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2023年河南省郑州市桐柏一中中考数学模拟试卷（含解析）
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这是一份2023年河南省郑州市桐柏一中中考数学模拟试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列为负数的是( )
A. |−2|B. 3C. 0D. −5
2.下列四个几何体的主视图是三角形的是( )
A. B. C. D.
3.下列计算，正确的是( )
A. a2−a=aB. a2⋅a3=a6C. a9÷a3=a3D. (a3)2=a6
4.2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成就，其中包括“奋斗者”号载人潜水器最深下潜至10909米．其中数据10909用科学记数法表示为( )
A. 10.909×102B. 1.0909×103C. 0.10909×104D. 1.0909×104
5.如图，AB//CD，∠A=30°，DA平分∠CDE，则∠DEB的度数为( )
A. 45°
B. 60°
C. 75°
D. 80°
6.一元二次方程x2−2x+1=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
7.如图是小明某一天测得的7次体温情况的折线统计图，下列信息不正确的是( )
A. 测得的最高体温为37.1℃B. 前3次测得的体温在下降
C. 这组数据的众数是36.8D. 这组数据的中位数是36.6
8.《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为( )
A. 900x+3=2×900x−1B. 900x−3=2×900x+1
C. 900x−1=2×900x+3D. 900x+1=2×900x−3
9.如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是( )
A. 12B. 24C. 36D. 48
10.四盏灯笼的位置如图.已知A，B，C，D的坐标分别是(−1,b)，(1,b)，(2,b)，(3.5,b)，平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是( )
A. 将B向左平移4.5个单位B. 将C向左平移4个单位
C. 将D向左平移5.5个单位D. 将C向左平移3.5个单位
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.写出一个比 3大且比 10小的整数是 ．
12.不等式组2x>6x−2>0的解集是______．
13.不透明的袋子中有四个完全相同的小球，上面分别写着数字1，2，3，4.随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，记录其数字，则两次记录的数字不相同的概率是______．
14.如图，AB是⊙O的切线，B为切点，OA与⊙O交于点C，以点A为圆心、以OC的长为半径作EF，分别交AB，AC于点E，F.若OC=2，AB=4，则图中阴影部分的面积为 ．
15.如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=6cm，有一动点P以2cm/s的速度沿着B−C−D的方向移动，连接AP，沿AP翻折△ABP，得到△APB′，则经过______s点B′落在边CD所在直线上．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
(1)计算：20230− 64+(13)−1．
(2)化简：a2−3aa÷(a−9a)．
17.(本小题8分)
“惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况，某校数学兴趣小组的同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量.从七、八年级中各随机抽取10个班的餐厨垃圾质量的数据(单位：kg)，进行整理和分析(餐厨垃圾质量用x表示，共分为四个等级：A.x<1，B.1≤x<1.5，C.1.5≤x<2，D.x≥2)，下面给出了部分信息．
七年级10个班的餐厨垃圾质量：0.8，0.8，0.8，0.9，1.1，1.1，1.6，1.7，1.9，2.3．
八年级10个班的餐厨垃圾质量中B等级包含的所有数据为：1.0，1.0，1.0，1.0，1.2．
七、八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述表中a，b，m的值；
(2)该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数；
(3)根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由(写出一条理由即可)．
18.(本小题8分)
如图，反比例函数y=kx(k>0)的图象经过点A(3,4)．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)已知点B(5,0)，请用无刻度的直尺和圆规作出∠AOB的平分线(不写作法，保留作图痕迹)；
(3)点C在(2)中所作的角平分线上，且AC//OB，连接BC，判断四边形AOBC的形状，并说明理由．
19.(本小题8分)
如图，渔船跟踪鱼群由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东53°方向，再航行3km达到B处(AB=3km)，测得小岛C位于它的北偏东45°方向．小岛C的周围8km内有暗礁，如果渔船不改变航向继续向东航行，请你通过计算说明渔船有无触礁的危险？
(参考数据：sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43)
20.(本小题8分)
为迎接开学，某校需购买一批测温枪和消毒液.若购买5个测温枪和1桶消毒液共需440元，若购买1个测温枪和3桶消毒液共需200元．
(1)求测温枪和消毒液的单价；
(2)学校计划购买这两种物资共60件，并要求测温枪的数量不少于消毒液的数量的14，请设计最省钱的购买方案，并说明理由．
21.(本小题8分)
如图，一小球M(看做一个点)从斜坡OA上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数y=12x刻画.若小球到达的最高的点坐标为(4,8)，解答下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
(2)小球落点为A，求A点的坐标；
(3)在斜坡OA上的B点有一棵树(树高看成线段且垂直于x轴)，B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由．
22.(本小题8分)
阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动地球.”(如图1)这句话形容杠杆的作用之大：只要有合适的工具和一个合适的支点，利用杠杆原理就可以把地球(或像地球一样重的物体)轻松撬动.小亮看到广场上有一块球形的大石头，他想知道这块球形石头的半径为多少，他找来一块棱长为20cm的正方体木块和长度为200cm的木棒AB，模仿阿基米德撬动地球的方法，如图2，石头和地面相切于点M，木棒和石头相切于点N，正方体横截面上的点E，F和木棒在同一平面内，点M，A，E，F在一条直线上．
(1)求证：∠MON=∠BCD；
(2)若木棒与水平面的夹角∠BAF=45°，切点N恰好为AC的中点，则石头的半径为多少？(结果保留根号)
23.(本小题8分)
阅读下列材料，并完成相应的任务．
(1)根据小明的作图方法，如图①，他得出“AP垂直平分BC”的依据是______；
(2)如图②，已知在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠ADC，求作对角线BD的垂直平分线，小明只用无刻度直尺作直线AC，就得到对角线BD的垂直平分线，请你帮助小明说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了有理数，绝对值以及算术平方根，掌握负数的定义是解答本题的关键，根据实数的定义判断即可．
【解答】
解：A.|−2|=2，是正数，故本选项不合题意；
B. 3是正数，故本选项不合题意；
C.0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意；
D.−5是负数，故本选项符合题意．
故选：D．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查几何体的三视图中的主视图，几何体的特征．
主视图是从几何体的正面看，依次分析可得答案．
【解答】
解：A选项的主视图是矩形，不符合题意；
B选项的主视图是正方形，不符合题意；
C选项的主视图是矩形，不符合题意；
D选项的主视图是等腰三角形，符合题意．
故选：D．
3.【答案】D
【解析】解：A、a2−a，不能合并，故A错误；
B、a2⋅a3=a5，故B错误；
C、a9÷a3=a6，故C错误；
D、(a3)2=a6，故D正确；
故选：D。
根据合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方进行计算即可。
本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键。
4.【答案】D
【解析】解：10909=1.0909×104，
故选：D．
把比较大的数写成a×10n，其中1≤a<10，n为正整数即可得出答案．
本题考查了科学记数法−表示较大的数，掌握10的指数比原来的整数位数少1是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：因为AB//CD，∠A=30°，
所以∠ADC=∠A=30°，∠CDE=∠DEB，
因为DA平分∠CDE，
所以∠CDE=2∠ADC=60°，
所以∠DEB=60°．
故选：B．
由平行线的性质得∠ADC=∠A=30°，再由角平分线得∠CDE=60°，再次利用平行线的性质可得∠DEB=∠CDE=60°．
本题主要考查平行线的性质，角的平分线，解答的关键是熟记并运用平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
6.【答案】B
【解析】解：由题意可知Δ=(−2)2−4×1×1=0，
∴一元二次方程x2−2x+1=0有两个相等的实数根．
故选B．
本题考查一元二次方程的根的判别式．
根据根的判别式即可求出答案．
7.【答案】D
【解析】解：由折线统计图可以看出这7次的体温数据从第1次到第7次分别为37.1℃、37.0℃、36.5℃、36.6℃、36.8℃、36.8℃、36.7℃．
A、测得的最高体温为37.1℃，故A不符合题意；
B、观察可知，前3次的体温在下降，故B不符合题意；
C、36.8℃出现了2次，次数最高，故众数为36.8℃，故C不符合题意；
D、这七个数据排序为36.5℃，36.6℃，36.7℃，36.8℃，36.8℃，37.0℃，37.1℃.中位数为36.8℃.故D符合题意．
故选：D．
根据统计图和中位数，众数的定义分别进行解答，即可求出答案．
本题考查了折线统计图，主要利用了众数的定义，中位数的定义，根据折线统计图准确获取信息是解题关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵规定时间为x天，
∴慢马送到所需时间为(x+1)天，快马送到所需时间为(x−3)天，
又∵快马的速度是慢马的2倍，两地间的路程为900里，
∴900x−3=2×900x+1．
故选：B．
根据快、慢马送到所需时间与规定时间之间的关系，可得出慢马送到所需时间为(x+1)天，快马送到所需时间为(x−3)天，再利用速度=路程÷时间，结合快马的速度是慢马的2倍，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的感觉．
9.【答案】D
【解析】解：由图2知，AB=BC=10，
当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8(即此时BP=8)，
当y=8时，PC= BC2−BP2= 102−82=6，
△ABC的面积=12×AC×BP=12×8×12=48，
故选：D．
由图2知，AB=BC=10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8(即此时BP=8)，即可求解．
本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、勾股定理、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
10.【答案】C
【解析】解：∵A，B，C，D这四个点的纵坐标都是b，
∴这四个点在一条直线上，这条直线平行于x轴，
∵A(−1,b)，B(1,b)，
∴A，B关于y轴对称，只需要C，D对称即可，
∵C(2,b)，D(3.5,b)，
∴可以将点C(2,b)向左移动到(−3.5,b)，移动5.5个单位，
或可以将D(3.5,b)向左移动到(−2,b)，移动5.5个单位，
故选：C．
注意到A，B关于y轴对称，只需要C，D对称即可，可以将点C(2,b)向左移动到(−3.5,b)，移动5.5个单位，或可以将D(3.5,b)向左移动到(−2,b)，移动5.5个单位．
本题考查了生活中的平移现象，关于y轴对称的点的坐标，注意关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标不变．
11.【答案】2或3
【解析】【分析】
本题考查了无理数的估算和大小比较，掌握无理数估算的方法是正确解答的关键．
先估算出 3 、 10 的大小，然后确定范围在其中的整数即可．
【解答】
解：∵ 3<2 ， 3< 10
∴ 3<2<3< 10
即比 3 大且比 10 小的整数为2或3，
故答案为：2或3
12.【答案】x>3
【解析】解：解不等式2x>6，得：x>3，
解不等式x−2>0，得：x>2，
则不等式组的解集为x>3，
故答案为：x>3．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13.【答案】34
【解析】解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中两次记录的数字不相同的结果有12种，
∴两次记录的数字不相同的概率是1216=34，
故答案为：34．
画树状图，共有16种等可能的结果，其中两次记录的数字不相同的结果有12种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】4−π
【解析】【分析】
本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，熟练掌握切线的性质，以及扇形面积的计算是解题的关键．
连接OB，根据切线的性质可得∠OBA=90°，从而可得∠BOA+∠A=90°，根据题意可得OB=OC=AE=AF=2，然后利用阴影部分的面积=△AOB的面积−(扇形BOC的面积+扇形EAF的面积)，进行计算即可解答．
【解答】
解：连接OB，
∵AB是⊙O的切线，B为切点，
∴∠OBA=90°，
∴∠BOA+∠A=90°，
由题意得：
OB=OC=AE=AF=2，
∴阴影部分的面积=△AOB的面积−(扇形BOC的面积+扇形EAF的面积)
=12AB⋅OB−90π×22360
=12×4×2−π
=4−π．
15.【答案】53或7
【解析】解：①当点P在BC上，点B′在边CD上时，
∵四边形ABCD为矩形，AB=10cm，BC=6cm，
∴AB=CD=10cm，BC=AD=6cm，∠B=∠C=∠D=90°，
根据折叠的性质可得，AB=AB′=10cm，BP=B′P，
在Rt△ADB′中，B′D= AB′2−AD2= 102−62=8cm，
∴B′C=CD−B′D=10−8=2cm，
设BP=B′P=x cm，则CP=BC−BP=(6−x)cm，
在Rt△B′CP中，CP2+B′C2=B′P2，
∴(6−x)2+22=x2，
解得：x=103，
∴BP=103cm，即动点P走过的路程为103cm，
∵动点P以2cm/s的速度沿着B−C−D的方向移动，
∴运动时间t=1032=53(s)；
②当点P在CD上，点B′在边CD的延长线上时，如图，
∵四边形ABCD为矩形，AB=10cm，BC=6cm，
∴AB=CD=10cm，BC=AD=6cm，∠C=∠D=90°，
∴∠ADB′=90°，
根据折叠的性质可得，AB=AB′=10cm，BP=B′P，
在Rt△AB′D中，B′D= AB′2−AD2= 102−62=8(cm)，
设DP=a cm，则CP=CD−DP=(10−a)cm，BP=B′P=B′D+DP=(8+a)cm，
在Rt△BCP中，BC2+CP2=BP2，
∴62+(10−a)2=(8+a)2，
解得：a=2，
∴CP=10−a=8(cm)，
∴动点P走过的路程为BC+CP=6+8=14(cm)，
∵动点P以2cm/s的速度沿着B−C−D的方向移动，
∴运动时间t=142=7(s)．
综上，经过53或7s，点B′落在边CD所在直线上．
故答案为：53或7．
分两种情况：①当点P在BC上，点B′在边CD上时，由折叠可知AB=AB′=10cm，BP=B′P，先根据勾股定理求出B′D=8cm，则B′C=2cm，再设BP=B′P=xcm，则CP=(6−x)cm，在Rt△B′CP中，根据勾股定理可得(6−x)2+22=x2，解得x=103，因此BP=103cm，即动点P走过的路程为103cm，最后根据“时间=路程÷速度”即可求解；②当点P在CD上，点B′在边CD的延长线上时，由折叠可知AB=AB′=10cm，BP=B′P，先根据勾股定理B′D=8cm，再设DP=acm，则CP=(10−a)cm，BP=B′P=(8+a)cm，在Rt△BCP中，根据勾股定理可得62+(10−a)2=(8+a)2，解得a=2，得到动点P走过的路程为BC+CP=6+8=14(cm)，最后根据“时间=路程÷速度”即可求解．
本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，读懂题意，学会利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解题关键．
16.【答案】解：(1)原式=1−8+3=−4；
(2)原式=a(a−3)a÷a2−9a
=a(a−3)a⋅a(a+3)(a−3)
=aa+3．
【解析】(1)分别根据零指数幂及负整数指数幂的计算法则、算术平方根的概念计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
(2)根据分式混合运算的法则进行计算即可．
本题主要考查了分式的混合运算与实数的运算，解答此题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
17.【答案】解：(1)0.8，1.0，20；
(2)∵八年级抽测的10个班级中，A等级的百分比是20%．
∴估计该校八年级共30个班这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数为：30×20%=6(个)．
答：该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数为6个．
(3)七年级各班落实“光盘行动”更好，因为：
①七年级各班餐厨垃圾质量众数0.8，低于八年级各班餐厨质量垃圾的众数1.0．
②七年级各班餐厨垃圾质量A等级的40%高于八年级各班餐厨质量垃圾质量A等级的20%．
八年级各班落实“光盘行动”更好，因为：
①八年级各班餐厨垃圾质量的中位数1.0低于七年级各班餐厨质量垃圾的中位数1.1．
②八年级各班餐厨垃圾质量的方差0.23低于七年级各班餐厨质量垃圾的方差0.26，更稳定．
【解析】本题考查了中位数、众数、方差的意义，关键在于根据图中信息结合统计相关知识的意义进行分析即可．
(1)在0.8，0.8，0.8，0.9，1.1，1.1，1.6，1.7，1.9，2.3中，出现次数最多的是0.8，
∴众数a=0.8，
八年级10个班中B等级有5个，占50%，C、D等级所占百分比分别为20%、10%，
∴A等级占：1−50%−20%−10%=20%，即m=20，
把八年级10个班的餐厨垃圾质量从小到大排列，C、D等级共占3个数，则第5个和第6个数都是B等级中的1.0，
∴b=1.0，
故答案为：0.8，1.0，20；
(2)用抽测的百分比乘总体即可求解．
(3)从众数，中位数、A等级的百分比、方差进行评论即可．
18.【答案】解：(1)由题意得：k=3×4=12．
∴反比例函数的表达式是y=12x；
(2)如图：OC即为所求；
(3)四边形AOBC是菱形．
理由：∵AC//OB，
∴∠ACO=∠BOC．
∵∠AOC=∠BOC，
∴∠AOC=∠ACO．
∴AC=AO．
∵A(3,4)，B(5,0)，
∴OA=OB=5．
∴AC=OB．
∵AC//OB，AC=OB，
∴四边形AOBC是平行四边形．
∵AC=OB，
∴▱AOBC是菱形．
【解析】(1)根据待定系数法求解；
(2)根据作角的平分线的基本作法作图；
(3)先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的定义证明．
本题考查了基本作图，掌握菱形的判定定理是解题的关键．
19.【答案】解：过点C作CD⊥AB，垂足为点D，
由题意可得：∠ACD=53°，∠BCD=∠CBD=45°，
故BD=CD，
设BD=CD=x，则AD=3+x，
在Rt△ACD中，tan∠ACD=ADCD，
则tan53°=x+33，
故x+3x≈43，
解得：x≈9≥8，
∴如果渔船不改变航向继续向东航行，渔船无触礁的危险．
【解析】直接设BD=CD=x，则AD=3+x，在Rt△ACD中，tan∠ACD=ADCD，进而得出x的值求出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握边角关系是解题关键．
20.【答案】解：(1)设测温枪每个x元，消毒液每桶y元，
根据题意，得5x+y=440x+3y=200，
解得：x=80,y=40
答：测温枪每个80元，消毒液每桶40元；
(2)设购买测温枪m个，
则购买消毒液(60−m)桶，
∴m≥14(60−m)
解得：m≥12．
设共需w元，则w=80m+40(60−m)=40m+2400．
∵40>0，
∴w随m的增大而增大．
∴当m=12时，w有最小值，此时60−m=48．
∴购买测温枪12个，消毒液48桶式费用最少．
【解析】(1)设测温枪每个x元，消毒液每桶y元，根据题意列出方程组5x+y=440x+3y=200，求解即可判；
(2)设购买测温枪m个，则购买消毒液(60−m)桶，根据题意列出不等式组，求解即可．
本题考查一元一次不等式组和二元一次方程组的应用，正确列出不等式和方程是解题根据．
21.【答案】解：(1)∵小球到达的最高的点坐标为(4,8)，
∴设抛物线的表达式为y=a(x−4)2+8，
把(0,0)代入得，0=a(0−4)2+8，
解得：a=−12，
∴抛物线的表达式为：y=−12(x−4)2+8；
(2)解方程−12(x−4)2+8=12x，得x1=0，x2=7，
当x=7时，y=72，
所以A(7,72)；
(3)当x=2时，y1=12x=1，y2=−12(x−4)2+8=6，
∵4+1=5，6>5，
∴小球M能飞过这棵树．
【解析】【分析】
(1)设抛物线的表达式为y=a(x−4)2+8，把(0,0)代入即可得到答案；
(2)联立两解析式，即可求出交点A的坐标；
(3)把x=2分别代入y=−12(x−4)2+8和y=12x，即可得到答案．
本题考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标特征，正确求出图象上相关点的坐标是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵AM切⊙O于点M，AN切⊙O于点N，
∴∠AMO=∠ANO=90°，
∴∠MON+∠MAN=360°−∠AMO−∠ANO=180°，
∵∠BAF+∠MAN=180°，
∴∠MON=∠BAF，
∵CD//AF，
∴∠BCD=∠BAF，
∴∠MON=∠BCD；
(2)解：如图，过点N作NG⊥OM于点G，作NH⊥AF于点H，
∵NH⊥AF，CE⊥AF，
∴NH//CE，
∵点N为AC的中点，
∴NH是△ACE的中位线，
∴NH=12CE=10cm，
∵∠NGM=∠GMH=∠NHM=90°，
∴四边形GMHN是矩形，
∴GM=NH=10cm，
由(1)知∠MON=∠BAF=45°，
∴△OGN是等腰直角三角形，
∴OG=GN，ON= 2OG，
设石头的半径为r cm，则OG=GN=(r−10)cm，
∵ON= 2OG，
∴r= 2(r−10)，
解得r=20+10 2，
∴石头的半径为(20+10 2)cm．
【解析】(1)由AM切⊙O于点M，AN切⊙O于点N，可得∠MON+∠MAN=180°，即得∠MON=∠BAF，而CD//AF，有∠BCD=∠BAF，故∠MON=∠BCD；
(2)过点N作NG⊥OM于点G，作NH⊥AF于点H，可证NH是△ACE的中位线，得NH=12CE=10cm，而四边形GMHN是矩形，知GM=NH=10cm，由(1)知∠MON=∠BAF=45°，得△OGN是等腰直角三角形，故OG=GN，ON= 2OG，设石头的半径为rcm，得r= 2(r−10)，从而可解得石头的半径为(20+10 2)cm．
本题考查解直角三角形的应用，涉及圆的切线性质及应用，勾股定理及应用等知识，解题的关键是读懂题意，作辅助线构造直角三角形解决问题．
23.【答案】等腰三角形三线合一的性质
【解析】解：(1)他得出“AP垂直平分BC”的依据是等腰三角形三线合一的性质，
故答案为：等腰三角形三线合一的性质．
(2)∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ABC=∠ADC，
∴ABC−∠ABD=∠ADC−∠ADB，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD，
∴C在AC的垂直平分线上，
∵AB=AD，
∴A在AC的垂直平分线上，
∴AC垂直平分AC．
(1)由等腰三角形三线合一的性质，即可得到答案；
(2)由等腰三角形得到性质推出∠ABC=∠ADC，得到∠CBD=∠CDB，推出CB=CD，由线段垂直平分线性质定理的逆定理即可推出AC垂直平分AC．
本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线性质定理的逆定理．年级
平均数
中位数
众数
方差
A等级所占百分比
七年级
1.3
1.1
a
0.26
40%
八年级
1.3
b
1.0
0.23
m%
尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题，在初中阶段，我们学习过五种基本尺规作图，并且运用基本尺规作图方法，结合图形性质可以作出更多的数学图形．
如图①，在△ABC中，AB=AC，小明用尺规作底边BC的垂直平分线的过程如下：
①以点A为圆心，小于AB长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E；
②分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点P；
③作射线AP，则AP垂直平分BC．
1.下列为负数的是( )
A. |−2|B. 3C. 0D. −5
2.下列四个几何体的主视图是三角形的是( )
A. B. C. D.
3.下列计算，正确的是( )
A. a2−a=aB. a2⋅a3=a6C. a9÷a3=a3D. (a3)2=a6
4.2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成就，其中包括“奋斗者”号载人潜水器最深下潜至10909米．其中数据10909用科学记数法表示为( )
A. 10.909×102B. 1.0909×103C. 0.10909×104D. 1.0909×104
5.如图，AB//CD，∠A=30°，DA平分∠CDE，则∠DEB的度数为( )
A. 45°
B. 60°
C. 75°
D. 80°
6.一元二次方程x2−2x+1=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
7.如图是小明某一天测得的7次体温情况的折线统计图，下列信息不正确的是( )
A. 测得的最高体温为37.1℃B. 前3次测得的体温在下降
C. 这组数据的众数是36.8D. 这组数据的中位数是36.6
8.《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为( )
A. 900x+3=2×900x−1B. 900x−3=2×900x+1
C. 900x−1=2×900x+3D. 900x+1=2×900x−3
9.如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是( )
A. 12B. 24C. 36D. 48
10.四盏灯笼的位置如图.已知A，B，C，D的坐标分别是(−1,b)，(1,b)，(2,b)，(3.5,b)，平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是( )
A. 将B向左平移4.5个单位B. 将C向左平移4个单位
C. 将D向左平移5.5个单位D. 将C向左平移3.5个单位
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.写出一个比 3大且比 10小的整数是 ．
12.不等式组2x>6x−2>0的解集是______．
13.不透明的袋子中有四个完全相同的小球，上面分别写着数字1，2，3，4.随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，记录其数字，则两次记录的数字不相同的概率是______．
14.如图，AB是⊙O的切线，B为切点，OA与⊙O交于点C，以点A为圆心、以OC的长为半径作EF，分别交AB，AC于点E，F.若OC=2，AB=4，则图中阴影部分的面积为 ．
15.如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=6cm，有一动点P以2cm/s的速度沿着B−C−D的方向移动，连接AP，沿AP翻折△ABP，得到△APB′，则经过______s点B′落在边CD所在直线上．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
(1)计算：20230− 64+(13)−1．
(2)化简：a2−3aa÷(a−9a)．
17.(本小题8分)
“惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况，某校数学兴趣小组的同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量.从七、八年级中各随机抽取10个班的餐厨垃圾质量的数据(单位：kg)，进行整理和分析(餐厨垃圾质量用x表示，共分为四个等级：A.x<1，B.1≤x<1.5，C.1.5≤x<2，D.x≥2)，下面给出了部分信息．
七年级10个班的餐厨垃圾质量：0.8，0.8，0.8，0.9，1.1，1.1，1.6，1.7，1.9，2.3．
八年级10个班的餐厨垃圾质量中B等级包含的所有数据为：1.0，1.0，1.0，1.0，1.2．
七、八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述表中a，b，m的值；
(2)该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数；
(3)根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由(写出一条理由即可)．
18.(本小题8分)
如图，反比例函数y=kx(k>0)的图象经过点A(3,4)．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)已知点B(5,0)，请用无刻度的直尺和圆规作出∠AOB的平分线(不写作法，保留作图痕迹)；
(3)点C在(2)中所作的角平分线上，且AC//OB，连接BC，判断四边形AOBC的形状，并说明理由．
19.(本小题8分)
如图，渔船跟踪鱼群由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东53°方向，再航行3km达到B处(AB=3km)，测得小岛C位于它的北偏东45°方向．小岛C的周围8km内有暗礁，如果渔船不改变航向继续向东航行，请你通过计算说明渔船有无触礁的危险？
(参考数据：sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43)
20.(本小题8分)
为迎接开学，某校需购买一批测温枪和消毒液.若购买5个测温枪和1桶消毒液共需440元，若购买1个测温枪和3桶消毒液共需200元．
(1)求测温枪和消毒液的单价；
(2)学校计划购买这两种物资共60件，并要求测温枪的数量不少于消毒液的数量的14，请设计最省钱的购买方案，并说明理由．
21.(本小题8分)
如图，一小球M(看做一个点)从斜坡OA上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数y=12x刻画.若小球到达的最高的点坐标为(4,8)，解答下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
(2)小球落点为A，求A点的坐标；
(3)在斜坡OA上的B点有一棵树(树高看成线段且垂直于x轴)，B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由．
22.(本小题8分)
阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动地球.”(如图1)这句话形容杠杆的作用之大：只要有合适的工具和一个合适的支点，利用杠杆原理就可以把地球(或像地球一样重的物体)轻松撬动.小亮看到广场上有一块球形的大石头，他想知道这块球形石头的半径为多少，他找来一块棱长为20cm的正方体木块和长度为200cm的木棒AB，模仿阿基米德撬动地球的方法，如图2，石头和地面相切于点M，木棒和石头相切于点N，正方体横截面上的点E，F和木棒在同一平面内，点M，A，E，F在一条直线上．
(1)求证：∠MON=∠BCD；
(2)若木棒与水平面的夹角∠BAF=45°，切点N恰好为AC的中点，则石头的半径为多少？(结果保留根号)
23.(本小题8分)
阅读下列材料，并完成相应的任务．
(1)根据小明的作图方法，如图①，他得出“AP垂直平分BC”的依据是______；
(2)如图②，已知在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠ADC，求作对角线BD的垂直平分线，小明只用无刻度直尺作直线AC，就得到对角线BD的垂直平分线，请你帮助小明说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了有理数，绝对值以及算术平方根，掌握负数的定义是解答本题的关键，根据实数的定义判断即可．
【解答】
解：A.|−2|=2，是正数，故本选项不合题意；
B. 3是正数，故本选项不合题意；
C.0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意；
D.−5是负数，故本选项符合题意．
故选：D．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查几何体的三视图中的主视图，几何体的特征．
主视图是从几何体的正面看，依次分析可得答案．
【解答】
解：A选项的主视图是矩形，不符合题意；
B选项的主视图是正方形，不符合题意；
C选项的主视图是矩形，不符合题意；
D选项的主视图是等腰三角形，符合题意．
故选：D．
3.【答案】D
【解析】解：A、a2−a，不能合并，故A错误；
B、a2⋅a3=a5，故B错误；
C、a9÷a3=a6，故C错误；
D、(a3)2=a6，故D正确；
故选：D。
根据合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方进行计算即可。
本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键。
4.【答案】D
【解析】解：10909=1.0909×104，
故选：D．
把比较大的数写成a×10n，其中1≤a<10，n为正整数即可得出答案．
本题考查了科学记数法−表示较大的数，掌握10的指数比原来的整数位数少1是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：因为AB//CD，∠A=30°，
所以∠ADC=∠A=30°，∠CDE=∠DEB，
因为DA平分∠CDE，
所以∠CDE=2∠ADC=60°，
所以∠DEB=60°．
故选：B．
由平行线的性质得∠ADC=∠A=30°，再由角平分线得∠CDE=60°，再次利用平行线的性质可得∠DEB=∠CDE=60°．
本题主要考查平行线的性质，角的平分线，解答的关键是熟记并运用平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
6.【答案】B
【解析】解：由题意可知Δ=(−2)2−4×1×1=0，
∴一元二次方程x2−2x+1=0有两个相等的实数根．
故选B．
本题考查一元二次方程的根的判别式．
根据根的判别式即可求出答案．
7.【答案】D
【解析】解：由折线统计图可以看出这7次的体温数据从第1次到第7次分别为37.1℃、37.0℃、36.5℃、36.6℃、36.8℃、36.8℃、36.7℃．
A、测得的最高体温为37.1℃，故A不符合题意；
B、观察可知，前3次的体温在下降，故B不符合题意；
C、36.8℃出现了2次，次数最高，故众数为36.8℃，故C不符合题意；
D、这七个数据排序为36.5℃，36.6℃，36.7℃，36.8℃，36.8℃，37.0℃，37.1℃.中位数为36.8℃.故D符合题意．
故选：D．
根据统计图和中位数，众数的定义分别进行解答，即可求出答案．
本题考查了折线统计图，主要利用了众数的定义，中位数的定义，根据折线统计图准确获取信息是解题关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵规定时间为x天，
∴慢马送到所需时间为(x+1)天，快马送到所需时间为(x−3)天，
又∵快马的速度是慢马的2倍，两地间的路程为900里，
∴900x−3=2×900x+1．
故选：B．
根据快、慢马送到所需时间与规定时间之间的关系，可得出慢马送到所需时间为(x+1)天，快马送到所需时间为(x−3)天，再利用速度=路程÷时间，结合快马的速度是慢马的2倍，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的感觉．
9.【答案】D
【解析】解：由图2知，AB=BC=10，
当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8(即此时BP=8)，
当y=8时，PC= BC2−BP2= 102−82=6，
△ABC的面积=12×AC×BP=12×8×12=48，
故选：D．
由图2知，AB=BC=10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8(即此时BP=8)，即可求解．
本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、勾股定理、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
10.【答案】C
【解析】解：∵A，B，C，D这四个点的纵坐标都是b，
∴这四个点在一条直线上，这条直线平行于x轴，
∵A(−1,b)，B(1,b)，
∴A，B关于y轴对称，只需要C，D对称即可，
∵C(2,b)，D(3.5,b)，
∴可以将点C(2,b)向左移动到(−3.5,b)，移动5.5个单位，
或可以将D(3.5,b)向左移动到(−2,b)，移动5.5个单位，
故选：C．
注意到A，B关于y轴对称，只需要C，D对称即可，可以将点C(2,b)向左移动到(−3.5,b)，移动5.5个单位，或可以将D(3.5,b)向左移动到(−2,b)，移动5.5个单位．
本题考查了生活中的平移现象，关于y轴对称的点的坐标，注意关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标不变．
11.【答案】2或3
【解析】【分析】
本题考查了无理数的估算和大小比较，掌握无理数估算的方法是正确解答的关键．
先估算出 3 、 10 的大小，然后确定范围在其中的整数即可．
【解答】
解：∵ 3<2 ， 3< 10
∴ 3<2<3< 10
即比 3 大且比 10 小的整数为2或3，
故答案为：2或3
12.【答案】x>3
【解析】解：解不等式2x>6，得：x>3，
解不等式x−2>0，得：x>2，
则不等式组的解集为x>3，
故答案为：x>3．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13.【答案】34
【解析】解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中两次记录的数字不相同的结果有12种，
∴两次记录的数字不相同的概率是1216=34，
故答案为：34．
画树状图，共有16种等可能的结果，其中两次记录的数字不相同的结果有12种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】4−π
【解析】【分析】
本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，熟练掌握切线的性质，以及扇形面积的计算是解题的关键．
连接OB，根据切线的性质可得∠OBA=90°，从而可得∠BOA+∠A=90°，根据题意可得OB=OC=AE=AF=2，然后利用阴影部分的面积=△AOB的面积−(扇形BOC的面积+扇形EAF的面积)，进行计算即可解答．
【解答】
解：连接OB，
∵AB是⊙O的切线，B为切点，
∴∠OBA=90°，
∴∠BOA+∠A=90°，
由题意得：
OB=OC=AE=AF=2，
∴阴影部分的面积=△AOB的面积−(扇形BOC的面积+扇形EAF的面积)
=12AB⋅OB−90π×22360
=12×4×2−π
=4−π．
15.【答案】53或7
【解析】解：①当点P在BC上，点B′在边CD上时，
∵四边形ABCD为矩形，AB=10cm，BC=6cm，
∴AB=CD=10cm，BC=AD=6cm，∠B=∠C=∠D=90°，
根据折叠的性质可得，AB=AB′=10cm，BP=B′P，
在Rt△ADB′中，B′D= AB′2−AD2= 102−62=8cm，
∴B′C=CD−B′D=10−8=2cm，
设BP=B′P=x cm，则CP=BC−BP=(6−x)cm，
在Rt△B′CP中，CP2+B′C2=B′P2，
∴(6−x)2+22=x2，
解得：x=103，
∴BP=103cm，即动点P走过的路程为103cm，
∵动点P以2cm/s的速度沿着B−C−D的方向移动，
∴运动时间t=1032=53(s)；
②当点P在CD上，点B′在边CD的延长线上时，如图，
∵四边形ABCD为矩形，AB=10cm，BC=6cm，
∴AB=CD=10cm，BC=AD=6cm，∠C=∠D=90°，
∴∠ADB′=90°，
根据折叠的性质可得，AB=AB′=10cm，BP=B′P，
在Rt△AB′D中，B′D= AB′2−AD2= 102−62=8(cm)，
设DP=a cm，则CP=CD−DP=(10−a)cm，BP=B′P=B′D+DP=(8+a)cm，
在Rt△BCP中，BC2+CP2=BP2，
∴62+(10−a)2=(8+a)2，
解得：a=2，
∴CP=10−a=8(cm)，
∴动点P走过的路程为BC+CP=6+8=14(cm)，
∵动点P以2cm/s的速度沿着B−C−D的方向移动，
∴运动时间t=142=7(s)．
综上，经过53或7s，点B′落在边CD所在直线上．
故答案为：53或7．
分两种情况：①当点P在BC上，点B′在边CD上时，由折叠可知AB=AB′=10cm，BP=B′P，先根据勾股定理求出B′D=8cm，则B′C=2cm，再设BP=B′P=xcm，则CP=(6−x)cm，在Rt△B′CP中，根据勾股定理可得(6−x)2+22=x2，解得x=103，因此BP=103cm，即动点P走过的路程为103cm，最后根据“时间=路程÷速度”即可求解；②当点P在CD上，点B′在边CD的延长线上时，由折叠可知AB=AB′=10cm，BP=B′P，先根据勾股定理B′D=8cm，再设DP=acm，则CP=(10−a)cm，BP=B′P=(8+a)cm，在Rt△BCP中，根据勾股定理可得62+(10−a)2=(8+a)2，解得a=2，得到动点P走过的路程为BC+CP=6+8=14(cm)，最后根据“时间=路程÷速度”即可求解．
本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，读懂题意，学会利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解题关键．
16.【答案】解：(1)原式=1−8+3=−4；
(2)原式=a(a−3)a÷a2−9a
=a(a−3)a⋅a(a+3)(a−3)
=aa+3．
【解析】(1)分别根据零指数幂及负整数指数幂的计算法则、算术平方根的概念计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
(2)根据分式混合运算的法则进行计算即可．
本题主要考查了分式的混合运算与实数的运算，解答此题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
17.【答案】解：(1)0.8，1.0，20；
(2)∵八年级抽测的10个班级中，A等级的百分比是20%．
∴估计该校八年级共30个班这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数为：30×20%=6(个)．
答：该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数为6个．
(3)七年级各班落实“光盘行动”更好，因为：
①七年级各班餐厨垃圾质量众数0.8，低于八年级各班餐厨质量垃圾的众数1.0．
②七年级各班餐厨垃圾质量A等级的40%高于八年级各班餐厨质量垃圾质量A等级的20%．
八年级各班落实“光盘行动”更好，因为：
①八年级各班餐厨垃圾质量的中位数1.0低于七年级各班餐厨质量垃圾的中位数1.1．
②八年级各班餐厨垃圾质量的方差0.23低于七年级各班餐厨质量垃圾的方差0.26，更稳定．
【解析】本题考查了中位数、众数、方差的意义，关键在于根据图中信息结合统计相关知识的意义进行分析即可．
(1)在0.8，0.8，0.8，0.9，1.1，1.1，1.6，1.7，1.9，2.3中，出现次数最多的是0.8，
∴众数a=0.8，
八年级10个班中B等级有5个，占50%，C、D等级所占百分比分别为20%、10%，
∴A等级占：1−50%−20%−10%=20%，即m=20，
把八年级10个班的餐厨垃圾质量从小到大排列，C、D等级共占3个数，则第5个和第6个数都是B等级中的1.0，
∴b=1.0，
故答案为：0.8，1.0，20；
(2)用抽测的百分比乘总体即可求解．
(3)从众数，中位数、A等级的百分比、方差进行评论即可．
18.【答案】解：(1)由题意得：k=3×4=12．
∴反比例函数的表达式是y=12x；
(2)如图：OC即为所求；
(3)四边形AOBC是菱形．
理由：∵AC//OB，
∴∠ACO=∠BOC．
∵∠AOC=∠BOC，
∴∠AOC=∠ACO．
∴AC=AO．
∵A(3,4)，B(5,0)，
∴OA=OB=5．
∴AC=OB．
∵AC//OB，AC=OB，
∴四边形AOBC是平行四边形．
∵AC=OB，
∴▱AOBC是菱形．
【解析】(1)根据待定系数法求解；
(2)根据作角的平分线的基本作法作图；
(3)先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的定义证明．
本题考查了基本作图，掌握菱形的判定定理是解题的关键．
19.【答案】解：过点C作CD⊥AB，垂足为点D，
由题意可得：∠ACD=53°，∠BCD=∠CBD=45°，
故BD=CD，
设BD=CD=x，则AD=3+x，
在Rt△ACD中，tan∠ACD=ADCD，
则tan53°=x+33，
故x+3x≈43，
解得：x≈9≥8，
∴如果渔船不改变航向继续向东航行，渔船无触礁的危险．
【解析】直接设BD=CD=x，则AD=3+x，在Rt△ACD中，tan∠ACD=ADCD，进而得出x的值求出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握边角关系是解题关键．
20.【答案】解：(1)设测温枪每个x元，消毒液每桶y元，
根据题意，得5x+y=440x+3y=200，
解得：x=80,y=40
答：测温枪每个80元，消毒液每桶40元；
(2)设购买测温枪m个，
则购买消毒液(60−m)桶，
∴m≥14(60−m)
解得：m≥12．
设共需w元，则w=80m+40(60−m)=40m+2400．
∵40>0，
∴w随m的增大而增大．
∴当m=12时，w有最小值，此时60−m=48．
∴购买测温枪12个，消毒液48桶式费用最少．
【解析】(1)设测温枪每个x元，消毒液每桶y元，根据题意列出方程组5x+y=440x+3y=200，求解即可判；
(2)设购买测温枪m个，则购买消毒液(60−m)桶，根据题意列出不等式组，求解即可．
本题考查一元一次不等式组和二元一次方程组的应用，正确列出不等式和方程是解题根据．
21.【答案】解：(1)∵小球到达的最高的点坐标为(4,8)，
∴设抛物线的表达式为y=a(x−4)2+8，
把(0,0)代入得，0=a(0−4)2+8，
解得：a=−12，
∴抛物线的表达式为：y=−12(x−4)2+8；
(2)解方程−12(x−4)2+8=12x，得x1=0，x2=7，
当x=7时，y=72，
所以A(7,72)；
(3)当x=2时，y1=12x=1，y2=−12(x−4)2+8=6，
∵4+1=5，6>5，
∴小球M能飞过这棵树．
【解析】【分析】
(1)设抛物线的表达式为y=a(x−4)2+8，把(0,0)代入即可得到答案；
(2)联立两解析式，即可求出交点A的坐标；
(3)把x=2分别代入y=−12(x−4)2+8和y=12x，即可得到答案．
本题考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标特征，正确求出图象上相关点的坐标是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵AM切⊙O于点M，AN切⊙O于点N，
∴∠AMO=∠ANO=90°，
∴∠MON+∠MAN=360°−∠AMO−∠ANO=180°，
∵∠BAF+∠MAN=180°，
∴∠MON=∠BAF，
∵CD//AF，
∴∠BCD=∠BAF，
∴∠MON=∠BCD；
(2)解：如图，过点N作NG⊥OM于点G，作NH⊥AF于点H，
∵NH⊥AF，CE⊥AF，
∴NH//CE，
∵点N为AC的中点，
∴NH是△ACE的中位线，
∴NH=12CE=10cm，
∵∠NGM=∠GMH=∠NHM=90°，
∴四边形GMHN是矩形，
∴GM=NH=10cm，
由(1)知∠MON=∠BAF=45°，
∴△OGN是等腰直角三角形，
∴OG=GN，ON= 2OG，
设石头的半径为r cm，则OG=GN=(r−10)cm，
∵ON= 2OG，
∴r= 2(r−10)，
解得r=20+10 2，
∴石头的半径为(20+10 2)cm．
【解析】(1)由AM切⊙O于点M，AN切⊙O于点N，可得∠MON+∠MAN=180°，即得∠MON=∠BAF，而CD//AF，有∠BCD=∠BAF，故∠MON=∠BCD；
(2)过点N作NG⊥OM于点G，作NH⊥AF于点H，可证NH是△ACE的中位线，得NH=12CE=10cm，而四边形GMHN是矩形，知GM=NH=10cm，由(1)知∠MON=∠BAF=45°，得△OGN是等腰直角三角形，故OG=GN，ON= 2OG，设石头的半径为rcm，得r= 2(r−10)，从而可解得石头的半径为(20+10 2)cm．
本题考查解直角三角形的应用，涉及圆的切线性质及应用，勾股定理及应用等知识，解题的关键是读懂题意，作辅助线构造直角三角形解决问题．
23.【答案】等腰三角形三线合一的性质
【解析】解：(1)他得出“AP垂直平分BC”的依据是等腰三角形三线合一的性质，
故答案为：等腰三角形三线合一的性质．
(2)∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ABC=∠ADC，
∴ABC−∠ABD=∠ADC−∠ADB，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD，
∴C在AC的垂直平分线上，
∵AB=AD，
∴A在AC的垂直平分线上，
∴AC垂直平分AC．
(1)由等腰三角形三线合一的性质，即可得到答案；
(2)由等腰三角形得到性质推出∠ABC=∠ADC，得到∠CBD=∠CDB，推出CB=CD，由线段垂直平分线性质定理的逆定理即可推出AC垂直平分AC．
本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线性质定理的逆定理．年级
平均数
中位数
众数
方差
A等级所占百分比
七年级
1.3
1.1
a
0.26
40%
八年级
1.3
b
1.0
0.23
m%
尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题，在初中阶段，我们学习过五种基本尺规作图，并且运用基本尺规作图方法，结合图形性质可以作出更多的数学图形．
如图①，在△ABC中，AB=AC，小明用尺规作底边BC的垂直平分线的过程如下：
①以点A为圆心，小于AB长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E；
②分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点P；
③作射线AP，则AP垂直平分BC．
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