2023年广东省佛山市顺德区德胜中学中考三模数学试题（含解析）

2023年广东省佛山市顺德区德胜中学中考三模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．的倒数是（    ）

A． B．2023 C． D．

2．《新华字典》是新中国最有影响力的现代汉语字典，《新华字典》自1950年开始启动编写和出版工作，至今已历经70余年，出版至第12版，从1953年版本收录单字6840个（含异体字），到12版收录13000字，收字数增加了将近一倍，将“13000”用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

3．下面四个几何体中，从正面看是三角形的是（    ）

A． B． C． D．

4．下列运算正确的是（    ）

A． B． C． D．

5．如图，在中，点，分别为，上的点，若，，则下列结论错误的是（    ）

A． B． C． D．

6．某校为了了解本校学生课外阅读的情况，现随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行了调查，并绘制出如下统计图，根据相关信息，下列有关课外阅读时间（单位：小时）的选项中，错误的是（   ）

A．本次抽取共调查了40个学生 B．中位数是6小时

C．众数是5小时 D．平均数是小时

7．关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k≤﹣4 B．k＜﹣4 C．k≤4 D．k＜4

8．如图，数轴上的点可以用实数表示，下面式子成立的是（   ）

A． B． C． D．

9．如图，三个边长分别为2，4，6的菱形如图所示拼叠，则线段的长度为（  ）

A． B． C． D．1

10．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径长为2，，，将绕到心O逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积为 ．（结果保留）（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．分解因式：______．

12．五边形的内角和是________度．

13．甲、乙、丙3名学生随机排成一排拍照，其中甲排在中间的概率是_____．

14．物理学中，在压力F不变的情况下，某物体承受的压强P与它的受力面积S成反比例函数关系，则下表中压强与的大小关系为：_________．（填“”，“”或“”）

15．直线，线段分别与，交于点，，过点作，交直线于点，的平分线交直线于点．若，则的度数是______．

16．已知一元二次方程的两个根为，则的值为________．

17．如图，矩形中，，点E，F分别为边上的动点且，将线段绕点F逆时针旋转90°得到线段，连接．

（1）当点E为的中点时，线段的长是______；

（2）当点E在边上运动时，线段的最小值是______．

三、解答题

18．计算﹣（﹣2）+（π﹣3.14）0++（﹣）﹣1

19．已知：．

(1)化简P；

(2)当a满足不等式组且a为整数时，求P的值．

20．某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．

（1）第一批饮料进货单价多少元？

（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？

21．已知：中，，

(1)尺规作图：求作的中点，连并延长，交于点（保留作图痕迹，不写作法）

(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求的余弦值．

条件①：和的面积为和，且；

条件②：和的周长为和，且．

注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．

22．如图，是的外接圆，直径，，平分交于点E．在的延长线上取一点F，使得，连接．

(1)证明：是的切线；

(2)求的值．

23．古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县汶河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敝肩石拱桥，赵州桥的主桥拱便是圆弧形．

(1)某桥A主桥拱是圆弧形（如图①中），已知跨度，拱高，则这条桥主桥拱的半径是______；

(2)某桥B的主桥拱是抛物线形（如图②），若水面宽，拱顶P（抛物线顶点）距离水面，求桥拱抛物线的解析式；

(3)如图③，某时桥A和桥B的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度．

24．如图，在菱形中，，点P在边上，过点P作，分别交直线于点Q，M．

(1)当点P与点D重合时，求的长；

(2)设与菱形重叠部分图形的面积为S，．当时，求S的最大值；

(3)若以线段为边，在的右侧作等边三角形，当线段长最小时，求的值．

参考答案：

1．C

【分析】根据相乘等于1的两个数互为倒数，即可求解．

【详解】解：的倒数是，

故选：C．

【点睛】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解题的关键．

2．C

【分析】根据科学记数法的定义即可得．

【详解】解：，

故选：C．

【点睛】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义（将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．

3．B

【分析】分别从正面看各几何体，根据看到的几何图形，即可一一判定．

【详解】解：A.圆柱体从正面看到的图形是矩形，故该选项不符合题意；

B.圆锥体从正面看到的图形是三角形，故该选项符合题意；

C.球体从正面看到的图形是圆，故该选项不符合题意；

D.正方体从正面看到的图形是正方形，故该选项不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查了几何体三视图的识别，熟练掌握和运用几何体三视图的识别方法是解决本题的关键．

4．B

【分析】根据算术平方根、同底数幂的除法、化简绝对值、完全平方公式逐项判断即可得．

【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意；

B、，则此项正确，符合题意；

C、，则此项错误，不符合题意；

D、，则此项错误，不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查了算术平方根、同底数幂的除法、化简绝对值、完全平方公式，熟练掌握各运算法则是解题关键．

5．A

【分析】根据已知条件证明，进而根据相似三角形的性质即可求解．

【详解】解：∵，，

∴

又∵

∴，

∴，

∴

∴，即，

故选：A．

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．

6．B

【分析】根据统计图所给的数据求出样本容量，中位数，众数和平均数即可得到答案．

【详解】解：A、本次抽取共调查了个学生，原说法正确，不符合题意；

B、将阅读时间从低到高排列，处在第20名和第21名的阅读时间分别为5小时，6小时，则中位数是小时，原说法错误，符合题意；

C、阅读时间为5小时的人数为14人，人数最多，即众数为5小时，原说法正确，不符合题意；

D、平均数是小时，原说法正确，不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题主要考查了样本容量，中位数，众数和平均数，正确读懂统计图是解题的关键．

7．C

【分析】根据判别式的意义得∆=42﹣4k≥0，然后解不等式即可．

【详解】根据题意得∆=42﹣4k≥0，

解得k≤4．

故选C．

【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与∆=b2﹣4ac有如下关系：当∆＞0时，方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，方程有两个相等的实数根；当∆＜0时，方程无实数根．

8．C

【分析】根据数轴上点的位置得到，据此逐一判断即可．

【详解】解：由题意得，，

∴，，，，

∴，，

∴四个选项中，只有C选项式子成立，

故选：C．

【点睛】本题主要考查了实数与数轴，不等式的性质，实数的运算，灵活运用所学知识是解题的关键．

9．C

【分析】根据菱形的性质得出，，，进而可得，根据相似三角形的性质得出，即可求解．

【详解】解：如图所示，

依题意，，，

∴

∴

即

解得：

∴，

故选：C．

【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．

10．C

【分析】先根据直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，，从而可得，，然后根据阴影部分的面积等于即可得．

【详解】解：∵直径长为2，

，

∵，，

，

，

∵，是绕圆心逆时针旋转得到的，

∴，，，

∴，，

，，

则阴影部分的面积为，

故选：C．

【点睛】本题考查了旋转的性质、扇形的面积、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．

11．

【分析】利用提取公因式法即可求出最终结果．

【详解】解：

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了分解因式的知识，采用提取公因式法计算是本题的关键．

12．540

【分析】根据n边形内角和为求解即可．

【详解】五边形的内角和是．

故答案为：540．

【点睛】本题考查求多边形的内角和．掌握n边形内角和为是解题关键．

13．

【详解】列举出所有情况，看甲排在中间的情况占所有情况的多少即为所求的概率．

根据题意，列出甲、乙、丙三个同学排成一排拍照的所有可能：

甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，全部6种情况，

只有2种甲在中间，所以甲排在中间的概率是=．

故答案为；

点睛：本题主要考查了列举法求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，关键是列举出同等可能的所有情况．

14．＞

【分析】根据表格数据求得反比例函数解析式，根据反比例数的性质即可求解．

【详解】解：∵压强P与它的受力面积S成反比例函数关系，设，

依题意，

∴反比例数解析式为：，，

∴随的增大而减小，

∵，

∴，

故答案为：＞．

【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．

15．

【分析】由垂直关系及可求得的度数，由平行线的性质可求得的度数，由角平分线的定义求得的度数，再由平行线的性质即可求得的度数．

【详解】解：∵，，

∴；

∵，

∴，

∴；

∵平分，

∴，

∴；

故答案为：．

【点睛】本题考查了平行线的性质，互余关系，角平分线的定义等知识，其中平行线性质的掌握是解题的关键．

16．

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，将代数式化简，然后整体代入即可求解．

【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，

，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．

17．     1    

【分析】（1）根据结合题意，得到，画出图分析计算即可得出．

（2）设，作于H，作于I，证出，得到，再分类讨论，当时，数形结合求出结果，当时，画图利用勾股定理计算出结果．

【详解】（1）如图1所示：

点E为的中点，

点F为的中点，

（2）设，作于H，作于I，

如图所示:

将线段绕点F逆时针旋转得到线段，

，

①当时

，

当时，取最小值

②当时，

当时，取最小值

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握知识点并采用数形结合的方法是解题的关键．

18．3.

【分析】直接利用立方根的性质以及零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案．

【详解】原式=2+1+3-3

=3．

【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

19．(1)

(2)

【分析】（1）根据分式的混合运算进行计算即可求解．

（2）先解不等式组，求得不等式组的整数解，代入（1）中结果，进行计算即可求解．

【详解】（1）解：

；

（2）解：

解不等式①得：，

解不等式②得：

∴不等式组的解集为：

∴整数解，

∴．

【点睛】本题考查了分式的化简求值，求不等式组的解集，熟练掌握分式的化简求值，解一元一次不等式组是解题的关键．

20．（1）第一批饮料进货单价为8元． （2）销售单价至少为11元．

【分析】（1）设第一批饮料进货单价为元，根据等量关系第二批饮料的数量是第一批的3倍，列方程进行求解即可；

（2）设销售单价为元，根据两批全部售完后，获利不少于1200元，列不等式进行求解即可得．

【详解】（1）设第一批饮料进货单价为元，则：

解得：

经检验：是分式方程的解

答：第一批饮料进货单价为8元．

（2）设销售单价为元，则：

，

化简得：，

解得：，

答：销售单价至少为11元．

【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系与不等关系是关键．

21．(1)见解析

(2)条件①：；②

【分析】（1）根据线段垂直平分线的画法及线段的画法解答；

（2）条件①：根据直角三角形斜边中线的性质得到，推出，即，设，勾股定理求出，根据余弦定义求值；条件②：根据，推出，设，勾股定理求出，过点D作于点E，证明，得到，设，则，证得，得到，列得，求出，勾股定理求出，即可．

【详解】（1）解：如图，即为所求；

（2）条件①：∵中，，O为中点，

∴，

∴，

∵和的面积为和，且，

∴

∴，

设，

∵，

∴在中，，

∴；

条件②：∵中，，O为中点，

∴，

∴，

∵和的周长为和，且，

∴，即，

设，则，

∴，

过点D作于点E，

则，

∵，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

设，则，

∵，，

∴

∴，

∴，

解得，

∴，  

∴，

∴，

∴．

【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图，直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

22．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先根据角平分线的定义可得，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据圆周角定理可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得证；

（2）先利用勾股定理可得，再根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质可得，由此即可得．

【详解】（1）证明：平分，

，

，

，

由对顶角相等得：，

，

是的直径，

，

，

，

，即，

又是的直径，

是的切线．

（2）解：，，，

，

在和中，，

，

，

设，则，

，

．

【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定、相似三角形的判定与性质是解题关键．

23．(1)25

(2)

(3)此时桥的水面宽度为，桥的水面宽度为

【分析】（1）设所在圆的圆心为点，连接，则，，再设这条桥主桥拱的半径是，则，，然后在中，利用勾股定理求解即可得；

（2）以水面所在直线为轴，的中点为原点，建立平面直角坐标系，则，再利用待定系数法求解即可得；

（3）根据（1）可得，利用勾股定理可求出的长，再利用垂径定理即可得此时桥的水面宽度；根据（2）的结论求出时，的值，由此即可得此时桥的水面宽度．

【详解】（1）解：如图，设所在圆的圆心为点，连接，

由垂径定理得：点共线，

则，，

设这条桥主桥拱的半径是，则，

，

在中，，即，

解得，

故答案为：25．

（2）解：如图，以水面所在直线为轴，的中点为原点，建立平面直角坐标系，

由题意得：，

则设桥拱抛物线的解析式为，

将点代入得：，解得，

所以桥拱抛物线的解析式为．

（3）解：如图，桥中，由（1）可知：，

由题意得：，

，

在中，，

由垂径定理得：，

即此时桥的水面宽度为；

如图，桥中，，

当时，，

解得或，

所以此时桥的水面宽度为，

答：此时桥的水面宽度为，桥的水面宽度为．

【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用、二次函数的应用等知识点，熟练掌握垂径定理和二次函数的性质是解题关键．

24．(1)4

(2)

(3)

【分析】（1）当点P与点D重合时，，根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，得到计算即可．

（2）分和，两种情况计算即可．

（3）利用角的正切是定值，判定角是定角，判定角的边是定直线，利用垂线段最短，构造计算即可．

【详解】（1）如图，当点P与点D重合时，

∵，，菱形，

∴， ，，

∴．

（2）如图，过点B作于点R，

∵，，菱形，，

∴，，，，

∴，，

∴，

∴，

当M与点B重合时，P与R重合，此时，，

故当时，，且当时，三角形面积最大，且最大值为；

当时，设与的交点于点N，

∵，，菱形，，

∴，，，，，

∴，，

，

∴，，，

∴，

故当时，

，

故面积有最大值，且对称轴的左边y随x的增大而增大，

故当时，四边形的面积最大，且最大面积为，

∵，

故最大值为．

（3）如图过点E作于点G，

∵，，菱形，，

∴，，，

∵是等边三角形，

∴，，，

∴，，

∴，，

∴，是定值，

故是定角，故直线是定直线，

∴时，最小，

过点B作于点N，

故当E与N重合时，满足题意，此时，

∴．

【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，正切函数，余弦函数，直角三角形的性质，等边三角形的性质，二次函数的最值，垂线段最短，熟练掌握相应的性质是解题的关键．