第13讲 空间向量与距离、探究性问题（2大考点+强化训练）-冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

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考点分类讲解
考点一：空间距离
(1)点到直线的距离
直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的任一点，P为直线l外一点，设eq \(AP,\s\up6(→))＝a，则点P到直线l的距离d＝eq \r(a2－a·u2).
(2)点到平面的距离
平面α的法向量为n，A是平面α内任一点，P为平面α外一点，则点P到平面α的距离为d＝eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).
考向1 点到直线的距离
【例1】（2024·全国·模拟预测）已知在空间直角坐标系中，直线经过，两点，则点到直线的距离是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（23-24高三上·北京昌平·期末）如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【变式2】（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）已知点，若点和点在直线上，则点到直线的距离为 ．
【变式3】（23-24高三上·山东青岛·期中）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为塹堵，在塹堵中，若，若为线段中点，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
考向2 点到平面的距离
规律方法 (1)求点到平面的距离有两种方法，一是利用空间向量点到平面的距离公式，二是利用等体积法．
(2)求直线到平面的距离的前提是直线与平面平行．求直线到平面的距离可转化成直线上任一点到平面的距离．
【例2】2.(2023·湖北省襄阳市第四中学模拟)已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为4，∠A1AB＝60°，点A1在下底面ABC上的投影为AB的中点O.
(1)在棱BB1(含端点)上是否存在一点D使A1D⊥AC1？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；
(2)求点A1到平面BCC1B1的距离．
【变式1】（23-24高三下·北京·开学考试）在正四棱锥中，，与平面所成角为，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·广西·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.直线到平面的距离为（ ）.
A．B．C．D．
【变式3】（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在正三棱柱中，所有棱长均为1，则点到平面的距离为 ．
考点二：空间中的探究性问题
与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或两平面的夹角满足特定要求时的存在性问题．处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中已给出)，设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断．
规律方法 解决立体几何中探索性问题的基本方法
(1)通常假设问题中的数学对象存在或结论成立，再在这个前提下进行推理，如果能推出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，并可进一步证明，否则假设不成立．
(2)探索线段上是否存在满足条件的点时，一定注意三点共线的条件的应用．
【例3】(2023·咸阳模拟)如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧面BB1C1C是边长为1的正方形，平面BB1C1C⊥平面AA1B1B，AB＝4，∠A1B1B＝60°，G是A1B1的中点．
(1)求证：平面GBC⊥平面BB1C1C；
(2)在线段BC上是否存在一点P，使得二面角P－GB1－B的平面角为30°？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由．
【变式1】（2024·四川成都·模拟预测）在四棱锥中，已知，，，，，是线段上的点．
(1)求证：底面；
(2)是否存在点使得与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【变式2】（2024·全国·一模）如图，棱柱的所有棱长都等于2，且，平面平面．

(1)求平面与平面所成角的余弦值；
(2)在棱所在直线上是否存在点P，使得平面．若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．
【变式3】（2024·贵州黔东南·二模）如图，在多面体中，四边形为菱形，平面，，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)试问线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，请判断点的位置；若不存在，请说明理由.
强化训练
一、单选题
1．（2023·贵州六盘水·模拟预测）平面的一个法向量为，为内的一点，则点到平面的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．
2．（2023高三·全国·专题练习）“类比推理”简称“类比”，是一种重要的逻辑推理方法，也是研究问题、发现新结论的重要方法．下面通过“类比”所得到的结论中不正确的是（ ）
A．设O为平面内任一点，则A，B，C三点共线当且仅当存在a，b满足，使得．类比到空间得：设A，B，C不共线，则A，B，C，D四点共面当且仅当存在实数a，b，c满足，使得
B．已知平面内点到直线的距离为．类比到空间得：空间中点到平面的距离为
C．设平面内不过坐标原点的直线与x轴和y轴的交点分别为，，则直线的（截距式）方程为．类比到空间得：空间中不过坐标原点的平面与x轴、y轴和z轴的交点分别为，，，则平面的（截距式）方程为
D．设平面内一直线与x轴和y轴所成的角分别为，，则有．类比到空间得：设空间中一直线与x轴、y轴和z轴所成的角分别为，，，则有
3．（23-24高三上·上海奉贤·期中）如图，己知四棱锥的底面是直角梯形，，，，平面，，下列说法正确的是（ ）

A．与所成的角是
B．平面与平面所成的锐二面角余弦值是
C．与平面所成的角的正弦值是
D．是线段上动点，为中点，则点到平面距离最大值为
4．（2023·江苏徐州·模拟预测）在空间直角坐标系中，直线的方程为，空间一点，则点到直线的距离为（ ）
A．B．1C．D．
5．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）如图，在正方体中，E为棱的中点．动点P沿着棱从点D向点C移动，对于下列三个结论：
①存在点P，使得；
②的面积越来越小；
③四面体的体积不变．
其中，所有正确结论的个数是（ ）．
A．0B．1C．2D．3
6．（2023·全国·模拟预测）如图，已知正方体的棱长为2，棱的中点分别是，点是底面内任意一点（包括边界），则三棱锥的体积的取值范围是（ ）

A．B．C．D．
7．（2023·河南·模拟预测）在空间直角坐标系中，已知，则当点到平面的距离最小时，直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是（ ）
A．若平面，则动点Q的轨迹是一条线段
B．存在Q点，使得平面
C．当且仅当Q点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大
D．若，那么Q点的轨迹长度为
二、多选题
1．（23-24高三上·河北保定·期末）如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．四点共面
B．
C．直线与所成角的余弦值为
D．点到直线的距离为1
2．（2024·江西上饶·一模）如图，棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，则（ ）
A．直线与底面所成的角为30° B．到直线的距离为
C．平面 D．平面
3．（2024·福建福州·模拟预测）在长方体中，为的中点，则（ ）
A．B．平面
C．点到直线的距离为D．点到平面的距离为
三、填空题
1．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知直线经过两点，则点到直线的距离为 ．
2．（2024·福建厦门·一模）已知平面的一个法向量为，且点在内，则点到的距离为 ．
3．（23-24高三上·北京房山·期末）如图，在棱长为的正方体中，点是线段上的动点.给出下列结论：
①；
②平面；
③直线与直线所成角的范围是；
④点到平面的距离是.
其中所有正确结论的序号是 .
四、解答题
1．（23-24高三上·天津·期末）如图，已知平面，，，，，，.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值；
(3)求点到直线的距离.
2．（2024·山西运城·一模）如图，在矩形纸片中，，，沿将折起，使点到达点的位置，点在平面的射影落在边上.
(1)求的长度；
(2)若是边上的一个动点，是否存在点，使得平面与平面的夹角余弦值为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由.
3．（2024·广东梅州·一模）已知三棱柱中，，，且，，侧面底面，是的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)在棱上是否存在点，使得与平面的所成角为60°.如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由.
4．（23-24高三下·浙江宁波·阶段练习）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，为的中点，.
(1)证明：平面平面；
(2)若与平面所成的角为，过点作平面的垂线，垂足为，求点到平面的距离.
5．（23-24高三上·北京昌平·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱的中点.

(1)证明：∥平面；
(2)若，，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.