
∴可得：，即
∵
∴，
∴
∴
∵m是负整数
∴．
【点睛】本题主要考查了绝对值的几何意义、二元一次方程组的特殊解法等知识点，理解绝对真的几何意义是解答本题的关键．
【经典例题七 求一元一次不等式解的最值】
【例7】（2022·江苏南通·二模）已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值．
【详解】解：，
解①得，
解②得．
则不等式组的解集是．
∵解集中至少有5个整数解
∴整数解为：-1,0,1,2,3．
∴．
整数a的最小值是4．
故选C．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是______；使代数式的值小于20的最大整数x是（ ）．
A．1，7B．2，7C．1， D．2，
【答案】A
【分析】把代入计算，即可求出输出结果；列不等式求解可得出使的值小于20的最大整数x．
【详解】当时，第1次运算结果为，
∴当时，输出结果是1；
由题意，得
，
解得，
∴使代数式的值小于20的最大整数x是7，
故选A．
【点睛】本题考查了程序框图的计算，以及一元一次不等式的应用，能够理解题意是解题的关键．
2．（19-20七年级下·福建泉州·期末）已知实数，，．若，则的最大值为 ．
【答案】6
【分析】由得，与相加得，由及，可得a的最大值为3，从而得出的最大值．
【详解】解：由得，
由得，
及，
解得：，
的最大值为3，
的最大值．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了不等式的性质运用．关键是由已知等式得出的表达式，再求最大值．
3．（21-22七年级下·海南儋州·期中）已知有关x的方程的解也是不等式2x-3a<5的一个解，求满足条件的整数a的最小值．
【答案】0
【分析】首先解方程求得x的值，把x的值代入不等式中，得关于a的不等式，解不等式即可求得满足条件的整数a的最小值．
【详解】原方程可化为：，
即7x=7，
解得：x=1，
把x=1代入2x－3a<5中，得2－3a<5，
解不等式得：，
所以整数a的最小值为0．
【点睛】本题是一元一次方程与一元一次不等式的综合，考查了解一元一次方程及解一元一次不等式、求一元一次不等式的整数解，正确解一元一次方程及一元一次不等式是解题的关键．
【经典例题八 解|x|≥a型的不等式】
【例8】（2023春·河北保定·八年级校考阶段练习）不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【分析】根据绝对值性质分、，去绝对值符号后解相应不等式可得x的范围．
【详解】
解：①当，即时，原式可化为：，
解得：，
；
②当，即时，原式可化为：，
解得：，
，
综上，该不等式的解集是，
故选：C．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的能力，根据绝对值性质分类讨论是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·安徽芜湖·九年级校考自主招生）若关于x的方程有三个整数解，则的值是( )
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根据绝对值的性质可得然后讨论及的情况下解的情况，再根据方程有三个整数解可得出的值．
【详解】解：①若
当时，解得：，；
当时，解得：；；
②若
当时，解得：，；
当时，解得：，；
又方程有三个整数解，
可得：或，根据绝对值的非负性可得：．
即只能取．
故选：B．
【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程，难度较大，掌握绝对值的性质及不等式的
2．（2023春·全国·七年级专题练习）不等式的解集是 ．
【答案】/
【分析】根据“|a|”的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离即可解答．
【详解】解：根据绝对值的几何意义可得：“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于，
不等式的解集是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）已知不等式的解是，则a＝ ．
【答案】
【分析】首先根据题意表示出不等式的解，然后根据列方程求解即可．
【详解】∵
∴，即，
∴
∴或
∴或
∵不等式的解是，
∴应舍去，
∴，解得，
经检验，是方程的解．
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元一次不等式含参数问题，解题的关键是根据题意表示出一元一次不等式的解．
4．（2023春·河南鹤壁·七年级统考期中）先阅读下面是的解题过程，然后回答下列问题．
例：解绝对值方程：．
解：分情况讨论：①当时，原方程可化为，解得；
②当时，原方程可化为，解得．
所以原方程的解为或．
根据材料，解下列绝对值方程：
(1)理解应用：；
(2)拓展应用：不等式的解集为______．
【答案】(1)①；②或
(2)或
【分析】（1）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可；
（2）分为两种情况：①当时，②当时，分情况求出即可．
【详解】（1）解：分情况讨论：
①当时，
原方程可化为，解得；
②当时，
原方程可化为：，
解得：，
所以原方程的解为或；
（2）解：分情况讨论：
①当时，
解得：；
②当时，
解得：，
所以不等式解集为或．
【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程及一元一次不等式的应用，关键是能去掉绝对值符号，用了分类讨论思想．
【经典例题九 列一元一次不等式】
【例9】（2023·浙江杭州·统考二模）−次生活常识竞赛共有20题，答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分．小滨有1题没答，竞赛成绩不低于80分，设小聪答错了x题，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】小聪答错了道题，则答对了道题，根据总分答对题目数答错题目数结合、总分超过80分，即可得出关于的一元一次不等式整理即可得出结论．
【详解】解：设小聪答错了x道题，则答对了道题，
依题意得：，
即：
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·福建漳州·七年级统考期中）一辆汽车从地出发，要在之前到达距离地的地，设平均车速为，根据题意可列不等式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可知，汽车45分钟行驶的路程大于，依此列出不等式即可．
【详解】解：设平均车速为，
45分钟 小时，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确得出不等式关系是解题的关键．
2．（2023春·江西景德镇·八年级统考期中）在通过桥洞时，往往会看到如图所示的标志：这是限制车高的标志，表示车辆高度不能超过，通过桥洞的车高应满足的不等式为 ．

【答案】/
【分析】根据不等式的定义列不等式即可．
【详解】解：∵车辆高度不能超过，
∴．
故答案为．
【点睛】本题主要考查列不等式，掌握不等式的定义是解答本题的关键．
3．（2022秋·浙江宁波·八年级校联考阶段练习）2022年卡塔尔世界杯正如火如荼地进行着，其小组赛赛制为：每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若某强队想要在小组赛中确保出线，就必须在3场中保持不败并且积分不少于7分，则该队至少胜多少场？设该队胜x场，则列出的不等式为 ．
【答案】
【分析】设该队至少胜x场，则平场，根据题意列不等式即可．
【详解】解：设该队至少胜x场，则平场，
由题意得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出不等式是关键．
4．（2023春·河南焦作·八年级统考期中）为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中价格、有效监控半径如表所示：
(1)若购买该批设备的资金不超过7200元，请你写出购买的甲型设备数量x（台）应满足的不等式；
(2)若要求有效监控半径覆盖范围大于1600米，请你写出购买的甲型设备数量x（台）应满足的不等式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设购买甲型设备x台，则购买乙型设备台，根据“总价=单价×数量”结合购买该批设备的资金不超过7200元列关于x的一元一次不等式即可；
（2）设购买甲型设备x台，则购买乙型设备台，根据要求监控半径覆盖范围不低于1600米可列关于x的一元一次不等式即可．
【详解】（1）解：设购买甲型设备x台，则购买乙型设备台，
根据题意得：．
（2）解：设购买甲型设备x台，则购买乙型设备台，
根据题意得：．
【点睛】本题主要考查了列不等式，审清题意、找到不等关系是解答本题的关键．
【经典例题十 用一元一次不等式解决实际问题】
【例10】（2022春·贵州·八年级校联考期末）小颖准备用元钱买笔和笔记本，已知每枝笔元，每本笔记本元，她买了个笔记本，其余的钱用来买笔，那么她最多能买（ ）枝．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先利用每支笔元，每本笔记本元，进而利用总钱数不超过元，进而得出不等关系求出即可．
【详解】设买笔支，根据题意得：
，
解得：，
∴最多能买支，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的应用，根据题意得出正确的不等关系是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021春·安徽合肥·七年级合肥寿春中学校考期中）四美超市销售某品牌纸杯，商家按照进价的提价销售，随着合肥“限塑令”颁布，该纸杯的进价增加了，现商家为增加获利，且使利润率不低于，应把售价在原售价的基础上至少提高（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令原进价为“1”，设售价在原售价的基础上至少提高，依题意得，，计算求解即可．
【详解】解：令原进价为“1”，设售价在原售价的基础上至少提高，
依题意得，，
解得，，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用．解题的关键在于熟练掌握：．
2．（2022春·广东深圳·八年级校考期中）某次知识竞赛共有20道题，答对一题得10分，答错或不答均扣5分，小玉得分超过95分，他至少要答对 道题．
【答案】14
【分析】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得x的取值范围，由于x是整数，从而可以解答本题．
【详解】解：设小玉答对了x道题，
解得，
∴小玉至少答对14道，
故答案为：14．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的一元一次不等式．
3．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考阶段练习）今年校团委举办了“中国梦，我的梦”歌咏比赛，张老师为鼓励同学们，带了50元钱购买甲、乙两种笔记本作为奖品．已知甲种笔记本每本7元，乙种笔记本每本5元，每种笔记本至少买3本，则张老师购买笔记本的方案共有 种．
【答案】6
【分析】设甲种笔记本购买了x本，乙种笔记本y本，由题意，得，据此求解即可．
【详解】解：设甲种笔记本购买了x本，乙种笔记本y本，
由题意，得，
∵，，
∴当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，舍去；
当，时，；
当，时，；
当，时，舍去；
当，时，．
综上所述，共有6种购买方案．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了二元一次不等式的整数解的应用，找准不等关系，正确列出二元一次不等式是解题的关键．
4．（2022春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）为了促进消费，端午节期间，甲乙两家商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同促销方案：
甲商场的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元部分按付费；
乙商场的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元部分按付费；
若某顾客准备购买标价为元的商品．
(1)在甲商场购买的优惠价为______元，在乙商场购买的优惠价为______元；均用含的式子表示；
(2)顾客到哪家商场购物花费少？写出解答过程；
(3)乙商场为了吸引顾客，采取了进一步的优惠：购物价格累计超过元后，但不超过元，超出元部分按付费；超过元后，超出元部分按付费．甲商场没有调整优惠方案，请直接写出顾客选择甲商场购物花费少时的取值范围．
【答案】(1)，
(2)当时，顾客在甲商场购物花费少，当时，顾客在甲，乙商场购物花费相等，当时，顾客在乙商场购物花费少
(3)
【分析】根据甲、乙的促销方案进行解答即可；
根据中表示出在甲乙两商场的花费列出的不等式，分情况讨论，求出最合适的消费方案；
当时，由题意列出一元一次不等式，可求解．
【详解】（1）解：在甲商场购买的优惠价元，
在乙商场购买的优惠价元，
故答案为：，；
（2）解：当顾客在甲商场购物花费少时，，
解得：；
当顾客在乙商场购物花费少时，则，
解得：；
当顾客在甲，乙商场购物花费相等时，则，
解得：；
当时，顾客在甲商场购物花费少，
当时，顾客在甲，乙商场购物花费相等，
当时，顾客在乙商场购物花费少．
（3）解：当时，
由题意可得：，
解得：，
当时，顾客在甲商场购物花费少，
又当时，顾客在甲商场购物花费少，
时，顾客在甲商场购物花费少，
综上所述，顾客选择甲商场购物花费少时的取值范围为．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用和一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，列出不等式关系式即可求解．注意此题分类讨论的数学思想．
【经典例题十一 用一元一次不等式解决几何问题】
【例11】（2023春·河南周口·七年级统考期中）用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得．
【详解】根据题意和图形可得，
解得：，
故选：D
【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）现将体积是125的正方体木块锯成8块同样大小的小正方体木块，准备从中选取n个小正方体木块，排放在一块长方形的木板上，已知此长方形木板的长是宽的4倍，面积是36，若只排放一层，n的最大值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】先计算出每个小正方体的棱长，再计算出木板的长度，后建立不等式求不等式的整数解即可．
【详解】解：∵体积是125的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，
∴每一块的棱长l＝2.5cm，
∵长方形面积是36 ，长方形木板的长是宽的4倍，
设宽为x cm，长为4x cm，
x•4x＝36，
得：x＝3，
∴长为12 cm，根据题意,得2.5n≤12，
∴n≤4.8，
∵n是正整数，
∴n的最大值是4．
故选：C．
【点睛】本题考查了立方体的体积，长方形的面积，算术平方根即平方根中的正的那个，不等式的整数解，熟练求不等式的整数解是解题的关键．
2．（2019春·江苏南京·七年级统考阶段练习）如图，在数轴上，点分别表示数1、，则数轴上表示数的点应落在 ．（填“点的左边”、“线段上”或“点的右边”）
【答案】线段上
【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得不等式，根据解不等式，可得答案；根据不等式的性质，可得点在A点的右边，利用作差法，可得点在B点的左边．
【详解】解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得：−2x+3>1，
解得x<1；
−x>−1，
两边同时加上2，得：−x+2>−1+2，
解得−x+2>1，
∴数轴上表示数−x+2的点在A点的右边，
根据作差法，得：
−2x+3−(−x+2)=−x+1，
由x<1，得：−x>−1，
−x+1>0，
−2x+3−(−x+2)>0，
∴−2x+3>−x+2，
∴数轴上表示数−x+2的点在B点的左边，
∴数轴上表示数−x+2的点应落在线段AB上，
故答案为：线段AB上；
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的性质，数轴上数的大小，掌握一元一次不等式的性质及数轴上数的大小是解题的关键．
3．（2023春·江苏淮安·七年级校考期末）将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为 ．

【答案】或
【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案．
【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得：
∴
当剩下的长方形宽为：，长为：时，得：
∴
∵
∴第一次操作，剩下的长方形宽为：，长为：；
第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得：
解得：
∴
当剩下的长方形宽为：，长为：时，得：
解得：
∴
∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且
∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得：
解得：
∵
∴符合题意；
当剩下的正方形边长为：时，得：
解得：
∵
∴符合题意；
∴的值为：或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解．
4．（2021春·上海长宁·六年级上海市延安初级中学校考期中）十五世纪杰出的法国数学家尼古拉斯·丘凯（Niclas chuquet）在他的名著《数学三章》中提到了“平均数的规则”即：已知a、b、c、d都是正整数，如果，那么，并给出了证明．
(1)根据我们所学习过的不等式的性质，我们不难证明这个结论．
由，在不等式的两边同时乘以________________________，可以得到；
由，在不等式的两边同时加上______________，可以得到；
由，在不等式的两边同时除以______________，可以得到；
同理可证，所以成立．
(2)丘凯在《数学三章》中对于“平均数的规则”给出了两种证明，其中一种是用图形几何的方式直观地说明了“平均数的规则”成立．

长度1是_______；长度2是_______．（用含有字母的式子表示）
【答案】(1)，，
(2)，
【分析】（1）根据不等式的性质求解即可；
（2）设长度1为，则长度2为，则，去分母求出即可得结果．
【详解】（1）由，在不等式的两边同时乘以，可以得到；
由，在不等式的两边同时加上，可以得到；
由，在不等式的两边同时除以，可以得到；
（2）设长度1为，则长度2为，
则，
两边同乘以得，
，
，
，
，
，
长度1是；长度2是．
【点睛】本题考查了不等式的性质以及用几何图形证明不等式的成立，数形结合是解题的关键．
【经典例题十二 在数轴上表示不等式的解集】
【例12】（2023春·安徽滁州·七年级校联考期中）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先移项，再合并同类项，把x的系数化为1，把不等式的解集在数轴上表示出来即可．
【详解】解：移项得，，
合并同类项得，，
把x的系数化为1得，．
在数轴上表示为：
故选：C．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
【变式训练】
1．（2022·湖南长沙·校考一模）“▲”表示一种运算符号，其意义是，例如：．已知关于x的不等式的解集在数轴上如图表示，则k的取值是（ ）

A．4B．2C．0D．﹣2
【答案】A
【分析】根据，可得，求得不等式的解集，根据数轴得出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
从数轴可知，
解得，
故选：A．
【点睛】本题考查实数的运算、解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集和解一元一次方程，能正确识图是解题的关键．
2．（2022春·山西晋中·八年级统考期中）如果关于x的不等式x≥的解集在数轴上表示如图所示，那么a的值为 ．

【答案】-3
【分析】根据不等式的解集及其在数轴上的表示得出关于a的方程，解之可得答案．
【详解】解：根据题意知：＝﹣2，
∴a﹣1＝﹣4，
则a＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式及不等式解集在数轴上的表示，解题的关键是根据解集在数轴上的表示得出关于a的方程．
3、（2022秋·八年级课时练习）若关于的不等式的负整数解为，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先解不等式求得解集，然后根据不等式只有负整数解为-1，-2，-3，得到关于m的不等式，求得m的范围．
【详解】解：∵2x-m≥0，
∴2x≥m，
∴x≥．
则-4＜≤-3，
解得：-8＜m≤-6．
故答案为：-8＜m≤-6．
【点睛】此题考查了根据不等式解集的情况求参数的取值范围，根据x的取值范围正确确定的范围是解题的关键．
4．（2023春·贵州贵阳·九年级校考阶段练习）整式的值为．

(1)当时，求的值；
(2)若的取值范围如图所示，求的非负整数值．
【答案】(1)
(2)0，1，2，3
【分析】（1）把直接代入计算即可；
（2）根据数轴得出不等式，解不等式，即可求出的非负整数值．
【详解】（1）解：当时，
；
（2）由数轴得：，
解得：，
∴的非负整数值为0，1，2，3．
【点睛】本题考查了代数式求值，解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的一般步骤是解题的关键．
【经典例题十三 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】
【例13】（2023下·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）已知一次函数的图象经过点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．随的增大而增大
C．的解集是D．直线不经过第四象限
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次不等式等知识，根据一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次不等式的关系对各选项逐项分析判断即可得到答案，熟练运用数形结合求解是解决问题的关键．
【详解】解：一次函数的图象经过点，
，故A错误，不符合题意；
，
随的增大而减小，故B错误，不符合题意；
，，
一次函数的图像经过一、二、四象限，不经过第三象限，故D错误，不符合题意；
的解集是，故C正确，符合题意；
故选：C．
【变式训练】
1．（2023上·安徽六安·八年级校考阶段练习）如图，直线和b是常数且交x轴，y轴分别于点，下列结论正确的是（ ）
A．方程的解是B．方程的解是
C．不等式的解集是D．不等式的解集是
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题的关键．根据函数的图象判断即可．
【详解】解：如图，直线和b是常数且交x轴，y轴分别于点，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，则，
解得，故B正确，符合题意；
由图象可知方程的解是，故A错误，不合题意；
不等式的解集是，故C错误，不合题意；
等式的解集是，故D错误，不合题意．
故选：B．
2．（2022下·河南信阳·八年级统考期末）如图，直线经过点和点，直线过点，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】本题考查利用函数图像解不等式，涉及直线图像与性质，函数图像解不等式，熟练掌握利用函数图像解不等式的方法是解决问题的关键．
【详解】解：对于不等式对应三个函数图像、和，
不妨令、和，则转化为，即直线在直线上方；直线在直线上方部分对应的范围，
过三条直线的交点作轴的垂线，如图所示：
当，直线在直线上方，直线在直线上方，此时满足，
故答案为：．
3．（2023上·江苏南京·八年级统考期末）一次函数（，为常数）的图像经过点，．
(1)求该函数的表达式；
(2)画出该函数的图像；
(3)不等式的解集为______．
【答案】(1)
(2)作图见解析
(3)
【分析】本题考查一次函数图像与性质，涉及待定系数法确定函数、作一次函数图像、由图像解不等式等，熟练掌握一次函数图像与性质是解决问题的关键．
（1）由题意，利用待定系数法，列二元一次方程组求解即可得到答案；
（2）根据两点确定一条直线，利用描点、连线的方法作一次函数图像即可得到答案；
（3）由一次函数图像与不等式的关系，数形结合即可得到答案．
【详解】（1）解：一次函数（，为常数）的图像经过点，，
，解得，
该函数的表达式；
（2）解：当时，，解得，
一次函数过点和，
描点、连线，如图所示：

（3）解：由（2）中图像可知，不等式的解集是指一次函数在轴下方图像所对应的的取值范围，
一次函数图像与轴的交点为，
不等式的解集为．
【经典例题十四 根据两条直线的交点求不等式的解集】
【例14】（2023上·山东济南·八年级统考期末）如图，直线与交于点，则下列四个结论：①，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，根据正比例函数和一次函数的性质，结合图象判断即可，关键是根据正比例函数和一次函数的性质判断．
【详解】解：因为经过二，四象限，所以，经过一、二、三象限，所以，故①正确；
，当时，，故②错误；
结合图象可得，当时，直线的图象在的图象下方，，故③正确；
结合图象，当时，，，，，故④正确，
故选：C．
【变式训练】
1．（2024上·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，经过点的直线与直线相交于点，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
【详解】解：观察函数图象可知：当时，直线在直线的上方，
不等式的解集为．
故选：B．
2．（2024上·浙江金华·八年级统考期末）如图，已知直线与直线的交点的横坐标为，则不等式的解集为 ．

【答案】
【分析】本题主要考查直线与不等式，先求出两直线的交点为，代入，求出，及直线与的交点坐标，结合函数图象可得结论．
【详解】解：∵直线与直线的交点的横坐标为，
∴，
∴直线与直线的交点坐标为，
∴
解得，，
∴
当时，，
∴与轴的交点坐标为
∴的解集为，
故答案为：
3．（2023上·安徽六安·八年级校考阶段练习）如图，平移直线至直线，是常数且，直线与轴和轴分别交于点和点．直线，是常数且与轴交于点，与直线交于点．
(1)求字母k，b，m，n，a的值；
(2)直线与轴交于点，求四边形的面积；
(3)不等式组的解集为__________．
【答案】(1)字母，，，，的值分别为，4，2，，2
(2)四边形面积为5
(3)
【分析】本题考查一次函数、方程和一元一次不等式的综合应用，解题的关键是熟练掌握一次函数和方程的关系．
（1）先根据平移的性质求出，再将点代入即可求出直线的解析式，进而求出点和点的坐标，将点和点代入直线作答即可；
（2）根据图像，，分别求面积再作差即可求解；
（3）根据图像即可作答．
【详解】（1）直线由平移而来，
，
又过，代入直线解析式，
得，
直线解析式为，
又点在直线上，
当时，，
点坐标为，
直线过、两点，
，
解得，
字母，，，，的值分别为，4，2，，2；
（2）由图得，，
当时，代入直线解折式，
即，
，
即，
，
又，，，
，
四边形面积为5；
（3）根据图像，，
，
，
，
，
故答案为：．
【拓展培优】
1．（21-22七年级下·辽宁盘锦·期末）已知且，则k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，方程组两方程相加表示出，根据大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可求出k的范围．将方程组两方程相加表示出是解本题的关键．
【详解】解：，
得：，即，
解得：．
故选：D．
2．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）若关于x的不等式的解集为，则m的值可以取（ ）
A．0B．2C．4D．6
【答案】A
【分析】本题主要考查一元一次不等式的解集与解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的基本性质3．
根据不等式的基本性质3求解即可．
【详解】解：∵关于x的不等式的解集为，
∴，
则，
∴m可以等于0，不能为2，4，6．
故选：A．
3．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）我区某初中举行“针圣故里，康养衢江”知识抢答赛，总共道抢答题，对于每一道题，答对得分，答错或不答扣分，选手小华想使得分不低于分，则他至少答对多少道题（ ）
A．15B．18C．20D．22
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设他答对道题，则答错或不答有道题，根据不等关系列出不等式并解不等式即可求解，理清题意，根据不等关系列出不等式是解题的关键．
【详解】解：设他答对道题，则答错或不答有道题，
依题意得：，
解得：，
答：他至少答对22道题，
故选D．
4．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）两位同学对两个一元一次不等式（都不为0）的解提出了自己的想法，甲说：“如果，则两个不等式的解相同”，乙说：“如果两个不等式的解相同，则成立” ．则他们两人的说法为（ ）
A．甲对乙错B．甲错乙对C．甲乙都对D．甲乙都错
【答案】B
【分析】本题考查了解一元一次不等式．熟练掌握不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的开口方向发生改变是解题的关键．
由题意可设，然后求解两个不等式的解集，对甲进行判断即可；根据x的解相同，可知无论为正的或者负的，x都同时大于或同时小于同一个数，对乙进行判断即可．
【详解】解：由题意可设，
解得，，解得，，
∴两者的解不同，甲错误；
若x的解相同，则无论为正的或者负的，x都同时大于或同时小于同一个数，即，乙正确，
故选：B．
5．（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）对于任意实数x，x均能写成其整数部分与小数部分的和，即，其中称为x的整数部分，表示不超过x的最大整数，称为x的小数部分．比如，，，，，则下列结论正确的有（ ）
①；
②若是整数，则或；
③若，，，则所有可能的值为6，7，8；
④方程的解为；
⑤对一切实数x均成立．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】本题考查了新定义问题，解题的关键在于对定义的理解与运用．
根据，称为x的整数部分，表示不超过x的最大整数，称为x的小数部分依次判断即可．
【详解】解：①，
； ①错误；
②，，
，
则或，故②正确；
③，，，
，
，
则所有可能的值为6，7，8，故③正确；
④，
，
，
∴x是整数，
，
，
，
故④正确；
⑤当时，，故⑤错误
综上，正确的有①和②④，
故选：B．
6．（22-23七年级下·山东烟台·阶段练习）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】本题考查求不等式的解集，先根据不等式的解集，求出的值，再将的值代入后面的不等式，进行求解即可．
【详解】解：∵x的不等式的解集为，
∴，
∴解，得：，
∴，
∴，
∴化为：，
∴．
故答案为：．
7．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）小余用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，则小余至少能买笔记本 本．
【答案】17
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，设小余买了本笔记本，则买了支钢笔，根据总价单价购买数量结合总价不超过100元，即可得出关于的一元一次不等式．根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
【详解】解：设小余买了本笔记本，则买了支钢笔，
根据题意得：．
解：，
∴小余至少能买笔记本17本，
故答案为：17．
8．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）已知关于x的方程无解，则的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】本题考查含绝对值符号的一元一次方程，绝对值的几何意义；
表示的几何意义是数轴上对应的点到和对应的点距离之和，当对应的点在和对应的点之间任意位置时，有最小值，最小值为．因此，若方程无解，必有，从而求出的取值范围即可．
【详解】解：表示的几何意义是数轴上对应的点到和对应的点距离之和，
当对应的点在和对应的点之间任意位置时，有最小值，最小值为．
当时，方程无解．
，
或，
或．
故答案为：或．
9．（22-23七年级下·吉林长春·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足，则满足题意的最小整数a是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，先利用整体的思想求出，从而可得：，然后根据已知，可得，最后进行计算即可解答．
【详解】解：，
得：，
解得：，
∵，
∴，
解得，，
∴满足题意的最小整数a是3，
故答案为：3．
10．（2023·浙江杭州·二模）对于任意的，恒成立，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查解不等式和不等式的解集的应用．掌握分类讨论的思想是解答本题的关键．
由可得：，然后分、、三种类讨论求出不等式的解集，再根据对于任意的，恒成立，即可列出关于a的不等式求解即可．
【详解】解：由可得：，
当时，不等式的解集为，
对于任意的，恒成立，
∴，解得：；
∴，
当时，恒成立，满足题意；
当时，不等式的解集为，
∵对于任意的，恒成立，
∴，解得：，故符合题意；
综上所述，．
故答案为：．
11．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）解不等式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】
本题考查解一元一次不等式，涉及解不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案，熟练掌握解一元一次不等式的解法是解决问题的关键．
（1）去括号、移项、合并同类项即可得到一元一次不等式的解集；
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项即可得到一元一次不等式的解集．
【详解】（1）解：，
去括号得，
移项得，
；
（2）解：，
去分母得，
去括号得，
移项得，
．
12．（22-23七年级下·山东烟台·阶段练习）若不等式的解集为，求的取值范围．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，不等式的基本性质，由不等式可得，根据不等式的解集为，即可由不等式的基本性质得到，解不等式即可求解，掌握解一元一次不等式的步骤及不等式的基本性质是解题的关键．
【详解】解：由不等式得，
，
∵不等式的解集为，
∴，
∴．
13．（22-23七年级下·四川巴中·期末）已知关于、的方程组若的值为非负数，的值为正数．
(1)求的取值范围；
(2)在的取值范围内，当为何负整数时，不等式的解集为．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据求出不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．（1）先求出方程组的解，根据x的值为非负数和y的值为正数得出，求出m的范围即可；（2）不等式变为，根据不等式的解集为求出，即可求出m的范围是，再求出负整数m即可．
【详解】解：（1）解方程组得：，
的值为非负数，的值为正数，
，
解得：，
即的取值范围是：；
（2），
，
不等式的解为，
，
，
，
，
为负整数，
．
14．（22-23七年级下·四川巴中·期末）定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字比十位数字大，那么称这个两位数为“慧泉数”将一个“慧泉数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字后得到新的两位数为，新两位数与原两位数的和为，其和与的商为：，所以．
根据以上定义，回答下列问题：
(1)______；
(2)若，求；
(3)如果一个“慧泉数”的十位数字是，另一个“慧泉数”的个位数字是，且满足，求、的值．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】本题考查列代数式，一元一次方程和一元一次不等式的应用，根据定义列得方程及不等式求解是解题的关键．
（1）根据定义列式计算即可；
（2）设的个位数字为，则其十位数字为，根据定义列得方程，解方程求得值后代入中计算，从而得出答案；
（3）结合已知条件，根据定义求得，后列得不等式，再结合且为整数确定的值，分别代入，中计算后即可求得答案．
【详解】（1）解：由题意可得，
故答案为：；
（2）解：设的个位数字为，则其十位数字为，
，
，解得：，则，
；
（3）解：一个“慧泉数”的十位数字是，另一个“慧泉数”的个位数字是，
数的个位数字是，数的十位数字是，
，，
，
，解得：，
且为整数，
且为整数，
，则，，即，．
15．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）对于任意有理数x，规定：当时，； 当时，．
(1)填空：______，______，______；
(2)若， 求m 的值；
(3)若两个有理数，， 且a， b异号， 满足，请直接写出a，b之间可能存在的数量关系：
【答案】(1)，，；
(2)或
(3)或或或．
【分析】（1）根据新定义运算的法则代入的值进行计算即可；
（2）分情况讨论：当与，再建立方程求解即可；
（3）由a， b异号，可得，或，，再分两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：∵当时，； 当时，．
∴，，
；
（2）∵，
∴当时，即，
∴，
解得：，
当，则，
∴，
解得：（不符合题意）；
（3）∵a， b异号，
∴，或，，
当，时，
∴，，
∵两个有理数，， 满足，
∴，
当，时，则，
∴，
∴或；
当，时，则，
∴，
∴，（不符合题意舍去）；
当，时，
∴，，
∵两个有理数，， 满足，
∴，
当，时，，
∴或；
当，时，
∴，
∴，
∴（不符合题意舍去）；
综上：或或或．
【点睛】本题考查的是求解代数式的值，绝对值方程的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键．
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