2024年江西省南昌市部分学校中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟．
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
在每小题列出的四个备选项中只有一项是符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内．错选、多选或未选均不得分．
1. 若反比例函数的图象经过点，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数的方程，即可求出的值．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，解得，
故选：D．
【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点，将点代入函数表达式列出关于系数的方程是解答本题的关键．
2. 从，3.14，，中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查无理数、简单的概率计算，根据无理数是无限不循环小数判断出无理数的个数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：在，3.14，，中，是无理数，即无理数有1个，
∴随机抽取一个数，此数是无理数的概率是，
故选：A
3. 如图，该几何体的主视图为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据主视图是从正面看几何体得到的图形逐项判断即可，注意看不见的棱用虚线表示．
【详解】解：该几何体的主视图为：

故选：B．
4. 如图，是矩形的边上一点，射线交的延长线于点，已知，，则的长为（ ）
A. 2B. 4C. 3D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，根据矩形的性质得到，即可证明，再利用，即可得到，即可解答，熟练掌握相关性质是解题的关键．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
解得，
故选：A．
5. 如图，ABC内接于⊙O，∠ABC＝110°．AB＝BC，AD是⊙O的直径，则∠DAB的度数是（ ）
A. 35°B. 55°C. 65°D. 70°
【答案】B
【解析】
【分析】由AB＝BC，∠ABC＝110°，根据等腰三角形的性质，可求得∠C的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．
【详解】解：∵AB＝BC，∠ABC＝110°，
∴∠C＝35°，
∴∠D＝∠C＝35°，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠DAB＝90°﹣∠D＝90°﹣35°＝55°．
故选：B．
【点睛】此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质，此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
6. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致即可判断．
【详解】解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，即，故本选项错误；
B、由抛物线可知，，由直线可知，，即，故本选项正确；
C、由抛物线可知，，由直线可知，，即，故本选项错误；
D、由抛物线可知，，由直线可知，，即，故本选项错误．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 已知是一元二次方程的一个解，则m的值是______．
【答案】-3
【解析】
【分析】将x=1代入方程得到关于m的方程，解得即可．
【详解】根据题意，将x=1代入方程得到：1+m+2=0，
解得：m=-3，
故答案为：-3．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．
8. 对于抛物线，当时，随的增大而______．（填“增大”或“减小”）
【答案】增大
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与性质，根据题目中的函数解析式以及二次函数的图象和性质，即可得出答案．
【详解】解：∵抛物线，，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∴当时，随的增大而增大．
故答案为：增大．
9. 如图，将绕着点逆时针旋转得到，使得点的对应点落在边的延长线上，若，，则线段的长为______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质：对应线段相等得到，，进而可求解．
【详解】解：由旋转性质得，，
∵，，
∴，
故答案为：5．
10. 如图，已知传送带与地面所成斜面坡度为，如果它把物体送到离地面米高的地方，那么物体所经过的路程为______米．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了坡度坡角问题，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义．
根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案．
【详解】解：由题意得：斜坡的坡度：，米，，
，
，
中，米，
故物体所经过的路程为米．
故答案为：．
11. 日晷仪也称日晷，是我国古代较为普遍使用的计时仪器，内圈被分为十二个全等的图形，分别标示着“十二地支”（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥），如图所示．通过测量得到晷面内圈的半径为．若晷针投影的长度不变，且都在晷面的内圈上，则晷针投影在晷面上从“巳”时开始到“申”时结束（从旋转到）划过的图形面积（图中阴影部分）是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查扇形面积的计算．
先求出夹角，再根据扇形面积公式即可求解．
【详解】解：由题意可知，一个地支的夹角为，
从“巳”时开始到“申”时结束走过的图形是扇形，且圆心角为，
晷面内圈的半径为，
，
晷针投影在晷面上划过的图形面积是
故答案为：．
12. 在中，已知，，，是的中点，是的直角边上的点，若线段把分割为两部分，所得的三角形与相似，则的长是______．
【答案】3或4或
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理，分，，，分别利用相似三角形的判定与性质求解即可．
【详解】解：∵在中，已知，，，
∴，
∵是的中点，
∴，
当时，如图①，则，
∴，即，
∴，则；
当时，如图②，则，
∴，即，
∴，则；
当，时，如图③则，
∴，即，
∴，则；
∵过点P有且只有一条直线与垂直，
∴当时，点Q不可能在边上，
综上，满足条件的值为3或4或．
故答案为：3或4或．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：．
（2）如图，直线，若，，求的值．

【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的知识点是特殊角的三角函数值、平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握特殊角的三角函数值及平行线分线段成比例定理．
（1）代入特殊角的三角函数值进行运算即可求解；
（2）根据三条直线互相平行得到即可求解．
【详解】（1）解：原式，
，
．
（2）解：，
，
，
．
14. 已知关于的方程．
（1）当时，求原方程的解．
（2）若原方程有两个相等实数根，求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程解法，一元二次方程根的判别式是解题关键．
（1）将代入，解方程即可；
（2）先求出的值，再根据的符号即可得出答案．
【小问1详解】
解：当时，原方程为，
，
即，，
解得：，；
【小问2详解】
解：该一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
15. 如图，已知正六边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1的正六边形内部作一点，连接，使得．
（2）在图2的正六边形内部作一点，连接，使得．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查正六边形的性质、锐角三角函数等知识，掌握正六边形的性质是解答的关键．
（1）连接、，设交点为M，根据正六边形的性质可得，利用可得点M即为所求；
（2）连接，，设交点为N，可得，，，则，由可得结论．
【小问1详解】
解：如图1，点M为所求作；
【小问2详解】
解：如图2，点N即为所求作：
16. 2023年11月12日上午，2023南昌马拉松开始㕸！30000名跑友齐聚英雄城，在八一广场激情开跑，除了努力奔跑的参赛选手，赛场外还有一群默默奉献的“小白鹤”志愿者．大学生小宇和小杰报名参加赛会志愿者活动，两人分别从以下四项志愿者活动中随机选择一项，．赛道指引，．集结检录，．物资发放，．人群疏散．

（1）小杰选择“．赛道计时”是______事件．（填“必然”“不可能”或“随机”）
（2）请用画树状图法或列表法求小宇和小杰恰好选择同一项志愿者活动的概率．
【答案】（1）不可能 （2）
【解析】
【分析】此题考查了用树状图法或列表法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）根据不可能发生的事件是不可能事件解答即可；
（2）用树状图法得到所有等可能的结果，然后找出符合条件的结果数，再利用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵只有四项志愿者活动，
∴小杰选择“．赛道计时”是不可能事件，
故答案为：不可能；
【小问2详解】
解：画树状图如图：

共有16种等可能的结果，其中小宇和小杰恰好选择同一项志愿者活动的4种，
∴小宇和小杰恰好选择同一项志愿者活动的概率为．
17. 如图，已知腰长为的等腰直角，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点的运动路径为．
（1）求的长．
（2）连接，求证：垂直平分．
【答案】（1）
（2）详见解析
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质、勾股定理、弧长公式、等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定等知识．
（1）根据勾股定理，求得，由旋转可知，，根据弧长公式计算即可；
（2）根据题意可判断为等边三角形，得，点在线段的垂直平分线上，是的垂直平分线，即垂直平分．
【小问1详解】
解：由题意可知，，
在等腰直角中，根据勾股定理得，
，
，
，
将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，
【小问2详解】
证明：由旋转可知，
，，
为等边三角形，
，
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
是的垂直平分线上，
即垂直平分．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点和点，分别交反比例函数，的图象于点，点，过点作轴于点．
（1）若是的中点，求的值．
（2）若点的横坐标为3，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、坐标与图形等知识，利用代入求解的方法是解答的关键．
（1）先求得点A坐标，再求得，进而求得，即可求得k值；
（2）将代入中求得得到点C坐标，进而求得k值，则，由求得x值，进而可求解．
【小问1详解】
解：∵直线分别交轴，轴于点和点，
∴当时，由得，
∴，则，
∵是的中点，
∴，则，
将代入中得，
∴点C坐标为，
∵点C在函数图象上，
∴；
【小问2详解】
解：∵点的横坐标为3，
∴将代入中，得，
∴，则，
∴，
解方程得，
∵，
∴，又，
∴点D坐标为．
19. 如图，是外接圆，是的直径，是延长线上的一点，连接，且，．

（1）求证：是切线．
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，勾股定理，熟练利用角度的转换求得，是解题的关键．
（1）连接,根据等腰三角形的性质，求得，再利用三角形内角和定理，即可求得，即可求得；
（2）证明为等边三角形，得到，再利用勾股定理，即可解答．
【小问1详解】
证明：如图，连接,

,
,
,
,
,
,
,,
,
,
根据三角形内角和，可得，即，
，
，
，
是的切线；
小问2详解】
解：，
为等边三角形，
，
，
根据勾股定理可得．
20. 课本再现
如图1，某飞机于空中处探测到目标，此时飞机高度，从飞机上看地平面指挥台的俯角．

（1）求飞机与指挥台的距离．（结果取整数；参考数据：，，）
拓展应用
（2）如图2，该飞机于空中处探测到目标后，将点的位置传送给指挥台后，沿着北偏东的方向飞行，当飞行8000米后，飞机到达点处．求此时飞机的高度．（参考数据：，，）
【答案】（1）约；（2）约6000米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形-仰角俯角、方向角问题，构造直角三角形是解答的关键．
（1）在中，利用正弦定义求解即可；
（2）过作交延长线于E，过A作于F，利用余弦定义求得即可求解．
【详解】解：（1）由题意，在中，，，，
∴；
（2）过作交延长线于E，过A作于F，
则，

在中，，米，
∴（米），
∴米，
答：此时飞机的高度为6000米．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 某工厂生产某种体育器材，生产这种体育器材每件的成本（元）与产量（件）之间满足一次函数关系，且当时，；当时，．
（1）求与之间的函数解析式．
（2）该工厂计划生产这种体育器材不超过300件，且每件的成本不超过800元，已知这种体育器材每件的售价为1200元，且全部售出，求当产量为多少件时，该工厂生产这种体育器材的利润最大，并求出最大利润．
【答案】（1）
（2）当产量为300件时，利润最大，最大利润为240000元
【解析】
【分析】本题考查二次函数在实际生活中的应用以及用待定系数法求一次函数的解析式：
（1）根据已知条件用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）根据题意写出利润关于产量的解析式，然后根据，根据二次函数的性质求出利润的最大值．
【小问1详解】
解：设y与x之间的函数关系式，依题意得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为；
【小问2详解】
解：由（1）知；，
设该工厂生产这种体育器材的总利润为，则：
由题意得，，
∴，
∴，
∵，
∴
∵的取值范围在对称轴的右侧，
∴随的增大而增大，
∴当时，最大，
此时，，
故当产量为300件时，利润最大，最大利润为240000元．
22. 如图，和均为直角三角形，，，且，，连接，以为斜边向上作直角，且，，连接．

（1）求证：．
（2）求证：．
（3）直接写出的值（用含的式子表示）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质、锐角三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键．
（1）先利用平行线的性质和已知条件得到，然后证明，利用相似三角形的性质求解即可；
（2）证明得到，，再证明得到，进而得到，即可得到结论；
（3）在中，利用正切定义得到，由可求解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，又，
∴，又，
∴，
∴，则；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∵，，
∴，则，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：在中，，，
∴，
由（2）得，
∴．
六、解答题（本大题共12分）
23. 如图、在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点（点在点的左侧），与轴交于点，为抛物线的顶点，连接，将抛物线绕点旋转得到抛物线．
（1）求抛物线的解析式．
（2）连接，，求的值．
（3）连接，是抛物线上的点，若满足，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）点Q的坐标为或
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，中心对称的性质以及与解直角三角形相关的计算：
（1）由求出与轴的交点，，顶点坐标，设的解析式为，将点关于原点对称的点的坐标代入，求出，即可得的解析式；
（2）过点B作于点E，由两点间距离公式求出，由三角形面积公式求出，从而可求出；
（3）证明是直角三角形且，分点Q在轴左侧和右侧两种情况，根据即讨论求解即可．
【小问1详解】
解：对于，当时，；当时，，
解得，，
∴，
又，
∴抛物线的顶点P的坐标为，
设点A关于原点对称的点的坐标为，
由旋转知，的顶点坐标为，且过点，
∴设的解析式为，
把代入得，
解得，，
∴的解析式为；
【小问2详解】
解：∵，
∴
∴，
过点B作于点E，如图，
，
则，
∴，
∴
【小问3详解】
解：∵
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴；
分两种情况：
（i）当点Q在y轴左侧时，如图，过点Q作轴于点F，
∵，
∴，
设点的坐标为，则：，，
∴，
解得，，
经检验，是原方程的根，
又，
∴，
此时，点的坐标为；
（ii）当点在轴右侧时，如图，
∵点A关于原点对称的点的坐标为，
∴，
连接，则有：，
∴
∴点与点重合，
∴，
综上，点Q的坐标为或