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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换精品同步达标检测题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换精品同步达标检测题，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2022秋•锦江区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣3，4），，记∠AOB＝θ，则sin2θ＝（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋•齐齐哈尔期中）已知角α满足2sin（α﹣）＝tancsα，则sin2α+2cs2α的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋•海淀区校级月考）已知，角β的终边与角α的终边关于y轴对称，则cs（α﹣β）＝（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋•晋江市校级期中）已知，则＝（ ）
A．B．C．D．
5．（2022•珠海校级二模）在平面直角坐标系中，点P在射线上，点Q在过原点且倾斜角为θ（θ为锐角）的直线上．若∠POQ＝，则sin2θ的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022秋•沙河口区校级期中）在△ABC中，已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022秋•长春月考）定义域为[0，π]的函数，其值域为，则ω的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022秋•湖南期中）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期是2π
B．函数f（x）的最大值为
C．函数f（x）的图象关于点对称
D．函数f（x）在区间上单调递增
9．（2022秋•让胡路区校级月考）已知，且sin2αsin，sin2βcs，则sin（2α﹣2β）的值为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022•临沭县校级开学）若sin2α＝（α，β≠+kπ，且α≠β±kπ，k∈Z），则cs（2α﹣β）＝（ ）
A．﹣B．0C．D．1
二、填空题。
11．（2022秋•金凤区校级月考）cs20°cs70°﹣sin20°sin70°＝ ．
12．（2022秋•南岸区校级月考）已知α，β均为锐角，，则sin（α+β）＝ ，cs（2α﹣β）＝ ．
13．（2022秋•奉贤区校级月考）若，，则sin2α＝ ．
14．（2022秋•襄阳期中）已知tanα＝4，β满足①sinβ＞0，且sinβ＝1+csβ，②两个条件中的一个，则tan（α+β）的一个值可以为 ．
15．（2022秋•城关区校级期中）已知函数，若f（x）在上无零点，则ω的取值范围为 ．
16．（2022秋•建邺区校级期中）已知圆x2+y2＝1和直线3x﹣y+1＝0交于P，Q两点，若射线OP，OQ⊥可由x轴正方向绕着原点O逆时针分别旋转α，β角得到，则cs（α+β）的值为 ．
17．（2022秋•焦作期中）已知函数f（x）＝3sinx+4csx，若f（x）≤f（θ）对任意实数x都成立，则＝ ．
18．（2022秋•金安区校级月考）已知，且α+β为定值，若最小值为9，则tanα的值为 ．
三、解答题。
19．（2022秋•朝阳区校级月考）求值＝ ．
20．（2022秋•临澧县校级月考）已知．
（1）求sinαcsα+cs2α的值；
（2）若，求2α+β的值．
21．（2022春•虎丘区校级期中）已知：．求：
（1）sin（α+β）；
（2）求角β的大小．
22．（2022秋•兴庆区校级月考）已知函数．
（1）求的值；
（2）求f（x）的最小正周期及单调递减区间．
23．（2022秋•临洮县月考）若cs（﹣x）＝﹣，＜x＜，求的值．
24．（2022秋•密云区校级月考）已知函数f（x）＝4cs（x﹣）csx﹣．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若对任意x∈[0，]，f（x）﹣m＝0有两个不同的解，求实数m的取值范围．
25．（2022秋•和平区校级期中）已知函数，．
（1）化简f（x）；
（2）若，，求sin4α+cs4α的值．
26．（2021秋•呼兰区校级期末）已知A，B，C为△ABC的内角．
（1）若tanA＝﹣2，求tanB•tanC的取值范围；
（2）求证：tan2+tan2+tan2≥1；
（3）设a，β，γ∈（0，），且tanα＝tan•tan，tanβ＝tan•tan，tanγ＝tan•tan，求证：6sin2α+6sin2β+6sin2γ≥sin2α+sin2β+sin2γ．
专题5.5 三角恒等变换（能力提升）
一、选择题。
1．（2022秋•锦江区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣3，4），，记∠AOB＝θ，则sin2θ＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】D。
【解答】解：由三角函数定义sin（θ+）＝，
∴（sinθ+csθ）＝，sinθ+csθ＝，
两边平方得1+sin2θ＝，∴sin2θ＝．
故选：D．
2．（2022秋•齐齐哈尔期中）已知角α满足2sin（α﹣）＝tancsα，则sin2α+2cs2α的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B。
【解答】解：因为2sin（α﹣）＝tancsα，
所以sinα﹣csα＝tan（﹣）csα＝＝（2﹣）csα，
则有sinα＝2csα，即tan＝2，则sin2α+2cs2α＝＝＝．
故答案为：B．
3．（2022秋•海淀区校级月考）已知，角β的终边与角α的终边关于y轴对称，则cs（α﹣β）＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】B。
【解答】解：因为角β的终边与角α的终边关于y轴对称，
则α+β＝π+2kπ，k∈Z，则β＝π﹣α+2kπ，k∈Z，
则cs（α﹣β）＝cs[α﹣（π﹣α+2kπ）]＝cs（π﹣2α）＝﹣cs2α
＝﹣（1﹣2sin2α）＝2×＝﹣，
故选：B．
4．（2022秋•晋江市校级期中）已知，则＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】B。
【解答】解：∵＝2sin（α+），
∴sin（α+）＝＝cs（﹣α），
∴＝cs（﹣2α）＝2﹣1＝2×﹣1＝，
故选：B．
5．（2022•珠海校级二模）在平面直角坐标系中，点P在射线上，点Q在过原点且倾斜角为θ（θ为锐角）的直线上．若∠POQ＝，则sin2θ的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D。
【解答】解：设射线的倾斜角为β，则tanβ＝＞1，
所以，sinβ＝，cs，
因为∠POQ＝且倾斜角为θ为锐角，
所以，即，
所以sinθ＝sin（）＝（sinβ﹣csβ）＝×（）＝，cs，
所以sin2θ＝2sinθcsθ＝2×＝．
故选：D．
6．（2022秋•沙河口区校级期中）在△ABC中，已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A。
【解答】解：△ABC中，∵＝，
∴tanA＝＝，∴A为锐角．
再根据sin2A+cs2A＝1，可得sinA＝，csA＝，
∴＝cscsA﹣sinsinA＝×﹣×＝，
故选：A．
7．（2022秋•长春月考）定义域为[0，π]的函数，其值域为，则ω的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D。
【解答】解：∵f（x）＝﹣cs2ωx+
＝+
＝sin（2ωx﹣），
由﹣，得﹣，
∵0≤x≤π，∴﹣≤2πx﹣≤2πω﹣，
由题意可得，
解得．
故选：D．
8．（2022秋•湖南期中）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期是2π
B．函数f（x）的最大值为
C．函数f（x）的图象关于点对称
D．函数f（x）在区间上单调递增
【答案】D。
【解答】解：由＝＝，
可得函数f（x）的最小正周期是T＝＝π，故A错误；
可得函数f（x）的最大值为2，故B错误；
由＝2sin（+）＝2sin＝2，故C错误；
当时，可得，
又，
所以函数f（x）在区间上单调递增，故D正确．
故选：D．
9．（2022秋•让胡路区校级月考）已知，且sin2αsin，sin2βcs，则sin（2α﹣2β）的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B。
【解答】解：∵sin2αsin﹣cs2αsin＝sin2αcs+cs2αsin＝sin（2α+）＝，
sin2βcs+cs2βsin＝sin（2β+）＝，
又，
∴＜2β+＜2α+＜，
∴cs（2α+）＝﹣＝﹣，cs（2β+）＝﹣＝﹣，
又sin（2α﹣2β）＝sin[（2α+）﹣（2β+）]＝sin（2α﹣2β）＝sin（2α+）•cs（2β+）﹣cs（2α+）•sin（2β+）＝×（﹣）﹣（﹣）×＝，
故选：B．
10．（2022•临沭县校级开学）若sin2α＝（α，β≠+kπ，且α≠β±kπ，k∈Z），则cs（2α﹣β）＝（ ）
A．﹣B．0C．D．1
【答案】B。
【解答】解：由于，
由于α，β≠+kπ，且α≠β±kπ，k∈Z，
整理得，
故，
整理得：cs2αcsβ+sin2αsinβ＝0，
故cs（2α﹣β）＝cs2αcsβ+sin2αsinβ＝0．
故选：B．
二、填空题。
11．（2022秋•金凤区校级月考）cs20°cs70°﹣sin20°sin70°＝ 0 ．
【答案】0。
【解答】解：cs20°cs70°﹣sin20°sin70°
＝cs20°cs（90°﹣20°）﹣sin20°sin（90°﹣20°）
＝cs20°sin20°﹣sin20°cs20°
＝0．
故答案为：0．
12．（2022秋•南岸区校级月考）已知α，β均为锐角，，则sin（α+β）＝ ，cs（2α﹣β）＝ ．
【答案】，。
【解答】解：∵0，∴，
∵sin（）＝﹣，
∴，
∴cs（）＝﹣，sin（）＝2sin（）cs（）＝，
∴cs（）＝2cs2（）﹣1＝，
∵0＜β，
∴
∵sin（）＝，
∴，cs（）＝，
∴sin（α+β）＝﹣cs（+α+β）＝﹣cs（）＝sin（）sin（）﹣cs（）cs（β）＝，
ca（2α﹣β）＝ca[（）﹣（）]＝cs（）cs（）+sin（）sin（）＝，
故答案为：，．
13．（2022秋•奉贤区校级月考）若，，则sin2α＝ ﹣ ．
【答案】﹣。
【解答】解：因为，
所以sinα＝，
又，
所以csα＝﹣＝﹣，
则sin2α＝2sinαcsα＝2×（﹣）＝﹣．
故答案为：﹣．
14．（2022秋•襄阳期中）已知tanα＝4，β满足①sinβ＞0，且sinβ＝1+csβ，②两个条件中的一个，则tan（α+β）的一个值可以为 或6 ．
【答案】或6（答案只要是与6中的一个即可）。
【解答】解：若β满足条件①，因为sinβ＝1+csβ，所以（1+csβ）2+cs2β＝1+2csβ+2cs2β＝1，
解得csβ＝0或csβ＝﹣1，
则sinβ＝1或sinβ＝0（舍去），
则，k∈Z，
故；
若β满足条件②，
则．
故答案为：或6（答案只要是与6中的一个即可）．
15．（2022秋•城关区校级期中）已知函数，若f（x）在上无零点，则ω的取值范围为 （2k+，+），k∈Z且k≥0 ．
【答案】（2k+，+），k∈Z且k≥0。
【解答】解：∵函数f（x）＝sinωx﹣csωx＝sin（ωx﹣），在上，ωx﹣∈（﹣，﹣），
若f（x）在上无零点，
则﹣≥kπ，﹣≤kπ+π，k∈Z，
可得2k+≤ω≤+，k∈Z．结合ω＞0，
可得ω的取值范围为（2k+，+），k∈Z且k≥0，
故答案为：（2k+，+），k∈Z且k≥0．
16．（2022秋•建邺区校级期中）已知圆x2+y2＝1和直线3x﹣y+1＝0交于P，Q两点，若射线OP，OQ⊥可由x轴正方向绕着原点O逆时针分别旋转α，β角得到，则cs（α+β）的值为 ．
【答案】。
【解答】解：由得5x2+3x＝0，
解得x＝0或，分别代入直线方程得P（0，1），Q（，），
故可令，，sin，
所以cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ＝．
故答案为：．
17．（2022秋•焦作期中）已知函数f（x）＝3sinx+4csx，若f（x）≤f（θ）对任意实数x都成立，则＝ ．
【答案】。
【解答】解：f（x）＝5sin（x+α），其中csα＝，sinα＝，
则sin（θ+α）＝1，即θ+α＝+2kπ，k∈Z，
故，k∈Z，故sinθ＝sin（）＝csα＝，同理cs，
故原式＝＝＝．
故答案为：．
18．（2022秋•金安区校级月考）已知，且α+β为定值，若最小值为9，则tanα的值为 ．
【答案】。
【解答】解：因为，所以sinαcsβ＞0，csαsinβ＞0，
则sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ＞0，
又α+β为定值，令sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ＝t，则t为正定值，
所以＝（）（sinαcsβ+csαsinβ）
＝（5++）
≥（5+2）＝，
当且仅当＝，即tanβ＝2tanα时等号成立，
所以＝9，解得t＝1，
所以sin（α+β）＝1，
因为，所以α+β∈（0，π），所以α+β＝，
所以tanα＝＝，解得tanα＝．
故答案为：．
三、解答题。
19．（2022秋•朝阳区校级月考）求值＝ ．
【解答】解：原式＝＝＝＝＝，
故答案为：．
20．（2022秋•临澧县校级月考）已知．
（1）求sinαcsα+cs2α的值；
（2）若，求2α+β的值．
【解答】解（1）因为，可得2sinα＝﹣csα，即csα＝﹣2sinα，
所以sinαcsα+cs2α＝＝＝；
（2）由（1）可得tanα＝﹣，所以tan（2α+β）＝tan[（α+β）+α]＝＝＝﹣1，
tanα＝﹣＞﹣1，而α∈（0，π），所以α∈（，π），
β∈（0，），tan（α+β）＝﹣＞﹣1，
可得α+β∈（，π），则2α+β∈（π，2π），
所以2α+β＝．
21．（2022春•虎丘区校级期中）已知：．求：
（1）sin（α+β）；
（2）求角β的大小．
【解答】解：（1）因为0＜α＜，0＜β＜，
所以0＜α+β＜π，
因为cs（α+β）＝﹣，
所以sin（α+β）＝＝＝；
（2）因为csα＝，0＜α＜，
所以sinα＝＝＝，
因为β＝（α+β）﹣α，
所以csβ＝cs[（α+β）﹣α]＝cs（α+β）csα+sin（α+β）sinα＝﹣+＝，
因为0＜β＜，
所以β＝．
22．（2022秋•兴庆区校级月考）已知函数．
（1）求的值；
（2）求f（x）的最小正周期及单调递减区间．
【解答】解：（1）＝＝．
所以．
（2）由（1）f（x）的最小正周期为T＝π；
令，（k∈Z），
整理得：（k∈Z）．
∴f（x）的单调递减区间是．
23．（2022秋•临洮县月考）若cs（﹣x）＝﹣，＜x＜，求的值．
【解答】解：＝
＝＝sin2x•＝sin2xtan（）
＝cs（﹣2x）tan（）＝[2cs2（）﹣1]tan（），
∵＜x＜，∴﹣，
∵cs（﹣x）＝﹣，∴sin（）＝，tan（）＝﹣，
∴＝（2×）×（﹣）＝﹣．
24．（2022秋•密云区校级月考）已知函数f（x）＝4cs（x﹣）csx﹣．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若对任意x∈[0，]，f（x）﹣m＝0有两个不同的解，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）∵cs（x﹣）＝cscsx+sinsinx
∴f（x）＝4cs（x﹣）csx﹣＝4（cscsx+sinsinx）csx﹣＝2cs2x+2sinxcsx﹣＝sin2x+cs2x＝2sin（2x+），
∴T＝＝＝π，
故f（x）的最小正周期为π；
（2）由（1）得f（x）＝2sin（2x+），
对任意x∈[0，]，f（x）﹣m＝0有两个不同的解，转化为函数y＝f（x）＝2sin（2x+）与y＝m的图象有两个不同的交点，
∵x∈[0，]，∴（2x+）∈[，]，
令t＝2x+，则y＝2sint，t∈[，]，作出图象如图所示：
由图象可得≤m＜2，
故实数m的取值范围为[，2）．
25．（2022秋•和平区校级期中）已知函数，．
（1）化简f（x）；
（2）若，，求sin4α+cs4α的值．
【解答】解：（1），
所以，，，
所以，
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝csx﹣sinx．
即f（x）＝csx﹣sinx．
（2）因为，所以，
所以（sinα﹣csα）2＝（）2，
，
所以sin4α+cs4α＝（sin2α+cs2α）2﹣2sin2α⋅cs2α＝1﹣＝．
即sin4α+cs4α＝．
26．（2021秋•呼兰区校级期末）已知A，B，C为△ABC的内角．
（1）若tanA＝﹣2，求tanB•tanC的取值范围；
（2）求证：tan2+tan2+tan2≥1；
（3）设a，β，γ∈（0，），且tanα＝tan•tan，tanβ＝tan•tan，tanγ＝tan•tan，求证：6sin2α+6sin2β+6sin2γ≥sin2α+sin2β+sin2γ．
【解答】解：（1）∵tanA＝﹣2，∴B，C 为锐角，∴tanB＞0，tanC＞0，
∴，
∴，∴，
解得，当且仅当B＝C时，等号成立，
即．
（2）证明：在△ABC 中，，
∴，
∴
＝
＝
＝＝1，
∵
∴．
（3）证明：由 （2）知 tanα+tanβ+tanγ＝1，
∵，
∴6sin2α+6sin2β+6sin2γ≥sin2α+sin2β+sin2γ
即证++，
令x＝tanα，y＝tanβ，z＝tanγ，
原不等式等价于，
∵在（0，1）上为增函数，
∴，∴，
同理可得，，
∴，
故不等式成立，
问题得证．
1．（2022秋•锦江区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣3，4），，记∠AOB＝θ，则sin2θ＝（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋•齐齐哈尔期中）已知角α满足2sin（α﹣）＝tancsα，则sin2α+2cs2α的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋•海淀区校级月考）已知，角β的终边与角α的终边关于y轴对称，则cs（α﹣β）＝（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋•晋江市校级期中）已知，则＝（ ）
A．B．C．D．
5．（2022•珠海校级二模）在平面直角坐标系中，点P在射线上，点Q在过原点且倾斜角为θ（θ为锐角）的直线上．若∠POQ＝，则sin2θ的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022秋•沙河口区校级期中）在△ABC中，已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022秋•长春月考）定义域为[0，π]的函数，其值域为，则ω的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022秋•湖南期中）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期是2π
B．函数f（x）的最大值为
C．函数f（x）的图象关于点对称
D．函数f（x）在区间上单调递增
9．（2022秋•让胡路区校级月考）已知，且sin2αsin，sin2βcs，则sin（2α﹣2β）的值为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022•临沭县校级开学）若sin2α＝（α，β≠+kπ，且α≠β±kπ，k∈Z），则cs（2α﹣β）＝（ ）
A．﹣B．0C．D．1
二、填空题。
11．（2022秋•金凤区校级月考）cs20°cs70°﹣sin20°sin70°＝ ．
12．（2022秋•南岸区校级月考）已知α，β均为锐角，，则sin（α+β）＝ ，cs（2α﹣β）＝ ．
13．（2022秋•奉贤区校级月考）若，，则sin2α＝ ．
14．（2022秋•襄阳期中）已知tanα＝4，β满足①sinβ＞0，且sinβ＝1+csβ，②两个条件中的一个，则tan（α+β）的一个值可以为 ．
15．（2022秋•城关区校级期中）已知函数，若f（x）在上无零点，则ω的取值范围为 ．
16．（2022秋•建邺区校级期中）已知圆x2+y2＝1和直线3x﹣y+1＝0交于P，Q两点，若射线OP，OQ⊥可由x轴正方向绕着原点O逆时针分别旋转α，β角得到，则cs（α+β）的值为 ．
17．（2022秋•焦作期中）已知函数f（x）＝3sinx+4csx，若f（x）≤f（θ）对任意实数x都成立，则＝ ．
18．（2022秋•金安区校级月考）已知，且α+β为定值，若最小值为9，则tanα的值为 ．
三、解答题。
19．（2022秋•朝阳区校级月考）求值＝ ．
20．（2022秋•临澧县校级月考）已知．
（1）求sinαcsα+cs2α的值；
（2）若，求2α+β的值．
21．（2022春•虎丘区校级期中）已知：．求：
（1）sin（α+β）；
（2）求角β的大小．
22．（2022秋•兴庆区校级月考）已知函数．
（1）求的值；
（2）求f（x）的最小正周期及单调递减区间．
23．（2022秋•临洮县月考）若cs（﹣x）＝﹣，＜x＜，求的值．
24．（2022秋•密云区校级月考）已知函数f（x）＝4cs（x﹣）csx﹣．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若对任意x∈[0，]，f（x）﹣m＝0有两个不同的解，求实数m的取值范围．
25．（2022秋•和平区校级期中）已知函数，．
（1）化简f（x）；
（2）若，，求sin4α+cs4α的值．
26．（2021秋•呼兰区校级期末）已知A，B，C为△ABC的内角．
（1）若tanA＝﹣2，求tanB•tanC的取值范围；
（2）求证：tan2+tan2+tan2≥1；
（3）设a，β，γ∈（0，），且tanα＝tan•tan，tanβ＝tan•tan，tanγ＝tan•tan，求证：6sin2α+6sin2β+6sin2γ≥sin2α+sin2β+sin2γ．
专题5.5 三角恒等变换（能力提升）
一、选择题。
1．（2022秋•锦江区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣3，4），，记∠AOB＝θ，则sin2θ＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】D。
【解答】解：由三角函数定义sin（θ+）＝，
∴（sinθ+csθ）＝，sinθ+csθ＝，
两边平方得1+sin2θ＝，∴sin2θ＝．
故选：D．
2．（2022秋•齐齐哈尔期中）已知角α满足2sin（α﹣）＝tancsα，则sin2α+2cs2α的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B。
【解答】解：因为2sin（α﹣）＝tancsα，
所以sinα﹣csα＝tan（﹣）csα＝＝（2﹣）csα，
则有sinα＝2csα，即tan＝2，则sin2α+2cs2α＝＝＝．
故答案为：B．
3．（2022秋•海淀区校级月考）已知，角β的终边与角α的终边关于y轴对称，则cs（α﹣β）＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】B。
【解答】解：因为角β的终边与角α的终边关于y轴对称，
则α+β＝π+2kπ，k∈Z，则β＝π﹣α+2kπ，k∈Z，
则cs（α﹣β）＝cs[α﹣（π﹣α+2kπ）]＝cs（π﹣2α）＝﹣cs2α
＝﹣（1﹣2sin2α）＝2×＝﹣，
故选：B．
4．（2022秋•晋江市校级期中）已知，则＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】B。
【解答】解：∵＝2sin（α+），
∴sin（α+）＝＝cs（﹣α），
∴＝cs（﹣2α）＝2﹣1＝2×﹣1＝，
故选：B．
5．（2022•珠海校级二模）在平面直角坐标系中，点P在射线上，点Q在过原点且倾斜角为θ（θ为锐角）的直线上．若∠POQ＝，则sin2θ的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D。
【解答】解：设射线的倾斜角为β，则tanβ＝＞1，
所以，sinβ＝，cs，
因为∠POQ＝且倾斜角为θ为锐角，
所以，即，
所以sinθ＝sin（）＝（sinβ﹣csβ）＝×（）＝，cs，
所以sin2θ＝2sinθcsθ＝2×＝．
故选：D．
6．（2022秋•沙河口区校级期中）在△ABC中，已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A。
【解答】解：△ABC中，∵＝，
∴tanA＝＝，∴A为锐角．
再根据sin2A+cs2A＝1，可得sinA＝，csA＝，
∴＝cscsA﹣sinsinA＝×﹣×＝，
故选：A．
7．（2022秋•长春月考）定义域为[0，π]的函数，其值域为，则ω的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D。
【解答】解：∵f（x）＝﹣cs2ωx+
＝+
＝sin（2ωx﹣），
由﹣，得﹣，
∵0≤x≤π，∴﹣≤2πx﹣≤2πω﹣，
由题意可得，
解得．
故选：D．
8．（2022秋•湖南期中）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期是2π
B．函数f（x）的最大值为
C．函数f（x）的图象关于点对称
D．函数f（x）在区间上单调递增
【答案】D。
【解答】解：由＝＝，
可得函数f（x）的最小正周期是T＝＝π，故A错误；
可得函数f（x）的最大值为2，故B错误；
由＝2sin（+）＝2sin＝2，故C错误；
当时，可得，
又，
所以函数f（x）在区间上单调递增，故D正确．
故选：D．
9．（2022秋•让胡路区校级月考）已知，且sin2αsin，sin2βcs，则sin（2α﹣2β）的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B。
【解答】解：∵sin2αsin﹣cs2αsin＝sin2αcs+cs2αsin＝sin（2α+）＝，
sin2βcs+cs2βsin＝sin（2β+）＝，
又，
∴＜2β+＜2α+＜，
∴cs（2α+）＝﹣＝﹣，cs（2β+）＝﹣＝﹣，
又sin（2α﹣2β）＝sin[（2α+）﹣（2β+）]＝sin（2α﹣2β）＝sin（2α+）•cs（2β+）﹣cs（2α+）•sin（2β+）＝×（﹣）﹣（﹣）×＝，
故选：B．
10．（2022•临沭县校级开学）若sin2α＝（α，β≠+kπ，且α≠β±kπ，k∈Z），则cs（2α﹣β）＝（ ）
A．﹣B．0C．D．1
【答案】B。
【解答】解：由于，
由于α，β≠+kπ，且α≠β±kπ，k∈Z，
整理得，
故，
整理得：cs2αcsβ+sin2αsinβ＝0，
故cs（2α﹣β）＝cs2αcsβ+sin2αsinβ＝0．
故选：B．
二、填空题。
11．（2022秋•金凤区校级月考）cs20°cs70°﹣sin20°sin70°＝ 0 ．
【答案】0。
【解答】解：cs20°cs70°﹣sin20°sin70°
＝cs20°cs（90°﹣20°）﹣sin20°sin（90°﹣20°）
＝cs20°sin20°﹣sin20°cs20°
＝0．
故答案为：0．
12．（2022秋•南岸区校级月考）已知α，β均为锐角，，则sin（α+β）＝ ，cs（2α﹣β）＝ ．
【答案】，。
【解答】解：∵0，∴，
∵sin（）＝﹣，
∴，
∴cs（）＝﹣，sin（）＝2sin（）cs（）＝，
∴cs（）＝2cs2（）﹣1＝，
∵0＜β，
∴
∵sin（）＝，
∴，cs（）＝，
∴sin（α+β）＝﹣cs（+α+β）＝﹣cs（）＝sin（）sin（）﹣cs（）cs（β）＝，
ca（2α﹣β）＝ca[（）﹣（）]＝cs（）cs（）+sin（）sin（）＝，
故答案为：，．
13．（2022秋•奉贤区校级月考）若，，则sin2α＝ ﹣ ．
【答案】﹣。
【解答】解：因为，
所以sinα＝，
又，
所以csα＝﹣＝﹣，
则sin2α＝2sinαcsα＝2×（﹣）＝﹣．
故答案为：﹣．
14．（2022秋•襄阳期中）已知tanα＝4，β满足①sinβ＞0，且sinβ＝1+csβ，②两个条件中的一个，则tan（α+β）的一个值可以为 或6 ．
【答案】或6（答案只要是与6中的一个即可）。
【解答】解：若β满足条件①，因为sinβ＝1+csβ，所以（1+csβ）2+cs2β＝1+2csβ+2cs2β＝1，
解得csβ＝0或csβ＝﹣1，
则sinβ＝1或sinβ＝0（舍去），
则，k∈Z，
故；
若β满足条件②，
则．
故答案为：或6（答案只要是与6中的一个即可）．
15．（2022秋•城关区校级期中）已知函数，若f（x）在上无零点，则ω的取值范围为 （2k+，+），k∈Z且k≥0 ．
【答案】（2k+，+），k∈Z且k≥0。
【解答】解：∵函数f（x）＝sinωx﹣csωx＝sin（ωx﹣），在上，ωx﹣∈（﹣，﹣），
若f（x）在上无零点，
则﹣≥kπ，﹣≤kπ+π，k∈Z，
可得2k+≤ω≤+，k∈Z．结合ω＞0，
可得ω的取值范围为（2k+，+），k∈Z且k≥0，
故答案为：（2k+，+），k∈Z且k≥0．
16．（2022秋•建邺区校级期中）已知圆x2+y2＝1和直线3x﹣y+1＝0交于P，Q两点，若射线OP，OQ⊥可由x轴正方向绕着原点O逆时针分别旋转α，β角得到，则cs（α+β）的值为 ．
【答案】。
【解答】解：由得5x2+3x＝0，
解得x＝0或，分别代入直线方程得P（0，1），Q（，），
故可令，，sin，
所以cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ＝．
故答案为：．
17．（2022秋•焦作期中）已知函数f（x）＝3sinx+4csx，若f（x）≤f（θ）对任意实数x都成立，则＝ ．
【答案】。
【解答】解：f（x）＝5sin（x+α），其中csα＝，sinα＝，
则sin（θ+α）＝1，即θ+α＝+2kπ，k∈Z，
故，k∈Z，故sinθ＝sin（）＝csα＝，同理cs，
故原式＝＝＝．
故答案为：．
18．（2022秋•金安区校级月考）已知，且α+β为定值，若最小值为9，则tanα的值为 ．
【答案】。
【解答】解：因为，所以sinαcsβ＞0，csαsinβ＞0，
则sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ＞0，
又α+β为定值，令sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ＝t，则t为正定值，
所以＝（）（sinαcsβ+csαsinβ）
＝（5++）
≥（5+2）＝，
当且仅当＝，即tanβ＝2tanα时等号成立，
所以＝9，解得t＝1，
所以sin（α+β）＝1，
因为，所以α+β∈（0，π），所以α+β＝，
所以tanα＝＝，解得tanα＝．
故答案为：．
三、解答题。
19．（2022秋•朝阳区校级月考）求值＝ ．
【解答】解：原式＝＝＝＝＝，
故答案为：．
20．（2022秋•临澧县校级月考）已知．
（1）求sinαcsα+cs2α的值；
（2）若，求2α+β的值．
【解答】解（1）因为，可得2sinα＝﹣csα，即csα＝﹣2sinα，
所以sinαcsα+cs2α＝＝＝；
（2）由（1）可得tanα＝﹣，所以tan（2α+β）＝tan[（α+β）+α]＝＝＝﹣1，
tanα＝﹣＞﹣1，而α∈（0，π），所以α∈（，π），
β∈（0，），tan（α+β）＝﹣＞﹣1，
可得α+β∈（，π），则2α+β∈（π，2π），
所以2α+β＝．
21．（2022春•虎丘区校级期中）已知：．求：
（1）sin（α+β）；
（2）求角β的大小．
【解答】解：（1）因为0＜α＜，0＜β＜，
所以0＜α+β＜π，
因为cs（α+β）＝﹣，
所以sin（α+β）＝＝＝；
（2）因为csα＝，0＜α＜，
所以sinα＝＝＝，
因为β＝（α+β）﹣α，
所以csβ＝cs[（α+β）﹣α]＝cs（α+β）csα+sin（α+β）sinα＝﹣+＝，
因为0＜β＜，
所以β＝．
22．（2022秋•兴庆区校级月考）已知函数．
（1）求的值；
（2）求f（x）的最小正周期及单调递减区间．
【解答】解：（1）＝＝．
所以．
（2）由（1）f（x）的最小正周期为T＝π；
令，（k∈Z），
整理得：（k∈Z）．
∴f（x）的单调递减区间是．
23．（2022秋•临洮县月考）若cs（﹣x）＝﹣，＜x＜，求的值．
【解答】解：＝
＝＝sin2x•＝sin2xtan（）
＝cs（﹣2x）tan（）＝[2cs2（）﹣1]tan（），
∵＜x＜，∴﹣，
∵cs（﹣x）＝﹣，∴sin（）＝，tan（）＝﹣，
∴＝（2×）×（﹣）＝﹣．
24．（2022秋•密云区校级月考）已知函数f（x）＝4cs（x﹣）csx﹣．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若对任意x∈[0，]，f（x）﹣m＝0有两个不同的解，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）∵cs（x﹣）＝cscsx+sinsinx
∴f（x）＝4cs（x﹣）csx﹣＝4（cscsx+sinsinx）csx﹣＝2cs2x+2sinxcsx﹣＝sin2x+cs2x＝2sin（2x+），
∴T＝＝＝π，
故f（x）的最小正周期为π；
（2）由（1）得f（x）＝2sin（2x+），
对任意x∈[0，]，f（x）﹣m＝0有两个不同的解，转化为函数y＝f（x）＝2sin（2x+）与y＝m的图象有两个不同的交点，
∵x∈[0，]，∴（2x+）∈[，]，
令t＝2x+，则y＝2sint，t∈[，]，作出图象如图所示：
由图象可得≤m＜2，
故实数m的取值范围为[，2）．
25．（2022秋•和平区校级期中）已知函数，．
（1）化简f（x）；
（2）若，，求sin4α+cs4α的值．
【解答】解：（1），
所以，，，
所以，
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝csx﹣sinx．
即f（x）＝csx﹣sinx．
（2）因为，所以，
所以（sinα﹣csα）2＝（）2，
，
所以sin4α+cs4α＝（sin2α+cs2α）2﹣2sin2α⋅cs2α＝1﹣＝．
即sin4α+cs4α＝．
26．（2021秋•呼兰区校级期末）已知A，B，C为△ABC的内角．
（1）若tanA＝﹣2，求tanB•tanC的取值范围；
（2）求证：tan2+tan2+tan2≥1；
（3）设a，β，γ∈（0，），且tanα＝tan•tan，tanβ＝tan•tan，tanγ＝tan•tan，求证：6sin2α+6sin2β+6sin2γ≥sin2α+sin2β+sin2γ．
【解答】解：（1）∵tanA＝﹣2，∴B，C 为锐角，∴tanB＞0，tanC＞0，
∴，
∴，∴，
解得，当且仅当B＝C时，等号成立，
即．
（2）证明：在△ABC 中，，
∴，
∴
＝
＝
＝＝1，
∵
∴．
（3）证明：由 （2）知 tanα+tanβ+tanγ＝1，
∵，
∴6sin2α+6sin2β+6sin2γ≥sin2α+sin2β+sin2γ
即证++，
令x＝tanα，y＝tanβ，z＝tanγ，
原不等式等价于，
∵在（0，1）上为增函数，
∴，∴，
同理可得，，
∴，
故不等式成立，
问题得证．
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