2024年广东省佛山市顺德区中考一模数学试题（含解析）

这是一份2024年广东省佛山市顺德区中考一模数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了作图，要求痕迹清晰，方程的根为，与互为余角，下列计算正确的是，如图，点分别在边上，，如图，、、三点在上等内容，欢迎下载使用。

说明：本试卷共8页，满分120分，考试时长120分钟
注意事项：
1．选择题、填空题和解答题的答案写在答题卡上，写在试卷上不计成绩．
2．作图（含辅助线）和列表时用铅笔（如2B铅笔），要求痕迹清晰．
一、选择题（10个题，每题3分，共30分）
1．﹣3的相反数是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，直线被直线所截，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．方程的根为（ ）
A．B．0C．1D．2
4．与互为余角．若，则（ ）
A．B．C．D．
5．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，点分别在边上，．若，则的长为（ ）
A．3B．5C．6D．9
7．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，、、三点在上．如果，那么等于（ ）
A．B．C．D．
9．为了丰富校园生活，培养学生特长，学校开展了特色课程．小明与小华从感兴趣的“花样跳绳”“天文地理”“艺术插花”“象棋博交”4门课程中随机选择一门学习．小明与小华恰好选中同一门课程的概率为（ ）
A．B．C．D．
10．我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：通过圆内接正多边形割圆，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．如图，由圆内接正六边形可算出．若利用圆内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率约为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（5个题，每题3分，共15分）
11．元旦假期，某地区接待国内外游客788000人次，将788000用科学记数法表示为 ．
12．计算：= ．
13．如图所示为正方体的三个顶点，则的度数为 ．
14．如图，点是平面直角坐标系的原点．平行四边形的顶点在反比例函数图象上．若点，点，则的值为 ．
15．如图，在正方形中，延长分别至点，使得．在不增加字母和线段的情况下，写出三个不同类型的结论 ．
三、解答题（9个题，共75分）
16．解不等式组：．
17．先化简，再求值：，其中．
18．从地面坚直向上抛一个物体，物体向上的速度是运动时间的函数．经测量，速度与时间的关系如下表：
求经过多长时间，物体将达到最高点？
19．如图，在中，，．当时，求的长（说明：解题中如果需要作辅助线，请用尺规作图法作出这条辅助线，保留作图痕迹，不用写作法）．

20．跳绳是某市体育中考的选考项目，评分标准的一部分如下表1：
为了解班上同学的跳绳成绩，体育委员统计了全班同学一分钟跳绳的次数，并列出数据如下表2：
(1)画出适当的统计图表示上面表2的信息；
(2)用学过的统计知识评价这个班的跳绳成绩．
21．如图，点是正方形的边延长线上一点，且，连接交于点，以点为圆心，为半径作交线段于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求阴影部分的面积．
22．综合与实践
主题：设计高速公路的隧道
23．综合探究
学习几何时，通常是先用几何的眼光去观察，再用代数的方法去验证．网格是研究几何图形的一种工具，也是培养几何直观的一种方式．
(1)如图是正方形网格，每一个小正方形的边长为1，其顶点称为格点．
①如图1，点均在格点上，仅用无刻度的直尺找出线段的中点（不写画法，保留画图痕迹）；
②如图2，点均在格点上，求；
(2)如图3，仅用无刻度的直尺找出的内心的位置，并说明点的位置是如何找到的；
(3)如图4，在和中，点在边上，且，连接．若，求的长．
24．综合运用：已知，抛物线如图1所示，其对称轴是．
(1)①写出与的数量关系______；
②证明：抛物线与直线有两个交点；
(2)如图2，抛物线经过点，将此抛物线记为，把抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得抛物线．
①求抛物线与轴的交点坐标；
②点为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，连接，以点为圆心、的长为半径作．当与轴相切时，求点的坐标．
参考答案与解析
1．D
【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．
【解答】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3，
故选D．
【点拨】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键．
2．B
【分析】此题考查了平行线的性质、对顶角的性质等知识，根据两直线平行同位角相等求出，再由对顶角相等即可得到答案．
【解答】解：如图，
∵，
∴，
∴，
故选：B
3．A
【分析】依次进行移项，合并同类项，系数化为1，即可求解，
本题考查了，解一元一次方程，解题的关键是：熟练掌握解一元一次方程．
【解答】解：
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
故选：．
4．B
【分析】本题考查了余角的求解，根据题意可知，已知，即可求出的度数．
【解答】解：与互为余角，
，
，
，
故选：B．
5．D
【分析】根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法法则以及完全平方公式逐项计算即可．
【解答】解：A．与不是同类项，不能合并，故不正确；
B．，故不正确；
C．，故不正确；
D．，正确；
故选D．
【点拨】本题考查了合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法法则以及完全平方公式，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
6．D
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据，可以得出，又，可证，从而得到，进而求出结果．
【解答】解：，
，
又
，
，
，
故选：D．
7．A
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律，根据对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，进行求解即可．
【解答】解：点关于轴对称的点的坐标为，
故选：A．
8．C
【分析】延长交于点，连接，根据圆周角定理得到，根据圆内接四边形对角互补，即可求解，
本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，解题的关键是：作辅助线，构造圆内接四边形．
【解答】解：延长交于点，连接，
∵，
∴，
∵是圆内接四边形，
∴，
故选：．
9．B
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，根据题意画出树状图求出概率即可．
【解答】解：把“花样跳绳”“天文地理”“艺术插花”“象棋博交”4门课程分别记为，画出树状图如下：
共有16种等可能得结果，其中小明与小华恰好选中同一门课程的结果共有4种，
小明与小华恰好选中同一门课程的概率，
故选：B．
10．C
【分析】本题主要考查了圆内接多边形的性质，解直角三角形等知识，读懂题意，计算出正十二边形的周长是解题的关键．利用圆内接正十二边形的性质求出，再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”，即可解决问题．
【解答】解：如图，连接边点O作，
在正十二边形中，，
，
，，
，
，
故选：C
11．
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
【解答】解：，
故答案为：．
12．4
【分析】根据算术平方根的概念求解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
【解答】解：原式==4．
故答案为4．
【点拨】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
13．##60度
【分析】根据正方体各面对角线相等，得到，根据等边三角形的性质与判定，即可求解；本题考查了正方体的性质，等边三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
【解答】解：∵为正方体的三个顶点，
∴、、是正方体一个面的对角线，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】由平行四边形，可得点相当于点向左平移的长度，进而可得点C坐标，将点代入，即可求解；本题考查了求反比例函数的表达式，平行四边形的性质，点的平移，解题的关键是：熟练掌握数形结合的方法．
【解答】解：∵平行四边形，
∴，，
∴点横坐标为：，点纵坐标为：，
∴，
代入，得：，解得：，
故答案为：．
15．，（答案不唯一）
【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定等知识，根据正方形的性质得到，再证明即可得到答案．
【解答】解：∵四边形是正方形，
∴,
∵，
∴，
即，
∴，
故答案为：，（答案不唯一）
16．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，即可求解；本题考查了解不等式组，解题的关键是：熟练掌握不等式的基本性质．
【解答】解：
由①，得：，
由②，得：，
∴不等式组的解集为：．
17．，
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把所给字母的值代入计算．
【解答】解：
，
当时，
原式．
18．经过，物体将到达最高点．
【分析】本题考查一次函数的实际应用．正确的求出一次函数的解析式，是解题的关键．根据题意，设v与t之间的关系式为，利用待定系数法求出解析式，再把第三个点代入验证，最后求出时，的值，即可得到答案．
【解答】解：由题意可知，运动时间每经过，速度就下降5，则猜想物体向上的速度是运动时间的一次函数，
设，
由题意，得：，
解得：，
∴；
当时，，符合题意，
∴物体向上的速度是运动时间的一次函数，，
当物体到达最高点时，则，即，
解得：；
∴经过，物体将到达最高点．
19．，作图见解析
【分析】作，在和中，根据特殊角三角函数，依次求出、、的值，即可求解；本题考查了解直角三角形，过直线外一点，作该直线的垂线，解题的关键是：作辅助线构造直角三角形．
【解答】解：过点作，交的延长线于点，

∵，
∴，
在中，，
∵，
∴在中，，
∴.
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了画统计图，根据题意画出合适的统计图是解题的关键．
（1）画出条形统计图即可；
（2）根据统计图的信息分析即可．
【解答】（1）解：根据题意，画条形统计图如下：
（2）这个班的跳绳成绩，大多数同学一分钟跳绳次数在范围内，即大多数同学成绩在70分到100之间，极少数同学一分钟跳绳次数在范围内，即极少数同学是100分．（答案不唯一）
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）作，根据正方形的性质得到，由，得到，由角平分线的性质定理，得到，即可求解，
（2）根据正方形的性质，设，根据，求出的长，根据，求出的度数，根据，即可求解，
本题考查了，切线的判定，正方形的性质，角平分线的性质定理，扇形的面积，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
【解答】（1）解：过点作，交于点，
∵正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点在上，
∴是的切线，
（2）解：∵正方形，
∴，，
∵，
设，则，
∴，解得：，
∴
∵，
∴，
，
故答案为：．
22．，
【分析】问题一：根据车道的宽度范围，结合，即可求解，
问题二：中点，建立坐标系，作，求出点点的坐标，代入抛物线表达式，即可求解，
本题考查了，二次函数的应用，解题的关键是：根据题意建立坐标系．
【解答】解：问题1：∵每条车道的宽为（其中），，，，
∴，
∵
∴，
问题2：取中点，以为轴，建立坐标系，作交抛物线于点，
设抛物线表达式：，
∵，，，
∴，
由题意得：，
∴，
将、代入，
得：，
解得：，
∴抛物线表达式为：，
故答案为：，．
23．(1)①见解答②
(2)见解答
(3)
【分析】（1）①根据格点，构造全等三角形，即可求解，②根据格点，构造全等三角形，，由，即可求解，
（2）由图可知，，根据等腰三角形三线合一的性质，找到的中点，是的角平分线，以为临边，找到菱形，根据菱形的性质，得到是的角平分线，，的交点，即为所求，
（3）过点作的垂线，过点作的垂线，交于点，设，在中，应用勾股定理，得到，进而求出、的长，在中，求出的长，由，得到，即可求解，
本题考查了无刻度直尺作图，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是：作辅助线构造全等三角形．
【解答】（1）解：①如图：
②连接、，
由图可知，，
∴，、、共线，，
∴，
故答案为：，
（2）解：无刻度的直尺作图如下：
点向右个单位，找到点，
点向右个单位，找到点，
点向右个单位，找到点，
连接，，交于点，
点即的内心．
（3）解：过点作的垂线，过点作的垂线，交于点，连接，
∵，，，
设，则，
在中，，
∵，
∴，解得：，
∴，则，,，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
在中，，
∵，，
∴，即：，
∵，，
∴，
∴．
24．(1)①，②见解析
(2)①，；②或或或
【分析】（1）①根据对称轴是，列式，即可求解，②联立抛物线与直线方程，计算并配方，即可求解，
（2）①将代入，求出抛物线的表达式：，顶点式：，根据坐标的平移，得到抛物线的表达式，当时，即可求解②，根据与点纵坐标的绝对值相等，列出等式，即可求解，
本题考查了，抛物线的对称轴，求抛物线解析式，二次函数图象的平移，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．
【解答】（1）解：①∵抛物线的对称轴是，
∴，即：，
∴抛物线方程为：，
②联立抛物线与直线方程，，
整理得：，
∵，
∴，
∴抛物线与直线有两个交点，
故答案为：①，
（2）解：①将代入，得：，
解得：，
∴抛物线表达式为：，顶点式为：，
∵抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得抛物线，
∴抛物线的表达式为：，
当时，，
解得：，，
∴抛物线与轴的交点坐标为：，，
②根据题意得：，
∴，或，
整理得：，或，
解得：或或或，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
故答案为：或或或．
时间
1
1.5
2
速度
20
15
10
次数/分钟
180
160
140
120
100
分数
100
90
80
70
60
次数/分钟
人数
11
17
9
8
5
情境素材
素
材
1
高速公路隧道设计及行驶常识：为了行驶安全，高速公路的隧道设计一般是单向行驶车道，要求货车靠右行驶．
素
材
2
据调查，一般的大型货车宽，车货总高度从地面算起不超过．为了保证行驶的安全，货车右侧顶部与隧道的竖直距离不小于．
素
材
3
某高速公路准备修建一个单向双车道（两个车道的宽度一样）的隧道，隧道的截面近似看成由抛物线和矩形构成（如图）．每条车道的宽为（其中），车道两端（、）与隧道两侧的距离均为．
问题解决
问
题
1
确定单向双车道隧道的宽度
估计将要修建的隧道宽度的合理范围．
问
题
2
设计隧道的抛物线部分
已知要修建的隧道矩形部分，．求抛物线的解析式．