2022-2023学年浙江省绍兴市新昌县农村初中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年浙江省绍兴市新昌县农村初中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.使 x−2有意义的x的取值范围为( )
A. x≥2B. x>2C. x≤2D. x<2
2.如图是厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾的标识，其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. (−2)2=−2C. 2× 8=4D. 2 2− 2=2
4.若关于x的一元二次方程ax2−2x+1=0有实数根，则a应满足( )
A. a≤1B. a≥1C. a≥−1且a≠0D. a≤1且a≠0
5.如图，在▱ABCD中，若∠A+∠C=110°，则∠B的度数是( )
A. 70°
B. 105°
C. 125°
D. 135°
6.测试五位学生的“一分钟仰卧起坐”成绩，得到五个各不相同的数据．在统计时，出现了一处错误：将最高成绩50个写成了55个．则下列统计量不受影响的是( )
A. 方差B. 标准差C. 中位数D. 平均数
7.用反证法证明命题“若在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C”时，首先应假设( )
A. ∠A=∠BB. AB=ACC. ∠A=∠CD. ∠B=∠C
8.为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是( )
A. 289(1−x)2=256B. 256(1−x)2=289
C. 289(1−2x)=256D. 256(1−2x)=289
9.已知1和2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，则关于x的方程a(x+1)2+b(x+1)+c=0的根为( )
A. 0和1B. 1和2C. 2和3D. 0和3
10.古希腊数学家丢番图(公元250年前后)在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2(a>0,b>0)的方程的图解法是(如图)：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a2，AC=b，再在斜边AB上截取BD=a2.则该方程的一个正根是( )
A. CD的长B. AC的长C. AD的长D. BC的长
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.当x=1时，二次根式 x+3的值为______．
12.如图，为估计池塘岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA，OB的中点M，N，测得MN=16m，则A，B两点间的距离是______m.
13.方程x2−x=0的解是______．
14.甲、乙两名同学参加古诗词大赛，五次比赛成绩的平均分都是90分，如果甲五次比赛成绩的方差为0.8，乙五次比赛成绩依次为88分、89分、90分、91分、92分，则这五次比赛成绩比较稳定的是______.(填“甲”或“乙”)
15.构造一个一元二次方程，要求：①常数项不为0；②有一个根为−1.这个一元二次方程可以是______(写出一个即可)．
16.若平行四边形的两邻边长分别为16和20，其中一组对边之间的距离为8，则另外一组对边之间距离为______．
三、解答题：本题共8小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
计算：
(1) 40÷ 2− 5；
(2)( 6−2)( 6+2)− 3(2 3−2)．
18.(本小题5分)
解方程：
(1)x2+2x=0；
(2)x2−6x+2=0．
19.(本小题6分)
2022年5月25、26日国家实施义务教育质量监测.监测部门从某校八年级全体学生中任意抽取40名学生，平均分成甲、乙两个小组参加艺术测试.根据测试成绩绘制出如下的统计表和统计图．
甲组成绩统计表
请根据上面的信息，解答下列问题：
(1)m= ______，甲组成绩的众数是______；乙组成绩的中位数是______．
(2)请你计算出甲组的平均成绩．
(3)已知甲组成绩的方差S甲2=1.05，乙组的平均成绩是8.5，请计算出乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更均衡？
20.(本小题6分)
如图，▱ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，DF平分∠ADC交BC于F．
(1)求证：BF=EC；
(2)若E为BC的三等分点(靠近C点)EF=2，求▱ABCD的周长．
21.(本小题6分)
网店店主小李进了一批某种商品，每件进价10元预售一段时间后发现：每天销售量y(件)与售价x(元/件)之间成一次函数关系：y=−2x+60
(1)小李想每天赚取利润150元，又要使所进的货尽快脱手，则售价定为多少合适？
(2)小李想每天赚取利润300元这个想法能实现吗？为什么？
22.(本小题6分)
阅读理解：例题：已知方程x2+x−1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x=y2．
把x=y2代入已知方程，得(y2)2+y2−1=0．
化简，得：y2+2y−4=0，故所求方程为y2+2y−4=0．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”.请根据阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求：把所求方程化成一般形式)．
(1)已知方程2x2−5x−7=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数；
(2)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，a≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
23.(本小题8分)
(1)化简下列各式，观察计算结果，归纳你发现的规律：
① 1+13= ______，2 13= ______．
② 2+14= ______，3 14= ______．
③ 3+15= ______，4 15= ______．
(2)根据上述规律写出 4+16与5 16的关系是______；
(3)请你将发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来______．
24.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是平行四边形，O为坐标原点，点A的坐标是(−16,0)，线段BC交y轴于点D，点D的坐标是(0,8)，线段CD=6.动点P从点O出发，沿射线OA的方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，以每秒1个单位的速度向终点B运动，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，运动时间为t秒．
(1)用t的代数式表示：BQ= ，AP= ；
(2)若以A，B，Q，P为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值；
(3)当△BQP恰好是等腰三角形时，求t的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意可知：x−2≥0，
x≥2
故选：A．
根据二次根式的意义即可求出答案．
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
2.【答案】B
【解析】解：选项B能找到这样的一个点，使图形绕这一点旋转180°后原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项A、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
故选：B．
根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析．
此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
3.【答案】C
【解析】解： 2+ 3不能合并为一项，故选项A不符合题意；
(−2)2=2，故选项B错误，不符合题意；
2× 8= 16=4，故选项C正确，符合题意；
2 2− 2= 2，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
根据同类二次根式可以判断A；根据算术平方根可以判断B；根据二次根式的乘法可以判断C；根据合并同类二次根式可以判断D．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵原方程为一元二次方程，且有实数根，
∴a≠0，b2−4ac≥0时，方程有实数根；
∴(−2)2−4a≥0，
解得：a≤1，
∴a≤1且a≠0，
故选：D．
方程为一元二次方程，故a≠0，再结合根的判别式：当b2−4ac≥0时，方程有实数根，即可求解．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练地掌握根的判别式与根的关系是解题的关键．当b2−4ac≥0时，方程有实数根，当b2−4ac<0时，方程无实数根．
5.【答案】C
【解析】解：∵平行四边形ABCD，
∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C，
∵∠A+∠C=110°，
∴∠A=∠C=55°，
∴∠B=125°．
故选：C．
根据平行四边形的性质，对角相等以及邻角互补，即可得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质，灵活的应用平行四边形的性质是解决问题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：因为中位数是将数据按照大小顺序重新排列，代表了这组数据值大小的“中点”，不受极端值影响，
所以将最高成绩50个写成了55个，计算结果不受影响的是中位数，
故选：C．
根据中位数的定义解答可得．
本题主要考查方差、极差、中位数和平均数，解题的关键是掌握中位数的定义．
7.【答案】D
【解析】解：用反证法证明命题“若在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C”时，首先应假设∠B=∠C，
故选：D．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
8.【答案】A
【解析】【分析】
设平均每次降价的百分率为x，则经过两次降价后的价格是289(1−x)2，根据关键语句“连续两次降价后为256元，”可得方程289(1−x)2=256．
此题主要考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．
【解答】
解：由平均每次降价的百分率为x，
则第一次降价后售价为289(1−x)，
第二次降价后售价为289(1−x)2，
由题意得：289(1−x)2=256．
故选：A．
9.【答案】A
【解析】解：设x+1=t，则方程a(x+1)2+b(x+1)+1=0化为at2+bt+1=0，
由题意可知：t1=1，t2=2，
∴x+1=1和x+1=2，
∴x=0和x=1，
∴方程a(x+1)2+b(x+1)+c=0的两根为x=0和x=1，
故选：A．
设t=x+1，则方程a(x+1)2+b(x+1)+c=0化为at2+bt+c=0，利用方程ax2+bx+c=0的解得到t1=1，t2=2，然后分别计算对应的x的值可确定方程a(x+1)2+b(x+1)+c=0的解．
本题考查了换元法解一元二次方程：我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
10.【答案】C
【解析】解：∵∠ACB=90°，BC=a2，AC=b，
∴AB= b2+a24，
∴AD= b2+a24−a2= 4b2+a2−a2；
x2+ax=b2(a>0,b>0)用求根公式求得：x=−a± 4b2+a22，
∴x1=− 4b2+a2−a2，x=2 4b2+a2−a2；
∴AD的长就是方程的正根，
故选：C．
先根据勾股定理求得AB的长，再求AD的长，利用求根公式求得方程的解，即可判断该方程的一个正根是AD的长．
本题考查了一元二次方程的解法−公式法，解一元二次方程的方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，要根据方程的特点进行选择即可．
11.【答案】2
【解析】解：因为 x+3= 4=2，
所以当x=1时，二次根式 x+3的值为2．
故答案为：2．
将x=1代入二次根式 x+3，即可求出结果．
本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是掌握二次根式的性质与化简．
12.【答案】32
【解析】解：∵点M，N分别为OA，OB的中点，
∴MN是△OAB的中位线，
∴AB=2MN=32(m)，
故答案为：32．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
13.【答案】x1=0，x2=1
【解析】解：x2−x=0，
x(x−1)=0，
x=0或x−1=0，
x1=0，x2=1，
故答案为：x1=0，x2=1．
利用解一元二次方程−因式分解法进行计算，即可解答．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握解一元二次方程−因式分解法是解题的关键．
14.【答案】甲
【解析】解：乙成绩的平均数为88+89+90+91+925=90(分)，
所以乙成绩的方差为15×[(88−90)2+(89−90)2+(90−90)2+(91−90)2+(92−90)2]=2，
又因为甲五次比赛成绩的方差为0.8<乙五次比赛成绩的方差2，
∴这五次比赛成绩比较稳定的是甲，
故答案为：甲．
先根据方差的定义求出乙成绩的方差，再比较大小，依据方差的意义即可得出答案．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和方差的意义．
15.【答案】x2−1=0
【解析】解：由题意可得，方程可以为：(x+1)(x−1)=0，
即x2−1=0．
故答案为：x2−1=0．
直接利用一元二次方程的一般形式进而得出答案．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确掌握相关定义是解题关键．
16.【答案】10或325
【解析】解：设另一组对边之间的距离是h，
根据题意得16h=20×8或20h=16×8，
解得h=10或h=325，
∴另外一组对边之间的距离为10或325，
故答案为：10或325．
设另一组对边之间的距离是h，若平行四边形的面积是20×8，则16h=20×8；若平行四边形的面积是16×8，则20h=16×8，解方程求出相应的h的值即可得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、平行四边形的面积公式、列一元一次方程解应用题等知识，正确地用代数式表示平行四边形的面积是解题的关键．
17.【答案】解：(1) 40÷ 2− 5
= 20− 5
=2 5− 5
= 5；
(2)( 6−2)( 6+2)− 3(2 3−2)
=6−4−6+2 3
=−4+2 3．
【解析】(1)先算除法，再算减法即可；
(2)根据平方差公式和乘法分配律将题目中的式子展开，然后合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算、平方差公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】解：(1)x(x+2)=0，
x=0或x+2=0，
所以x1=0，x2=−2；
(2)∵a=1，b=−6，c=2，
∴Δ=(−6)2−4×1×2=28>0，
∴x=6± 282×1=6±2 72=3± 7，
∴x1=3+ 7，x2=3− 7．
【解析】(1)利用因式分解法解方程；
(2)先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．本题第(2)小题还可以利用配方法求解．
19.【答案】3 8 8
【解析】解：(1)m=20−2−9−6=3；由统计表可知：甲组成绩的众数是8；乙组的中位数是第10，11位数的平均数，由图可知是8．
故答案为：3，8，8；
(2)甲组平均成绩为：120(7×3+8×9+9×3+10×5)=8.5；
(3)S乙2=120[2×(7−8.5)2+9×(8−8.5)2+6×(9−8.5)2+3×(10−8.5)2]
=120×(2×2.25+9×0.25+6×0.25+3×2.25)
=120×(5×2.25+15×0.25)
=120×(11.25+3.75)
=0.75，
∵S甲2=1.05，
∴S甲2>S乙2，
∴乙更均衡．
(1)根据统计表、中位数和众数的定义即可确定；
(2)根据平均数的计算方法运算即可；
(3)计算出乙组的方差，再比较甲、乙两组的方差大小即可．
本题考查统计表与条形统计图、方差、中位数、众数、平均数的相关内容，注意从图中获取信息，分析图中数据之间的数量关系，掌握常见统计运算方法是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=DC，
∴∠BEA=∠DAE，∠CFD=∠ADF，
∵AE平分∠BAD交BC于E，DF平分∠ADC交BC于F，
∴∠BAE=∠DAE，∠CDF=∠ADF，
∴∠BEA=∠BAE，∠CFD=∠CDF，
∴EB=AB，FC=DC，
∴EB=FC，
∴EB−EF=FC−EF，
∴BF=EC．
(2)解：∵E为BC的三等分点(靠近C点)EF=2，
∴BF=EC=13BC，
∴EF=BC−13BC−13BC=13BC=2，
∴AD=BC=6，EC=2，
∴AB=DC=EF+EC=2+2=4，
∴AB+DC+AD+BC=4×2+6×2=20，
∴▱ABCD的周长为20．
【解析】(1)由平行四边形的性质得AD//BC，AB=DC，则∠BEA=∠DAE，∠CFD=∠ADF，而∠BAE=∠DAE，∠CDF=∠ADF，所以∠BEA=∠BAE，∠CFD=∠CDF，则EB=AB，FC=DC，所以EB=FC，即可证明BF=EC；
(2)则BF=EC=13BC，得EF=13BC=2，则AD=BC=6，EC=2，所以AB=DC=EF+EC=4，即可求得▱ABCD的周长为20．
此题重点考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定、平行四边形的周长等知识，证明∠BEA=∠BAE，∠CFD=∠CDF是解题的关键．
21.【答案】解：(1)由题意得出：
(x−10)×y=150，即(x−10)⋅(−2x+60)=150．
整理，得−2x2+80x−600=150；
解得x1=15，x2=25．
∵使所进的货尽快脱手，
∴x1=15符合题意．
答：售价定为15元合适；
(2)由题意，知(x−10)⋅(−2x+60)=300，
整理，得x2−40x+450=0．
△=1600−1800=−200<0，
该方程无解．不能完成任务．
【解析】(1)由题意得，每天销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=(定价−进价)×销售量，从而列出关系式；
(2)利用利润=(定价−进价)×销售量列出方程，解方程即可．
考查了一次函数的应用和一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
22.【答案】解：(1)设所求方程的根是y，则y=−x，所以x=−y，
把x=−y代入2x2−5x−7=0，得2y2+5y−7=0；
(2)设所求方程的根是y，则y=1 x，所以x=1y，
把x=1y代入方程ax2+bx+c=0，得a⋅1y2+b⋅1y+c=0，
化简，得cy2+by+a=0．
【解析】(1)根据题意，设所求方程的根是y，则y=−x，所以x=−y，然后把x=−y代入原方程，化简可求；
(2)根据题意，设所求方程的根是y，则y=1 x，所以x=1y，然后把x=1y代入原方程，化简可求．
本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是注意掌握“换根法”的使用．
23.【答案】2 33 2 33 32 32 4 55 4 55 相等 n+1n+2=(n+1) 1n+2
【解析】解：(1)① 1+13=2 33，2 13=2 33；
② 2+14=32，3 14=32；
③ 3+15=4 55，4 15=4 55；
(2) 4+16= 16，即相等；
(3) n+1n+2=(n+1) 1n+2．
故答案为：(1)①2 33，2 33；②32，32；③4 55，4 55；(2)相等；(3) n+1n+2=(n+1) 1n+2．
(1)各式利用二次根式的化简公式计算即可得到结果；
(2)依此类推得到两式相等；
(3)归纳总结得到一般性规律，写出即可．
此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24.【答案】10−t 16−2t(0【解析】解：(1)∵四边形ABCO是平行四边形，A(−16,0)，
∴BC=OA=16．
∵CD=6，
∴BD=BC−CD=10，
∴0∵动点P从点O出发，沿射线OA的方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，以每秒1个单位的速度向终点B运动，
∴OP=2t，DQ=t，
∴BQ=BD−DQ=10−t．
当P在A点右侧时，此时t<162=8，AP=16−2t，
当P与A点重合时，此时t=162=8，AP=0，
当P在A点左侧时，此时8∴AP=16−2t(0故答案为：BQ=10−t,AP=16−2t(0(2)分类讨论：①当P在A点右侧时，如图，
∵四边形ABQP为平行四边形，
∴BQ=AP，即10−t=16−2t，
解得t=6；
②当P在A点左侧时，如图，
∵四边形BQAP为平行四边形，
∴BQ=AP，即10−t=2t−16，
解得t=263．
综上可知，当以A，B，Q，P为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为6或263；
(3)当△BQP恰好是等腰三角形时，有以下四种情况：
①当BP=PQ时，如图，过点Q作QE⊥x轴于点E，过点P作PF⊥BD于点F，
∴OE=DQ=t，PE=FQ，
∴PE=OP−OE=2t−t=t．
∵BP=PQ，
∴BF=FQ=12BQ=12(10−t)，
∴12(10−t)=t，
解得t=103；
②当BQ=PQ时，如图，过点Q作QG⊥x轴于点G．
由①可知PG=t，
∵PQ2=PG2+QG2，即PQ2=t2+82，PQ2=BQ2=(10−t)2
∴(10−t)2=t2+82，
解得：t=95；
③当BQ=PB时，由②同理可得出(10−t)2=82+(10−2t)2，
此时方程无解；
④当点P在A点左侧时，△BQP不可能是等腰三角形，此情况舍．
综上可知当△BQP恰好是等腰三角形，t=103或95．
(1)由平行四边形的性质结合题意可得出BC=OA=16，BD=10，0(2)分类讨论：①当P在A点右侧时和②当P在A点左侧时，根据平行四边形的性质即可分别得出关于t的等式，解出t即可；
(3)分类讨论：①当BP=PQ时、②当BQ=PQ时，③当BQ=PB时和④当点P在A点左侧时，分别根据等腰三角形的性质，勾股定理，结合题意列出关于t的等式或判断情况是否存在，再解出t即可．
本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，等腰三角形的定义，勾股定理等知识．利用数形结合的思想是解题关键．成绩
7
8
9
10
人数
3
9
3
5