第16讲 直线与圆锥曲线的位置关系（3大考点+强化训练）-冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

这是一份第16讲 直线与圆锥曲线的位置关系（3大考点+强化训练）-冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用），文件包含第16讲直线与圆锥曲线的位置关系3大考点+强化训练原卷版docx、第16讲直线与圆锥曲线的位置关系3大考点+强化训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。

考点分类讲解
考点一：弦长问题
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
则|AB|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22)
＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|
＝eq \r(1＋k2)eq \r(x1＋x22－4x1x2)，
或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|
＝eq \r(1＋\f(1,k2))eq \r(y1＋y22－4y1y2).
易错提醒 (1)设直线方程时，需考虑特殊直线，如直线的斜率不存在、斜率为0等．
(2)涉及直线与圆锥曲线相交时，Δ>0易漏掉．
(3)|AB|＝x1＋x2＋p是抛物线过焦点的弦的弦长公式，其他情况该公式不成立．
【例1】（22-23高三·全国·对口高考）通过椭圆的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长等于（ ）
A．B．3C．D．6
【答案】B
【分析】根据椭圆方程写出一条过焦点且垂直于x轴的直线，代入椭圆方程求交点纵坐标，即可得弦长.
【详解】由题设，不妨设过焦点且垂直于x轴的直线，
代入椭圆方程得，可得，故被椭圆截得的弦长等于.
故选：B
【变式1】（23-24高三上·北京东城·期末）已知双曲线：，则双曲线的渐近线方程是 ；直线与双曲线相交于，两点，则 .
【答案】
【分析】由已知可判断双曲线为焦点在轴上的双曲线，可知，，表示渐近线方程即可；由可求的值，从而得到交点坐标，即可得到距离.
【详解】由双曲线：知双曲线的焦点在轴，且，，
即，，所以双曲线的渐近线方程为；
当时，，
设，则，所以.
故答案为：；.
【变式2】（2024·内蒙古包头·一模）设抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线l与C交于P、Q两点，则 .
【答案】
【分析】由题意求出直线l的方程，联立方程组，由抛物线的焦点弦公式求解即可.
【详解】抛物线的焦点为，
过F且斜率为2的直线l方程为：，设，，
联立得：，则，
所以.
故答案为：.
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知中心在坐标原点的椭圆的一个焦点为，且过点，过原点作两条互相垂直的射线交椭圆于、两点，则弦长的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先求出椭圆的标准方程，对直线的斜率是否同时存在进行分类讨论，当直线分别与两坐标轴重合时，直接求出的值；当直线的斜率都存在时，设直线，求出关于的表达式，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】由题意焦点在轴上面，，所以，
所以椭圆的标准方程为，
当直线分别与两坐标轴重合时，；
当直线的斜率都存在时，设直线，联立，可得，
所以，
同理可得，
所以
，
因为，则，令，
令，
因为函数在上为增函数，在上为减函数，
又因为，，则，
此时，则.
综上所述，的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
考点二：面积问题
规律方法 圆锥曲线中求解三角形面积的方法
(1)常规面积公式：S＝eq \f(1,2)×底×高．
(2)正弦面积公式：S＝eq \f(1,2)absin C.
(3)铅锤水平面面积公式：
①过x轴上的定点：S＝eq \f(1,2)a|y1－y2|(a为x轴上定长)；
②过y轴上的定点：S＝eq \f(1,2)a|x1－x2|(a为y轴上定长)．
【例2】（23-24高三下·海南省直辖县级单位·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为120°的直线与抛物线C交于A，B两点，其中点A在第一象限，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】联立直线与抛物线方程可得韦达定理，即可根据焦点弦求解，进而可得，即可求解面积.
【详解】根据题意得直线，
由得
设，则，
故，
解得，代入（*）式，解得．
将代入直线的方程中，
解得，故，
故选:B．
【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点记为，且的面积为2，则椭圆恒过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由三角形面积公式可推出三角形坐标公式，结合直线与椭圆联立后的韦达定理，可求出定点.
【详解】设，
∵

，
∴．
由得，
故，
则，化简得，
故椭圆恒过定点．
故选：．
【变式2】（23-24高三下·河北保定·开学考试）已知是左、右焦点分别为的椭圆上异于左、右顶点的一点，是线段的中点，是坐标原点，过作的平行线交直线于点，则四边形的面积的最大值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】作出图形，由几何关系易判断，求出，进而得解.
【详解】
如图，因为为线段的中点，为中点，所以为中位线，
，又因为，
所以四边形为平行四边形，，
由几何关系易得，设，
则，
又，当且仅当时，，
所以.
故选：D
【变式3】（2024·山东泰安·一模）已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用双曲线的定义，确定周长最小时，的坐标，即可求出周长最小时，该三角形的面积．
【详解】设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，，
的周长为，
由于是定值，要使的周长最小，则最小，即、、共线，
，，直线的方程为，
即代入整理得，
解得或（舍），所以点的纵坐标为，
.
故选：D.
【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
考点三：中点弦问题
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x0，y0)，直线AB的斜率为k.
若E的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
则k＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x0,y0)；
若E的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
则k＝eq \f(b2,a2)·eq \f(x0,y0)；
若E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝eq \f(p,y0).
规律方法 处理中点弦问题常用的求解方法
【例3】（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知抛物线，过C的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，线段AB的中点为W，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】设，代入抛物线方程两式相减可得，进而求得，由求得值.
【详解】设，
则两式相减，可得，
所以，即，
所以，所以，
代入直线，得，
所以，所以，解得.
故选：B
【变式1】（23-24高三下·全国·阶段练习）设直线与双曲线分别交于两点，若线段的中点横坐标是，则该双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，联立直线与双曲线方程，借助中点横坐标列式求解即得.
【详解】由线段的中点横坐标是，得线段的中点纵坐标是，设，
由消去x得，
，
因此，整理得，显然成立，
所以该双曲线的离心率.
故选：A
【变式2】（22-23高二下·陕西榆林·期末）已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为 .
【答案】/2.25
【分析】利用点差法和两点坐标求直线斜率公式化简计算即可.
【详解】设，
则
两式相减得，
由线段的中点坐标为，
即，
.
故答案为：
【变式3】（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，设，结合“点差法”，即可直线的斜率，得到答案.
【详解】设，代入抛物线，可得，
两式相减得，
所以直线的斜率为，
又因为的中点为，可得，
所以，即直线的斜率为.
故选：C.
强化训练
一、单选题
1．（23-24高三下·新疆·阶段练习）将抛物线绕原点顺时针旋转得到抛物线，若抛物线与抛物线交于异于原点的点，记抛物线与的焦点分别为、，且四边形的面积为8，则（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】C
【分析】依题意可得抛物线的方程为，联立求出点坐标，最后由求出.
【详解】由抛物线的性质可知抛物线的方程为，
由，解得或，即，
又，，
所以，解得或（舍去）.
故选：C

2．（24-25高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）设A，B为双曲线上的两点，若线段AB的中点为，则直线AB的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用点差法，结合一元二次方程根与系数关系进行求解判断即可.
【详解】设，
则有，两式相减，得，
因为线段AB的中点为，
所以，
因此由，
即直线AB的斜率为，方程为，
代入双曲线方程中，得，
因为，
所以线段AB存在，
故选：C
3．（2023高三·全国·专题练习）已知分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上(顶点除外)任意一点，若的角平分线与以为直径的圆交于点，则的面积的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】延长交的延长线于点D，连接，根据题意可求得点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，结合图形，即可求出的面积的最大值.
【详解】设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，
由题可知，，的实半轴长，虚半轴长，
则 ，
如图，延长交的延长线于点，

因为点在以为直径的圆上，
则，又为的角平分线，
所以，则为的中点.
连接，在中，又因为为的中点，则是的中位线，
因为是双曲线右支上(顶点除外)任意一点，由双曲线的定义知，
故|，所以，
故点的轨迹是以原点为圆心，以为半径的圆，轨迹方程为，
显然，当点的坐标为或时，的面积取得最大值，
最大值.
故选：C.
4．（2023·四川资阳·三模）已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则直线l的斜率是（ ）
A．B．4C．D．
【答案】A
【分析】利用点差法求解即可.
【详解】设，则作差得.因为，所以P是线段AB的中点，所以，则直线l的斜率.
故选：A
5．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，离心率为．倾斜角为的直线与交于两点，并且满足，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，用弦长公式表示出，用两点间的距离公式结合点在椭圆上的条件表示出，代入题干条件即可求解.
【详解】设，则，由，
消去，得，
注意到，则.于是，
同理，. 因此.
的倾斜角为，∴直线的斜率，
根据弦长公式，可得.
由，可得，故.
．
故选：A
6．（22-23高三上·江西·期末）如图，已知抛物线E：的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，轴于点N.若四边形的面积等于8，则E的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据求出的坐标，然后得的方程，令，得的坐标，利用直角梯形的面积求出，可得抛物线方程.
【详解】易知，直线AB的方程为，四边形OCMN为直角梯形，且.
设，，，则，
所以，所以，，∴.
所以MC直线方程为，∴令，∴，∴.
所以四边形OCMN的面积为，∴.
故抛物线E的方程为.
故选：B.
7．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线，直线经过点且与双曲线C的右支交于两点．点为轴上一点且满足，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】设直线的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理求出的中点，可得的直线方程，求出可得点坐标可得，再求出、点到直线的距离，再由求出，然后由可得答案.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
由已知直线的斜率存在，且，，
设直线的方程为，与双曲线方程联立，
，整理得，设，
所以，，
则的中点，
所以的直线方程为，
令，得，可得，
所以，
，
点到直线的距离，
所以，
所以.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是求出、点到直线的距离，再由勾股定理求出，然后求.
8．（2023·河南·模拟预测）已知直线l与椭圆相切于点P，与圆交于A，B两点，圆在点A，B处的切线交于点Q，O为坐标原点，则的面积的最大值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【分析】由，，，四点共圆，结合圆与圆的位置关系得出相交弦方程，再由与椭圆相切，可得过的切线方程，从而得出，，再由椭圆的参数方程和向量的运算，结合正弦函数的性质求出最大值．
【详解】设，，由，，可得四点，，，共圆，
可得以为直径的圆，方程为，
联立圆，相减可得的方程为，
又与椭圆相切，若不与轴垂直时，
当时，可化为，
设，在的切线方程为，
即，同理可得时，在的切线方程为，
若轴时，在点处的切线方程为，满足
故过的切线方程为，即为，
由两直线重合的条件可得，，
由于在椭圆上，可设，，，
即有，，
可得，
且，，
即有
，
当即或或或时，的面积取得最大值．
故选：．
【点睛】关键点睛：在求面积的最大值时，关键在于利用椭圆的参数方程设出点的坐标，进而结合三角恒等变换以及正弦函数的性质得出面积的最大值.
二、多选题
1．（23-24高三上·辽宁抚顺·期末）直线过抛物线的焦点，且与交于M，N两点，则（ ）
A．B．
C．的最小值为6D．的最小值为12
【答案】BD
【分析】先根据题意及直线过定点即可判断A，B；再根据抛物线的性质知直线垂直于轴，取得最小值，进而即可判断C，D．
【详解】对于A，B，由直线与轴的交点坐标为，则，即，故A错误，B正确；
对于C，D，当直线垂直于轴，即时，取得最小值，且最小值为．故C错误，D正确．
故选：BD．
2．（2024·云南昭通·模拟预测）已知椭圆，直线与椭圆相交于两点，下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B．椭圆的长轴长为2
C．若直线的方程为，则右焦点到的距离为
D．若直线过点，且与轴平行，则
【答案】AC
【分析】求出的值后，可直接计算出离心率和长轴长，从而判断出A,B；利用点到直线的距离公式计算可判断C；根据通径公式进行计算，或者联立直线和椭圆方程，利用弦长公式进行求解可判断D.
【详解】由题意知，
对于A选项：,则A正确；
对于B选项：长轴为：,故B错误；
对于选项：的方程为，
所以右焦点到的距离为，故C正确；
对于选项：方法过且与轴平行，
为通径，.
方法过且与轴平行，
的方程为，由，故D错误，
故选：AC.
3．（2023·河北沧州·三模）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上第一象限内一点，且，，关于的平分线的对称点恰好在上，则（ ）
A．的实轴长为2
B．的离心率为
C．的面积为
D．的平分线所在直线的方程为
【答案】ACD
【分析】求出双曲线的解析式，即可求出实轴长和离心率，求出焦点即可得出面积，利用倾斜角即可求出的平分线所在直线的方程.
【详解】由题意，
在中，
∵关于的平分线的对称点恰好在上，
∴，，三点共线，且，
∵，∴.
设，，
根据双曲线定义可得，，
解得，，即，∴.
在中，根据勾股定理可得，，解得，
∴的实轴长为2，所以A正确；
又，，∴的离心率为，所以B不正确；
的面积为，∴C正确；
∵，∴，
∵，易得的平分线的倾斜角为，
∴的平分线所在直线的方程为，即，所以D正确.
故选：ACD.
三、填空题
1．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知O为坐标原点，过抛物线C：的焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，，若，则 ．
【答案】
【分析】根据等腰三角形的性质，结合直线的两点式方程与抛物线方程联立，求出相应点的坐标，再结合抛物线的定义进行求解即可.
【详解】由，
因为，所以，
设，垂足为，因为，
所以，
把代入中，得，负值舍去，
所以点A坐标为，
因此直线的方程为：，
与抛物线方程，联立，
得，或，
把代入抛物线方程中，得，
所以，
故答案为：
2．（2023高三·全国·专题练习）过点作斜率为的直线l与椭圆相交于A，B两点，则线段AB的中点坐标为 .
【答案】
【分析】求出直线的方程，再与椭圆方程联立求解即得.
【详解】直线l的方程为，
由消去y得，显然，
即直线与椭圆相交，设交点，则，
于是线段中点的横坐标为，纵坐标为，
所以线段的中点坐标为.
故答案为：
3．（2024·黑龙江·二模）已知双曲线的离心率为，其左､右焦点分别为，过作的一条渐近线的垂线并交于两点，若，则的周长为 .
【答案】
【分析】设方程，根据求得方程，再由双曲线定义求的周长.
【详解】由，得，
则双曲线，
，渐近线，
不妨设直线，，
联立方程消去得，
则，
可得，解得，可得，
由双曲线的定义可得，
则，
可得，所以的周长.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：在双曲线中，直线过焦点，，则的周长.
四、解答题
1．（2023·河南·三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，圆经过抛物线的焦点.
(1)求的方程；
(2)若直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据焦点位置设出抛物线的标准方程，把焦点坐标代入圆的方程，求解即可；
（2）设两点坐标，直线与抛物线联立方程组，由韦达定理得根与系数的关系，表示出弦长，利用导数求抛物线过两点的切线，求出交点，点到直线距离得三角形的高，根据面积的表达式求最小值.
【详解】（1）由题意，设的方程为，
因为圆经过抛物线的焦点，
所以，解得，
所以的方程为.
（2）如图所示，

设，则，联立方程组整理得，
所以，且，
所以.
由，可得，则，所以抛物线的过点A的切线方程是，
将代入上式整理得，
同理可得抛物线的过点的切线方程为
由解得，所以，
所以到直线的距离，
所以的面积，
当时，，
所以面积的最小值为.
2．（2023高三·全国·专题练习）已知倾斜角为的直线l与双曲线C：交于A，B两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线l的方程．
【答案】
【分析】利用点差法求解，检验判别式即可.
【详解】设，，中点的坐标为，
则①，②，
②－①得，，即，
又，所以，
所以直线l的方程为，即.
联立，得，则，
综上，直线l的方程为.
3．（2023高三·全国·专题练习）椭圆的离心率为，右顶点为A，设点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，面积的最大值为．求椭圆E的标准方程；
【答案】
【分析】由离心率为可得，又面积的最大值为，联立方程求解即可.
【详解】由题意，设椭圆半焦距为c，则，即，得，
设，由，所以的最大值为，
将代入，有，解得，
所以椭圆的标准方程为.
4．（2024·云南贵州·二模）已知椭圆的方程，右焦点为，且离心率为
(1)求椭圆的方程；
(2)设是椭圆的左、右顶点，过的直线交于两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据离心率以及焦点即可求解；
（2）①当斜率不存在时，易知；②当斜率存在时，设与椭圆方程联立，得到，利用韦达定理可得，设，转化为，可得答案．
【详解】（1）设椭圆焦距为，
由题意可得，
故椭圆方程为
（2）当斜率不存在时，易知；
②当斜率存在时，设，,，,，
由，得，显然，
所以，，
因为，，
所以，
因为，
所以，
又，
设，则，，解得且，
所以，
综上可得的取值范围为．

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.
5．（2024·云南曲靖·一模）已知斜率为的直线交抛物线于、两点，线段的中点的横坐标为．
(1)求抛物线的方程；
(2)设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于、两点，分别在点、处作抛物线的切线，两条切线交于点，则的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）设点、，由已知可得出，利用斜率公式以及抛物线的方程可求得的值，由此可得出抛物线的方程；
（2）设点、，分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出，求出两切线的方程，进而可求得点的坐标，分析可得出，求出，利用二次函数的基本性质可求得面积的最小值，及其对应的直线的方程.
【详解】（1）解：设点、，因为直线的斜率为，则，
因为线段的中点的横坐标为，则，
，可得，
所以，抛物线的方程为.
（2）解：设点、，易知点，
若直线的斜率不存在，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
设直线的方程为，联立可得，
，由韦达定理可得，，
由焦点弦长公式可得，
对函数求导得，则直线的方程为，即，
同理可知，直线的方程为，
联立可得，即点，
则，，
所以，，即，
且，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故的面积存在最小值，且最小值为，
此时，直线的方程为.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．